CIM-U5-2013

Cimentaciones Octubre 2013

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CIMENTACIONES

UNIDAD V. LOSAS DE CIMENTACION 5.1. INTRODUCCION 5.2. REVISION DE DIMENSIONES 5.3. DISEO DE LOSAS DE CIMENTACION


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5.1 INTRODUCCION -Planas (de espesor uniforme) Tipos de losas espesores grandes de 0.70 m a 2.00 m De cimentacin -Con vigas (en ambas direcciones) espesores ms pequeos h Losa de cimentacin plana h Losa de cimentacin con vigas


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Diseo de -METODO RIGIDO: mtodo convencional. La losa se divide en Losas de franjas y se disean como zapatas combinadas rectangulares.

Cimentacin Se requiere que el espaciamiento entre columnas S Sc (*) (mtodos de anlisis) -METODO FLEXIBLE:Toma en cuenta la rigidz de la losa y del suelo. Es laborioso para clculo manual y es usado en programas de computadora mediante el mtodo del elemento finito. (*) Nota: 3*Ks 1/4

= , Sc= 5.74/ m Ec*h3 Donde: Sc = separacin crtica de columnas Ks = mdulo de rigidz del suelo

Ec = mdulo de elasticidad del concreto = 15100fc h = espesor de la losa En la siguiente tabla se muestran los valores promedio de Ks para algunos suelos comunes Tabla 1. Valores promedio de Ks (fuente: Foundation Analysis and Design, Joseph E. Bowles, McGraw-Hill)

SUELO Ks (ton/m3)

Arena suelta 1040

Arena media densa 4480

Arena densa 6700

Arena media densa arcillosa 5600

Arena media densa limosa 3600

Arcilla: 10 qu 20 ton/m2 1800

Arcilla: 20 qu 40 ton/m2 3600

Arcilla: qu > 40 ton/m2 > 4800


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5.2 REVISION DE DIMENSIONES Las dimensiones de una losa de cimentacin se determinarn por revisin, es decir, se propondran y luego se revisar que stas no sobrepasen la presin admisible. Nota: se considerarn solamente losas de cimentacin rectangulares. Consideremos la losa mostrada en la figura Y Lx P13 P14 P15 Lx, Ly son las dimensiones de P10 P11 P12 la losa de cimentacin X, Y son los ejes P7 P8 P9 centroidales de Ly X la losa P4 P5 P6 P1 P2 P3 Se calcula lo siguiente:

= (s + c)/2

q = *Df AL = Lx*Ly Pq = q*AL

PT = P + Pq

Mx = (Pi * Yi) = momento respecto al eje X centroidal

My = (Pi * Xi) = momento respecto al eje Y centroidal ex = |My|/PT ey = |Mx|/PT


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Lx = Lx 2*ex Ly = Ly 2*ey AL = Lx*Ly qmax = PT/AL

si qmax qa se aceptan las dimensiones Lx, Ly de la losa de cimentacin si qmax > qa se aumentan las dimensiones Lx, Ly de la losa de cimentacin Ejemplo 5.1. Determinar las dimensiones de una losa de cimentacin con los datos mostrados en la siguiente figura Y Lx = 12.60 m Todas las columnas de 40 x 40 cm 37 t 48 t 42 t 7.30 m 145 t 145 t 109 t Ly=22.30 m 3.65 m 10.95 m 7.30 m X 145 t 145 t 109 t 7.30 m 37 t 48 t 40 t 6.10 m 6.10 m Planta de cargas de servicio en las columnas

Datos del suelo: qa=8.5 ton/m2, s = 1.75 ton/m3, Df=1.80 m


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Solucin: Proponer las dimensiones mnimas Lx=2(6.10)+0.40 = 12.60 m Ly = 3(7.30)+0.40 = 22.30 m

P = 1050 ton AL = Lx*Ly = (12.60)(22.30) = 280.98 m

2

= (s+c)/2 = (1.75+2.4)/2 = 2.075 ton/m3

q = *Df = 2.075(1.80) = 3.735 ton/m2 Pq = q*AL = 3.735(280.98) = 1049.46 ton

PT = P + Pq = 1050 + 1049.46 = 2099.46 ton

Mx = (Pi * Yi) = (145+145+109)(3.65) + (37+48+42)(10.95)+ (145+145+109)(-3.65)+(37+48+40)(-10.95)= 21.9 ton-m

My = (Pi * Xi) = (40+109+109+42)(6.1)+(37+145+145+37)(-6.1)= -390.4 ton-m ex=|My|/PT = 390.4/2099.46 = 0.186 m ey=|Mx|/PT = 21.9/2099.46 = 0.010 m Lx = Lx 2*ex = 12.60 2(0.186) = 12.23 m Ly = Ly 2*ey = 22.30 2(0.010) = 22.28 m AL = Lx*Ly = (12.23)(22.28) = 272.48 m

2 qmax = PT/AL = 2099.46/272.48 = 7.7 ton/m

2 < qa = 8.5 ton/m2 OK USAR LOSA DE CIMENTACION DE Lx = 12.60 m y Ly = 22.30 m


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Ejercicio 5.1. Determinar las dimensiones de una losa de cimentacin con los datos mostrados en la siguiente figura columnas de 60 x 60 cm 40 t 54 t 48 t 7.50 m 163 t 163 t 122 t 7.50 m 163 t 163 t 122 t 6.00m 6.00m Planta de cargas de servicio en las columnas

Datos del suelo: qa=20 ton/m2, s = 1.8 ton/m3, Df=2.00 m


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5.3. DISEO DE LOSAS DE CIMENTACION Usaremos el mtodo rgido de diseo que consiste en dividir la losa de cimentacin en franjas en ambas direcciones y disear estas franjas como si fueran zapatas combinadas rectangulares generales. A continuacin presentamos las frmulas requeridas para el diseo de la losa de cimentacin. Peralte de la losa -por corte bidireccional se debe determinar el peralte requerido para cada columna resolviendo la ecuacin cuadrtica C2*d2 +C2*d + C0 =0 d es la raz mayor de la cuadrtica Los coeficientes de la cuadrtica son los siguientes: Columnas de esquina a=Cx+d/2 C2 = K2 + qs/4 C1 = (Cx + Cy)(K2 + qs/2) C0 = qs*Ac Pu Cy b=Cy+d/2 donde: qs=Pu/AL -qu

Pu=Pu+qu*AL Cx qu=1.2*q a=Cx+d/2 Columnas de borde C2 = 2*K2 + qs/2 C1 = (Cx + Cy/2)(2*K2 + qs) Cy b=Cy+d C0 = qs*Ac Pu Cx


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a=Cx+d Columnas de interiores C2 = 4*K2 + qs C1 = (Cx + Cy)(2*K2 + qs) b =Cy+d Cy C0 = qs*Ac Pu Se determina el peralte por penetracin en todas las columnas (d1, d2, d3, ...etc) y d2 = max(d1, d2, d3, ...etc) Cx -peralte por corte unidireccional primero se definen franjas en cada eje de columna en direcciones X y Y. Franja X3 Franja X2 Y franja X1 X Los anchos de las franjas se determinarn por los centros de los tableros Franja Y3 Franja Y2 Franja Y1


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ANALISIS DE LAS FRANJAS Se determina lo siguiente: -Las dimensiones de cada franja, Bf, Lf -Se dibujan las cargas factorizadas en la franja (Pu1, Pu2, etc.) y se determinan las coordenadas respecto al extremo izquierdo (x1, x2, etc.) Pu1 Pu2 Pu3 Pu4 x1 xp PuT x2 x3 x4 -La resultante de las cargas factorizadas de las columnas

Pu = Pu1+Pu2 +... -La resultante de la presin factorizada del suelo y la franja Qu = 1.2*qu*AL -La resultante factorizada total

PuT= Pu + Qu -La posicin de la resultante PuT

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 xp = PuT -La excentricidad de la resultante e = xp Lf/2 si e > 0 la presin del suelo est sesgada a la derecha si e < 0 la presin del suelo est sesgada a la izquierda si e=0 la presin del suelo es centrada Lf = Lf 2|e| qut= PuT/(Bf*Lf ) wut= qut*Bf wq = 1.2*q*Bf ws = wut wq -Dibujar el diagrama de cargas, corte y momentos


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Pu1 Pu2 Pu3 Pu4 wq wut Lf 2e Vu Vu X Mu -Determinar el cortante mximo Vu, la distancia X y la dimensin CL de la columna con el cortante mximo -Calcular el peralte requerido por corte en una direccin con la frmula Vu*(x CL/2) d1 =

Vu + K1*Bf*x

Donde K1=0.53*v*fc -Repetir este procedimiento para todas las dems franjas (d2, d3, d4,... etc.) -Determinar el peralte mayor obtenido de las franjas d1 = max (d1,d2, d3, d4,... etc.)


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-Determinar el peralte de la losa d = max(d1, d2, 15 cm) h = d + 10 cm Revisar espaciamiento mximo de columnas Para poder aplicar el mtodo rgido, se debe cumplir que Smax < Sc Donde Smax = mximo espaciamiento entre dos columnas contiguas 3*Ks 1/4 Sc = Ec*h3 Refuerzo por flexin Se determinar el acero longitudinal porsitivo y negativo en las franjas utilizando los mximos momentos. Para evitar clculos inecesarios, determinamos el momento mnimo para calcular el rea de refuerzo. Mumin = 650*h

2 (h en cm, Mumin en kg-cm) Entonces

Si Mu Mumin As=Asmin

Si Mu > Mumin calcular =1.7*fc*b*d/fy, =*Mu/(f*fy*d) Resolver As2 -*As + =0 (As es la raz menor) Refuerzo por aplastamiento Este se calcula igual que para una zapata aislada En las pginas siguientes se muestra un diagrama de flujo para el diseo completo de losas de cimentacin por el mtodo rgido.


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DISEO DE LOSAS DE CIMENTACION POR EL METODO RIGIDO (ACI 318) N=nmero de columnas i=1, N Cxi, Cyi, Pi, Pui

Suelo : qa, s, Df, Ks Materiales: fcc,fyc,fcz,fyz Nmero de ejes de columnas Nex, Ney i=1, Ney-1 Sxi i=1, Nex-1 Syi constantes Smax=45 cm rec= 7.5 cm

min=0.002

c=2.4 ton/m3

f=0.9, v=0.75, p=0.65 1


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1 1.Clculos preliminares

P = P1+P2+Pn

Pu = Pu1+Pu2+Pun K1=0.53*v*fcz

=(s + c)/2

q = *Df

b = 0.85*1*(fc/fy)*6120/(6120+fy) max=0.75*b i=1, N Aci= Cxi*Cyi -Localizar los ejes centroidales de la losa

Mx = (Pi*Yi)

My = (Pi * Xi)

X0 = Sxi

Y0 = Syi 2.Dimensiones Lx = X0 + (Cx1+Cx2)/2 Ly = Y0 + (Cy1+Cy2)/2 AL= Lx*Ly Pq = q*AL

PT = P + Pq ex=|My|/PT ey=|Mx|/PT Lx = Lx 2*ex Ly = Ly 2*ey AL = Lx*Ly qmax = PT/AL

no pasa qmax>qa aumentar Lx y Ly

2


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2

Usar losa de Cimentacin de dimensiones Lx y Ly 3.Peralte -corte en dos direcciones qu = 1.2*q

PuT=Pu+qu*AL qs=PuT/AL -qu K2=2*K1 i=1, N C2= 4*K2 + qs columna interior? C1 = (Cxi + Cyi)(2*K2 + qs) C0 = qs*Aci Pui C2= 2*K2 + qs/2 columna de borde? C1 = (Cxi + Cyi/2)(2*K2 + qs) C0 = qs*Aci Pui C2= K2 + qs/4 columna de esquina? C1 = (Cxi + Cyi)(K2 + qs/2) C0 = qs*Aci Pui Resolver para d C2*d

2 + C1*d + C0=0 di = raz mayor d2=max(d

1, d1, d3, etc. ) 3


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3 -corte en una direccin -Definir franjas en direccin X y Y(Bf, Lf) -Definir nmero de franjas, Nf i=1, Nf -Definir cargas en franja, Pu1, Pu2, Pu3, etc -determinar coordenadas x1, x2, x3, etc Pu1 Pu2 Pu3 xp x1 Puf x2 x3 Calcular :

Pu = Pu1+Pu2 + Pu3 Qu = qu*Af

Puf= Pu + Qu

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 xp = Puf e = xp Lf/2 Le=2*|e| si e > 0 reaccin del suelo a la derecha si e < 0 reaccin del suelo a la izquierda si e=0 reaccin del suelo centrada Lf = Lf - Le qut=Puf/(Bf*Lf ) Pu1 Pu2 Pu3 wq wut Lf Le A

4


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4 A wut= qut*Bf wq = 1.2*q*Bf ws = wut wq

-dibujar diagramas de corte

Pu1 Pu2 Pu3 Wq wut Lf Le

x

Vu Determinar CL = ancho columna donde ocurre Vu

x = Vu/ws Vu*(x CL/2)

di = Vu + K1*Bf*x

d1=max(d

1, d1, d3, etc. ) 5


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5 d=max(d1, d2, 15 cm) h=d + 10 cm B Separacin crtica de columnas Smax = max(Sxi, Syi)

Ec=15,100fcz (kg/cm2) 3*Ks 1/4

= Ec*h3

Sc = 5.74/ (m) Smax > Sc no pasa Usar el FIN mtodo 4.Refuerzo por flexin flexible b=1.00 m

= 1.7*fcz*b*d/fyz Asmin=min*b*h

Asmax=max*b*d Mumin=625*h

2 nota : h en cm Mumin en kg-cm 6


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6 i=1, Nf

-dibujar diagramas momento

Pu1 Pu2 Pu3 Wq wut Lf Le

x

Vu Mu+ Mu-

Mup=Mu+/Bf, Mun=Mu-/Bf Mup


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7 C

p= *Mup/(f*fyz*d) B

n= *Mun/(f*fyz*d) d=h-10cm

2 4*p Asmax Aspi


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8 i=1, Nf seleccin de varilla db, Ab Spi = b*ab/Aspi Sni = b*ab/Asni Spi > smax Spi=Smax Sni > smax Sni=Smax 5. Refuerzo por aplastamiento Lac= d i=1, N

Pni =0.85*p*fcc*Aci Astmin=0.005*Aci

Pui - Pni

Pui> Pni Ast=

p(fyc-0.85fcc) D Asti=Astmin Asti=max(Ast,Astmin) 9


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9 D seleccion de varilla db, Ab Nreq=Asti/Ab redondear Entero par Ni Aspi=Ni*Ab

L1=0.075*db*fyc/fcz L2=0.0043*db*fyc Ldc=max(L1, L2, 20 cm) Ldc=Ldc*(Asti/Aspi) Ldc > Lac aumentar Lac Dibujar FIN esquemas


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Ejemplo 5.2. Disear una losa de cimentacin para la planta de columnas mostrada en la siguiente figura. Todas las columnas son de 40 cm x 40 cm. Use fc=210 kg/cm2 para todo el concreto y fy=4200 kg/cm2 para todo el acero. Para el

suelo use qa=8.5 ton/m2, s = 1.75 ton/m3, Df=1.80 m y Ks=3600 ton/m3. Y Lx = 12.60 m Todas las columnas de 40 x 40 cm 37 48 42 (52) (68) (60) 7.30 m 145 145 109 Ly=22.30 m (204) (204) (154) 3.65 m 10.95 m 7.30 m X 145 145 109 (204) (204) (154) 7.30 m 37 48 40 (52) (68) (56) 6.10 m 6.10 m Planta de cargas de servicio en las columnas (toneladas) (cargas factorizadas entre parntesis)


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Solucin: constantes Smax=45 cm rec= 7.5 cm

min=0.002

c=2.4 ton/m3

f=0.9, v=0.75, p=0.65 1.Clculos preliminares

P = 2x37 + 2x48 + 40 + 42 + 4x145 + 2x109 = 1050 ton

Pu = 2x52 + 2x68 + 56 + 60 + 4x204 + 2x154 = 1480 ton

K1=0.53*v*fcz = 0.53*(0.75)*210 = 5.76 kg/cm2 = 57.6 ton/m2

=(s + c)/2 = (1.75 + 2.4)/2 = 2.075 ton/m3

q = *Df = 2.075(1.80) = 3.735 ton/m2

b =0.85*1*(fc/fy)*6120/(6120+fy)=0.85(0.85)(210/4200)6120/(6120+4200)

b =0.0214

max=0.75*b = 0.75(0.0214) = 0.01605 Aci= Cxi*Cyi = 40 x 40 = 1600 cm

2 = 0.16 m2 -Localizar los ejes centroidales de la losa

Mx = (Pi * Yi) = (145+145+109)(3.65) + (37+48+42)(10.95)+ (145+145+109)(-3.65)+(37+48+40)(-10.95)= 21.9 ton-m

My = (Pi * Xi) = (40+109+109+42)(6.1)+(37+145+145+37)(-6.1)= -390.4 ton-m

X0 = Sxi = 6.10 + 6.10 = 12.20 m

Y0 = Syi = 7.30 + 7.30 + 7.30 = 21.90 m 2.Dimensiones Lx = X0 + (Cx1+Cx2)/2 = 12.20 + (0.40+0.40)/2 = 12.60 m Ly = Y0 + (Cy1+Cy2)/2 = 21.90 + (0.40+0.40)/2 = 22.30 m AL= Lx*Ly = 12.60 x 22.30 = 280.98 m

2 Pq = q*AL = 3.735x280.98 = 1049.46 ton

PT = P + Pq = 1050 + 1049.46 = 2099.46 ton ex=|My|/PT = 390.4/2099.46 = 0.186 m ey=|Mx|/PT = 21.9/2099.46 = 0.010 m Lx = Lx 2*ex = 12.60 2(0.186) = 12.23 m Ly = Ly 2*ey = 22.30 2(0.010) = 22.28 m AL = Lx*Ly = (12.23)(22.28) = 272.48 m

2 qmax = PT/AL = 2099.46/272.48 = 7.7 ton/m

2 < qa = 8.5 ton/m2 OK USAR LOSA DE CIMENTACION DE DIMENSIONES Lx=12.60 m y Ly=22.30 m


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3.Peralte -corte en dos direcciones qu = 1.2*q = 1.2x 3.735 = 4.482

Pu=Pu+qu*AL =1480 + 4.482x280.98 = 2739.35 ton qs=Pu/AL qu = 2739.35/272.48 4.482 = 5.57 ton/m

2 K2=2*K1 = 2(57.6) = 115.2 ton/m2 columna interior (Pu=204 ton, Ac = .16 m2) C2= 4*K2 + qs = 4(115.2) + 5.57 = 466.37 C1 = (Cxi + Cyi)(2*K2 + qs) = (.40+.40)(2x115.2 + 5.57) =188.78 C0 = qs*Aci Pui = 5.57x0.16 204 = -203.11 Resolver para d C2*d

2 + C1*d + C0=0 466.37d2 +188.78d 203.11 = 0 d1 = 0.49 m = 49 cm columna de borde (Pu=204 ton, Ac = .16 m2) C2= 2*K2 + qs/2 = 2(115.2) + 5.57/2 = 233.18 C1 = (Cxi + Cyi/2)(2*K2 + qs) = (0.40 +0.40/2)(2x115.2 + 5.57) = 141.58 C0 = qs*Aci Pui = 5.57x0.16 204 = -203.11 Resolver para d C2*d

2 + C1*d + C0=0 233.18d2 +141.58d 203.11 = 0 d2 = 0.68 m = 68 cm columna de esquina (Pu=60 ton, Ac = .16 m2) C2= K2 + qs/4 = 115.2 + 5.57/4 = 116.59 C1 = (Cxi + Cyi)(K2 + qs/2) = (0.40+0.40)(115.2 +5.57/2) = 94.39 C0 = qs*Aci Pui = 5.57x0.16 60 = -59.11 Resolver para d C2*d

2 + C1*d + C0=0 116.59d2 +94.39d 59.11 = 0 d3 = 0.41 m = 41 cm d2=max(d

1, d1, d3) = max(49, 68, 41) = 68 cm


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-corte en una direccin -Definir franjas en direccin X y Y(Bf, Lf) -Definir nmero de franjas, Nf Lx = 12.60 m (52) (68) (60) X4 3.85 m (204) (204) (154) X3 7.30 m (204) (204) (154) X2 7.30 m X1 3.85 m (52) (68) (56) Planta de Franjas X (horizontales)


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3.25 m 6.30 m 3.25 m Y1 Y2 Y3 (52) (68) (60) (204) (204) (154) Ly=22.30 m (204) (204) (154) (52) (68) (56) Planta de Franjas Y (verticales)


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Franja X1: Bf = 3.85 m, Lf=12.60 m, Af = Bf*Lf = 3.85x12.60 =48.51 m2

Pui= 52+68+56= 176 t, (Pui*xi)= 1133.2 t-m Qu = qu*Af = (4.482)(48.51)=217.42 ton

Puf= Pu + Qu = 176 + 217.42 = 393.42 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 1133.2 + 217.42*12.6/2 xp = = = 6.36 m Puf 393.42 e = xp Lf/2 = 6.36 12.6/2=0.06 >0 => reaccin del suelo hacia la derecha Le=2*|e| =2(0.06) = 0.12 m Lf = Lf Le = Lf= 12.60 0.12 = 12.48 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 393.42/(3.85x12.48) = 8.19 ton/m2 wut= qut*Bf = 8.19 x 3.85 = 31.53 t/m wq = qu*Bf = 4.482x3.85 = 17.26 t/m ws = wut wq = 31.53 17.26 = 14.27 t/m

X1= 0.20 X2=6.30 m

X3=12.40 m

Pu1=52t Pu2=68t Pu3=56t wq=17.26t/m ws=14.27t/m 0.12 wut=31.53 t/m 34.099 53.146=Vu -2.854 x=3.724m

-52.948 -33.901 Vu*(x CL/2) 53.146(3.724 0.40/2)

d1 = = = 0.213 m = 21.3 cm Vu + K1*Bf*x 53.146+57.6(3.85)(3.724)


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Puf= Pu + Qu = 562 + 412.25 = 974.25 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 3235.6 + 412.25*12.6/2 xp = = = 5.99 m Puf 974.25 e = xp Lf/2 = 5.99 12.6/2=-0.31 reaccin del suelo hacia la izquierda Le=2*|e| =2(0.31) = 0.62 m Lf = Lf Le = Lf= 12.60 0.62 = 11.98 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 974.25/(7.30x11.98) = 11.14 ton/m2 wut= qut*Bf = 11.14 x 7.3 = 81.32 t/m wq = qu*Bf = 4.482x7.3 = 32.72 t/m ws = wut wq = 81.32 32.72 = 48.60 t/m

X1= 0.20 X2=6.30 m

X3=12.40 m

Pu1=204t Pu2=204t Pu3=154t wq=32.72t/m ws=48.60t/m

wut=81.32 t/m 5.68 m 102.18 x=3.997m 174.23 9.72

-194.28=Vu -101.82 Vu*(x CL/2) 194.28(3.997 0.40/2)

d2 = = = 0.393 m = 39.3 cm Vu + K1*Bf*x 194.28+57.6(7.3)(3.997)

Nota : La franja X3 es igual que la franja X2 (d3 =39.3 cm)


A. Zambrano 31



Puf= Pu + Qu = 180 + 217.42 = 397.42 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 1182.8 + 217.42*12.6/2 xp = = = 6.42 m Puf 397.42 e = xp Lf/2 = 6.42 12.6/2=0.12 >0 => reaccin del suelo hacia la derecha Le=2*|e| =2(0.12) = 0.24 m Lf = Lf Le = Lf= 12.60 0.24 = 12.36 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 397.42/(3.85x12.36) = 8.35 ton/m2 wut= qut*Bf = 8.35 x 3.85 = 32.15 t/m wq = qu*Bf = 4.482x3.85 = 17.26 t/m ws = wut wq = 32.15 17.26 = 14.89 t/m

X1= 0.20 X2=6.30 m

X3=12.40 m


wut=32.15 t/m 6.1 -.04=5.94 34.193 57.022=Vu -2.978 x=3.829m

-54.254 -33.807 Vu*(x CL/2) 57.022(3.829 0.40/2)

d4 = = = 0.228 m = 22.8 cm Vu + K1*Bf*x 57.022+57.6(3.85)(3.829)


A. Zambrano 32

Franja Y1: Bf = 3.25 m, Lf=22.30 m, Af = Bf*Lf = 3.25x22.30 =72.475 m2

Pui= 52+204+204+52= 512 t, (Pui*xi)= 5708.8 t-m Qu = qu*Af = (4.482)(72.475)=324.83 ton

Puf= Pu + Qu = 512 + 324.83 = 836.83 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 5708.8 + 324.83*22.3/2 xp = = = 11.15 m Puf 836.83 e = xp Lf/2 = 11.15 22.3/2=0 => reaccin del suelo centrada Le=2*|e| =2(0) = 0 Lf = Lf Le = Lf= 22.30 0 = 22.30 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 836.83/(3.25x22.30) = 11.55 ton/m2 wut= qut*Bf = 11.55 x 3.25 = 37.54 t/m wq = qu*Bf = 4.482x3.25 = 14.57 t/m ws = wut wq = 37.54 14.57 = 22.97 t/m

X1= 0.20 X2=7.50 m X3=14.80 m X4=22.10m Pu1=52t Pu2=204t Pu3=204t Pu4=52 t

wq=14.57t/m wut=37.54 t/m, ws=22.97 t/m 47.64 120.275=Vu 83.956 4.594 -4.363 x=5.236m

-47.406 -83.725 -120.044 Vu*(x CL/2) 120.275(5.236 0.40/2)

d5 = = = 0.550 m = 55.0 cm Vu + K1*Bf*x 120.275+57.6(3.25)(5.236)


A. Zambrano 33



Puf= Pu + Qu = 544 + 609.69 = 1153.69 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 6065.6 + 609.69*22.3/2 xp = = = 11.15 m Puf 1153.69 e = xp Lf/2 = 11.15 22.3/2=0 => reaccin del suelo centrada Le=2*|e| =2(0) = 0 Lf = Lf Le = Lf= 22.30 0 = 22.30 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 1153.69/(6.10x22.30) = 8.48 ton/m2 wut= qut*Bf = 8.48 x 6.10 = 51.73 t/m wq = qu*Bf = 4.482x6.10 = 27.34 t/m ws = wut wq = 51.73 27.34 = 24.39 t/m


wq=27.34t/m wut=51.73 t/m, ws=24.39 t/m 63.01 114.925=Vu 88.972=Vu 4.878 x= 4.716m -4.981

-63.122 -89.075 Vu=-115.028 Vu*(x CL/2) 115.028(4.716 0.40/2)

d6 = = = 0.293 m = 29.3 cm Vu + K1*Bf*x 115.028+57.6(6.10)(4.716)


A. Zambrano 34



Puf= Pu + Qu = 424 + 324.83 = 748.83 ton

(Pui*xi) + Qu*Lf/2 4771.4 + 324.83*22.3/2 xp = = = 11.21 m Puf 748.83 e = xp Lf/2 = 11.21 22.3/2=0.06 > 0 => reaccin del suelo hacia la derecha Le=2*|e| =2(0.06) = 0.12 m Lf = Lf Le = Lf= 22.30 0.12 = 22.18 m qut=Puf/(Bf*Lf ) = 748.83/(3.25x22.18) = 10.39 ton/m2 wut= qut*Bf = 10.39 x 3.25 = 33.77 t/m wq = qu*Bf = 4.482x3.25 = 14.57 t/m ws = wut wq = 33.77 14.57 = 19.20 t/m


wq=14.57t/m wut=33.77 t/m, ws=19.20 t/m 56.16 83.84 70.00 X=4.375 m -3.840

-56.32 -70.16 Vu=-84.00 Vu*(x CL/2) 84.00(4.375 0.40/2)

d7 = = = 0.388 m = 38.8 cm Vu + K1*Bf*x 84.00+57.6(3.25)(4.375)


A. Zambrano 35

d1 = max(d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7) d1 = max(21.3, 39.3, 39.3, 22.8, 55.0, 29.3, 38.8) = 55.0 cm

Peralte de la losa d = max(d1, d2, 15 cm) = max(55, 68, 15) = 68 cm h = d + 10 cm = 68 + 10 = 78 cm Separacin crtica de columnas Smax = max(Sxi, Syi) = max( 6.10 m, 7.30 m) = 7.30 m

Ec=15 100fcz = 15,100210 = 218,819.8 kg/cm2 = 2.188x106 ton/m2 3*Ks 3x3600 1/4

= = = 0.319 Ec*h3 2.188x106 x (0.78)3

Sc = 5.74/ = 5.74/0.319 = 17.99 m Smax=7.30 m < Sc=17.99 OK ==> USAR EL MTODO RIGIDO 4.Refuerzo a flexin b=1.00 m =100 cm

= 1.7*fcz*b*d/fyz = 1.7(210)(100)(68)/4200 = 578 Asmin=min*b*h = 0.002(100)(78) = 15.6 cm

2

Asmax=max*b*d = 0.01605(100)(68)= 109.14 cm2

Mumin=625*h2 = (625)(78)2 = 3802500 kg-cm=38.02 ton-m

A continuacin se dibujarn los diagramas de momentos para cada franja.


A. Zambrano 36

Franja X1: Ancho de la franja, Bf = 3.85 m X1= 0.20 X2=6.30 m

X3=12.40 m

Pu1=52t Pu2=68t Pu3=56t wq=17.26t/m ws=14.27t/m 0.12 wut=31.53 t/m 34.099 53.146=Vu 3.71 m 2.376 m 2.39 m -2.854 x=3.724m

-52.948 -33.901 0.285 -58.4 -99.15 -98.67 Mu+=0.285/Bf=0.074 t-m < 38.02 As+ =Asmin=15.6 cm2 Mu-=-99.15/Bf=25.75 t-m < 38.02 As- =Asmin=15.6 cm2


A. Zambrano 37


X3=12.40 m


wut=81.32 t/m 5.68 m 102.18 174.23 9.72 2.095 m 2.103 m x=3.585m

-194.28 3.997m -101.82

0.972 -279.85 -387.98 -386.51 Mu+=0.972/Bf=0.133 t-m < 38.02 As+ =Asmin=15.6 cm2 Mu-=-387.98/Bf=53.15 t-m > 38.02 calcular As- = *Mun/(f*fyz*d) = 578(53.15x10

5)/(0.9x4200x68)=11951.7 Resolver As2 578As + 11951.7 = 0 As- =21.48 cm2 Nota : La franja X3 es igual que la franja X2 (As+=15.6 cm2, As-=21.48cm2)


A. Zambrano 38


X3=12.40 m


wut=32.15 t/m 6.1 -.04=5.94 34.193 57.022 3.644m 2.271m -2.978 2.296m 3.829m

-54.254 -33.807 0.30 -70.48 -109.74 -108.87 Mu+=0.30/Bf=0.078 t-m < 38.02 As+ =Asmin=15.6 cm2 Mu-=-109.74/Bf=28.5 t-m < 38.02 As- =Asmin=15.6 cm2


A. Zambrano 39

Franja Y1: Ancho de la franja, Bf = 3.25 m


wq=14.57t/m wut=37.54 t/m, ws=22.97 t/m 47.64 120.275 83.956 2.074m 2.064m 3.645m 5.226m 4.594 3.655m -4.363 5.236m

-47.406 -83.725 -120.044 266.42 267.26

0.459 113.83 -46.42 -48.46 Mu+=267.26/Bf=82.23 t-m > 38.02 calcular As+ Mu-=-48.46/Bf=14.91 t-m < 38.02 As- =Asmin=15.6 cm2

= *Mun/(f*fyz*d) = 578(82.23x105)/(0.9x4200x68)=18490.9

Resolver As2 578As + 18490.9 = 0 As- =33.99 cm2


A. Zambrano 40



wq=27.34t/m wut=51.73 t/m, ws=24.39 t/m 63.01 114.925=Vu 2.588m 88.972=Vu 3.652m 2.584m 4.878 3.648m 4.712 4.716m -4.981

-63.122 -89.075 -115.028 189.57 189.21

0.488 26.92 -82.03 -81.19 Mu+=189.57/Bf=31.07 t-m < 38.02 As+ =Asmin=15.6 cm2 Mu-=-82.03/Bf=13.45 t-m < 38.02 As- =Asmin=15.6 cm2


A. Zambrano 41



wq=14.57t/m wut=33.77 t/m, ws=19.20 t/m 56.16 83.84 70.00 2.933m 3.654m 2.925m 4.375 m 4.367 -3.840 3.646m

-56.32 -70.16 -84.00 102.57 102.0

.384 -25.61 -80.49 -81.75 Mu+=102.57/Bf=31.56 t-m < 38.02 As+ =Asmin=15.6 cm2 Mu-=-81.75/Bf=25.15 t-m < 38.02 As- =Asmin=15.6 cm2


A. Zambrano 42

TABLA DE AREAS DE ACERO EN FRANJAS (cm2)

FRANJA As+ As-

X1 15.60 15.60

X2 15.60 21.48

X3 15.60 21.48

X4 15.60 15.60

Y1 33.99 15.60

Y2 15.60 15.60

Y3 15.60 15.60

Seleccin de varilla -probar varillas # 8, db=2.54 cm, Ab=5.07 cm2 Para As=15.60 cm2 b*Ab 100(5.07) S= = = 32.5 cm < Smax usar S=32 cm As 15.60 Para As=21.48 cm2 b*Ab 100(5.07) S= = = 23.6 cm < Smax usar S=23 cm As 21.48 Para As=33.99 cm2 b*Ab 100(5.07) S= = = 14.92 cm < Smax usar S=14 cm As 33.99 TABLA DE ESPACIAMIENTO DE VARILLAS # 8 (cm)

FRANJA Varillas lecho inferior

Varillas lecho superior

X1 32 32

X2 32 23

X3 32 23

X4 32 32

Y1 14 32

Y2 32 32

Y3 32 32


A. Zambrano 43

5.Refuerzo por aplastamiento Lac=d=68 cm Como todas las columnas son de 40 cm x 40 cm, solamente se disear la columna ms cargada.

Pn =0.85*p*fcc*Ac = 0.85(0.65)(210)(1600)/1000 = 185.64 ton Astmin=0.005*Ac = 0.005(1600)= 8 cm2

Pn = 185.64 < Pu=204 ton

Pui - Pni (204 185.64)x1000 Ast1= = = 7.02 cm2

p(fyc-0.85fcc) 0.65(4200 0.85x210) Ast=max(Ast1, Astmin) = max(7.02, 8) = 8 cm2 seleccion de varilla -probar varillas # 8, db=2.54 cm, Ab=5.07 cm2 Nreq=Ast/Ab = 8/5.07 = 1.58 usar 4 vrs. # 8 Asp=N*Ab = 4(5.07) = 20.28 cm2

L1=0.075*db*fyc/fcz = 0.075(2.54)(4200)/ (210) = 55.2 cm L2=0.0043*db*fyc = 0.0043(2.54)(4200) = 45.9 cm Ldc=max(L1, L2, 20 cm) = max(55.2, 45.9, 20) = 55.2 cm Ldc=Ldc*(Ast/Asp) = 55.2(8/20.28) = 21.77 cm < Lac=68 OK


A. Zambrano 44

ESQUEMAS. Acot: cm LS=varillas de lecho superior LI= varillas de lecho inferior Lx = 1260 @ 32 cm LS X4 385 @ 32 cm LI @ 23 cm LS X3 730 @ 32 cm LI @ 23 cm LS @ 32 cm LI X2 730 @ 32 cm LS X1 385 @ 32 cm LI NOTAS: (1) todas las varillas son # 8 (2) peralte de losa = 78 cm 325 630 325 Y1 Y2 Y3 1 1 @ @ @ @ @ @ 32 13 32 32 32 32 LS LI LS LI LS LI Ly=2230 FRANJAS Y


A. Zambrano 45

4 vrs#8 4 vrs#8 4vrs#8 180 78 1260 CORTE 1-1. Acot. cm


A. Zambrano 46

Ejercicio 5.2. Disear una losa de cimentacin para la planta de columnas mostrada en la siguiente figura. Todas las columnas son de 60 cm x 60 cm. Use fc=200 kg/cm2 para todo el concreto y fy=4200 kg/cm2 para todo el acero. Para el

suelo use qa=20.0 ton/m2, s = 1.8 ton/m3, Df=2.00 m y Ks=3000 ton/m3. 40 54 48 (61) (82) (72) 7.50 m 163 163 122 (245) (245) (184) 7.50 m 163 163 122 (245) (245) (184) 6.00 m 6.00 m Planta de cargas de servicio en las columnas (toneladas)

(cargas factorizadas entre parntesis)


A. Zambrano 47

APENDICE: Deduccin de la frmula para el momento mnimo para que As > Asmin en losas As > Asmin Donde:

- 2 4* As= 2 entonces

- 2 4* As= > Asmin 2

- 2 4* > 2*Asmin

- 2*Asmin > 2 4*

2 - 4**Asmin* + 4*(Asmin)2 > 2 4*

- *Asmin* + (Asmin)2 >

> *Asmin* - (Asmin)2

*Mu

> *Asmin* - (Asmin)2 *fy*d Mu (Asmin)2 > Asmin *fy*d Mu Asmin > Asmin 1 *fy*d Asmin

Mu > *fy*d* Asmin 1 (1)


A. Zambrano 48

Por otra parte Asmin 0.002*b*h*fy fy*h = =

1.7*fc*b*d 850*fc*d suponiendo que: d = 0.85*h fc=210 kg/cm2 fy=4200 kg/cm2 obtenemos: Asmin 4200*h = = 0.028 850(210)(0.85h)

Mu > *fy*d* Asmin(1 0.028)

Mu > 0.972**fy*d* Asmin sustituyendo

= 0.9 fy=4200 kg/cm2 b=100 cm d = 0.85*h Asmin=0.002*b*h = 0.002(100)h=0.2h Mu > 0.972*(0.9)(4200)(0.85h)(0.2h) Mu > 624.6 h2 Usar Mu min = 625*h2

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