C+ílculo de Coordenadas y Paralelo de Referencia en la Proyecci+¦n de Mercator
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:: Cálculo de Coordenadas y Paralelo de Referencia en la Proyección de Mercator ::
Fecha de Publicación: 02/06/2007
Autor del Artículo:
José Millán Gamboa.
José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los
últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la
Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica,
Carta Electrónica y Derecho Marítimo.
Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de
cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último
libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con
envío al extranjero en este enlace.
José Millán puede ser contactado en [email protected]
1. CÁLCULO DE COORDENADAS MERCATOR
Las cartas que se utilizan para la navegación, tanto marítima
como aérea, cumplen la condición de ser conformes, es decir,
conservan los ángulos en cualquier dirección. Así, las líneas que
marcan la dirección, entre dos puntos de la representación, son
rectas. Esto es especialmente útil para la navegación ya que las
derrotas y demoras, se corresponden con líneas rectas, lo que
facilita su trazado, el mantenimiento del rumbo, y la medida de
distancias entre dos puntos
cualesquiera.
Mercator fue el primer
cartógrafo que diseñó una
proyección de este tipo, que es
la que actualmente lleva su
nombre. Para su desarrollo
partió de una proyección no conforme como es la cilíndrica
gnomónica directa (proyección efectuada sobre un cilindro
tangente al Ecuador desde el centro de la Tierra, Fig. 1).
Su idea fue la de calcular en qué cantidad debería alterar la
distancia entre paralelos de esa proyección, como los A’B’ y
C’D’ de la Fig.2, para que las deformaciones de la proyección
en la dirección de la latitud fuesen iguales a las existentes en la
dirección de la longitud, consiguiendo así la conservación de los ángulos, y por tanto, la
conformidad.
Una vez finalizado su desarrollo, llegó a la conclusión de que los paralelos, en el plano de
representación, deberían estar separados una distancia infinitesimal igual a la existente entre
ellos sobre la superficie de la Tierra pero multiplicada por el factor:
(1)
En (1) es a el semieje mayor del elipsoide que se toma como referencia para la figura de la
Tierra, y N la gran normal en el punto de latitud , que define el paralelo en cuestión, y que se
calcula según:
(2) donde: (3)
En la que e es el valor de la primera excentricidad del elipsoide y f es el aplanamiento del
elipsoide. Para llegar a esta conclusión y las consideraciones que siguen a continuación, se ha
tomado y se tomará como superficie de referencia de la Tierra, la del elipsoide de revolución, de
manera que las formulas que se exponen sean de aplicación directa para cualquier datum
geodésico de referencia que se adopte.
Siguiendo con el desarrollo de Mercator, teniendo en cuenta (1) y efectuando la integral
correspondiente para pasar de elementos diferenciales a distancias concretas sobre la Tierra, se
deduce que en el plano de representación de la Mercator, las distancias que separan cada paralelo
del Ecuador son menores que las correspondientes de la proyección cilíndrica gnomónica directa,
tal como se muestra en la Fig.2. El resultado de ese desarrollo da las expresiones analíticas de la
proyección Mercator que son:
(4)
El parámetro de la segunda ecuación se denomina latitud aumentada o latitud creciente.
De acuerdo a estas fórmulas, se puede afirmar que el sistema de referencia ortogonal OXY
(Fig.4), del plano de representación, tendrá su origen en el punto de cruce del meridiano de
Greenwich con el Ecuador, ya que para x = 0 e y = 0, han de ser = 0 y = 0 (Fig.3). Además,
para = 0 siempre será y = 0, por lo que el eje X coincide con la transformada del Ecuador. Para
= 0 siempre será x = 0, por lo que el eje Y coincide con la transformada del meridiano de
Greenwich.
Para calcular las coordenadas Mercator en un punto cualquiera como puede ser, por ejemplo, uno
central en la península Ibérica, de = 40º 30’ N y = 003º 30’ W, sobre un elipsoide WGS84 en
el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563, se hará:
Las coordenadas así obtenidas se medirán, en la carta mercatoriana, desde el cruce de las
transformadas del meridiano de Greenwich y del Ecuador según el sistema ortogonal cartesiano
OXY de la figura anterior.
Estas expresiones verifican las condiciones de contorno que Mercator estableció para la
proyección que hoy lleva su nombre:
La transformada del Ecuador es una línea recta a lo largo de la cual se conservan las
distancias.
Las transformadas de los meridianos son líneas rectas, paralelas y equidistantes entre
ellas, normales a la transformada del Ecuador.
Las transformadas de los paralelos son líneas rectas, paralelas a la transformada del
Ecuador, es decir, normales a las transformadas de los meridianos.
La proyección es conforme.
2. EL PARALELO DE REFERENCIA
Cuando se ha de realizar la representación de una zona concreta alejada del Ecuador, como
podría ser, por ejemplo, una carta que cubriera las aguas próximas a la península Ibérica, los
marcos de la representación se elegirán de tal forma que abarquen solamente esas aguas,
descartando representar otras zonas más alejadas. Así, resulta que en el área cartografiada no
aparecerá la línea automecoica de representación, que sirve como medida de escala verdadera, y
que de acuerdo a las condiciones de contorno establecidas para la proyección de Mercator, es la
línea del Ecuador. Fuera de esta línea automecoica, el concepto general de escala es irreal, ya
que en una misma representación no existe un valor fijo para ella en todos los puntos, sino que la
escala varía, en general, de un punto a otro. En el caso de la proyección Mercator este efecto se
ve acentuado en casos como el expuesto para la península Ibérica, demasiado alejada del
Ecuador.
Para evitar este inconveniente, y reducir estas variaciones de escala, se recurre al artificio de la
reducción de las coordenadas mediante un factor de reducción de escala que no altera la
conformidad ni la naturaleza de la representación, pero que afecta a todos los elementos lineales
y superficiales, de forma que actúa como un factor multiplicador de la escala original E que
provoca que la escala real E’, en un punto cualquiera de la representación presente menores
variaciones. Este artificio, consiste en variar la primera de las cuatro condiciones de contorno
establecidas, en el sentido de que la línea recta a lo largo de la cual deben conservarse las
distancias, sea la transformada de un paralelo que pase por la zona a representar, en lugar de la
transformada del Ecuador. Al paralelo así elegido se le denomina paralelo de referencia, y su
latitud se suele representar por . Para materializar este artificio, bastará con efectuar la
proyección sobre un cilindro secante a la esfera en ese paralelo , en lugar de utilizar un cilindro
tangente en el Ecuador.
Si la zona a representar se encuentra en las proximidades de un punto A como el de la Fig.5, se
utilizará un paralelo de referencia , que puede ser aquel cuya latitud es la del punto A. El
cilindro secante, por tanto, lo será justo en esa latitud, de forma que su intersección será
exactamente el círculo del paralelo de A. Considérese el elipsoide inscrito en él, si el elipsoide
terrestre original tenía un semieje mayor a, este nuevo elipsoide tendrá un semieje mayor a’, que
tendrá por valor:
(5)
El elipsoide así definido, es un sistema de elipsoide y cilindro tangente que posee las mismas
propiedades con las que se ha definido la proyección de Mercator, y por tanto, es igual de válido
para representar cualquier zona del elipsoide original. La única diferencia existente, es el valor
del semieje mayor antes y después de considerar el cilindro secante. Esta diferencia vendrá
determinada por la relación matemática entre ellos, comportándose como un factor de escala que
indica que la proyección se realiza en un modelo de similares propiedades, pero de distinto
tamaño. Así, las fórmulas de correspondencia (4) adaptadas para el caso del elipsoide inscritos al
cilindro secante, siendo N el valor de la gran normal en A, tendrán la forma:
(6)
Para estas fórmulas (6), el origen de abcisas será el meridiano de Greenwich y el origen de
ordenadas será el Ecuador, pero en ambos casos, establecidos sobre el elipsoide inscrito. Es
decir, las coordenadas x e y así obtenidas, estarán medidas sobre modelos distintos a los del
elipsoide original, por lo cual sólo serán comparables a través del mencionado factor de escala
que los relaciona:
(7)
Ejemplo:
Calcular las coordenadas Mercator para el lugar del ejemplo anterior de = 40º 30’ N y l = 003º
30’ W, utilizando un paralelo de referencia en la latitud de = 35º 14’ 30” N sobre un elipsoide
WGS84 en el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563.
Como primer paso se determinará el valor de la excentricidad e y e2, de acuerdo a (3):
Y por tanto:
A continuación, con (2) se calculará el valor de la gran normal N para la latitud del paralelo de
referencia:
Con estos valores y las formulas de correspondencia (6) se obtendrán las coordenadas buscadas:
Como puede observase, para el mismo punto del ejemplo anterior, al utilizar el paralelo de
referencia, se obtienen unas coordenadas distintas, con valores absolutos de x e y menores. Es
debido a la reducción de escala producida por el empleo del paralelo de referencia, que tiene el
significado intuitivo de estar utilizando un modelo de proyección de distintas dimensiones. Este
efecto tiene su importancia a la hora de representar, en Sistemas de Información Geográfica,
información náutica procedente de cartografía náutica que emplean distintos paralelos de
referencia, lo cual es frecuente. Las coordenadas de los elementos geográficos contenidos en
cartas con distintos paralelos de referencia, no son comparables, por proceder de modelos
distintos. Por tanto, para su correcta representación en un SIG y efectuar comparación en
solapes, etc., previamente se debe deshacer este efecto, transformando las coordenadas al modelo
original de cilindro tangente en el Ecuador en cada una de las cartas empleadas. Para ello, bastará
con dividir las coordenadas obtenidas en este ejemplo por el factor de escala (7), obteniéndose
así las del ejemplo anterior.
Autor del Artículo:
José Millán Gamboa.
José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los
últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la
Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica,
Carta Electrónica y Derecho Marítimo.
Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de
cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último
libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con
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José Millán puede ser contactado en [email protected]