Ciencia de Materiales. Capitulo 3. Parte 1

Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades

Ciencia de Materiales:

Estructuras cristalinas y amorfas en los

materiales.

Juan José Reyes Salgado


Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.


I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.

I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:

I Aleaciones.I Algunos cerámicos.

I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:

I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del

átomo.

I Agua líquida (enlace secundario).





I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.

I Algunos cerámicos.



átomo.






I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.



átomo.







I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.

I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata delátomo.







I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del

átomo.







I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del

átomo.I Agua líquida (enlace secundario).




I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.

I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de

uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición

de los átomos en una celda unitaria.I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres

vectores de la red.I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ

son las constantes de la red de la celda unitaria.





I Esta red se llama red espacial.

I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de









I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.

I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor deuno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.

I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posiciónde los átomos en una celda unitaria.

I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tresvectores de la red.

I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.






uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.

I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posiciónde los átomos en una celda unitaria.









de los átomos en una celda unitaria.










vectores de la red.





I Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan 7tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes.




I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.

I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.

I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:

I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.

I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.

I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.

I Centrada en las bases.






I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.




I La mayoría de los metales puros cristalizan al solidi�carse entres estructuras cristalinas compactas:

a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).

b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).

c) Hexagonal compacta (HCP)





a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)




I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m ó 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabría:




I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m ó 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabría:

1mm × 1 celda unitaria

0.287× 10−6mm/nm= 3.48× 106 celdas unitarias




Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)





1 átomo (en el centro) + 8× 1

8(en los vértices) = 2 átomos





I Factor de empacamiento (APF):






APF =volumen de los atomos en la celda unitaria

volumen de una celda unitaria








Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3








Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3








Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√3








Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√3

Vcelda = a3 = 12.32R3








Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3

Vcelda = a3

a =4R√3

Vcelda = a3 = 12.32R3

APF = 0.68




Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)





8× 1

8(en los vértices) + 6× 1

2(medios átomos sobre las caras) =

4 átomos





APF=0.74




Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)




Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)

1 átomo (en el centro) + 4× 1

6+ 4× 1

12= 1 (en los vértices) = 2

átomos




Problema

Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.




Problema

Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:




Problema


AreaABC =12

(base)(altura)




Problema


AreaABC =12

(base)(altura)

AreaT = (6)(AreaABC )




Problema


AreaABC =12

(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)




Problema


AreaABC =12

(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)

Volumen = (AreaT )(c)




Problema


AreaABC =12

(base)(altura)


AreaT = 3a2sin(60o)

Volumen = (AreaT )(c)

Volumen = 0.0913nm3




(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)(1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)




I Para los cristales cúbicos los índices de las direccionescristalográ�cos son los componentes del vector de direccióndescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amínimos enteros.

I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >





I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >

I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >





I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia

I Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de lascaras < 110 >





I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las

caras < 110 >Juan José Reyes Salgado



Índices de Miller

I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.

I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.

1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los

ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).

3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más

pequeño de números enteros.




Índices de Miller


I Orientación cristalográ�ca.

I Determinación de los índices de Miller.








Índices de Miller










Índices de Miller



1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).

2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de losejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).






Índices de Miller










Índices de Miller





3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.

4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto máspequeño de números enteros.




Índices de Miller










Índices de Miller

Notación: (hkl)




Índices de Miller

Notación: (hkl)Si varios planos reticulares equivalentes están relacionados por lasimetría del sistema cristalino, se llaman planos de una familia.

{hkl}




Índices de Miller




Índices de Miller

Intersecciones: 1

3, 2

3, 1




Índices de Miller

Intersecciones: 1

3, 2

3, 1

Recíprocos: 3, 3

2, 1




Índices de Miller




Índices de Miller

dhkl =a√

h2 + k2 + l2




Índices para los planos cristalinos en celdas HCP

I Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados índicesde Miller-Bravais (jkil).

I 3 ejes basales a0, a1 y a2 y uno vertical c .




Índices para los planos cristalinos en celdas HCP

Planos basales Planos del prisma




Índices de dirección en las celdas unitarias HCP




Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC

FCC HCP





BCC




Densidad volumétrica

ρv =masa/celda unitaria

volumen/celda unitaria




Problema

El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atónico de0.1278nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que setocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCCcomo se muestra, calcule el valor teórico de la densidad de cobre enmegagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de63.54g/mol.




Problema

a =4R√2

= 0.361nm




Problema

a =4R√2

= 0.361nm



m =(4 atomos)(63.54g/mol)

6.02× 1023atomos/mol

(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg




Problema

a =4R√2

= 0.361nm





(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg

V = a3 = 4.70× 10−29m3




Problema

a =4R√2

= 0.361nm





(10−6Mg

g

)= 4.22× 10−28Mg

V = a3 = 4.70× 10−29m3

ρv =m

V= 8.98Mg/m3 (8.98g/cm3)




Densidad atómica planar

ρp =atomos cortados por el area

area seleccionada




Problema

Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.




Problema


1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos




Problema



(√2a)(a) =

√2a2




Problema



(√2a)(a) =

√2a2

ρp =2 atomos√2(0.287nm)2

= 17.2atomos/nm2




Problema



(√2a)(a) =

√2a2


= 17.2atomos/nm2

17.2atomos

nm2× 1012nm2

mm2




Problema



(√2a)(a) =

√2a2


= 17.2atomos/nm2

17.2atomos

nm2× 1012nm2

mm2

ρp = 1.72× 1013atomos/mm2




Densidad atómica lineal

ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes

longitud seleccionada de la linea




Problema

Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.




Problema







Problema




ρl =2 atomos√

2a=

2 atomos√2(0.361nm)

=3.92 atomos

nm




Problema




ρl =2 atomos√

2a=


=3.92 atomos

nm

3.92atomos

nm× 106nm

mm




Problema




ρl =2 atomos√

2a=


=3.92 atomos

nm

3.92atomos

nm× 106nm

mm

ρp = 3.92× 106atomos/mm



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