Integrantes:

Kenia Alava García

Luis Miguel Mastarreno

Gisella Bravo

Docente:

JOSE ANTONIO CEVALLOS

Derivadas en las

Ciencias

Astronómicas

CURSO: 2 “C”

Misión:

Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y

calidad en la educación, organizada en sus actividades, protagonistas del

progreso regional y nacional.

El siguiente trabajo tiene como objeto dar a conocer las derivadas y su

aplicación en las ciencias astronómicas, para esto debemos tener en cuenta que

la aplicación de las derivadas es muy importante en Cálculo Diferencial.

El objeto es hacer entender a los estudiantes este concepto de la manera más

sencilla posible.

A continuación se comenzara a desarrollar este ensayo definiendo algunos

conceptos referentes al tema.

Unos de los temas más importante para desarrollar el ensayo son:

Las derivada es el ritmo de cambio de una ecuación gráficamente hablando, si

la grafica de una ecuación es una línea recta paralela al eje x, su ritmo de

cambio es cero, no crece ni decrece si fuese una recta cualquiera, su rimo de

cambio seria la tangente del Angulo que forma con el eje de las x así una línea

y=3x+2 tiene una derivada de 3 y su ritmo de cambio es una constante una

curva como una parábola, cambia mas agresivamente por ejemplo una curva

y=2x²+16 tiene una derivada 4x es decir que a mayor x mayor ritmo de cambio.

Como también encontramos la definición de:

Las derivadas en las ciencias astronómica la derivada de una curva de

aceleración nos da el gradiente de la curva, es decir su tasa de cambio de su

velocidad con respecto a un objeto al cual se acerca.

Mediante estas teorías aplicaremos un ejercicio para su mayor entendimiento.

Y por ultimo concluiremos el tema con una conclusión.

Las derivadas son aplicables a las ciencias astronómicas y muchas otras

ciencias puesto que dy/dx significa la variación de y con respecto a la variación

de x. Así de esta misma manera y como muchas cosas (casi todo) varia con

respecto al tiempo puedes describir variaciones parciales con respecto al tiempo

Dy/dt + Dx/dt = f(t).

Tanto la derivada como la integral son aplicables a las ciencias astronómicas y

muchas otras ciencias puesto que dy/dx Significa la variación de y con respecto

a la variación de x. Así de esta misma manera y como muchas cosas (casi todo)

varia con respecto al tiempo puedes describir variaciones parciales con respecto

al tiempo Dy/dt + Dx/dt = f(t). Ahora un ejemplo claro es cuando un cohete es

lanzado al espacio, Al iniciar el ascenso su masa de combustible es M= 100 kg.

(solo por ejemplo). Conforme asciende en los 27 km. La masa es menos ya que el

combustible se ha consumido. entonces puedes expresar M(t) que seria igual a

dM/dt. Es decir una variación de la masa con respecto al tiempo. También

puedes expresar M(s), que es variación de la masa en cuanto a la variación de la

distancia en kilómetros. y la derivada seria algo como dM/ds. La derivada en si,

representa una velocidad, La segunda derivada una aceleración.

Ejercicio

1.- Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un

planeta a la de otro o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una

órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de

mayor altura.

Para economizar el combustible, es necesario que la nave espacial siga una

trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann para

lo que es necesario proporcionarle dos impulsos:

En el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la

órbita de transferencia.

En la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la

órbita circular exterior.

Descripción Para resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las

propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción que hemos estudiado en

páginas anteriores, y de la dinámica del movimiento circular uniforme.

Órbita circular interior

Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de la

velocidad vA se puede calcular aplicando la dinámica del movimiento circular

uniforme.

Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal, y m

es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del movimiento.

La energía E1 de la nave espacial en la órbita circular inicial es la mitad de la

energía potencial.

Órbita semielíptica de transferencia

Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que

alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades central y conservativa

de la fuerza de atracción.

Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto,

tiene el mismo valor en A que en B

Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos

de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.

Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y

vB.

La energía de la nave espacial es constante en todos los puntos de la trayectoria e

igual a

La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de

la órbita circular a la trayectoria de transferencia es la diferencia E2-E1 o bien,

Órbita circular exterior

Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para

seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo, aplicando la dinámica del

movimiento circular uniforme tenemos.

La energía E3 de la nave espacial en la órbita circular final es

La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de

transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es la diferencia E3-E2 o bien,

El tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y

fin de la trayectoria de transferencia, es la mitad del período P.

Siendo a, el semieje mayor de la elipse.

Combustible gastado por la nave espacial

Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B

mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en

cuenta la acción del peso.

Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-

m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0

donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es

la masa inicial y m es la masa final y Δv=v-v0 es la variación de velocidad.

La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos

A y B es la suma

A partir de la expresión (4), podemos hallar la masa final m conocida la masa

inicial m0, y el cambio de velocidad Δv que experimenta la nave espacial al

pasar de la órbita interior a la exterior.

En conclusión tenemos que las derivadas en si son muy importantes en

nuestros conocimientos de enseñanza-aprendizaje, pero hablando de las

derivadas en su aplicación con las ciencias astronómicas tiene mucha

influencia ya que gracias a esta ciencias mediante las derivadas podemos la

fuerza de gravedad, velocidad, aceleración de la tierra entre otras cosas.

2. Puesto que la Luna carece de atmósfera, un objeto que cae en ella no

encuentra resistencia del aire. En 1971, el astronauta David Scott verificó que

una pluma de ave y un martillo caen con la misma velocidad. La función posición

para cada uno de esos objetos es s(t) = -0.8112 + 2

Donde s(t) es la altura en metros y I el tiempo en segundos. ¿Cuál es la relación

entre la fuerza de gravedad ele la Tierra respecto a la dc la Luna?

Solución: Para calcular la aceleración. Derivar dos veces la función posición.

s(t) -0.81r2 +2 Función posición.

s’(t) -1.62t Función velocidad.

s‘’(t) -1.62 Función aceleración.

De esta forma resulta que la aceleración de la gravedad en la Luna es de -1.62

m/s". Puesto que la aceleración de la gravedad en la Tierra es de -9.8 m/s'. La

fuerza de gravedad de la Tierra respecto a la de la Luna es

Fuerza de gravedad en la Tierra -9.8

Fuerza de gravedad en la Luna -1.62

= 6.05.