CINEMATICA DE LA PARTCULA PROFESOR: A . B . A . Hace 2500 aos, Confucio declar: Lo que escucho, lo olvido. Lo que veo, lo recuerdo. Lo que hago, lo comprendo. Movimiento. Un cuerpo A se mueve respecto a otro punto B cuando su posicin respecto al segundo est cambiando con el tiempo. CINEMATICA DE LA PARTICULA Se define como parte de la Fsica (Mecnica) que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo produce. Elconductorestenreposorespectoalpasajeroquetransporta,peroesten movimiento respecto al peatn. El movimiento es relativo; dependiendo del SR utilizado los cuerpos se mueven o no y las trayectorias adoptan una forma u otra. El sistema de referencia elegido debe ser el que haga los clculos ms sencillos. Paradeterminarelmovimientodebemosestablecerunarelacinentrela posicin del cuerpo y el tiempo. Astenemos:Sielvectorrfijalaposicindelapartculaenfuncindel tiempo; se tiene: Para un observador en tierra, la trayectoria es parablica Para un observador (pasajero) en el avin, la trayectoriaes vertical de cada libre. XYZOTrayectoria.Lneadescritaporlapartculaensu movimiento. rX Y Z Vectorposicin. ( ) ( ) ( ) ( )k t z j t y i t x t r + + =( )( )( )===t z zt y yt x xEcuaciones paramtricas de la trayectoria. X Y Z DESPLAZAMIENTO Y VELOCIDAD MEDIA ) , , (i i i iz y x Pir + + = k z j y i x ri i i iitft) , , (f f f fz y x P + + = k z j y i x rf f f ffrA rEn el tringulo vectorial se tiene: A + = r r ri fSe define la velocidad media como: trvmAA= + + = = A k z z j y y i x x r r ri f i f i f i f) ( ) ( ) (tk z ztj y yti x xvi f i f i fmA+A+A= ) ( ) ( ) ( AA+AA+AA= ktzjtyitxvmLa velocidad media es un vector que tiene la misma direccin y el mismo sentido que el desplazamiento. XYZO) , , (i i iz y xitir + + = k z j y i x ri i i i) , , (f f f fz y x Pftfr + + = k z j y i x rf f f fA rmv A r vm//No debemos confundir velocidad media con rapidez media. La rapidez media es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerlo Ejemplo # 1 Un mvil se movisiguiendo el caminoPQR, donde PQ = 6m ;QR= 8m P R Q 6m 8m 10m La distancia recorrida es 14m, mientras que la magnitud del desplazamiento es10 m. Si el tiempo empleado en recorrer dicha distancia es 2 segundos, su velocidad media ser: smj isj ivm) 4 3 (28 6 + =+=smvm5 ) 4 ( ) 3 (2 2= + =Mientras que su rapidez media ser:

smsmtSvs7214= =AA=1) La posicin de una partcula en movimiento rectilneo es dada por la expresinX = 1 + 2 t ,donde X est en metros y t en segundos. Hallar la velocidad media en los intervalos: a) t = 0at = 1 s b)t = 1 s at= 2 sc)t= 2 sat=3 sd) t = 3 sa t =4 s ; Cuando t = 0 ; X 0=1 m ; t = 1 s ; X 1=3 m smism ivm== 2) 0 1 () 1 3 (1Cuando t = 1s ; X 1 =3 m ; t = 2 s ; X 2=5 m smism ivm== 2) 1 2 () 3 5 (2Cuando t = 2 s; X2= 5m;t = 3s ; X 3= 7 msmism ivm== 2) 2 3 () 5 7 (3Cuandot= 3 s; X3 = 7m ; t = 4s ;X 4= 9 m smism ivm== 2) 3 4 () 7 9 (4Como podemos apreciar las velocidades medias son iguales. Cte v v v vm m m m= = = = 4 3 21Luego el movimiento es rectilneo y uniforme ( MRU). La velocidad media no describe el movimiento en cada instante. No es adecuada para una descripcinreal del movimiento. Por ejemplo: Unmnibus que recorre 400 km sin detenerse, sin variar su velocidad y que tarda 8 horas ,tendr una velocidad media de 80 km/h Otromnibusrecorrelamismadistancia,peroparayvarasuvelocidadytardaelmismotiempo (8h),su velocidad media tambin ser de 80km/h. Obviamente los movimientos no han sido iguales. La nica manera de conocer el movimiento de un cuerpo en cada instante, es medir su velocidad mediaparadesplazamientosmuypequeos,duranteintervalosdetiempotambinmuy pequeos. Supongamos que un mvil recorre 100m en 10 segundos, y al analizar su movimiento en los ltimos 50 metros se observa lo siguiente: Se puede ver que los desplazamientos y los intervalos de tiempo son cada vez mas pequeos y la velocidad media se aproxima a un valor que no cambia mucho y que en este caso es de 12,50 m/s, es decir la velocidad media llega a un lmite. Otro ejemplo Si calculamos la velocidad en el instante t0= 1 s, para una partcula cuya posicin en metros vienedada por la ecuacin:2t x =Calculemos las velocidadesmedias para varios intervalos cada vez mas pequeos. m x s t 1 ; 10 0= =m x s t 21 , 1 ; 1 , 11 1= =m m x 21 , 0 ) 1 21 , 1 (1= = As s t 1 , 0 ) 1 1 , 1 (1= = Asmsmtxvm1 , 21 , 021 , 0111= =AA=m x s t 1 ; 10 0= =m x s t 0201 , 1 ; 01 , 12 2= = m m x 0201 , 0 ) 1 0201 , 1 (2= = As t 01 , 02= Asmsmtxvm01 , 201 , 00201 , 0222= =AA=m x s t 1 ; 10 0= =m x s t 002001 , 1 ; 001 , 13 3= = m m x 002001 , 0 ) 1 002001 , 1 (3= = As s t 001 , 0 ) 1 001 , 1 (3= = Asmsmtxvm001 , 2001 , 0002001 , 0333= =AA=Como se puede apreciar :0 AtEntonces la velocidad media se acerca a un valor fijo de 2 m/s. Por consiguiente la velocidad en el instante t =1s es de 2 m/s. VELOCIDAD PUNTUAL O INSTANTNEA Indica cmo vara la posicin del mvil en cada instante. Hemos visto que la velocidad media no nos da informacin sobre como se mueve la partcula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto (pequeo) de tiempo, la informacin del movimiento resulta mas precisa.Cuanto mas pequeo sea el intervalo de tiempo, ms se aproxima la velocidad media a la velocidad instantnea o puntual. Matemticamente, esta operacin se calcula mediante un paso al lmite: dtr dt v= ) () (0lim) (0lim) (trtvtt vmAA A= A= VELOCIDAD PUNTUAL O INSTANTNEA XYZOt1 A Art2 B Brt'2 B ABrmBV2t A' BrA' Br' B mV2' t A3' tB ' ' BrA' ' Br' ' mBV3' t AV0 At2 1 2t t t A = 2 1 2' ' t t t A = 3 1 3' ' t t t A = V VmEl vector velocidad instantnea es tangente a la trayectoria que describela partcula La velocidad instantnea es la derivadadel vector posicin respecto del tiempo. dtr dt v= ) (La derivadade una funcin es el limite de la razn del incremento de la funcin al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Llamada tambin coeficiente diferencial o funcin derivada. dxdy=AA A)xy( 0 xlimPara explicar su significado, se emplear un ejemplo numrico. 2x y Sea =) 2 ( x x x y A + A = Ax xxyA + =AA2xdxdyx xx2 ) 2 (0lim= = A + A) ( ) (1udvdu n udvdn n =xdxdxx xdxd2 2 ) (1 2 2= =3 412 ) 3 ( x xdxd== = ) 121(21)21)( 4 ( ) 4 ( x xdxd212x0 ) ( = CdxdCconstante1 ) ( = xdxddxduc cudxd= ) (dxduvdxdvu uvdxd+ = ) (dxduCos Sendxdu u) ( =dxduu Sen u Cosdxd) ( =dxduu Sec u tgdxd2) ( =x Sen y 2 =) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( ' xdxdx Cos x Sendxddxdyx y = = =x Cos xdxdx Cosdxdyx y 2 2 ) 2 ( 2 ) ( ' = = =Y(x) = 2 sin x + cos 3xY (x)= 2 cos x - 3 sin 3x. EJERCICIOS 1) Una partcula se mueve segn la ecuacin: X = 4 t2 + 2 t + 3 en unidades SI. Calcular: la velocidad en el instante t = 2 s ) 3 2 4 () (2+ + = = t tdtddtx dvsmt t v ) 2 8 ( ) ( + =Y cuando t = 2s smv 18 ) 2 ( =La posicin de una partcula en movimiento rectilneo es dada por la ecuacinX = t 3+ 4 t 2 2 .(SI). . Calcular la velocidad cuandot = 3 s. ) 2 4 ( ) (2 3 + = = t tdtddtdxt vsmv 51 ) 3 ( =smt t t v ) 8 3 ( ) (2+ =2)ElmovimientodeunapartculasedefineporlarelacinX=2t 2 20t+60.Dondeteseltiempoen segundos y X es la posicinenmetros. a) Encontrar el tiempo para el cual la velocidad es cero.b) La posicin cuando el tiempo es de 8 segundos.) 60 20 2 ( ) (2+ = = t tdtddtdxt vsmt t v ) 20 4 ( ) ( = 20 4 0 ) 0 ( = = t vs t 5 =La posicin cuando t=8s ser: | | m x 28 60 ) 8 ( 20 ) 8 ( 2 ) 8 (2= + =3)Unapartculasemuevedetalforma, queelvectorposicin depende deltiempo de acuerdocon: r = (4-t)i + (t2+2t)j + (6t3-3t)k. Calcula la velocidad cuando t = 1s. ((

+ + + = = k t t j t t i tdtdt rdtdt v ) 3 6 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) (3 2 + + + = k t j t i t v ) 3 18 ( ) 2 2 ( ) (2 + + = k j i v 15 4 ) 1 (Elmovimiento de unapartculaestadescrito por la relaciones:mts t z ; mts t , y;mts t . x 3 cos 2 5 1 3 sen 2 = = =Calcularlavelocidad en funcin del tiempo. + + = k z j y i x r + + = k t Cos j t i t Sen r 3 2 5 , 1 3 2 + + = = k t Cosdtdj tdtdi t Sendtddtr dt v ) 3 2 ( ) 5 , 1 ( ) 3 2 ( ) ( + = k t Sen j i t Cos t v 3 6 5 , 1 3 6 ) (4) Una partcula se mueve a lo largo de la curva 10 y = x3 donde xest en metros, de tal manera que2x = t2, dondetest en segundos. Determinar la velocidad de la partcula cuando t = 2s. 103xy =22tx =80 10)2( 632tty = = + = jtitr80 26 2 + = = j t i tdtr dt v5403) ( smj i v ) 4 , 2 2 ( ) 2 ( + =INTEGRACIN Sea: c x x f x y + = =2) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( '2c xdxddxdyx f x y + = = =x x f 2 ) ( ' =}= dx x f x f ) ( ' ) (} }= = = xdx dx x x f x y 2 ) 2 ( ) ( ) ( cnudu unn++=}+11cxxdx x y + = = }22 2 ) (2c x x y + =2) (}= dx x23c x cxcx+ = + = ++33 ) 1 2 ()3( 3 )3( 3=}dt t21ctct t+ = + =++23)23( ) 121(3223121c u Cos du u Sen + =} c u Sen du u Cos + =} MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO Ya hemos estudiado y aprendido a representar grficamente el movimiento ms sencillo (MRU).Ahora podemos pensar en movimientos ms complejos Empecemos de apoco .Comencemos por estudiar el movimiento en el cual el mvil no cambia de direccin pero si la magnitud de su velocidad media. Por lo tanto ste ser un movimiento rectilneo no uniforme. EjemploSupongamos que un mvil registra los siguientes datos en su movimiento: t(s) 0 1 2 3 4 v0 3 6 9 12 m/s ssm3ssm3ssm3ssm3maCtesmtvam= =AA=23Por consiguiente al movimiento se le llama : uniformemente variado. A los 3 s la distancia recorrida es nueve (3) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4) esa distancia. Otra conclusin que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2) veces la recorrida en el primer segundo. Los cuerpos que se mueven con aceleracin constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo. Ahora si llevamos al lmitela aceleracin media se tendr: = =AA A) ( ) (0limvdtdtvt) ( = + + = vdtdk a j a i a az y x) ( + + = k v j v i vdtdaz y x + + k vdtdj vdtdi vdtdz y x) ( ) ( ) (22) ( ) (dtx ddtdxdtdvdtdax x= = =22) ( ) (dty ddtdydtdvdtday y= = =22) ( ) (dtz ddtdzdtdvdtdaz z= = =22) ( ) (dtr ddtr ddtdvdtda = = =22dtr da=5) Una partcula movindose el lnea recta obedece la ecuacin: V = 3 t 2 18 t + 24, (SI) .Ent = 0 , la partcula est 5m arriba del origen. Determina la velocidad media en el intervalo t = 0at = 3s. EJERCICIOS DE APLICACION 24 18 32+ = = t tdtdxv dt tdt dt t dx 24 18 32+ =} } } }+ + = C dt tdt dt t dx24 18 32C tt tt x + + = 2421833 ) (2 3C t t t t x + + = 24 9 ) (2 3Cuandot = 0 :x(0)= 5 =C. Luego X(t)=t 3 9 t 2 + 24 t+ 5m t 5x ; 00 = =m s t 23 x ; 33 = =m m x 18 ) 5 23 ( = = A s s t 3 ) 0 3 ( = = A s msmvm/ 6318= =6) Una partcula tiene un MRUV. Determinar las expresiones para su posiciny velocidad en funcin del tiempo. Si cuandot = 0 , V = V 0 adtdv=c dt a dv adt dv + = =} }c at v + =c v v t = = =0) 0 ( ; 00v at v + =dt v atdt dx v atdtdx0 0+ = + =} } }+ + =1 0c dt v tdt a dx0 0221) ( x t v at t x + + =Donde x0es la posicin inicialcuando t=0. 7) La aceleracin de una partcula en M.R. esta dada por a = 6 m /s2 parat =0 la posicin x =0 y v = 0. Calcular la posicin yvelocidadparat = 5s.adtdv=dt a dv =} }= dt a dv}= ) (t v dvc at dt a + =}c t t v + = 6 ) (La constante de integracin se obtiene con las condiciones inciales del problema . c 0 v(0) ; 0 = = = tt t v 6 ) ( =smsmv 30 ) 5 ( 6 ) 5 ( = =tdtdxt v 6 ) ( = = dt t dx 6 =} }= tdt dx 61226 ) ( ctt x + =10 ) 0 ( c x = =m m x 75 ) 5 ( 3 ) 5 (2= =8) La velocidad de una partcula en M.R. puede expresarse como:2 32 + = t t v, dondevesta en m/s yten segundos .La partcula se encuentra enx = -2m cuandot = 0 .Calcular la posicin y aceleracin parat = 5 s .2 3 ) (2 + = = t tdtdxt vdt tdt dt t dx 2 32 + = c t ttt x + + = 2233) (23c x = = 2 ) 0 ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 (233) 5 () 5 (23 + = x22) 3 2 ( ) 2 3 (smt t tdtddtdva + = + = =213 3 ) 5 ( 2 ) 5 (sma = + = 9) La posicin de una partcula en movimiento rectilneo es dada por: X = 2 t 2 8 t + 5 , donde X es la distancia en m desde el origen y t es el tiempo en segundos .Determinar a) La posicin, velocidad y aceleracin, cuanto t = 2 s. b) El desplazamiento y la distancia total recorridaen el intervalot = 0 sat = 3 s. En t = 2 s :X = 2 ( 2 ) 2 8(2) + 5 =- 3 m smi tdtdxt v = = ) 8 4 ( ) (0 ) 2 ( v; 2 = =s tEs decir llega al reposo en 2 s 24 ) 8 4 ( ) (smi i tdtddtv dt a = = =Como se puede ver la aceleracin es constante Luego es un M.R.U.V. Ahora para calcular el desplazamiento en el intervalo pedido: t= 0 s ;X 0 = 5 m;t= 3 s ;X 3 = - 1 m., luego A X=X 3 X 0=( - 1 ) ( 5 ) =- 6 m En cambio la distancia total recorrida en el mismo intervalo ser: t= 0 ;X 0 = 5 m ;t = 1 s; X 1 = - 1 m; t= 2 s ; X 2 = - 3 my llega al reposo.t = 3 s ;X 3= - 1 m Esto quiere decir que la partculaha recorrido primero una distanciad 1 = 6 m hacia la izquierda desde X = 5m , hasta X = - 1m . En el siguiente segundoha recorrido una distancia d 2 desde X = - 1m Hasta X = - 3mtambinhacialaizquierda,dondellegaalreposo ( V = 0) .LuegoregresahastaX =- 1 mhacialaderecha. d 1 + d 2 + d 3 =6 + 2 + 2 = 10 m ( ver fig,) 10) La posicin de una partcula a lo largo del eje X es dada por: X= t 3 + 3 t 2 9 t 6, donde X est en m y t en segundos .Cuando t = 1 s, la partcula est 11 m a la derecha del origen. Determinar la velocidad media en el intervalot = 0at= 2 s, y la distancia total recorrida en el mismo intervalo. Para calcular la velocidad media, tenemos que encontrar las posiciones en los intervalos pedidos, esto es; Ent =0 ;X 0 = - 6 m : Ent = 2 s; X 2 = - 4 m, luego el desplazamiento ser:A X i= ( X 2 X 0 ) i=2 i m Observando la ecuacin de posicin, se puede ver que en algn momento su velocidad se hace cero (llega al reposo).Luego calculamos la velocidad, derivando la ecuacin de posicin. + = = i t t idtdxt v ) 9 6 3 ( ) ( ) (2Para averiguar cuando llega al reposo, hacemos: 0 9 6 32= + t t0 ) 2 )( 1 ( = + t ts t 1 =La partcula llega al reposo en t = 1s Por lo tanto: t= 0; X 0 =- 6m : t= 1 s ;X 1 = - 11 m t= 2 s ; X 2 = - 4 m. Para hallar la distancia total recorridasumamos la distancia d 1 querecorre desde X = - 6 m ,en t = 0, hastaX 1 = - 11 men t = 1 s d 1 = 5 m. donde llega al reposoluego vuelve a X 2 = - 4 m , en t = 2 s, recorriendo una distancia d 2 = 7 m hacia la izquierdaPor lo tanto la distancia total recorrida ser : d 1 +d 2 = 5 + 7 = 12mUna partcula con MRUV describe 17m en el tercer segundo de su movimiento y 29m en el sexto segundo. Hallar su velocidadinicialy su aceleracin. La partcula tiene una velocidad inicial V 0 y una aceleracin constante a ,yen los dos (2) primeros segundos habr recorrido: X 2 =V 0 (2) + (a) t 2X 2= 2V 0+ 2 a(1) En t =3sX 3 =V 0 (3)+ (a) (3) 2 X 3 = 3 V 0 +9 a /2 -----------------(2) Pero como en el tercer segundo recorre 17m: X 3 X 2 =17=( 3 V0 + 9 a/2) (2 V0 + 2 a ) 2 V0+5 a=34-----------------------(3) En t = 5 s , habr recorrido:X 5 =5 V 0+ 25 a /2 En t = 6s: X 6 = 6 V 0 + 18 a Pero en el sexto segundo recorri 29m, luego X 6 -X 5 = ( 6 V 0 + 18 a ) ( 5 V 0 + 25 a /2 ) = 29 2 V 0 + 11 a= 58 -----------------(4) Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) : a= 4 m/s 2;V 0 = 7 m/s LANZAMIENTOVERTICALHACIAARRIBA Y X v0 r + = j y i x rg = j gdtv d = j gdt v d + =} }j v j dt g v d0 = j gt v v ) (0 = = j gt vdtr dv ) (0 = j gtdt j dt v dr0c j tdt g j dt v dr + =} } } 0c j tgj t v t r + = 202) ( c j tgt v j y i x t r + = + = )2( ) (2020 02) ( ; tgt v t y x x = =c i x r = = ) 0 ( = = j gt v t v ) ( 0 ) (0El mvil alcanza su altura mxima luego: mtgv=0202) (tgt v t y =Y si este tiempo lo reemplazamos en la ecuacin 220 00202 2

gv ggvv tgt v ym m m = =gvym2

20=11) Una partcula es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 92 p/s , y 2 segundos mastardeotraeslanzadahaciaarribadesdeelmismopuntodepartidaconunavelocidadde68 p/s.Hallarlaalturasobreelpuntodepartidadondeseencontrarnlaspartculasyeltiempo transcurrido desde el lanzamiento de la primera partcula. ----01vA B C Eltiempo que tarda la partcula en ir de A La posicin tambin tiene las dos coordenadas (X, Y). Y XV0 r(t) x y r(t) = x i y j g j gdtdV =LANZAMIENTO HORIZONTAL La velocidad inicial del proyectil(Vo) slo tiene direccin horizontal X, por lo que Vx = Vo La velocidad horizontal (Vx) es constante para cualquier instante del movimiento. Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La nica fuerza que acta sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleracin es g. La velocidad inicial hacia abajo es CERO (Voy = 0), por lo que se trata como si fuera cada libre. Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes ( VxyVy ). + = j v i v vy x = = j gdt v d j gdtv d; c j dt g v d + = } }c j gt t v + = ) (c i v v = = 0) 0 ( = j gt i v t v0) ( 0v vx = gt vy = = = j gt i vdtr dt v0) ( = j gtdt i dt v r d0c j tdt g i dt v r d + =} } } 0c jtg i t v t r + = 2) (20c r = =0 ) 0 ( = j tgi t v t r202) ( = + = j tgi t v j y i x t r202) (t v x0=22 tgy =0vxt =20) (2 vx gy =220)2( xvgy = Llamada ecuacin de trayectoria. Ecuaciones paramtricas Y X V0 uV0x V0y MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Y X Vy = 0 xvxvxvxvxvyvyv1yv3yv2myY X g r j y i x r + = = j gdtv d = j gdt v dc j dt g v d + =} } c j gt t v + = ) (c v v = = 0) 0 ( + = j Sen v i Cos v v 0 00 0 0 + = j gt Sen v i Cos v t v ) ( ) (0 00 00 Cos v vx 0=gt Sen v vy = 000 Cos vdtdxvx 0= =dt Cos v dx00 = t Cos v t x ) ( ) (00 =gt Sen vdtdyvy = = 00gtdt dt Sen v dy =00c tdt g dt sen v y + =} }00ctg t Sen v y + =2) (200c y = = 0 ) 0 (2) ( ) (20tg t Sen v t y = 00 Cos vxt0=20 00) ( ) )( (0 00Cos vxgCos vxSen v y =) ( ) (2202000Cos vxgCosSenx y =2220)2( xCos vgxtg y00 =12) Una partcula es lanzada formando un ngulo con la horizontal ,y pasa a travs de dos puntos cuyas coordenadas horizontal y vertical son (a, a) y (2a,a).Hallar el ngulo de lanzamiento . X Y --(a,a) (2a,a) 0v0La ecuacin de trayectoria es: 0022022 Cos vxg tg x y =En el punto ( a ,a ) la ecuacin ser: 0022022-Cos vgatg a a =002202- 1Cos vgatg =Despejando ga, se tiene: 1 )2(220 = 00tgCos vga0 02202 1) - ( ga Cos v tg =------------------(1) En el punto (2a,a) la ecuacin ser: 00220224- 2Cos vgatg a a =0022024- 2 1Cos vgatg =------------(2) 4cos 2 ) 1 2 (2200 0 v tgga=Igualando las ecuaciones 1 y 2 se tiene: 42 ) 1 2 (2 1) - (2202200 00 0Cos v tgCos v tg=4cos 2 ) 1 2 (2200 0 v tgga=0 02202 1) - ( ga Cos v tg =4) 1 2 () 1 (= 00tgtg1 2 ) 1 ( 4 = 0 0 tg tg1 2 4 4 = 0 0 tg tg3 2 = 0 tg23= 0 tg03 , 56 ~ 013) Dos partculas se lanzan simultneamente desde el mismo punto, con velocidades inciales de igual magnitud25m/s.Sinembargo,mientrasunadeellaseslanzadaverticalmentehaciaarriba,laotra sale en una direccin que forma un ngulo de 53 con la horizontal (hacia arriba). Calcular cunto tiempo despus del lanzamiento la distancia entre ellas es dem 10 10202) ( tgt v t y = = = j tgt v j t y t r )2( ) ( ) (20 1 1 ((

+ = jtg t Sen v i t Cos v t r )2( ) 53 ( ) 53 ( ) (20000 2 A + = r r r1 2 A = r r r1 2 A = ((

+ r jtg t v jtg t Sen v i t Cos v )2( )2( ) 53 ( ) 53 (2020000 A = ((

+ r jtg t jtg t i t )225 ( )2( )54)( 25 ( )53)( 25 (2 2 A = ((

+ r jtg t jtg t i t )225 ( )2( 20 ( 152 2 A = r j t i t 5 15t t t r 10 5 ) 5 ( ) 15 (2 2= + = At 10 5 10 10 = s t 210 510 10= =14) La aceleracin de una partcula en M.R. esta dada por a = KX , donde K es una cte.yXestaencms.ParaX=0,v=0,yparaX=2cmv=10cm/s.Calcularla velocidad para X = 5 cms. dxvdvdtdxdxdvdtdva = = = ) (dx Kx dv v Kxdxvdva .= = = = 02 22 2= + = c cKx v0 = x0 = vx K v Kx v . 2 2= =2 = x s m v 10 =

25 4 100 ) 2 ( ) 10 (2 2= = = K K Kx v 5 =( ) 5 5 = vs cm v 25 = 15) La velocidad de una partcula esta definida por la expresin v = K y2, donde v esta en m/s , y en metros y K es una constante. Calcular la aceleracin paray =100, si cuando y = 5m ; v = 2 m/s. |.|

\|= = = K KvKy v252

y 22( )dtdyKy Kydtdadtdv22= = =( )2 22 Kydtdy v porque;Ky Ky a = = =3 22 y k a =Ahora cuando: y = 100 m ( )310062542|.|

\|= a ( )31006258|.|

\|= a2800 , 12 s m a =16) Laaceleracindeunapartculaestadefinidapor la ecuacin a = Kx m/s2 , donde K es una constante y x esta en metros . Cuandox = 0; v = 0 ycuandox =2m ;v = 10 m/s . Calcular la velocidad cuando x = 5m. Kxdxvdvdtdxdxdv dvKx a = = = = ) (dtcxK2vKxdx vdv2+ = =22Pero como:0 0 0 = = = c x ; v Kxv Kx v2 = =22 2Ahora cuando x = 2m ; v = 10 m/s : ( )( )25410021022= = = K25 = KY cuando x = 5 m: K x v Kx v = =2 2( ) 5 5 25 5 = = vs m v 25 =( ) s m j i v 9 2 =( )23 4 s m j i a + =17) Una partcula se mueve en el plano XY con aceleracin constante Cuando t =0 , x = 4m , y = 3mSi su aceleracin viene dada por a) Determinar el vector velocidad ent = 2 b )Calcular el vector posicin cuandot = 4s . Expresar el mdulo y direccindel vector posicinj dt i dt v d j idtv dj i a . . 3 . . 4 3 4 3 4 + = + = + =9 2 ; 0. 3 . 40 0j i V v t V j t i t v = = = + + =( ) ( ) j t i t v 9 3 4 2 + + =Cuandot = 2ss m j i v 3 10 =( ) ( ) j t i tdtr dv 9 3 4 2 + + = =j dt j dt t i dt t i dt r d . . 9 . . 3 . . 4 . . 2 + + =022. 9 .23 . 2 . 2 r j t jti t i t r + + + =( ) jtt i t t r ||.|

\|+ + + + =239 3 2 2 422Cuando t = 4s:

m . 9 . 44 j i r = m 45 = r012 ;977 . 04544cos = = =x xu u18) Una partcula se mueve en el plano XY de manera que su velocidad en cualquier instante tmayor quecero esm/s. Se sabe que en t = 5s pasa por el punto (25,0). Dnde se encontrar en el instante en que la aceleracin es perpendicular a la velocidad? + = j t i t t v ) 5 ( 2 ) ( + = j t i tdtr d) 5 ( 2 + = j tdt dt i tdt r d ) 5 ( 2 + + =022)25 ( r jtt i t r + + = + =022)25 ( ) ( r jtt i t j y i x t r ) ( )255 5 ( 5 25 ) 5 (0 022 + + + = = j y i x j x i i r = = j idtv da 2 + = j t i t t v ) 5 ( 2 ) (0 ) 5 ( 2 ) 2 ( =((

+ - = - j t i t j i v a0 5 4 = + t ts t 1 = + = j i r )22529( ) 1 (m j i r ) 8 ( ) 1 ( = + = k t j i t t a212 4 18 ) ( + = = k t j i tdtv dt a212 4 18 ) ( + = k dt t j dt i tdt v d212 4 18 c k t j t i t t v + + = 3 24 4 9 ) (c k j i k j i v + + = + = 3 2) 3 ( 4 ) 3 ( 4 ) 3 ( 9 108 12 80 ) 3 ( = i c + = k t j t i t t v3 24 4 ) 1 9 ( ) ( + = = k t j t i tdtr dt v3 24 4 ) 1 9 ( ) ( + = k dt t j tdt i dt dt t r d3 24 4 ) 9 (c k t j t i t t t r + + = 4 2 32 ) 3 ( ) (c k j i r + + = = 4 2 3) 3 ( ) 3 ( 2 )) 3 ( ) 3 ( 3 ( 0 ) 3 ( + = k j i c 81 18 78 + = k t j t i t t t r ) 81 ( ) 18 2 ( ) 78 3 ( ) (4 2 319) La aceleracin de una partcula P tiene de componentes cartesianas (18 t, -4, 12 t2) siendo t el tiempo. Cul es la velocidad v (t) y la posicin r (t) de P si la partcula pasa por el origen con velocidad de componentes (80, -12, 108), cuando t = 3 s? ACELERACIONTANGENCIALYNORMAL En el estudio de movimientos curvilneos, particularmente en el circular, las componentes tangencial y normal de la aceleracin pueden ser ms convenientes que las componentes rectangulares La posicin de una partcula la cual se mueve a lo largo de una lnea curva esta completamente especificada cuando la trayectoria es dada y la distancia medida a lo largo de ella desde algn punto fijoes conocida en funcindel tiempoPara esto consideremos que una partcula describe la trayectoria de la figura. Y X 0Vte0txetye1Vte2Vte =te V V) (= =te vdtddtv dadte dv edtdvatt + =) (tedtd + = j e i e ety tx t + = j Sen e i Cos e et t t0 0) ( ) ( + = j Sen i Cosdtdedtdt0 0 + = j Sen i Cos et0 0) Sen ( ) ( + = jdtdCos idtdedtdt0000dtdj Cos i edtdt00 0 ) Sen ( ) ( + = = + Ne j Cos i ) Sen ( 0 0 =Ne ) (dtdedtdt0dte dv edtdvatt + = + =N tedtdv edtdva00 ) ( ) j ( = + - + = - j Cos i Sen Sen i Cos e eN t0 0 0 00 = - N te e N te e + =N ta a a) )( (dtdsdsddtd 0 0 = ) )( ( vdsddtd 0 0 =ds0 d0 d ds =dsd0 =1) )(1( vdtd0 = = =N N Nevv edtdv a ) (0 =N Neva2-tateC NaNe + =N tevedtdva2 =N Neva2 =t tedtdvaa20) Larapidez de una partcula P a lo largo de una circunferencia de radio 2 cms , varia segn la ecuacin :6 23 = t vDonde v esta en cm / sy tensegundos . Cuandot = 2s lapartcula se mueve hacia abajo como muestralafigura . Hallar la aceleracin de lapartcula en ese instante.v ( ) 6 23 = = tdtddtdvatCuando t = 2s:224 s cm at =226 s cm t at =ta| | 2 3 26 2 = =t vaN( ) | | ( )222350210 6 2 2s cm aN= ==Naa( ) ( )22 2 2 23076 50 24scmsa a aN t= + = + =s m 20280 s m21) En cierto instante las magnitudes de la velocidadyaceleracin de u proyectil son : respectivamente, y el ngulo de inclinacinentreellosesde300.Determinarelradiode curvaturaen ese instante.) (. 6 33 2SI k t j t i t r + + =22) Elvectorposicin deunapartcula,se describecomo:

Expresar la aceleracin en componentes tangencial y normal. k t j t i t r 3 2. 6 3 + + =( ) k t j t i tdtddtr dv 3 2. 6 3 + + = = ( ) smk t j i t v 23 6 . 6 + + =( ) k t j i tdtddtv da 23 6 . 6 + + = =2) 6 6 (smk t i a + = - =t tu a agente unitario vector uttanvvut=( )( )( ) ( )22 2223 6 63 6 . 6. 6 6t tk t j i tk t ivva at+ ++ +- + = - = ( ) ( )22 223 6 6 t t v + + =( ) ( )( )ttt tt tt tt tt tat6) 2 ( 3) 2 ( 18) 4 4 ( 92 189 36 3618 36222 424 23=++=+ + +=+ ++=Ahora para obtener la aceleracin normal; hagamos lo siguiente: N t N ta a a a a v a v + = + = ; ) (N ta v a v a v + = 0 = ta v Na v a v = N Na v sen a v a v porque ,) 90 )( )( ( | |0 = ) )( ( | |Na v a v = va x vaN =) . 6 6 ( ) 3 6 . 6 (2k t i k t j i t a v + + + = ) 36 18 36 (2k j t ti a v = 2 2 2 2) 36 ( ) 18 ( ) 36 ( | | + + = t t a v 2 2 2 2) 3 ( ) 6 ( ) 6 ( | | t t v v + + = =4 29 36 36 | | t t v v + + = =36 9 36) 36 ( ) 18 ( ) 36 (4 22 2 2 2+ + + +=t tt taN26 s m aN =23)El vector posicin de una partcula en movimiento plano es:| | j t i t r 2 3) 5 4 ( + =Calcularlaaceleracintangencial cuandot = 2s. j t i t r 2 3) 5 4 ( + =| | j t i tdtddtr dv 2 3) 5 4 ( + = =| | s m j t i t v . 2 . 122 =Cuando t = 2s: smj i v ) 4 48 ( =s m v 16 , 48 ) 4 ( ) 48 ( | |2 2= + =( ) j t i tdtddtv da . 2 122 = =2) 2 24 ( s m j i t a =2) 2 48 ( s m j i a =16 , 484 48 j ivvut = =16 , 48) 4 48 () 2 48 (j ij i u a at t - = - =248 s m at =24) La posicin de una partcula en una circunferencia de 20 cm de radio ,estdada por:t t s 4 22 = donde s esten cmytensegundos. Hallar t cuando la magnitud de la aceleracin tangencial esigual a la magnitud de la aceleracin normal. N ta a =( ) ( )scmt t tdtddtdsvdtdvat4 4 4 22 = = = =( ) 4 4 = = tdtddtdvat 24scmat =20) 4 4 (2 2= =t vaNN ta a =s t ) 5 1 (+ =25) El vector posicin de una partcula en movimiento curvilneo plano es: | | ). ( ) 5 (3 3SI j t t i t r + = Calcular el radio decurvatura y la aceleracin cuando t = 5 s. | | j t t i t r ) 5 (3 3 + =j t i tdtr dv ) 1 15 ( . 32 2 + = =j t i tdtv da 30 6 + = =smj i v ) 374 75 ( ) 5 ( + =2) 150 30 ( ) 5 (smj i a + =Pero si a la aceleracin la multiplicamos vectorialmente por la velocidad: v a v a v a a v aN t N t + = + = ) (0 ) ( = v at 090 ) )( ( | | Sen v a v aN= 3 2| |vvvv a v aN=||.|

\|= = | |3v av = 26) La posicin de una partcula en movimiento curvilneo esta dada por:). ( ) (2SI m j t i t r + = Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando t = 1s.s m j i tdtr dv m j t i t r ) 2 ( ) (2 + = = + =2) 2 ( s m i a=5) 2 () 2 (j iivva e a at t +- = - = - =255 4 s m at =2 222 22N t N ta a a a a a = + =2/ 552s m aN =Otra manera de resolverlo: k i j i a v ava vN 2 2 ) 2 (| | = + = =s m v / 5 =2552s m aN=222/55 4s m a a aN t= =Otra forma de resolverlo: dtdvat = 1 ) 2 ( . 22+ = + = t v j i t v 2 / 1 2) 1 4 ( + = t v( ) ( ) ( ) 1 4 1 4211 422 / 122 / 12+ + = + = =tdtdt tdtddtdvat( ) () t t at8 1 421 2 / 12+ =

1 442+=ttat255 4) 1 ( s m at=2 2255 2s m a a at N= =27) )Unapartculaenmovimientocurvilneosuposicinesdadapor( ) ( ) smj i tdtr dv j t i t r 2 . 2 . 2 12 + = = + =Hallar las componentes tangencialy normal de la aceleracin en elpunto (0,2). ( ) ) ( . 2 12SI j t i t r + =( )22 s m idtv da = =j t i t j y i x r 2 ) 1 (2+ = + =En el punto (0,2) se tiene:j t i t j i 2 ) 1 ( 2 ) ( 02+ = +s t t 1 1 02= = s t t 1 2 2 = =smv j i v 2 2 2 2 ) 1 ( = + = 2) (2 22 2 j i j ivvet + =+ = =222) () 2 (sm j ii e a at t=+ - = - = 28 ) Una partcula viaja sobre la trayectoria y = x2 , si parte del origen con una velocidad de 40 m/s hacia la derecha y viaja por 10 s con una aceleracin tangencial constante de 5 m/s 2, la cual es opuesta a la velocidad inicial. Determinar la distancia total recorrida y la longitud de la parbola desde el origen a la posicin de la partcula al cabo de 6 segundos. 25smdtdvat = =dt dv 5 =05 ) ( v dt t v + =}05 ) ( v t t v + =Pero cuando: t = 0 , V = V 0 = 40 m/s. t t v 5 40 ) ( =tdtdst v 5 40 ) ( = =tdt dt ds 5 40 =022540 s t t s + =Pero, ent = 0 ,s 0 = 0. 22540 t t s =Como el movimiento es uniformemente retardado, en algn instante t llegar al reposo, esto es: t t v 5 40 0 ) ( = =s t 8 =Esto quiere decir que llega al reposo en 8 segundospero como tiene la aceleracin constante por 10 segundos ,2 s de su movimiento los emplea para regresar, luego calculamos la distancia que recorre hasta llegar al reposo , S r: S r= 40(8) (5)(64)= 160 m Luego calculamos la distancia que recorre en 2 s , pero de regreso:S 1 = (5)(4) = 10 m Por lo tanto la distancia total recorrida ser:S T= S r + S 1= 170 m Ahora calculando la posicin al cabo de 6 s:S 6 = 40(6) (5)(36) = 150 m 29) Una partcula est viajando sobre la curva mostrada en la figura. En A tiene una velocidad de 20 m/s y se mueve hacia B para luego regresar hasta C. Durante todo el movimiento su velocidad est cambiando en una razn constante , recorriendo una distancia total de 58 m. El tiempo tardado en ir de B a C es 2 s.El radio de curvatura en C es10 m .Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleracin cuando pasa por C. y X smvA20 =m sT58 =s tBC2 =m 10 = tadtdv =dt a dvt =0) ( v t a t vt + =smv v v t EnA20 ; 00= = = =t a t vt = 20 ) (Como el movimiento es retardado ,llega al reposo en B , y tarda un tiempo t, que se obtiene : t a t vt = = 20 0 ) (tat20=t adtdst = 20tdt a dt dst = 20022120 s t a t st+ =Donde S es la distancia total recorrida hasta regresar al punto C. Por otro lado el movimiento de B a C lo hace partiendo del reposo con la misma aceleracindurante 2 segundos , por lo tanto ,la distancia recorrida de B a C , se calcula . ) 4 (21t BCa s =t BCa s 2 =Si llamamos a S AB distancia recorrida hasta llegar al reposo en el punto B. Se tiene: 221t a t v st A AB =2)20(21 ) 20 () 20 (tttABaaas =Como la distancia total recorrida es 58 m , reemplazamos ,para obtener: S T =S AB + S BC tt taa a2200)400( 58 + =24smat =4 = =dtdvatdt dv 4 =04 ) ( v t t v + =00 ; 0 v v t = = =t t v 4 ) ( =smv 8 ) 2 )( 4 ( ) 2 ( = = 22)1064() (sm vaN= =24 , 6smaN =30) La aceleracin de un avin que aterriza en una pista a 50 m/s se puede expresar, para un cierto lapso, como a = 4 (10)3v2, donde si v est en m/s, a resulta en m/s2. Determine el tiempo requerido para que el avin reduzca su velocidad a 20 m/s.dtdvvdtdva ==210004;31) La magnitud de la aceleracin de un collarn que se desliza sobre una barra horizontal se expresa, en funcin de su posicin, comodonde a se da en pul/s2 y x en pul. Cuando t = 2 s, entonces v = 32 pul/s y x = 16 pul. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin del collarn cuando t = 3s.x a 12 =) )( ( ) )( ( vdxdvdtdxdxdvdtdva = = =dxdvv a =xdxdvv 12 =dx x vdv 12 =12112 C dx x vdv + =} }123223122C xv+ =123282C xv+ =1232) 16 ( 82) 32 (C + =32 ;16 = = v x01 = C23282xv=434x v =434xdtdx=dtxdx443 =dt dx x 443=} }+ =2434 C dt dx x2108;108 ; 81spulaspulv pul x = = =PROBLEMAS PROPUESTOS 1) El vector r = (4t2 1)i + (t2 +3)j (SI) . Calcula la velocidad y aceleracin en el instante t = 1. Deduce la ecuacin de la trayectoria.2) La posicin de una partcula que se desplaza en lnea recta es: x = t3 2t + 5 en metros. Determina la posicin, velocidad y aceleracin en el instante t = 2s.3) Una partcula se mueve segn la ecuacin: X= 4 t2 + 2 t + 3 en unidades SI. Calcular: a) la velocidad inicial vo; c) la velocidad en el instante t = 2 s; d) la aceleracin del movimiento. 4) Un movimiento planoviene descrito por las ecuaciones paramtricas: Determinar la ecuacin de la trayectoria, la velocidad y la aceleracin del mvil.5) La posicin de un objeto est relacionada con el tiempo por la ecuacin: x = At2 Bt + C, siendo A = 8 m/s2; B = 6 m/s y C = 4 m. Determinar: a) es uniformemente acelerado el movimiento?, por qu?; b) la velocidad del mvil al cabo de 1 s.6) Una partcula describe la trayectoria dada por las ecuaciones: x = t ; y = t2 en unidades SI. Cuando pasa la partcula por la posicin (1,1) determinar su velocidad y aceleracin. 7) El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por v = (3t - 2) i + (6 t2 - 5) j +(4 t - 1) k y el vector de posicin en el instante inicial es: r0 = 3 i - 2 j + k. Calcular: El vector posicin y el vector aceleracinen cualquier instante. 8) La velocidad con que se mueve un cuerpo a lo largo de una recta viene dada por:v = t2 + 4t + 2 (S.I.). Si en el instante t = 2 s, la posicin es 4m, calcula su posicin en el instante t = 3 s y la expresin que proporciona la aceleracin en funcin del tiempo. 9) Un auto 1 se muevesegn la ecuacin x = 2t3 + t2 + 1. En el instante t1 = 5 s su velocidad es 16 m/s y en el instante t2 = 9 s es 54 m/s. Cul es su velocidad media en el tiempo comprendido entre esos dos instantes? 10) La aceleracin de un cuerpo que se mueve en lnea recta viene dada por la expresin: a= 5 - t (m/s2). Escribe la expresin de la posicin sabiendo que en el instante inicial su velocidad es cero y est en el origen de coordenadas. 11) Un cuerpo se mueve en lnea recta de forma que su aceleracin corresponde a la expresin a = 4 + 6t m/s2. En el instante inicial su posicin es de 4 m y su velocidad de 2 m/s. Calcular la ecuacin de su posicin. 12) La aceleracin de un cuerpo que se mueve en lnea recta est dada por a= 4 t2, con a en ms-2 y t en segundos. a) Halle las expresiones para la velocidad y el desplazamiento en funcin del tiempo, dado que cuanto t = 3s, v = 2ms-1 y x = 9m. b) Cundo es acelerado el movimiento y cundo es desacelerado 13) Una partcula se mueve en el plano XY de modo que vx = (4t3 + 4t) ms-1y vy = 4t ms-1. Si la posicin de la partcula es (1,2)m cuando t = 0s, halle la ecuacin cartesiana de la trayectoria y las componentes de la aceleracin. 14) La aceleracin de una partcula P tiene de componentes cartesianas (18 t, -4, 12 t2) siendo t el tiempo. Cul es la velocidad v (t) y la posicin r (t) de P si la partcula pasa por el origen con velocidad de componentes (80, -12, 108), cuando t = 3 s? 15) El desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una recta viene dado por:x = 2t3 - 24t + 6 donde X se mide en metros, desde un origen conveniente, y t, en segundos. Determinar: a) El tiempo que emplea el punto en adquirir una velocidad de 72 m/s; b) La aceleracin del punto cuandov =30 m/s; c) el desplazamiento del punto en el intervalo de t = 1 s a t = 4 s; d) la distancia total recorrida en dicho intervalo de tiempo. 16) Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son x = t2, y =( t - 1) 2. a) Encontrar la ecuacin cartesiana de la trayectoria; b) cundo se tiene la velocidad mnima? d) encontrar las coordenadas cuando la velocidad es de 10 m/s; e) calcular las aceleraciones tangencial y normal en cualquier instante; f) dar los valores de las anteriores componentes de la aceleracin cuando t=1 s. 17) Un punto material se mueve en el plano XY con una componente Y de la velocidad, en m/s, dada por vy=8t, con t en segundos. Su aceleracin en la direccin X, en m/s 2, viene dada por ax=-4t, con t en segundos. Cuando t = 0, y = 2 m, x = 0, vx = 0. Hallar la ecuacin de la trayectoria del punto material y calcular su celeridad cuando la coordenada x alcanza el valor de -18m.18) Las ecuaciones paramtricas del movimiento de una partcula son x = 4t ; y = 16Sen (pi)t. Determinar: a) la ecuacin de la trayectoria; b) las expresiones de la velocidad y aceleracin de la partcula; c) En qu instantes estas son mximas o mnimas?19) Una partcula se encuentra inicialmente en el punto O, origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Si su velocidad viene dada por el vector v=4t3i+2t2 j, determinar: a) su trayectoria; b) las componentes tangencial y normal de su aceleracin. 20) Una partcula se mueve a lo largo de la parbola y = x2 de modo que en cualquier instante vx = 3 ms-1. Calcule la magnitud y la direccin de la velocidad y la aceleracin de la partcula en el punto x = 2/3 m. 21)Las ecuaciones paramtricas de las coordenadas de la punta de un brazo mecnico son x = 25t 4t2 yy = 50 2t2; ambas resultan en pies, si el tiempo est en s. Diga qu longitud tiene el radio de curvatura de la trayectoria de la punta cuando y = 0.22) Un mvil parte del punto (3,2,1) m con velocidad (1,1,0) m/s y aceleracin variable (0,3t,0) m/s2. Calcular: a) Su velocidad y posicin al cabo de 2 s. b) Su desplazamiento entre los 2 s y los 4 s. c) Coordenadas intrnsecas de la aceleracin para t = 2 s. 23) Las coordenadas del vector de posicin de un mvil vienen dadas por las expresiones: X = 2t ; Y = 1 t2; Z = -5 donde t se expresa en segundos, y las coordenadas en metros. Calcular: a) Tiempo que tarda en alcanzar la posicin (4,-3,-5). b)Tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 40 m/s. c)Componentes intrnsecas de la aceleracin en dicho instante. Comprobar que son perpendiculares. d)Radio de curvatura de la trayectoria en dicho instante. 24) Un objeto se desplaza con un movimiento circular de 2 m de radio. En un instante determinado su aceleracin tangencial es de 20 m/s2 y su aceleracin normal de 500 m/s2. En dicho instante, se pide calcular: a) Aceleracin y velocidad angulares. b) Velocidad y aceleracin lineales. c) ngulo que forman la aceleracin y la velocidad lineales. 25) Una partcula se mueve sobre una circunferencia de 3 m de radio, a razn de 15 vueltas por segundo. Para detener su movimiento, se le aplica una aceleracin de frenado de 3 rad/s2. Calcular: a) Tiempo que tarda en pararse. b) Nmero de vueltas y metros recorridos hasta que se detiene. c) Mdulo de la velocidad y aceleracin lineales al cabo de 2 s. 26) Un punto material, inicialmente en reposo, adquiere un movimiento circular acelerado. El radio de su trayectoria es de 2 m y su aceleracin es: = 2t2 - 3t + 2 rad/s2 Al cabo de 2 s, calcular: a) Velocidad angular, en revoluciones por minuto, y velocidad lineal. b) ngulo girado y espacio recorrido. c) Mdulo de la aceleracin lineal y de sus componentes intrnsecas. 27) Una partcula realiza un movimiento en espiral en el plano XY descrito por el vector position r=(4 sent-2t cost)i + (4 cost+2t sent) j, donde r viene expresado en metros y ten segundos. Determinar los vectores velocidad y aceleracin en funcin del tiempo 28) Dos varillas, AB y BC, de 2 m de longitud cada una, estn articulados en B. A y C se hacen deslizar, en un surco recto, en direccin opuesta, cadaunaconuna velocidadde8 m / s.Calcularlavelocidady la aceleracin de B en el instante que las varillas son perpendiculares. 29) La velocidad de un punto mvil queda determinada por las ecuaciones paramtricas siguientes: vx=3; vy=3t2; vz=2+8t. Sabiendo que en t=0 estaba en el punto (4,5,0), calcular su posicin, velocidad y aceleracin en t =1. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en ese instante, as como el radio de curvatura de la trayectoria en ese mismo instante.