CINEMÁTICA

ESTUDIO DEL MOVIMIENTO

• El movimiento es el cambio que experimenta la posición de un cuerpo respecto a otro, que se toma como referencia.

• Un cuerpo se mueve cuando cambia la posición que ocupa respecto a un sistema de referencia a medida que transcurre el tiempo.

Vector posición

• El vector posición, r de un punto P es aquel que tiene por origen el del sistema de referencia y por extremo la posición que ocupa el punto en ese instante.

A esta ecuación se la denomina ecuación del movimiento.

Vector desplazamiento y trayectoria

• El vector desplazamiento, Δr es la variación que experimenta el vector posición en cierto tiempo, Δt = t − t0. Su módulo mide la distancia que separa dos posiciones, P0 y P.

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) son las ecuaciones paramétricas del movimiento. Si eliminamos la variable

tiempo entre ellas, se obtiene una ecuación de la forma f (x, y, z) = 0, que se correspondecon la línea que describe el punto en sudesplazamiento y que denominamos trayectoria.La trayectoria es la línea que describe el extremodel vector posición a medida que transcurre eltiempo.

VELOCIDAD

• La rapidez o celeridad es directamente proporcional a la distancia recorrida e inversamente proporcional al tiempo empleado en recorrerla

Si recogemos en una única magnitud la rapidez con que realizamosel movimiento, la dirección en que nos movemos y el sentido en que lo hacemos.Esa magnitud, vectorial, recibe el nombre de velocidad

v

La velocidad media

Es la relación que existe entre el cambio de posición de un cuerpo, caracterizado por el vector desplazamiento, y el tiempo que transcurre hasta que se produce dicho cambio:

Velocidad instantánea• La velocidad media no permite conocer la

velocidad del móvil en cada instante. La velocidad instantánea es el vector al que tiende el vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo transcurrido, Δt, tiende a cero (Δt → 0). Se calcula derivando el vector posición respecto al tiempo:

Velocidad instantánea (2)

La expresión de la velocidad instantánea en coordenadas cartesianas es:

su módulo se calcula a partir de la expresión:

Velocidad instantánea (3)• La velocidad la podemos expresar como producto del

módulo, v, por el vector unitario, uT , en la dirección de la velocidad (tangente a la trayectoria) y sentido, el de avance del movimiento

VELOCIDAD Y GRÁFICOS POSICIÓN-TIEMPO EN MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

• Caso 1:La velocidad es constante.

• Un movimiento rectilíneo cuya velocidad es constante viene representado por una recta en el diagrama posición-tiempo. La pendiente de esa recta coincide con el valor de la velocidad en dicho movimiento.

VELOCIDAD Y GRÁFICOS POSICIÓN-TIEMPO EN MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS• Caso 2: La velocidad es variable• Supongamos ahora que el movimiento que realiza el móvil es de tal

naturaleza, que, al medir las distancias recorridas desde el origen, se obtiene la siguiente tabla de valores, con la que construimos el gráfico posición-tiempo de la derecha:

Determinación gráfica de la velocidad

• Para calcular sobre dicha gráfica la velocidad del móvil en cualquier instante, debemos tener en cuenta tres consideraciones:

1. Estamos suponiendo que el movimiento es rectilíneo.2. La velocidad instantánea se define como la derivada de la posición, r

(t), respecto al tiempo.3. Desde un punto de vista geométrico, la velocidad instantánea en

cada instante coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. En el gráfico posición-tiempo anterior hemos representado la tangente a la curva en el instante t = 3 s.

Al considerar simultáneamente las tres afirmaciones anteriores, obtenemos la relación:

v = tgα• La pendiente de la recta tangente al gráfico posición-tiempo se

corresponde, en instante, con la velocidad instantánea.

ACELERACIÓN

• La aceleración media, am, es la relación que existe entre la variación de velocidad que se produce en el movimiento y el intervalo de tiempo en que se produce dicho cambio:

ACELERACIÓN• La aceleración es un vector, ya que se define como

cociente entre un vector, la variación de velocidad (Δv), y un escalar, el tiempo (Δt) durante el cual se produce dicha variación.

• Al tomar intervalos de tiempo cada vez más pequeños, haciendo que Δt tienda a cero (Δt → 0), el vector aceleración media se aproxima al vector aceleración en un instante t0. A dicho vector se lo denomina aceleración instantánea, a, y se calcula derivando el vector velocidad respecto al tiempo

Componentes intrínsecas de la aceleración

• A cualquier punto de la trayectoria de un móvil le podemos asociar un sistema de referencia formado por un eje tangente a la trayectoria y otro perpendicular a ella. Dicho sistema de referencia es, por tanto, intrínseco a la trayectoria

Componentes intrínsecas de la aceleración (2)

• En este sistema de referencia, el vector aceleración instantánea, a posee, en cada puntode la trayectoria, dos componentes: una tangencial, at, y otra normal o centrípeta, an.

Componentes intrínsecas de la aceleración (3)

• La componente tangencial de la aceleración, at, indica cómo varía el módulo de la velocidad, y la componente normal de la aceleración, an, indica cómo varía la dirección del vector velocidad. Las expresiones que nos permiten calcularlas son:

R

va

dt

dva nt

2

Ejemplo 1

• La posición de una partícula que se mueve en una trayectoria recta viene dada, en metros, por : x=7t3−2 t2+3t−1 . Calcular:

• a) la ecuación de la velocidad

• b) la ecuación de la aceleración

• c) el desplazamiento entre los 2 y los 3 segundos

• d) el espacio recorrido entre los 2 y los 3 segundos

Ejemplo 2

• El radio vector de un punto móvil viene dado por las siguientes componentes, en las que x, y, z vienen dadas en cm y t en s: x=4+3t ; y=t3+5;z=2 +4t2

Calcular la velocidad y la aceleración cuando t=1 s

Ejemplo 3

• Las componentes del radio vector que define la trayectoria de una partícula son : x=t3−5 ; y=(3/2)t2;z=t3+6 . Calcular las aceleraciones tangencial y normal cuando t= 1 s.

Ejemplo 4

• Si las coordenadas de un cuerpo en movimiento son x = ct , y = b sen ct, demuestra que el valor de la aceleración es proporcional a la distancia entre el cuerpo y el eje x. Hacer la gráfica de la trayectoria.

EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

• Cuando la trayectoria que describe un móvil es una línea recta y la velocidad conque se mueve es constante, el movimiento es rectilíneo uniforme (m.r.u.).

• En el m.r.u., al ser la trayectoria rectilínea, la velocidad es siempre tangente a la trayectoria y no cambia de dirección. En el movimiento rectilíneo uniforme, las dos componentes intrínsecas de la aceleración son nulas. Es un movimiento sin aceleración.

como Δr y v tienen igual dirección y sentido, podemosprescindir del carácter vectorial.

EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

• Si el objeto se mueve en línea recta y su velocidad varía uniformemente, la aceleración será constante. Diremos que el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.).En esta expresión, la aceleración puede ser positiva o negativa, dependiendo de que lavelocidad aumente o disminuya. Al despejar en esta última expresión, resulta

Distancia recorrida por un objeto que se mueve con m.r.u.a.

• El siguiente gráfico v-t representa un m.r.u.a., ya que la velocidad varía de modo uniforme (la variación de la velocidad es lineal y viene representada por una recta en el plano v-t).

Ecuaciones del m.r.u.a.

• Como se aprecia en la figura de la derecha, al representar en un diagrama r-t la ecuación anterior, que nos permite calcular la posición en el m.r.u.a., obtenemos una parábola, ya que es una ecuación de primer grado en r y de segundo grado en t.

Se denominan ecuaciones del m.r.u.a., y nos permiten resolver problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en los que desconozcamos dos de las magnitudes físicas, que serán las incógnitas del sistema de ecuaciones que forman

Ejemplo 5

• Desde la punta del “Pirulí” de Madrid, que está situado a 190 m sobre el suelo se dispara con un tirachinas, verticalmente y hacia arriba, una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. En estas condiciones, calcular:

• a) Tiempo empleado en alcanzar la altura máxima, así como el valor de la misma.

• b) Tiempo en llegar al suelo y velocidad con la que llega.

• c) Gráficas s-t, v-t, a-t

Ejemplo 6

• Una piedra cae desde un globo que desciende a una velocidad uniforme de 12 m/s. Calcular la velocidad y la distancia recorrida por la piedra después de 10 s. Resolver el mismo problema para el caso cuando el globo se eleva a la misma velocidad.

Ejemplo 7

• Una persona está a punto de perder un tren. En un desesperado intento, corre a una velocidad constante de 6 m/s. Cuando está a 32 m de la última puerta del vagón de cola, el tren arranca con una aceleración constante de 0, 5 m/s2

• ¿Logrará nuestro viajero aprovechar su billete o habrá perdido su billete, tiempo y aliento en un infructuoso intento?

Ejemplo 8

• Determinar las constantes de un m.r.u.a.sabiendo que el móvil tiene una velocidad de 17 m/s a los 4 s de haber comenzado a contar el tiempo, y que en los tiempos t1= 2 s y t2= 4 s dista del origen 12 y 40 m respectivamente. Representar gráficamente las curvas de posición y velocidad frente al tiempo.

EL MOVIMIENTO CIRCULAREl movimiento circular más sencillo es el movimiento circular uniforme(m.c.u.), que es el de un punto que se mueve sobre una circunferencia con velocidad constante. Por tanto, la componente tangencial de la aceleración, at, será cero. Sin embargo, aunque la velocidad no cambia de valor, sí cambia su dirección, ya que esta siempre es tangente al punto de la trayectoria en el que se encuentra. En el m.c.u. sí existe componente normal de la aceleración, an

Movimiento circular y ángulos

• En este tipo de movimiento es muy útil expresar estas ecuaciones en función del ángulo, Δθ, que gira el radio, r con el tiempo. Así pues, en lugar de la distancia recorrida, Δs, consideramos el ángulo, Δθ, que gira r en un tiempo Δt.

• Para medir ángulos utilizamos el radián, que es el ángulo que abarca un arco de circunferenciacuya longitud es igual a la de su radio. Su símbolo es rad. Teniendo en cuenta la definición de radián, resulta:

Velocidad angular• El cociente de la última expresión

se denomina velocidad angular, ω:

La relación que existe, por tanto, entre v y ω es: v = r · ωLa velocidad angular es la relación entre el desplazamiento angular, Δθ, que realiza un móvil cuyo movimiento es circular y el tiempo, Δt, que utiliza para ello.

La unidad S.I. de velocidad angular es el rad · s−1. No obstante, en el lenguaje cotidiano utilizamos unidades como revoluciones o vueltas por minuto (r.p.m.) u otras

Como ω es constante, podemos poner la expresión de la velocidad angular en la forma

Movimiento circular uniformemente acelerado

En este caso existe, al igual que en el m.c.u., componente normal de la aceleración, pero en este caso es variable, y el móvil está, además, sometido a la aceleración tangencial, que es constante. La expresión de la aceleración angular es:

Ejemplo 9

• Un disco gira con velocidad angular de 60 rpm. Si su radio es 1 m, calcular:

a) Velocidad angular en rad/s

b) Velocidad lineal de un punto de la periferia y de un punto a 50 cm del centro

c) Número de vueltas que da en media hora.

Ejemplo 10

• Calcular la velocidad tangencial y la aceleración normal de un punto P sobre la Tierra situado a 60º de latitud (radio de la Tierra = 6300 km)

Ejemplo 11

• La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente desde 900 a 800 rpm en 5 s. Determinar:

a) La aceleración angular

b) El número de revoluciones efectuadas por el volante en esos 5 s

c) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que el volante se detenga?

Ejemplo 12

• Una partícula describe una circunferencia de 27 cm de radio, aumentando su velocidad de forma constante. En el punto A su velocidad es 9 cm/s y en el punto B, tras 0,25 s, es 10 cm/s. Calcular su vector aceleración en el punto A

A

B

EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

• De acuerdo con el principio de superposición, si un cuerpo está sometido simultáneamente a dos movimientos, ambos se superponen sin que ello dependa de si los movimientos se producen simultánea o sucesivamente.

EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

La velocidad del movimiento que resulta al aplicar el principio de superposición es siempre suma vectorial de las velocidades de los movimientos originales.

EL MOVIMIENTO PARABÓLICO

• El movimiento parabólico está compuesto por dos: uno rectilíneo uniforme en dirección horizontal y otro rectilíneo uniformemente acelerado en dirección vertical. Las ecuaciones del movimiento horizontal son:

El movimiento vertical se debe a la acción del campo gravitatorio terrestre, que someteel cuerpo a una aceleración, , siendo g = 9,8 m · s−2. Por tanto, las ecuaciones de este movimiento son:

jga

EL MOVIMIENTO PARABÓLICO(2)• La velocidad instantánea será:

Y el módulo de la velocidad:

Ecuación de la trayectoria

EL TIRO HORIZONTAL

• El tiro horizontal es un movimiento parabólico cuyo ángulo de lanzamiento, θ,es nulo.

• Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones del movimiento serán:

Velocidad instantánea y módulo:

EL TIRO HORIZONTAL(2)

• Si eliminamos el tiempo, t, en las ecuaciones que proporcionan x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, cuya expresión es:

Ejemplo

• En las peliculas es frecuente que en una persecucionalguien salte desde una azotea a otra por encima de un callejon. En un caso como el del dibujo, ¿con que velocidad hay que correr por la azotea para caer al otro lado del callejon si saltamos horizontalmente? ¿Cuanto tiempo tardaras en llegar al otro lado?

Ejemplo

• Una bola que rueda sobre una superficie horizontal situada a 20 m de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 15 m, contando desde el pie de la perpendicular del punto de salida. Hallar:

• a) La velocidad de la bola en el instante de abandonar la superficie superior.

• b) La velocidad con la que llega al suelo.

Ejemplo 14

• Lanzamos desde el suelo una pelota con un angulo de 45° y queremos colarla en una cesta que esta a 7 m de distancia horizontal y a 3.5 m de altura. Calcular con que velocidad hay que lanzarla.

Ejemplo 15

• Una rueda de 30 cm de radio que estaba detenida se pone a girar verticalmente hasta alcanzar 480 rpm en 15 s. En el momento t=10 s salta un pedazo del borde de la rueda con un ángulo de 40°. Calcular a que distancia del punto de partida caerá.