CIFRAS SIGNIFICATIVAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA.

En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia en kilómetros de Saturno al Sol. O números muy pequeños, como el diámetro en cm. de un virus. El manejo de este tipo de números se simplifica utilizando potencias de 10, o notación científica. En esta notación, el número se escribe como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor estrictamente que 10, y una potencia de 10. Por ejemplo:

100=102=1⋅102.

72900=7,29⋅10000=7,29⋅104.

0,0000000065=6510000000000=65⋅10−10=6,5⋅10−9.

El exponente entero al que está elevado la potencia de 10 recibe el nombre de orden de magnitud. Cuando los números son mayores que 1 el orden de magnitud es positivo. Por ejemplo, la distancia de Saturno al Sol, que es de 1433000000 km., se escribe en notación científica de la forma 1,433⋅109 km. y el orden de magnitud de este número es 9. Cuando los números son menores que 1 el orden de magnitud es negativo. Por ejemplo, el diámetro un virión del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH), causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA), mide aproximadamente 0,0000000009 m., que en notación científica se escribe

9⋅10−10 m., y el orden de magnitud es, en este caso, igual a −10. Se puede ver un corte de virus de la inmunodeficiencia humana en la imagen de la derecha (se ha "tomado prestada" del artículo dedicado al VIH en la Wikipedia).

Utilizando las propiedades de las potencias podemos multiplicar y dividir fácilmente con números dados en notación científica. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1. Calcular, utilizando la notación científica, 230⋅9100.

230⋅9100=(2,3⋅102)⋅(9,1⋅103)=(2,3⋅9,1)⋅(102⋅103)=20,93⋅105=2,093⋅106

Obsérvese cómo, en el último paso, se ha hecho una pequeña rectificación para que el número que multiplica a la potencia de 10 esté comprendido entre 1 y 10, y así mostrar el resultado en notación científica.

Ejemplo 2. Calcular, utilizando la notación científica, 3⋅1061,5⋅10−4.

3⋅1061,5⋅10−4=31,5⋅10610−4=2⋅106−(−4)=2⋅1010

La suma o resta de dos números escritos en notación científica es ligeramente más delicada. Consideremos, por ejemplo,

3,24⋅102+7,1⋅10−1=324+0,71=324,71=3,2471⋅102

Para calcular esta suma sin expresar ambos números en su forma decimal ordinaria, basta con volver a escribirlos de forma que la potencia de 10 sea la misma en ambos.

En este caso podríamos expresar ambos números de forma que la potencia de 10 fuera igual a −1:

3,24⋅102+7,1⋅10−1=3240⋅10−1+7,1⋅10−1==(3240+7,1)⋅10−1=3247,1⋅10−1=3,2471⋅102

O bien de forma que la potencia de 10 fuera igual a 2:

3,24⋅102+7,1⋅10−1=3,24⋅102+0,0071⋅102=(3,24+0,0071)⋅102=3,2471⋅102

Es habitual, cuando se suman o restan números escritos en notación científica, escribirlos en el mayor de lo órdenes de magnitud que aparezca en dicha suma o en dicha resta.

Si los órdenes de magnitud son muy diferentes, uno de los números números será mucho mayor que el otro y frecuentemente pueden despreciarse en las operaciones de suma o resta. Por ejemplo:

2⋅106+9⋅10−3=2000000+0,009=2000000,009≈2⋅106

En todo caso, tampoco es frecuente en la práctica, sumar o restar números de orden de magnitud muy diferente.

Muchos de los resultados que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y por tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de este error depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado y frecuentemente sólo puede estimarse. Se suele dar una indicación aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilice. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es de 2,50 m., queremos indicar que probablemente su longitud se encuentre entre 2,495 m. y 2,505 m. Si utilizamos un metro en el que se pueda apreciar el milímetro y medimos la longitud de la mesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido esta misma longitud con una precisión de ±0,5 mm. en vez de ±0,5 cm. (véase el artículo dedicado a los números aproximados y a los errores, tanto

absoluto como relativo, que se cometen al tomar los mismos como aproximación de un resultado o de una medida). Indicaríamos esta precisión utilizando cuatro dígitos, como por ejemplo 2,503 m., para expresar la longitud. Recibe el nombre de cifra significativa todo dígito (exceptuando el cero cuando se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad. El número 2,503 tiene cuatro cifras significativas. El número 0,00103 tiene tres cifras significativas; los tres primeros ceros no son cifras significativas ya que simplemente sitúan el punto decimal. En notación científica, este número se escribiría 1,03⋅10−3. Un error muy común, sobre todo por el uso de las calculadoras, es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se conocen. Supongamos, por ejemplo, que medimos el área de un recinto circular midiendo el radio en pasos y utilizando la fórmula del área A=πr2. Si suponemos que un paso equivale, aproximadamente a 50 cm.=0,5 m. y estimamos que la longitud del radio es de 16 pasos, o sea, de 8 m., utilizando una calculadora de diez dígitos para determinar el valor del área, obtenemos

π82=201,0619298 m.2

Los dígitos situados detrás de la coma decimal no sólo dificultan el cálculo sino que inducen a confusión respecto a la exactitud con la que conocemos el área. Podríamos aproximar el resultado a 201 m.2, pero ni siquiera esto es cierto. Si se ha calculado el radio mediante pasos la exactitud de la medida será tan sólo de 0,5 m. Es decir, la longitud del radio tendrá como máximo un valor de 8,5 m. y como mínimo un valor de 7,5 m. Si la longitud del radio es de 8,5 m. el valor del área es

π(8,5)2=226,9800692 m.2

Mientras que si la longitud del radio es de 7,5 m., el área vale

π(7,5)2=176,7145868 m.2

Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una operación de multiplicación o división es que el número de cifras significativas del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significactivas de cualesquiera de los números. En este caso sólo se conoce una cifra significativa del radio, por tanto sólo se conoce una cifra significativa del área. Esta debe expresarse como 2⋅102 m.2. Si en lugar de medir el radio mediante pasos se utiliza un metro y se obtiene un valor de, por ejemplo, r=8,23 m., el área se expresará con tres cifras significativas:

π(8,23)2=2,13⋅102 m.2

Es muy habitual que los libros de texto de carácter científico trabajen generalmente con tres o cuatro cifras significativas.

Cuando se llevan a cabo cálculos por aproximación o comparaciones, hay veces en que se redondea un número hasta una e incluso ninguna cifra significativa. Por ejemplo, la altura de un pequeño insecto, digamos una hormiga, puede ser de 8⋅10−4 m.≈10−3 m. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es −3 o de 10−3 m. De igual modo, como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a 2 m., podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es 0 o de 100 m.=1 m. Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de 1 m. sino que está más próxima a 1 m. que a 10 m. o 10−1=0,1 m. Podemos decir que una persona típica es 3 órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es aproximadamente 103.

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad.

Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares.

Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales.

Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la forma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s,60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".

Las magnitudes son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas, por ejemplo una temperatura, una longitud, una fuerza, la corriente eléctrica, etc. Encontramos dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

Magnitudes escalares

Las magnitudes escalares tienen únicamente como variable a un número que representa una determinada cantidad. Por ejemplo la masa de un cuerpo, que se

mide en Kilogramos.

Magnitudes vectoriales

En muchos casos las magnitudes escalares no dan información completa sobre una propiedad física. Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad y la fuerza.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando utilizamos vectores con diferente número de componentes. Los más comunes son los de una, dos y tres coordenadas que permiten indicar puntos en la recta, en el plano y en el espacio respectivamente.

En el apartado de matemática puedes consultar las operaciones con vectores más utilizadas (suma, resta, producto escalar, producto vectorial, etc).

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Antes de empezar con los movimientos en una dimensión vamos a definir algunos terminos que podremos encontrar en estos movimientos.

Movimiento rectilíneo:

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Trayectoria:

Es el lugar geométrico (línea) que un cuerpo describe durante su movimiento. Puede ser rectilínea o curvilínea.

Posición:

Es un vector que une un punto de referencia, con aquel donde se encuentra la particula.

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento:

Es el vector que une dos puntos definidos en una trayectoria, po ejemplo supongamos que en el tiempo t, un móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que el móvil se ha desplazado = x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

Es el cambio de posición en unidad de tiempo, es un vector.

Velocidad media

Es la velocidad promedio entre dos puntos de una trayectoria.

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Velociad Instantanea

Es la velocidad que lleva en un determinado punto de la trayectoria.

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Aceleración

Es el cambio de la velocidad en un determinado tiempo.

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente

entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniforme acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

Caida Libre

En este programa se van a estudiar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración de la gravedad.

Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los cursos de Física, desde los más elementales, persisten algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la posición del móvil con espacio recorrido.

Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento rectilíneo, y que para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el movimiento

2. El valor y signo de la aceleración

3. El valor y el signo de la velocidad inicial

4. La posición inicial del móvil

5. Escribir las ecuaciones del movimiento

6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

LANZAMIENTO HORIZONTAL.

OBJETIVO:

Identificar el movimiento en dos dimensiones, y la independencia de sus vectores.

Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil.

Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es supeso, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.

En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección vertical por lo cual la Vx =V0 y la Vy = 0.

Estas son las formulas que vamos a utilizar :

EJEMPLO

Tomando en cuenta la figura anterior. Explicaremos el siguiente problema:

Desde lo alto de un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado choca la piedra?

Paso No. 1: Calcular las componentes rectangulares de la velocidad inicial

En el lanzamiento horizontal la velocidad inicial vertical (Voy) es igual a cero, por lo que:

Vx = 20 m/s

Voy = 0

Paso No. 2: Anotar los datos para X y para Y. Recuerde que las velocidades y los desplazamientos

Para “X” Para “Y”

Vx = 20 m/s

t =

X = Voy = 0

g= -9.81 m/s2

Y = -5 m

Paso No. 3: Selección de las ecuaciones a utilizar

Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.

Paso 4: Resolver la ecuación considerando que Voy = 0, por lo que el primer término se anula.

Y= gt^2 / 2

Resolviendo para “ t “ :

t = 1.009637 s

Calculo de “ t “ :

Paso5: Calcular “ X “ utilizando la ecuación:

Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.

Resolviendo para “ X “ : X=Vx (t)

X = (20 m/s)(1.09637s)

X = 20 m

ACTIVIDAD No. 6

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1.- Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de altura. Choca contra el piso a 80 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué velocidad fue lanzada?

2.- Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 2 m de altura, con una rapidez de 5.5 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo?

3.- Un clavadista corre a 1.8 m/s y se arroja horizontalmente desde la orilla de un barranco y llega al agua 3 s después.

a) ¿Qué altura tenía el barranco?

b) ¿A qué distancia de su base llega el clavadista al agua?

4.2 TIRO PARABÓLICO

OBJETIVO:

Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el tiro con ángulo.

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo desalida.

LANZAMIENTO CON ÁNGULO

La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.

Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)

COMPONENTE VERTICAL

Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.

Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical

COMPONENTE HORIZONTAL

Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.

Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.

El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.

Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.

Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.

En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en “x” y en “y .

EJEMPLO

Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

a) La altura máxima.

b) El tiempo que permanece en el aire.

c) La distancia a la que llega al suelo.

d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

Datos

Ángulo = 37° a) Ymax = ? d) Vx =?

Vo = 20m/s b) t total = ? Vy = ?

g= -9.8 m/s^2 c) X = ?

Paso 1

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s

Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s

Paso 2

Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy = 0

Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

Paso 3

Calcular a) la altura máxima:

Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m

Paso 4

Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.

T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

Paso 5

Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta formula:

X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.

Paso 6

Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s

Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo el movimiento.

ACTIVIDAD No. 7

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 mIs, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule

a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.

b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire

c) La distancia horizontal total

d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado

2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.

a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?

b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.

c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?

TAREA No. 3

Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por mail a su profesor:

1.- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un risco de 44 m de altura.

a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?

b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?

c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?

2.- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:

a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?

b) ¿Cuál su altura máxima?

c) ¿Cuál su alcance horizontal?

4.3 MOVIMIENTO CIRCULAR.

OBJETIVO:

Aplicar los conocimientos del movimiento lineal al movimiento circular utilizando formulas muy similares

Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección.

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.

Medidas del desplazamiento angular.

El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del arco. Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes.

La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo.

Formulas que se utilizan:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.

Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que q /t = w y s/t = v, como s = q R entonces

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio de dirección del movimiento .Teniendo las siguientes formulas:

EJEMPLOS

1.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se mueve a través de un ángulo de 37º .Calcule la longitud del arco descrito por el punto.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

R = 8m Θ = s / R

Ángulo = 37° s = RΘ = 8m ( 0.646 rad) = 5.17 m

Paso 1

Convertir los grados a radianes , ya que en todos los problemas es necesario que los ángulos o las revoluciones esten en radianes para poderlos escribir en las formulas y nos den las unidades correctas,

Θ = ( 37º) 1 rad / 360º= 0.646 rad

2.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66cm y da 40 revoluciones en 1 min. a)¿ Cuál es su velocidad angular? b)¿Qué distancia se desplazará la rueda?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

R = 33cm ω = 4.19 rad/s

R = .33m s = ΘR = 251rad ( .33 m) = 82.8 m

ω = 40 rmp

Convertir 40rmp en rad/s :

40 rmp = 40 rev / min ( 2p rad / rev ) ( 1 min / 60s) = 4.19 rad/s

40 rev ( 2 p rad/ 1rev ) = 251 rad .

En este tipo de conversiones se escriben dos paréntesis y se elimina lo que esta arriba con lo de abajo Y lo que esta abajo con lo de arriba

3.-Un volante aumenta su velocidad de rotación de 37.7 rad/s a 75.4 rad/s en 8 s ¿Cuál es se aceleración angular?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

ωo = 37.7 rad/s

ωf = 75.4 rad/s α = (ωf - ωo) / t =75.4 rad/s - 37.7 rad/s =4.71 rad/s^2

t= 8 s

4.-Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s^2

a)¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuál es su velocidad angular final? c)¿Cuál será su aceleración tangencial ,si la rueda tiene un racio de .05m?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

ωo = 6rad/s

α= 2 rad/s^2

a) Θ= ? Θ= ωot +(αt^2) / 2 = 6rad/s(3s) + (2rad/s^2) / 2 =27 rad

b) ωf=? ωf = ωo +at = 6rad/s + 2 rad/s^2 ( 3s) = 12 rad/s

c) αt= ? a t = αR = 2 rad/s^2 ( .05m) = 0.1 m/s^2

DINÁMICA DE PARTÍCULAS

Masa

Masa es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter físico que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Dentro del Sistema Internacional, su unidad es el kilogramo (kg.). Esta noción, que tiene su origen en el término latino massa, también se aprovecha para hacer referencia a la mezcla que surge al incorporar un líquido a una materia que ha sido previamente desmenuzada, cuyo resultado es una sustancia espesa, blanda y consistente.

Fuerza

En física, la fuerza es una magnitud vectorial que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.

En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de fuerza es el newton que se representa con el símbolo: N , nombrada así en reconocimiento a Isaac Newton por su aportación a la física, especialmente a la mecánica clásica. El newton es una unidad derivada del SI que se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s² a un objeto de 1 kg de masa.

DIFERENCIACIÓN ENTRE MASA Y PESO

La masa y el peso son diferentes propiedades, que se definen en el ámbito de la física. La masa es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo mientras que el peso es una medida de la fuerza que es causada sobre el cuerpo por el campo gravitatorio.

Por lo tanto la masa de un objeto no cambiará de valor sea cual sea la ubicación que tenga sobre la superficie de la Tierra (suponiendo que el objeto no está viajando a velocidades relativistas con respecto al observador),1 mientras que si el objeto se desplaza del ecuador al Polo Norte, su peso aumentará aproximadamente 0,5 % a causa del aumento del campo gravitatorio terrestre en el Polo.2

En forma análoga, en el caso de astronautas que se encuentran en condiciones de microgravedad, no es preciso realizar ningún esfuerzo para levantar objetos del piso del compartimento espacial; los mismos “no pesan nada”. Sin embargo, dado que los objetos en microgravedad todavía poseen su masa e inercia, un astronauta debe ejercer una fuerza diez veces más grande para acelerar un objeto de 10 kilogramos a la misma tasa de cambio de velocidad que la fuerza necesaria para acelerar un objeto de 1 kilogramo.

En la Tierra, una simple hamaca puede servir para ilustrar las relaciones entre fuerza, masa y aceleración en un experimento que no es influido en forma apreciable por el peso (fuerza vertical descendente). Si nos paramos detrás de un adulto grande que este sentado y detenido en la hamaca y le damos un fuerte empujón, el adulto se acelerará en forma relativamente lenta y la hamaca solo se desplazará una distancia reducida hacia adelante antes de comenzar a moverse en dirección para atrás. Si ejercieramos la misma fuerza sobre un niño pequeño que estuviera sentado en la hamaca se produciría una aceleración mucho mayor, ya que la masa del niño es mucho menor que la masa del adulto.

Las medidas de Masa se emplean para medir la cantidad de materia que tienen los cuerpos. La unidad básica es el gramo.

Aunque algunas medidas de Peso sean similares a las de Masa, los conceptos son distintos. El Peso es la fuerza con que un cuerpo es atraído por la gravedad y depende de la Masa del mismo, que es la cantidad de materia que tiene.

En la siguiente tabla de posición se muestran el nombre, la abreviatura y el valor de los múltiplos (kg,hg,dag) y submúltiplos (dg, cg, mg) más usuales del gramo. En algunos libros de Matemáticas el hectogramo se abrevia como Hg y el decagramo como Dg.

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramokg hg dag g dg cg mg1.000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

Como puede observarse en la tabla de posición, el valor de cada unidad es 10 veces mayor que el valor de la unidad situada a su derecha. Es decir:

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1.000 g = 10.000 dg = 100.000 cg = 1.000.000 mg.

Para convertir una unidad determinada en otra pedida, situada a su derecha (menor), tenemos que multiplicarla por la unidad seguida de tantos ceros como posiciones hay, en la tabla, entre la unidad determinada y la pedida.

Recuerda que multiplicar por la unidad seguida de ceros equivale a "correr la coma de los decimales" hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañan a la unidad.

Leyes de newton

Las Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la dinámica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos.

Las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas.

Fundamentos teóricos de las leyes

El primer concepto que maneja Newton es el de masa, que identifica con "cantidad de materia".

Newton asume a continuación que la cantidad de movimiento es el resultado del producto de la masa por la velocidad.

En tercer lugar, precisa la importancia de distinguir entre lo absoluto y relativo siempre que se hable de tiempo, espacio, lugar o movimiento.

En este sentido, Newton, que entiende el movimiento como una traslación de un cuerpo de un lugar a otro, para llegar al movimiento absoluto y verdadero de un cuerpo compone el movimiento (relativo) de ese cuerpo en el lugar (relativo) en que se lo considera, con el movimiento (relativo) del lugar mismo en otro lugar en

el que esté situado, y así sucesivamente, paso a paso, hasta llegar a un lugar inmóvil, es decir, al sistema de referencias de los movimientos absolutos.

De acuerdo con esto, Newton establece que los movimientos aparentes son las diferencias de los movimientos verdaderos y que las fuerzas son causas y efectos de estos. Consecuentemente, la fuerza en Newton tiene un carácter absoluto, no relativo.

Estas leyes enunciadas por Newton y consideradas como las más importantes de la mecánica clásica son tres: la ley de inercia, relación entre fuerza y aceleración, y ley de acción y reacción.

Newton planteó que todos los movimientos se atienen a estas tres leyes principales formuladas en términos matemáticos. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m.

Primera ley de Newton o ley de la inercia

En esta primera ley, Newton expone que “Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas ejercidas sobre él”.

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre él. Newton toma en cuenta, sí, que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva.

Por ejemplo, los proyectiles continúan en su movimiento mientras no sean retardados por la resistencia del aire e impulsados hacia abajo por la fuerza de gravedad.

La situación es similar a la de una piedra que gira amarrada al extremo de una cuerda y que sujetamos de su otro extremo. Si la cuerda se corta, cesa de ejercerse la fuerza centrípeta y la piedra vuela alejándose en una línea recta tangencial a la circunferencia que describía (Tangente: es una recta que toca a una curva sin cortarla). (Ver figura 2).

 

Segunda ley de Newton o ley de aceleración o ley de fuerza

La segunda ley del movimiento de Newton dice que “Cuando se aplica una fuerza a un objeto, éste se acelera. Dicha a aceleración es en dirección a la fuerza y es proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve”

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección.

En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos.

Ejemplo: Si un carro de tren en movimiento (ver figura 3), con una carga, se detiene súbitamente sobre sus rieles, porque tropezó con un obstáculo, su carga tiende a seguir desplazándose con la misma velocidad y dirección que tenía en el momento del choque.

 Otro ejemplo puede ser: una pelota de fútbol impulsada con una velocidad determinada hacia arriba (según la línea roja segmentada del dibujo, figura 4), seguiría en esa misma dirección si no hubiesen fuerzas que tienden a modificar estas condiciones.

Estas fuerzas son la fuerza de gravedad terrestre que actúa de forma permanente y está representada por las pesas en el dibujo, y que son las que modifican la trayectoria original. Por otra parte, también el roce del aire disminuye la velocidad inicial.

 

Otro ejemplo: Si queremos darle la misma aceleración, o sea, alcanzar la misma velocidad en un determinado tiempo, a un automóvil grande y a uno pequeño (ver figura 5), necesitaremos mayor fuerza y potencia para acelerar el grande, por tener mayor masa que el más chico.

Si un caballo tira de una piedra unida a una cuerda (figura 6), el caballo es igualmente tirado por la piedra hacia atrás; porque la cuerda, tendiendo por el esfuerzo a soltarse, tirará del caballo hacia la piedra tanto como la piedra lo haga hacia el caballo, e impedirá el progreso de uno tanto como avanza el otro.

 

Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción

Enunciada algunas veces como que "para cada acción existe una reacción igual y opuesta".

En términos más explícitos: La tercera ley expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo.

Dicho de otra forma, las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta.

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

n el lenguaje ordinario, trabajo y energía tienen un significado distinto al que tienen en física.

Por ejemplo una persona sostiene una maleta; lo que estamos realizando es un esfuerzo (esfuerzo muscular, que produce un cansancio), que es distinto del concepto de trabajo.

Trabajo: decimos que realizamos un trabajo cuando la fuerza que aplicamos produce un desplazamiento en la dirección de esta

Es decir mientras la maleta este suspendida de la mano (inmóvil) no estamos realizando ningún trabajo.

Energía: Capacidad que tienen los cuerpos para producir transformaciones, como por ejemplo un trabajo.

Por ejemplo, cuando uno esta cansado, decimos que ha perdido energía, y cuando esta descansado y fuerte, decimos que esta lleno de energía.

Si un coche se queda sin combustible, posiblemente pienses que carece de energia, que no es del todo cierto, ya que puede rodar cuesta abajo.

El Trabajo y la Energía son magnitudes escalares, es decir, no tienen dirección ni sentido

2-Trabajo hecho por una fuerza constante

En la definición de trabajo cabe destacar dos factores:

1-Sin desplazamiento no hay trabajo

Cuando sostenemos una maleta en la mano, no existe trabajo porque no hay desplazamiento

2-El desplazamiento ha de producirse en la dirección de la fuerza. Todo desplazamiento perpendicular a la dirección de la fuerza no implica realización de trabajo.

Podemos definir matemáticamente el trabajo como el producto de la Fuerza aplicada por el desplazamiento efectuado, si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección:

Trabajo = Fuerza x Desplazamiento

W =F.∆x

Hay que destacar que F (Fuerza), es la fuerza neta, es decir la resultante que actúa sobre el cuerpo, y que en este caso, es una fuerza constante.

Cuando la trayectoria es rectilínea, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido y por lo tanto se puede decir que:

Trabajo = Fuerza x espacio

Solamente hace trabajo la componente de la fuerza que coincide con la dirección de desplazamiento. Véase el dibujo:

Si la dirección de la fuerza para mover el baúl forma un cierto ángulo con la dirección del desplazamiento, solo se aprovecha la componente de la fuerza que coincide con la dirección del desplazamiento.

En el sistema internacional SI, la unidad utilizada para medir al trabajo es el Julio (J), que es definido como el trabajo hecho al aplicar una fuerza de 1 Newton, para producir un desplazamiento de 1 metro en la misma dirección de la fuerza.

1 Julio= 1 Newton x 1 metro; 1J=1N*1m

El Trabajo es máximo y positivo, si la dirección y sentido de la fuerza coinciden con los del desplazamiento

El trabajo debido a una fuerza es nulo si las dirección del desplazamiento y de la fuerza son perpendiculares

El trabajo es negativo si el desplazamiento y la fuerza tienen sentido contrario (El trabajo hecho por la fuerza de rozamiento es negativo)

3- Concepto de Potencia

Si subimos lentamente unas escaleras y después lo hacemos rápidamente, el trabajo realizado es el mismo en ambos casos, pero nuestra potencia es mayor en el segundo caso, porque realizamos el trabajo más rápidamente.

Para expresar la rapidez con que hacemos un trabajo, se utiliza el concepto de potencia.

Una máquina es más potente que otra, si es capaz de realizar el mismo trabajo en menos tiempo. La relación entre potencia, trabajo y tiempo invertido se puede expresar de la manera siguiente:

La unidad de la potencia en el Sistema Internacional (SI) es el Vatio (W), que se define como la potencia necesaria para hacer un trabajo de un julio en un segundo:

3.1 Potencia y rendimiento

Supongamos que un motor tiene una potencia Teórica de 1,4 Kw.

Independientemente de ello, el motor invierte 15 segundos en elevar un bloque de 100 Kg. hasta una altura de 16 metros.

Vamos a calcular la potencia real:

Para ello primero calcularemos el trabajo realizado:

W =F.∆x

W = 100 Kg * 9’8 m/s2 * 16 m =15680 J

La potencia será:

Como podemos comprobar, en la practica la potencia Teórica y la Real no coinciden (la real es menor), y esto es debido al rozamiento, vibraciones, y calentamiento que sufren los componentes.

Para medir esta perdida de potencia, se define el rendimiento de una máquina como sigue:

En el ejemplo anterior, el rendimiento del motor seria el siguiente:

3.2 Otras Unidades de trabajo y potencia

Unidad de Trabajo:

Se usa muy a menudo como unidad de trabajo el Kilowatio por hora (Kw.h) que se define como el trabajo hecho por una maquina de 1 Kw de potencia durante una hora

Un kilovatio por hora equivale a tres millones seiscientos mil Julios.

Como unidad de trabajo se suele emplear también el electronvoltio (eV) que equivale a

(Es la energía que adquiere un electrón al ser acelerado con una diferencia de potencial de 1 voltio)

Unidad de Potencia

James Watt (1736-1819), ingeniero escocés que invento la maquina de vapor, define también como unidad de potencia el caballo de vapor (CV).

Un Caballo de Vapor podía reemplazar al trabajo que realizaba un caballo en la mina sacando agua (las bombas que extraían el agua de las minas eran accionadas por caballos).

Un caballo de Vapor equivale a 736 Watios.

4-Energía Mecánica

Como ya hemos visto, un cuerpo tiene energía, cuando tiene capacidad para llevar a término un trabajo.

El trabajo es la manera de expresar la cantidad de energía que ha pasado de una forma a otra forma o de un lugar a otro.

La Energía Mecánica, , suele estar asociada , la mayoría de las veces, con maquinas y movimientos. Esta forma de energía se estudia bajo dos aspectos: energía cinética y energía potencial.

4.1 Energía Cinética

Supongamos que aplicamos una fuerza a un cuerpo de masa m que esta en reposo, el cuerpo se acelera, gana velocidad y recorre una cierta distancia, se hace un trabajo sobre este, el cual se

manifiesta en forma de Energía Cinética . Si la fuerza continua actuando sobre el cuerpo, se hace también sobre este un trabajo, que se transforma también en energía cinética.

Calculo de Energía Cinética

Imagina que a un cuerpo en reposo le aplicamos una fuerza F, durante un tiempo, t; el cuerpo se desplaza una distancia, s. Sabemos que:

Fuerza aplicada = masa x aceleración

Como

Atendiendo que el movimiento es rectilíneo, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido:

Como que

Trabajo hecho = Fuerza x desplazamiento

Resulta que:

Decimos que el trabajo llevado a término sobre cuerpo se ha trasformado en energía cinética.

La Energía Cinética se define como la capacidad para efectuar un trabajo por medio del movimiento y de pende de la masa del cuerpo m y de su velocidad, v:

La energía Cinética se expresa en unidad de trabajo (J) Julios

Relación entre Trabajo y Variación de Energía Cinética

Al aplicar un trabajo sobre un cuerpo que esta en movimiento, este aumenta de velocidad. Podemos entonces deducir que:

La variación de la energía cinética es igual al trabajo hecho por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo:

Trabajo = variación de la energía cinética

4.2 Energía Potencial

Todos los sistemas almacenan energía que pueden utilizar en cualquier momento para hacer un trabajo.

Según el dibujo anterior, el chico tiene energía a causa de su posición, al caer, esta energía se transforma en el trabajo necesario para levantar a la chica. Esta energía se denomina energía

potencial .

La energía potencial es la que tiene un cuerpo en virtud de la posición que ocupa, que será distinta a la del equilibrio.

Energía Potencial Gravitatoria

El trabajo hecho para elevar un cuerpo hasta una cierta altura se puede calcular de la manera siguiente:

Trabajo = Fuerza (peso del cuero) x Desplazamiento

Por tanto, la energía potencial de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre un nivel de referencia determinado, se denomina energía potencial gravitatoria.

La energía potencial gravitatoria equivale al trabajo que se hace para elevar un cuerpo hasta una altura determinada (h).

No se puede hablar del valor absoluto de la energía potencial gravitatoria que tiene un cuerpo situado a una altura determinada, sino únicamente de diferencias de energia potencial. De manera convencional, y para evitar este inconveniente, se considera superficie terrestre (h = 0) como el nivel cero de energía potencial.

La energía potencial gravitatoria es proporcional a la masa (m) de un cuerpo cuando este ocupa una posición (h): nada más se modifica al variar la altura.

En un desplazamiento horizontal, la energía potencial no cambia, es decir, en un desplazamiento de este tipo, el trabajo llega a termino porque la fuerza peso es nula.

Energía Potencial Elástica

Como ya sabemos, cuando comprimimos o estriamos un muelle, estamos aplicándole una fuerza F, y se produce un desplazamiento x.

Tenemos una masa, m, unida a un resorte de constante elástica, k , y tomamos como origen de coordenada x, la posición de la masa m, en la que el resorte tiene la longitud normal (sin comprimir o alargar). Estiramos el muelle lentamente en sentido horizontal hasta la posición x.

Los resultados obtenidos se recogen en la grafica siguiente:

Fuerza (N) Alargamiento (m)1

2 2. 3 3. 4 4. 5 5.

Observa que la fuerza elástica F= k.x, no es constante, y por consiguiente, no podemos establecer el trabajo hecho por esta fuerza de la misma manera que determinamos el trabajo ejecutado por la fuerza peso, sino que hemos de calcularlo gráficamente.

El trabajo hecho por la fuerza F no se ha trasformado en energía cinética ni en energía potencial gravitatoria, tampoco hemos tenido en cuenta el rozamiento. El único efecto de esta fuerza responsable del trabajo ha sido aumentar la energía potencial elástica.

La Energía Potencial Elástica es la que tiene un cuerpo elástico (un muelle, una goma…) a causa de su estado de tensión.

La energía potencial elástica es el área comprendida debajo de la línea de la representación grafica de F en función de x:

Para todas las deformaciones que cumplan la ley de Hooke, la energía potencial elástica almacenada en el cuerpo deformado es proporcional al cuadrado de la deformación.

5- La energía mecánica se transforma y se conserva.

La Energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial. Veremos a continuación como se transforma la energía mecánica.

Experimento:

Coge un bol o una taza muy pulida y deja caer una bola una bola de acero desde uno de los bordes.

La bola llega hasta el fondo del bol, transformando la energía potencial que tenia en el borde del recipiente en energía cinética; a continuación la bola vuelve a subir hasta el borde opuesto, recuperando así su energía potencial.

Experimento:

Con un cordón y una bola, construye un péndulo como el de la figura.

1-Fija el cordón por su extremo A y hazlo oscilar entre los puntos B y C

2-Pon un clavo en la posición D, de manera que el péndulo, abandonado de nuevo en B no pueda llegar al punto C; el cordón detenido por D hace que la masa del péndulo se eleve hasta la posición E, que se encuentra en la línea horizontal BC.

3-En el movimiento de retorno, llega al punto B

En este ejemplo el péndulo asciende en sus oscilaciones hasta llegar a la misma altura, aunque se ponga un obstáculo en el recorrido del cordón, y la energía potencial se transforma en energía cinética, y esta otra vez en energía potencial. La energía cinética en el punto D se transforma en potencial la subir la bola hasta el punto E.

 

5.1 Principio de conservación de la energía mecánica

Un niño que esta en la parte superior de un tobogán, situado a una altura h, de 2 metros sobre el suelo, tiene energía potencial:

donde m es la masa m de niño (25 Kgr)

Cuando el niño llega al suelo, toda su energía potencial se ha transformado en energía cinética; y por lo tanto:

A lo largo del recorrido, la energía potencial se va transformando en energía cinética, es decir, la energía potencial del niño va disminuyendo al mismo tiempo que aumenta la energía cinética, pero la suma de ambas será siempre 490 J.

Cuando el niño esta a la mitad del tobogán, tiene energía cinética y energía potencial y su suma sigue siendo 490 J:

Por lo tanto, la energía cinética será:

Podemos generalizar el ejemplo anterior de la siguiente manera:

La suma de la energía cinética y potencial se mantiene siempre constante en cualquier punto:

esta es la expresión matemática del principio o ley de conservación de la energía mecánica

Si no tuviéramos en cuenta el rozamiento, podríamos calcular la velocidad con que el niño llega al final del tobogán a partir de la expresión de la energía cinética:

6-La energía total se transforma y se conserva

En los experimentos anteriores (Taza-Bola y Péndulo), la transformación de la energía cinética en potencial se repite pocas veces: finalmente, la bola es queda parada en el fondo del bol y el péndulo acaba parándose.

En estos experimentos interviene una fuerza que no hemos tenido en cuenta, la fuerza de rozamiento. Recuerda que el trabajo de la fuerza de rozamiento siempre es negativa. Así, si hay fuerzas de rozamiento, la energía mecánica disminuirá, y el trabajo de las fuerzas de rozamiento será igual a la variación de la energía mecánica del sistema.

Observa las transformaciones de energía que tienen lugar en la pelota

La pelota se para por la acción de las fuerzas de rozamiento. Ahora bien, se ha perdido energía? La respuesta es negativa; se ha perdido capacidad de hacer trabajo, pero no energía, ya que esta se ha disipado al medio en forma de calor. Esta es otra manera de transferencia de energía entre los cuerpos.

El principio de conservación de energía podemos enunciarlo de la siguiente manera:

La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma; es decir, en todos los procesos hay intercambio de energía pero la energía total se mantiene constante.

La energía puede transformarse de una formas en otras, no obstante, siempre se mantiene constante, como vemos en el ejemplo siguiente:

En todos estos casos, la energía inicial es transformada en otro tipo de energía.

7-Las máquinas

Las maquinas son dispositivos o conjunto de piezas que transforman fuerzas y, al mismo tiempo, consiguen alguno de los efectos siguientes:

1-Varían la intensidad de las fuerzas transmisoras

2-Modifican la dirección que tienen

3-Transforman un tipo de energía en otra.

7.1 La Palanca

La palanca, la más simple de las máquinas, varía la intensidad de la fuerza transmisora.

En la palanca pueden distinguirse los tres elementos fundamentales que caracterizan todas las maquinas:

- El punto donde se aplica la fuerza motriz o potencia

- El punto donde esta aplicada la fuerza resistente o resistencia

- El punto de apoyo o fulcro

Presenta además los siguientes elementos:

- Brazo de la fuerza motriz (a): es la parte de la palanca comprendida entre el punto de soporte y el punto donde se aplica la fuerza motriz o potencia

- Brazo de resistencia (b). Es la parte de la palanca comprendida entre el punto de apoyo y el punto donde esta aplicada la fuerza resistente o resistencia.

Según la posición del punto de apoyo, de la fuerza motriz y de la resistencia, se diferencian tres tipos de palancas:

Palanca de primer genero. El punto de Palanca de segundo genero. La resistencia Palanca de tercer genero. La potencia

apoyo esta situado entre la fuerza motriz o potencia y la resistencia

se sitúa entre el punto de apoyo y la potencia

esta localizada entre el punto de apoyo y la resistencia.

Condición de Equilibrio de la Palanca

El equilibrio de una máquina requiere que el trabajo de la fuerza motriz sea igual al trabajo de la fuerza resistente.

Trabajo motriz = trabajo resistente

La Ley de la palanca se puede enunciar de la siguiente manera:

Trabajo Motriz = Fuerza Motriz x Distancia al apoyo

Trabajo resistente = resistencia x Distancia al apoyo

Por tanto:

7.2 Las Poleas

Las poleas son ruedas que se usan para elevar cuerpos mediante cuerdas o cadenas móviles que trasmiten una fuerza. Según el tipo de polea que se trate, pueden comportarse como palancas de primer o segundo género

Podemos elevar una misma carga aplicando diferentes fuerzas dependiendo del sistema de poleas que empleemos.

La Polea fija que se muestra en el Experimento tiene un movimiento de rotación alrededor de su eje. Se comporta como una palanca de primer genero: la longitud de sus brazos es igual al radio de la polea, por lo que la potencia que se va a aplicar es idéntica a la resistencia que hay que vencer. Así pues, la ley de dicha máquina se enunciaría de la siguiente forma:

Luego la utilización de una sola polea no afecta a la fuerza ejercida. Su única función es cambiar la dirección y el sentido de la misma.

En la polea móvil, además del movimiento de rotación alrededor de su eje, hay un movimiento vertical, hacia arriba o hacia abajo. En este caso, la segunda polea se comporta como una palanca de segundo genero, en la que el brazo de potencia es igual al diámetro de la polea y el brazo de resistencia es idéntico al radio de la misma. Si aplicamos la ley para esta maquina, la potencia necesaria es igual a la mitad de la resistencia:

Con las dos poleas, el peso se reparte entre las dos ramas de la cuerda, de manera que la fuerza motriz o potencia disminuye.

7.3 Las pendientes o planos inclinados

Una pendiente es la línea que une un punto con otro mas alejado y a diferente altura, formando un ángulo con la horizontal. Uno de los sistemas mas fáciles de elevar un objeto muy pesado consiste en arrastrarlo por una pendiente en lugar de levantarlo directamente.

La fuerza necesaria para arrastrar un bloque a lo largo de una pendiente perfectamente lisa es menor que el peso del mismo. Sin embargo, el bloque debe ser arrastrado a lo largo de una distancia mayor para lograr la misma elevación.

1-Mide con un dinamómetro la fuerza necesaria para levantar un bloque de 100 g desde el suelo hasta una altura de 1 metro

2-Comprueba de nuevo la fuerza necesaria para subirlo 1 m, pero utiliza esta vez un plano inclinado con una pendiente grande

3-Repite el paso anterior, pero emplea un plano inclinado de menor pendiente

a) ¿Dónde es mayor la fuerza necesaria para levantar el bloque: en 1,2 o 3?

b) ¿Dónde es mayor el peso del bloque: en 1, 2 o3?

c) La distancia recorrida por el bloque, ¿Dónde es mayor, en 1,2 o 3?

d) Al final del recorrido, la energia potencial del bloque ¿Dónde es mayor en 1, 2 o 3?

En el Experimento, el peso es a la fuerza motriz lo que la longitud del plano es a su altura:

Fuerza motriz x longitud = peso x altura

Así por ejemplo, si queremos elevar un peso de 1000 N aplicando una fuerza de 500 N, debemos emplear un plano inclinado cuya longitud sea el doble que la altura

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica, la cantidad de movimiento se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se remonta a Galileo Galilei. En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el término italiano impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el término latino motus1 (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.

La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra: en mecánica newtoniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana se admiten formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun cuando se usan sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores autoadjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.

En mecánica newtoniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con las leyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la física moderna, esta manera de operar no resultó ser la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definición newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.

Cantidad de movimiento en mecánica clásica

Mecánica newtoniana

Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana en estrecha relación con el concepto de velocidad y el de masa. En mecánica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" dependía tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados o momentos conjugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generalizada. Se generaliza así la noción de momento.

Si se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenada qi viene dado por:2

Cuando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.

Cantidad de movimiento de un medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

Cantidad de movimiento en mecánica relativista

La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleración adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada como F=ma no es la más adecuada. La ley fundamental de la mecánica relativista aceptada es F=dp/dt.

El principio de relatividad establece que las leyes de la física conserven su forma en los sistemas inerciales (los fenómenos siguen las mismas leyes). Aplicando este principio en la ley F=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definición clásica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.

En el enfoque geométrico de la mecánica relativista, puesto que el intervalo de tiempo efectivo percibido por una partícula que se mueve con respecto a un observador difiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observador inercial y la fuerza medida por él no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto al tiempo propio de la partícula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en términos de la masa y la velocidad medida por el observador con la corrección asociada a la dilatación de tiempo experimentada por la partícula. Así, la expresión relativista de la cantidad de movimiento de una partícula medida por un observador inercial viene dada por:3

donde son respectivamente el módulo al cuadrado de la velocidad de la partícula y la velocidad de la luz al cuadrado y es el factor de Lorentz.

Además, en mecánica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de

las medidas realizadas por ambos. Eso sólo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se consideran cuadrivectores que incluyan coordenadas espaciales y temporales. Así, el momento lineal definido anteriormente junto con la energía constituye el cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

Los cuadrimomentos definidos como en la última expresión medidos por dos observadores inerciales se relacionarán mediante las ecuaciones suministradas por las transformaciones de Lorentz.

Cantidad de movimiento en mecánica cuántica

La mecánica cuántica postula que a cada magnitud física observable le corresponde un operador lineal autoadjunto , llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Este espacio de Hilbert representa cada uno de los posibles estados físicos que puede presentar un determinado sistema cuántico.

Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma más frecuente es usar como espacio de Hilbert para una

partícula el espacio de Hilbert y usar una representación de los estados cuánticos como funciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores son autoadjuntos sólo sobre el

espacio de funciones absolutamente continuas de que constituyen un dominio denso de dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del

operador momento, salvo que nos limitemos a , no tienen por qué ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.

Conservación

Mecánica newtoniana

En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por:

Donde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i-ésima medidas por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica lagrangiana «si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano con n grados de libertad y su lagrangiano no depende de una de ellas. Por ejemplo, la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange existe una magnitud conservada que viene dada por:

Si el conjunto de coordenadas generalizadas usado es cartesiano entonces el

tensor métrico es la delta de Kronecker y la cantidad coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.

En mecánica hamiltoniana existe una forma muy sencilla para determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del paréntesis de Poisson. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresión podemos ver que para «un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada» como se puede ver:

Mecánica del medio continuo

Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

Si se introduce el tensor de tensiones que caracteriza las fuerzas internas en el interior de un medio continuo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento en términos de las fuerzas exteriores se puede expresar como:

donde:

es el tensor de tensiones de Cauchy.

es la densidad de materia.

la densidad de fuerza sobre el cuerpo.

la velocidad en cada punto del medio continuo.

Mecánica relativista

En teoría de la relatividad la cantidad de movimiento o cuadrimomento se define como un vector P el producto de la cuadrivelocidad U por la masa (en reposo) de una partícula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actúan fuerzas exteriores. En relatividad general la situación es algo más compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partícula si esta se mueve a lo largo de una línea geodésica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto al tiempo propio se reduce a la ecuación de las geodésicas, y esta

derivada se anula si y sólo si la partícula se mueve a lo largo de una línea de universo que sea geodésica:4

En general para un cuerpo macroscópico sólido de cierto tamaño en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partículas siga una línea geodésica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones del espacio-tiempo donde existen fuertes variaciones de curvatura. Por ejemplo en la caída dentro de un agujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazarían un cuerpo sólido cayendo dentro de un agujero negro.

Mecánica cuántica

Como es sabido en mecánica cuántica una cantidad se conserva si el operador autoadjunto que representa a dicha magnitud u observable conmuta con el hamiltoniano, de modo similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitud se conserva si el paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando como espacio de Hilbert del sistema de una partícula dentro de un potencial una

representación de tipo . Se tiene que:

Por tanto, si el potencial no depende de las coordenadas , entonces la cantidad de movimiento de la partícula se conserva. Además, la última expresión es formalmente equivalente a la del caso clásico en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro está, que éste es el hamiltoniano cuántico, y que las cantidades físicas, no son las mismas que en la mecánica clásica, sino operadores que representan las cantidades clásicas (observables).