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Matriz invertibleDe Wikipedia, la enciclopedia libre(Redirigido desde Matrix inversin )En lgebra lineal , un n -by- n matriz cuadrada A se llama invertible (tambin no singular o nodegenerado) si existe un n -by- n matriz B cuadrada de tal forma que

donde n denota el n -by- n matriz de identidad y la multiplicacin utilizado es comn lamultiplicacin de matrices . Si este es el caso, entonces la matriz B se determina de forma nicapor A y se llama la inversa de A, denotado por A -1.Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada. Una matriz cuadradaes singular si y slo si su determinante es 0. matrices singulares son raros en el sentido de que unamatriz cuadrada seleccionado al azar de una distribucin uniforme continua sobre sus entradasser casi nunca ser singular.Matrices no cuadradas (m -by- n matrices para las que m n) no tienen una inversa. Sin embargo,en algunos casos una matriz tal puede tener una inversa por la izquierda o la derecha inversa . SiA es m -by- n y el rango de A es igual a n, entonces A tiene una inversa por la izquierda: un n -by-m matriz B tal que BA = I. Si A tiene rango m, entonces tiene una inversa derecha: una matriz dem B n -by- tal que AB = I.Inversin de la matriz es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuacin anteriorpara una matriz invertible A dado.Aunque el caso ms comn es el de las matrices ms de los reales o complejos nmeros, todasestas deniciones se pueden dar para matrices sobre cualquier anillo conmutativo . Sin embargo,en este caso la condicin para una matriz cuadrada para ser invertible es que su determinante esinvertible en el anillo, que en general es un requisito mucho ms estrictas que ser distinto de cero.Las condiciones para la existencia de resp-izquierda inversa. derecha inversa son ms complicadosdesde una nocin de rango no existe en anillos.

Contenido1 Propiedades

1.1 El teorema de la matriz invertible1.2 Otras propiedades1.3 En relacin con la matriz de identidad1.4 Densidad

2 Los mtodos de inversin de la matriz2.1 eliminacin de Gauss2.2 mtodo de Newton2.3 Forma de Cayley-Hamilton2.4 Eigendecomposition2,5 descomposicin de Cholesky2.6 solucin analtica

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2.6.1 Inversin de 2 2 matrices2.6.2 Inversin de 3 3 matrices2.6.3 Inversin de 4 4 matrices

2.7 por bloques inversin2.8 Por serie Neumann

3 Derivado de la matriz inversa4 Moore-Penrose pseudoinverse5 Aplicaciones

5.1 Regresin por mnimos cuadrados /5.2 matrices inversas en simulaciones en tiempo real5.3 matrices inversas en comunicacin inalmbrica MIMO

6 Vase tambin7 Notas8 Referencias9 Enlaces externos

PropiedadesEl teorema de la matriz invertibleSea A una plaza matriz n por n sobre un campo K (por ejemplo el campo R de los nmeros reales).Las siguientes declaraciones son equivalentes, es decir, para cualquier matriz dada o bien sontodas verdaderas o todas falsas:

A es invertible, es decir, A tiene una inversa, es no singular, o es no degenerado.A es -la equivalente a la n -by- n matriz identidad I n.A es -columna equivalente a la n -by- n matriz identidad I n.A tiene n posiciones de pivote .det A 0 En general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y slosi su determinante es una unidad en ese anillo.A tiene rango completo; es decir, el rango A = n.La ecuacin Ax = 0 tiene slo la solucin trivial x = 0Null A = {0}La ecuacin Ax = b tiene exactamente una solucin para cada b en K n.Las columnas de A son linealmente independientes .Las columnas de A palmo K nCol A = K nLas columnas de A forman una base de K n.El mapeo lineal transformacin x para Ax es una biyeccin de K n a K n.Hay un n por n matriz B tal que AB = I n = BA.La transposicin A T es una matriz invertible (de ah las las de A son linealmente


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independientes , el perodo de K n, y forman una base de K n).El nmero 0 no es un valor propio de A.La matriz A puede expresarse como un producto nito de matrices elementales .La matriz A tiene una inversa por la izquierda (es decir, existe un B tal que BA = I) o unainversa por la derecha (es decir, existe una C tal que AC = I), en cuyo caso existe y ambasinversas izquierdo y derecho, B = C = Un -1.

Otras propiedadesAdems, las siguientes propiedades de una matriz invertible A:

(A-1) -1 = A;(K A) -1 = k -1 A-1 para escalar distinto de cero k;(A T) -1 = (A-1) T;Para cualquier A invertible n -by- n matrices y B, (AB) -1 = B -1 A -1. De manera ms general,si A 1, ..., A k son invertibles n -by- n matrices, entonces (A 1 A 2 A k-1 A k) -1 = A k -1 A k-1 -1 A 2 -1 -1 1 A;det (A-1) = det (A) -1.

Una matriz que es su propio inverso, es decir, A = A -1 y A = 2 I, se llama una involucin .En relacin con la matriz de identidadSe deduce de la teora de matrices que si

nito para matrices cuadradas A y B, entonces tambin[1]

DensidadEn el campo de los nmeros reales, el conjunto de singular n -by- n matrices, considerado como unsubconjunto de R n n, es un conjunto vaco , es decir, tiene Lebesgue medida cero . Esto es ciertoporque las matrices singulares son las races de la funcin polinmica en las entradas de la matrizpropuesta por el factor determinante . As, en el lenguaje de la teora de la medida , casi todos losn -by- n matrices son invertible.Adems el n -by- n matrices invertibles son un denso conjunto abierto en el espacio topolgico detodo n -by- n matrices. De manera equivalente, el conjunto de matrices singulares est cerrado ydenso en ninguna parte en el espacio de n -by- n matrices.En la prctica, sin embargo, uno puede encontrar matrices no se pueden invertir. Y en clculosnumricos , matrices que son invertible, pero cerca de una matriz no invertible, pueden todava serproblemtico; tales matrices se dice que estn mal acondicionado .

Los mtodos de inversin de la matriz


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Eliminacin de GaussGauss-Jordan eliminacin es un algoritmo que se puede utilizar para determinar si unadeterminada matriz es invertible y para encontrar la inversa. Una alternativa es la descomposicinLU que genera matrices triangulares superiores e inferiores que son ms fciles para invertir.El mtodo de NewtonUna generalizacin de mtodo de Newton tal como se utiliza por un algoritmo inversomultiplicativo puede ser conveniente, si es conveniente para encontrar una semilla de partidaadecuado:

Victor Pan y John Reif han realizado un trabajo que incluye formas de generar una semilla departida. [2] [3] la revista Byte resumi uno de sus enfoques de la siguiente manera (caja conecuaciones 8 y 9 no se muestra): [4] -

El avance Pan-Reif consiste en el descubrimiento de una manera sencilla y able deevaluacin B 0, la aproximacin inicial a un -1, que con seguridad se puede utilizar para elinicio de la iteracin o variantes de la misma de Newton. Los lectores interesados en unaderivacin pueden consultar las referencias. Doy aqu slo un ejemplo de los resultados.Permtanme denotan la "transposicin Hermitian" de A por A H. Es decir, si A (I, J) es elelemento de la I la y J columna de la matriz A, entonces A * (J, I) es el elemento en laposicin correspondiente en la matriz A *. Aqu la estrella denota el conjugado complejo (esdecir, si un elemento est , Donde x e y son nmeros reales, entonces el conjugadocomplejo de dicho elemento sea ). Si, como es el caso al que me he limitado mispropios clculos, los elementos de A son todos reales, entonces A H es slo la matriztranspuesta A T de A (en la que los elementos se intercambian o "reejados" con respecto a laprincipal diagonal).Ahora introducimos un nmero t, denido por la ecuacin 8 En palabras: Consideramos lasmagnitudes de los diversos elementos de A (I, J) de lo dado una matriz que debe serinvertida. (En el caso de un elemento complejo , Su magnitud es . En el casode un elemento real, es slo su valor sin signo o absoluto.) Sumamos las magnitudes de loselementos en una la determinada y registramos la suma. Hacemos lo mismo para las lasrestantes y luego comparamos las cantidades as obtenidas. La mayor de estas sumas de las- slo un nmero - se designa . Hacemos lo mismo para las sumas de lascolumnas y tomamos el producto de estos dos mximos, designando su recproco como elnmero real t. Finalmente, denimos nuestra matriz inversa aproximada inicial B 0 como semuestra en la ecuacin 9.Es decir, el nmero t multiplica cada elemento de la transpuesta hermitiana de la matriz A.Pan y Reif dan formas alternativas, pero esto va a hacer. Y eso es todo lo que hay que hacer.


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De lo contrario, el mtodo puede ser adaptado para utilizar la semilla a partir de un caso trivial departida mediante el uso de un homotopy a "pie" en pequeos pasos de que a la matriz seanecesario, "arrastrando" las inversas con ellos:

donde y por alguna terminacin N, talvez seguido de otros pocas iteraciones en A para resolver la inversa.

El uso de este simplista en matrices de valores reales llevara el homotopy travs de una matrizdegenerada aproximadamente la mitad del tiempo, de modo matrices valorados complejos debenser utilizados para evitar que, por ejemplo, mediante el uso de un S semilla de partida que tiene ien la primera entrada, en el resto 1 de la diagonal principal, y 0 en otro lugar. Si la aritmticacompleja no est disponible directamente, puede ser emulado en un pequeo coste en memoria delsistema mediante la sustitucin de cada elemento de la matriz complejo a + bi con un 2 2submatriz de valor real de la forma (Ver raz cuadrada de una matriz ).

El mtodo de Newton es particularmente til cuando se trata de familias de matrices relacionadasque se comportan bastante a la secuencia de fabricacin para la homotopa arriba: a veces unbuen punto de partida para el perfeccionamiento de una aproximacin para el nuevo inverso sepuede al ya obtenido inversa de una matriz anterior que casi coincide con la matriz actual, porejemplo, el par de secuencias de matrices inversas utilizados en la obtencin de races cuadradasde la matriz por Denman-Beavers iteracin ; esto puede necesitar ms de una pasada de laiteracin en cada nueva matriz, si no estn lo sucientemente cerca para un solo ser suciente.mtodo de Newton tambin es til para "retocar" correcciones al algoritmo de Gauss-Jordan , queha sido contaminada por pequeos errores debido a la aritmtica computacional imperfecta .Mtodo de Cayley-HamiltonCayley-Hamilton teorema permite representar la inversa de A en trminos de det (A), los rastros ylos poderes de un

donde n es la dimensin de A, y la suma se toma sobre s y los juegos de todos los k l 0 satisfacela lineal ecuacin Diophantine

EigendecompositionSi la matriz A puede ser eigendecomposed y si ninguno de sus valores propios son cero, entoncesA es no singular y su inversa viene dada por

donde Q es el cuadrado (N x N) de la matriz cuya i columna es el vector propio de A y es lamatriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son los valores propios correspondientes, es decir,

. Adems, debido a es una matriz diagonal , su inversa es fcil de calcular:


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Descomposicin de CholeskySi la matriz A es denida positiva , entonces su inverso se puede obtener como

donde L es triangular inferior de la descomposicin de Cholesky de A, y L * indica la transpuestaconjugada de L.Solucin analticaEscribiendo la transpuesta de la matriz de cofactores , conocido como matriz adjugate , tambinpuede ser una manera ecaz de calcular la inversa de matrices pequeas, pero este mtodorecursivo es ineciente para grandes matrices. Para determinar la inversa, se calcula una matrizde cofactores:

de modo que

donde | A | es el determinante de A, C es la matriz de cofactores , y C T representa la matriztranspuesta .Inversin de 2 2 matricesLa ecuacin cofactor enumerados anteriormente se obtiene el siguiente resultado para 2 2matrices. Inversin de estas matrices se puede hacer fcilmente de la siguiente manera: [5]

Esto es posible porque 1 / (ad-bc) es el recproco del determinante de la matriz en cuestin, y lamisma estrategia podra ser utilizado para otros tamaos de matriz.El mtodo de Cayley-Hamilton da

Inversin de 3 3 matricesUna inversin de la matriz 3x3 computacionalmente eciente est dada por


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donde el determinante de A se puede calcular aplicando la regla de Sarrus de la siguiente manera:

Si el determinante es distinto de cero, la matriz es invertible, con los elementos de la matrizanterior en el lado derecho dadas por

La descomposicin de Cayley-Hamilton da

El general 3 3 inversa se puede expresar de forma concisa en cuanto al producto vectorial ytriple producto :Si una matriz (Que consta de tres vectores columna, , , Y ) Es invertible,su inversa viene dada por

Tenga en cuenta que es igual a la del producto triple , , Y -el volumen delparaleleppedo formado por las las o columnas:

La exactitud de la frmula se puede comprobar mediante el uso de propiedades cruzadas y deproductos triples y sealando que para los grupos, izquierda y derecha inversos siempre coincide.Intuitivamente, a causa de los productos cruzados, cada la de es ortogonal a la nocorrespondientes dos columnas de (Haciendo que los trminos fuera de la diagonal de

ser cero). Dividiendo por

provoca que los elementos diagonales de igual a la unidad. Por ejemplo, la primeradiagonal es:

Inversin de 4 4 matricesCon el aumento de dimensin, expresiones para la inversa de A se complican. Para n = 4 el mtodo


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de Cayley-Hamilton conduce a una expresin que todava es manejable:

Inversin por bloquesMatrices tambin se pueden invertir por bloques mediante el uso de la siguiente frmula deinversin analtica:

donde A, B, C y D son de la matriz sub-bloques de tamao arbitrario. (A y D deben ser cuadrada,de modo que se pueden invertir Adems, A y D -. CA -1 B debe ser no singular. [6] ) Esta estrategiaes particularmente ventajoso si A es diagonal y D - CA -1 B ( el complemento de Schur de A) esuna pequea matriz, ya que son las nicas matrices que requieren inversin. Esta tcnica fuereinventado varias veces y se debe a Hans Boltz (1923), que lo utiliz para la inversin de matricesgeodsicas, y Tadeusz Banachiewicz (1937), quien generaliz y demostr su correccin.El teorema de nulidad dice que la nulidad de A es igual a la nulidad de la sub-bloque en la parteinferior derecha de la matriz inversa, y que la nulidad de B es igual a la nulidad de la sub-bloqueen la parte superior derecha de la matriz inversa.El procedimiento que dio lugar a la inversin de la ecuacin (1) lleva a cabo las operaciones debloque de matriz que operaban en C y D primera. En cambio, si A y B son operados en primerlugar, y proporcionan D y A - BD -1 C son no singular, [7] el resultado es

Igualando las ecuaciones (1) y (2) conduce a

donde la ecuacin (3) es la inversin de la matriz lema, que es equivalente a la inversa teoremabinomial .Desde una inversin por bloques de una matriz n n requiere inversin de dos matrices detamao medio y 6 multiplicaciones entre dos matrices de tamao medio, se puede demostrar queun divide y vencers algoritmo que utiliza la inversin por bloques de invertir una matriz corre conla misma complejidad de tiempo como el algoritmo de la multiplicacin de matrices que se utilizainternamente. [8] Existen algoritmos de multiplicacin de matriz con una complejidad de O (n)


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operaciones 2.3727, mientras que el mejor demostrado lmite inferior es (n 2 log n). [9]

Por serie NeumannSi una matriz A tiene la propiedad de que

entonces A es no singular y su inversa puede expresarse por una serie Neumann : [10]

Truncar los resultados de suma en una inversa "aproximada", que puede ser til como unacondicionador previo . Tenga en cuenta que una serie truncada se puede acelerarexponencialmente por sealar que la serie de Neumann es una suma geomtrica . Por lo tanto, sise desea calcular trminos, uno simplemente necesitan los momentos que sepuede encontrar a travs de multiplicaciones de matrices L. Entonces se necesitan otra matriz Lmultiplicaciones para obtener el resultado nal multiplicando todos los momentos juntos. Por lotanto, se necesitan multiplicaciones de matrices 2L para calcular trminos de la suma.Ms generalmente, si A es "cerca" la matriz X invertible en el sentido de que

entonces A es no singular y su inversa es

Si tambin es el caso de que A - X tiene el rango 1, entonces este se simplica a

Derivado de la matriz inversaSupongamos que la matriz invertible A depende de un parmetro t. Entonces la derivada de lainversa de A con respecto a t est dada por

Para derivar la expresin anterior para la derivada de la inversa de A, se puede diferenciar ladenicin de la matriz inversa y luego resolver por la inversa de A:

Restando desde ambos lados de lo anterior y multiplicando a la derecha por da la


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expresin correcta para la derivada de la inversa:

Del mismo modo, si es un nmero pequeo, entonces

Moore-Penrose pseudoinverseAlgunas de las propiedades de las matrices inversas son compartidos por pseudoinverses Moore-Penrose , que se pueden denir para cualquier matriz n m -by-.

AplicacionesPara aplicaciones ms prcticas, no es necesario invertir una matriz para resolver un sistema deecuaciones lineales ; Sin embargo, para una solucin nica, es necesario que la matriz seainvertible involucrado.Tcnicas de descomposicin como la descomposicin LU son mucho ms rpido que la inversin, yvarios algoritmos rpidos para las clases especiales de sistemas lineales tambin se handesarrollado.Regresin / mnimos cuadradosAunque una inversa explcita no es necesario estimar el vector de incgnitas, es inevitable paraestimar su precisin, que se encuentra en la diagonal de la matriz de covarianza posterior delvector de incgnitas.Matrices inversas en simulaciones en tiempo realInversin de la matriz juega un papel importante en los grcos por ordenador , sobre todo engrcos 3D rendering y simulations.Examples 3D incluye transformaciones de fundicin de rayos-pantalla-de mundo, mundo-a-subespacial-a-mundo de objetos y simulaciones fsicas.Matrices inversas en comunicacin inalmbrica MIMOInversin de la matriz tambin juegan un papel importante en el MIMO tecnologa (Multiple-Input,Multiple-Output) en las comunicaciones inalmbricas. El sistema MIMO consiste en N detransmisin y M antenas de recepcin. Seales nicas, que ocupan la misma banda de frecuencia,se envan a travs de N antenas de transmisin y se reciben a travs de M antenas de recepcin.La seal que llega a cada antena de recepcin ser una combinacin lineal de las seales detransmisin N forman una matriz de transmisin H NxM. Es crucial para la matriz H sea invertiblepara que el receptor sea capaz de averiguar la informacin transmitida.

Vase tambinTeorema binomial inversaDescomposicin LUDescomposicin Matrix


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Raz cuadrada MatrizMoore-Penrose pseudoinversePseudoinverseLa descomposicin de valor singularIdentidad matriz Woodbury

Notas^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985). Matriz de Anlisis. Cambridge University Press . p. 14.ISBN 978-0-521-38632-6 . .

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Enlaces externosHazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Inversin de una matriz"


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usg=ALkJrhiTZSQdO_cxQhmcYPIDapPpkypzGg)Inversa de una matriz Notas (https://translate.googleusercontent.com/translate_c?act=url&depth=1&hl=es&ie=UTF8&prev=_t&rurl=translate.google.com&sl=en&tl=es&u=http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/04sle/mws_gen_sle_bck_system.pdf&usg=ALkJrhi0E-LfNJFgUt9IMCEXiNwD0b9jIg)Mdulo para la matriz inversa (https://translate.googleusercontent.com/translate_c?act=url&depth=1&hl=es&ie=UTF8&prev=_t&rurl=translate.google.com&sl=en&tl=es&u=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/InverseMatrixMod.html&usg=ALkJrhhpFO5EztCj_W0GjmW5gZCxBWlKfg)Calculadora de Singular o no la plaza Matriz Inversa (https://translate.googleusercontent.com/translate_c?act=url&depth=1&hl=es&ie=UTF8&prev=_t&rurl=translate.google.com&sl=en&tl=es&u=http://mjollnir.com/matrix/demo.html&usg=ALkJrhiOcapDlp7p9QUtJRYWqXgm7Kkb9g)The Matrix Cookbook (https://translate.googleusercontent.com/translate_c?act=url&depth=1&hl=es&ie=UTF8&prev=_t&rurl=translate.google.com&sl=en&tl=es&u=http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf&usg=ALkJrhgoni09YPqgnmw0PPYUtU28vHNd1Q)Derivado de la matriz inversa (https://translate.googleusercontent.com/translate_c?act=url&depth=1&hl=es&ie=UTF8&prev=_t&rurl=translate.google.com&sl=en&tl=es&u=http://planetmath.org/%3Fop%3Dgetobj%26from%3Dobjects%26id%3D6362&usg=ALkJrhjE-JhZ7QwwCyof98kCgeGBRyPDIA) a PlanetMath.org .

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