Cinemática

La cinemática estudia los conceptos requeridos para la mejor comprensión del movimiento de los fluidos.

Sus resultados se aplican en el cálculo y diseño de obras, accesorios y controles para el manejo de fluidos que fluyen, escurren o se mueven.

Objetivo del estudio de la cinemática

Clasificar un flujo según su comportamiento cinemático Aplicar los métodos de descripción del movimiento de fluidos Utilizar las líneas de corriente, de trayectoria y de traza para describir

un flujo Obtener las líneas de corriente a partir de un campo de velocidades Calcular el campo de aceleración de un flujo y distinguir sus

componentes Calcular el campo de rotación de un flujo e identificar sus

consecuencias Distinguir las propiedades intensivas y extensivas entre sí Clasificar una ley como básica o secundaria e interpretarla en distintos

casos de flujo Aplicar la ecuación de transporte a las propiedad de interés del flujo Aplicar la relación entre caudal, velocidad media, sección de flujo y

distribución de velocidades Aplicar el principio de conservación de la masa en diferentes

circunstancias de flujo

Conceptos básicos

Cinemática

La cinemática de los fluidos se ocupa de la descripción del movimiento de las partículas fluidas, sin preocuparse por las fuerzas que causan ese movimiento ni por las fuerzas que ese movimiento origina. Así que los asuntos tratados se refieren a la

posición de las partículas, a su velocidad, al cambio de velocidad y a las variables asociadas directamente con la descripción del movimiento.

Magnitudes

Conviene recordar los tipos de magnitudes que ocurren en la física de los fluidos: magnitudes numéricas (#), escalares (E), vectoriales (V) y tensoriales (T).   Todas ellas serán útiles y necesarias para describir el movimiento de los fluidos.  Ejemplo de cada tipo de magnitud: el coeficiente 2, la temperatura 25 ºC, la velocidad 60 km/h hacia el norte y la matriz de esfuerzos, respectivamente

Campo

Un campo está constituido por una distribución continua de magnitudes #, E, V o T; definidas mediante funcionescontinuas de las coordenadas espacio-temporales (x, y, z, t).

El concepto de campo se requiere en el estudio del continuo para evitar identificar cada partícula fluida por un nombre, como se procede cuando se identifica con un subíndice (la partícula Pn).  A cambio de ese nombre se identificará la partícula fluida por la posición que ocupa en el espacio y el instante en el cual se describe la partícula.   Esta forma de referirse a una partícula exige la adopción de un sistema de coordenadas espaciales adecuado, acompañado de un sistema de medición del tiempo.

Los sistemas de coordenadas usuales son el cartesiano, el cilíndrico y el de línea.   Para medir el tiempo se usa el sistema sexagesimal.

Cuando se describe un campo lo que se describe es el valor de la magnitud de interés para la partícula que ocupa un determinado sitio en el espacio, en un instante dado.   A esa posición se le otorgan coordenadas espacio-temporales.

Para expresar el campo de temperatura se escribe:  Temp. = Temp. (posición, tiempo)

Si el sistema adoptado es cartesiano, se escribe:  Temp. = Temp. (x, y, z, t) y se tendrá un campo escalar de posición y tiempo.

Los conceptos de fluido y medio continuo se estudiaron con anterioridad y se hará referencia a ellos durante este módulo.

Flujo

Movimiento de las partículas del medio fluido continuo

Región de flujo

Aquella donde ocurre el flujo.

Flujo permanente

Aquel donde las magnitudes involucradas son independientes del tiempo. Para el caso del campo de temperaturas, donde ésta varía con la posición, pero en cada sitio su valor permanece en el tiempo, se escribirá  Temp.=Temp.(x, y, z).

El criterio temporal clasifica los campos en permanentes y no permanentes, así el campo de velocidades podrá ser permanente o no permanente. (Observe que no se usa el término "constante" para referirse a invariante en el tiempo).

Campo de velocidades

Este es un campo vectorial de posición y tiempo.  La naturaleza vectorial de este campo indica que en cada punto del espacio (x, y, z) y en cada instante (t) se tiene asociado un valor para la velocidad de la partícula que ocupa ese sitio en ese momento.

Y la velocidad es una magnitud vectorial, de manera que la función debe ser capaz de indicar la rapidez del movimiento y su orientación en el espacio, y además debe ser capaz de dar las componentes de la velocidad a lo largo de cualquier dirección en el espacio, por ejemplo a lo largo de los ejes coordenados, es decir las componentes Vx, Vy y Vz del vector velocidad en ese sitio en ese instante. Lo cual a su vez se puede escribir así:

Vx = Vx(x, y, z, t) Vy = Vy(x, y, z, t) Vz = Vz(x, y, z, t)

Tipos de análisis

Para describir el campo de velocidades de una región de flujo se puede recurrir a dos enfoques:

Descripción según Euler

Se selecciona un punto en el espacio (xo, yo, zo) y se describe el movimiento de la partícula que lo ocupa en los diferentes instantes (t). Así el campo se escribiráV=V(xo, yo, zo, t) que es una función vectorial que indica cual es el valor de la velocidad en un punto fijo en el espacio (xo, yo, zo) a medida que las partículas pasan por allí (t), por supuesto que esa función dará las componentes de la velocidad en ese punto en cada momento.

Descripción según Lagrange

En este caso se describe el comportamiento de una partícula fluida en particular.   Como la partícula está en movimiento su posición es una función del tiempo, y por consiguiente cada una de sus coordenadas es una función de posición:

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

Una vez posicionada la partícula en el espacio en un instante dado se puede indicar su velocidad en ese punto en ese instante, lo cual puede escribirse así

V=V(x(t), y(t), z(t), t)

Considere una pista donde se desarrolla una carrera de autos.  ¿Cómo será la descripción de la velocidad de los autos desde el punto de vista de Euler y desde el punto de vista de Lagrange?

Sistemas de coordenadas

Para la descripción del movimiento de un medio continuo puede utilizarse cualquier sistema de coordenadas.  Las características mismas del flujo sugieren cual sistema será el más adecuado para cada caso.  Los sistemas coordenados más usuales son:

Coordenadas rectangulares: x, y, z

Coordenadas cilíndricas: r,  , z

Coordenadas de línea: s

Identificar el sistema de coordenadas esférico.

Para cada sistema de coordenadas indicar los vectores unitarios en cada dirección.

Establecer la relación geométrica entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas. Escribir las ecuaciones de transformación desde un sistema hasta el otro.

El campo de velocidad

El campo de velocidad está constituido por una distribución continua de una magnitud vectorial definida mediante una función continua de las coordenadas espacio-temporales.

El concepto de campo de velocidad se requiere en el estudio del flujo para evitar identificar cada partícula fluida por un nombre, como se procede cuando se identifica con un subíndice (Vn).  A cambio de ese nombre se identificará la partícula fluida por la posición que ocupa en el espacio y el instante en el cual se describe la partícula.   Esta forma de referirse a una partícula exige la adopción de un sistema de coordenadas espaciales adecuado, acompañado de un sistema de medición del tiempo.

Los sistemas de coordenadas usuales son el cartesiano, el cilíndrico y el de línea.   Para medir el tiempo se usa el sistema sexagesimal.

Cuando se describe el campo de velocidad lo que se describe es el valor de la velocidad para la partícula que ocupa un determinado sitio en el espacio, en un instante dado.   A esa posición se le otorgan coordenadas espacio-temporales e independientemente del enfoque (Euler o Lagrange) que se adopte y se puede escribir así:

V=V(x, y, z, t)

Que por supuesto contendrá las componentes rectangulares correspondientes:

Vx=Vx(x, y, z, t)

Vy=Vy(x, y, z, t)

Vz=Vz(x, y, z, t)

Las funciones escalares para las componentes de velocidad son, en general, diferentes entre sí.  Cada componente de la velocidad depende de la posición en el espacio y del instante que se describe.  Por ejemplo:

a) Si el sistema adoptado es el cartesiano:  V = axi + byj + ctk ;  con a = b = 6 s-1; c = -7 m/s2

Observe que este campo es independiente de z, pero tiene componentes en las tres direcciones espaciales. Los coeficientes deben ser tales que se conserve la homogeneidad dimensional

b) Si el sistema adoptado es el cartesiano:  V = axi + byj + c(d-z)k ;  con a = -1s-1; b = 2 s-1; c = -1 s-1; d = 5 m

Observe que este campo es independiente del tiempo

c) Si el sistema adoptado es cilíndrico, un campo de velocidades podrá ser:

d) Si el sistema adoptado es el de línea:   V=V(s, t)

Por supuesto que un campo de velocidad particular puede ser independiente de alguna o de algunas de las coordenadas espacio temporales.

Escribir campos de velocidad que sean independientes de una u otra dirección

Escribir campos de velocidad donde una componente sea independiente de esa dirección

¿Serán esos campos de flujo posibles en la naturaleza? ¿cómo asegurarlo?

Tipos de flujo

La clasificación de los flujos obedece a la variable que sea de interés en una situación dada.  Esas variables pueden referirse al fluido o al flujo mismo, y entre ellas se pueden mencionar la viscosidad y la densidad del fluido, o la permanencia, el orden, la región, la vorticidad y el comportamiento espacial del flujo.  Cada característica del fluido o del flujo originará una clasificación particular y existen muchas otras propiedades y características que se pueden agregar a las enunciadas..

Viscosidad del fluido

Si el fluido que forma el flujo es real su viscosidad es positiva y se tratará de un flujo real.  Para ciertas aproximaciones se ignorará el efecto de la viscosidad y se le asignará un valor nulo a la resistencia viscosa.  En ese caso el fluido es ideal y el flujo así formado también lo será.

Densidad del fluido

Si el flujo se da para un fluido de densidad constante, el fluido y el flujo se denominarán incompresibles.  El flujo será compresible si el fluido que lo origina lo es y en ese caso la función de densidad será un campo escalar de posición y tiempo.

Permanencia del flujo

Si las características del flujo son invariantes en el tiempo, esto es, permanecen, se dirá que el flujo es permanente, de lo contrario se clasificará  como flujo no permanente.  Una característica particularmente importante desde este punto vista es la velocidad.  Así se tendrán campos de velocidad para flujos permanentes o para flujos no permanentes:

Flujo no permanente: V=V(x, y, z, t)

Flujo permanente: V=V(x, y, z)

Orden del flujo

El orden del flujo dará origen a los flujos laminares o turbulentos.  Esta característica depende de la combinación de las propiedades del flujo, del fluido y de la región de flujo.  En el flujo laminar las partículas viajan siguiendo trayectorias muy definidas, sean rectilíneas o curvilíneas, sin variaciones macroscópicas de la velocidad, de manera que unas capas o láminas de flujo se deslizan o escurren las unas sobre las otras.  En el flujo turbulento ocurren fluctuaciones irregulares del flujo, las partículas intercambian cantidad de movimiento lineal y angular.  El asunto fue abordado por Osborne Reynolds quien en la Inglaterra de 1883 logró establecer los criterios para la clasificación de los flujos desde este punto de vista. Este criterio es el número de Reynolds (R=VD/) que indica flujo laminar para valores bajos y flujo turbulento para valores altos y muestra la influencia que tienen las variables del fluido (, ), las del flujo (V) y las de la región del flujo (D) en el orden del movimiento de las partículas fluidas.

Región de flujo

Los flujos reales ocurren en el espacio y por consiguiente sus características, estrictamente, varían en tres coordenadas espaciales y en el tiempo.  Esos son los flujos tridimensionales.

En muchos casos prácticos, con resultados satisfactorios, se ignora la variación de las propiedades del fluido y de las características del flujo a lo largo de una de las direcciones del espacio y se obtiene un flujo bidimensional. En el caso real se puede estudiar un flujo con esta simplificación y posteriormente introducir las correcciones en los bordes o fronteras de la región de flujo para lograr la conformidad con la naturaleza.  Ejemplos de estas situaciones son aquellas que se dan en el flujo alrededor de la pila sumergida de un puente, o alrededor de un perfil alar, o sobre la cresta de un vertedero de caudales máximos en una presa.

En otras situaciones se puede simplificar aún más el flujo que se estudia y considerar que la variación de las propiedades del fluido y las características medias del flujo varían solamente a lo largo de una dirección en el espacio y con el tiempo.   Ejemplos de tales situaciones son el flujo a lo largo de una tubería o de un canal donde se considera que las propiedades del fluido y las características medias del flujo tienen valores que solamente dependen de la abscisa a lo largo del conducto y del tiempo.   Para este caso puede ser muy útil el sistema coordenado de línea (s, t).

Vorticidad del flujo

Una partícula fluida, en el seno de un medio fluido en movimiento, está sometida a esfuerzos normales (presión) y cortantes (fricción) y como consecuencia de la acción combinada de los esfuerzos cortantes que soporta puede rotar sobre alguno o algunos de sus ejes.  La velocidad angular es particular alrededor de cada eje.  La combinación de esas velocidades angulares origina que la partícula rote en el espacio con mayor o menor rapidez, o que no rote en absoluto respecto a ningún eje.  En parte eso depende de la distribución de velocidades a lo largo de cada una de las direcciones espaciales y de la viscosidad misma del fluido.

Si alguna partícula del flujo rota se dirá que el flujo es rotacional.  Si ninguna partícula lo hace se dirá que el flujo es irrotacional.

Analíticamente se encuentra que esto queda expresado por el vector vorticidad que no es más que la aplicación del operador rotacional al campo de velocidades:

Flujo rotacional, si la vorticidad es diferente de cero

Flujo irrotacional, si la vorticidad es nula

Comportamiento espacial

Si las características del fluido y del flujo no cambian entre los diferentes puntos de la región de flujo se tiene un flujo uniforme.  Si esas características varían de uno a otro punto dentro de la región de flujo se tiene un flujo variado.  A su vez, si la variación del flujo en el espacio ocurre con pequeñas modificaciones en el recorrido por el espacio se tendrá un flujo gradualmente variado y si tal variación ocurre precipitadamente, en relativamente cortas distancias y con acentuada concavidad de la geometría del flujo, se tiene flujo rápidamente variado.

Extensión del campo de flujo

El flujo interno corresponde al flujo en una región limitada, el flujo externo se refiere al flujo en una región no limitada, donde el foco de atención está en el patrón de flujo alrededor de un cuerpo sumergido en el fluido.

Describa flujos reales en la naturaleza y clasifíquelo según los diferentes criterios

¿Cuáles pueden ser las ventajas de idealizar un flujo?

Describa un ejemplo real de flujo rotacional

Describa un ejemplo real de flujo irrotacional

Elementos geométricos del flujo

Línea de corriente

Envolvente de los vectores velocidad de las partículas fluidas. La orientación de las líneas de corriente será variable con el paso del tiempo cuando el flujo es no permanente y permanecerá fija cuando el flujo es permanente.

Línea de trayectoria

La trayectoria es el lugar geométrico definido por una partícula cuando recorre la región de flujo.  Para el flujo permanente la trayectoria coincide con la línea de corriente.

Línea de traza

La línea de traza o de humo es el lugar geométrico definido por las partículas que han pasado por un punto fijo en el espacio. La línea de traza coincide con la trayectoria si el flujo es permanente , en otro caso no.

Tubo de corriente

Conjunto de las líneas de corriente que pasan por el contorno de un área infinitesimal

Vena fluida

Número infinito de tubos de corriente adyacentes que forman un tubo de sección recta finita.   Este es un elemento físico que puede medirse, como en el caso del chorro que sale desde un recipiente por un orificio, o la vena fluida rodeada de fluido de su misma naturaleza que se forma cuando el flujo confinado pasa por el orificio practicado en una placa, como se ilustra a continuación:

Identifique situaciones en la naturaleza que le permitan diferenciar entre sí los conceptos de línea de corriente, trayectoria y traza.

Proponga un procedimiento para poner en evidencia cada uno de esos conceptos en el flujo controlado en el laboratorio

El flujo alrededor de la pila de un puente, visto en planta, se puede representar así:

¿Puede identificar las líneas de corriente y la zona donde son mayores las velocidades?

¿Se conserva la orientación del vector velocidad a lo largo de una línea de corriente?

¿Se conserva el módulo de velocidad a lo largo de una línea de corriente?

¿Podrá una de las líneas representar la orilla del río? ¿porqué?

Campo de aceleración

La velocidad de un flujo podrá cambiar en magnitud (rapidez) y en dirección (orientación).  En cualquiera de los dos casos habrá ocurrido una aceleración del flujo.  Esa aceleración se puede entender como el cambio de la velocidad de la partícula fluida con el paso del tiempo, sin ésta cambiar de posición en el espacio (aceleración local), más el cambio de la velocidad por efecto del viaje de la partícula en la región de flujo (aceleración de transporte o convectiva).  Para obtener el valor de la aceleración se requiere derivar el campo de velocidad, y debe recordarse que a su vez cada coordenada es función del tiempo (método de Lagrange):

que se puede escribir así:

Cuando se deriva en cadena se obtiene:

Que a su vez se puede expresar así:

Las componentes de la aceleración son:

 

Si el sistema coordenado adoptado es de línea se puede escribir:

Cuando se deriva en cadena se obtiene:

Que se reduce a:

En los dos casos mostrados la aceleración tiene una componente que depende del cambio de posición en el espacio (aceleración de transporte) y otra componente que depende del paso del tiempo solamente (aceleración local):

aceleración total = aceleración convectiva + aceleración local

La aceleración convectiva, a su vez, está formada por las aceleraciones vortical y cinética:

¿Si un flujo es permanente tendrá aceleración?

Explique si podrá una partícula conservar su trayectoria rectilínea y modificar su velocidad

Explique si podrá una partícula conservar la rapidez de su movimiento y sin embargo estar acelerada

Campo de rotación

Imagine un campo de flujo donde se examina una partícula cualquiera.

Ahora, de manera instantánea y simultánea:

se solidifica esa partícula, se retiran todas las demás partículas del flujo y se observa el comportamiento rotacional de la partícula.

Si al menos una de las partículas así ensayadas gira respecto a cualquier eje se dice que el flujo es rotacional.  Si ninguna de las partículas examinadas gira respecto a ningún eje se dice que el flujo es irrotacional.

Analíticamente se encuentra que esto queda expresado por el vector vorticidad que no es más que la aplicación del operador rotacional al campo de velocidades:

Flujo rotacional, si la vorticidad es diferente de cero

Flujo irrotacional, si la vorticidad es nula

Se considera una partícula fluida que se somete al ensayo de rotación descrito:

Ahora se observará la partícula fluida proyectada sobre el plano yz, de manera que el eje x sale de la figura hacia el observador:

Los puntos del segmento AB se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar.  Para el estudio de los giros de la partícula se puede ignorar el desplazamiento lineal en el espacio.

Esa rotación del segmento AB ocurrirá con una velocidad angular positivarespecto al eje x, y se puede expresar así:

Los puntos del segmento AC también se mueven con diferentes velocidades, y en sus extremos esas velocidades son:

Bajo la acción de esas velocidades el segmento AB se desplaza y además puede rotar.

Esa rotación del segmento AC ocurrirá con una velocidad angular negativarespecto al eje x, y se puede expresar así:

Además, se puede demostrar que la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x es igual al promedio de las velocidades angulares de dos segmentos ortogonales entre si (como AB y AC en este caso) y perpendiculares al eje de interés (x en este caso), de manera que:

Se obtiene la velocidad angular de la partícula alrededor del eje x como:

De manera similar se obtiene, para las velocidades angulares sobre los tres ejes coordenados:

La velocidada angular de la partícula fluida se puede escribir como:

Se reemplazan los valores encontrados para cada componente y se obtiene:

Si la vorticidad es nula el flujo es irrotacional, en caso contrario el flujo es rotacional.

En términos operativos el rotacional del vector velocidad, en coordenadas cartesianas, se puede obtener así:

Determine si son o no rotacionales los campos de velocidades:

v =sen

(h2 - z2)i2

v = vo.(z/e)i

v = voi

v = kxi - kyj

v = -(k/r2r

Explique como estas distribuciones de velocidades tienen gradiente, originan cortante sobre las partículas fluidas e inducen la rotación con el mismo sentido

que expresan las ecuaciones de rotacional.

Propiedades intensivas y propiedades extensivas

Propiedad intensiva, (eta)

Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia presente, por este motivo no son propiedades aditivas.  Ejemplos de propiedades intensivas son la temperatura, la velocidad, el volumen específico (volumen ocupado por la unidad de masa).  Observe que una propiedad intensiva puede ser una magnitud escalar o una magnitud vectorial.

Propiedad extensiva,  (eta)

Cuando la propiedad intensiva se multiplica por la cantidad de sustancia (masa) se tiene una propiedad que sí depende de la cantidad de sustancia presente y se llama propiedad extensiva, como ocurre con la masa, con la cantidad de movimiento y con el momento de la cantidad de movimiento.

Relación entre propiedades intensivas y extensivas

Si se denota por  la propiedad extensiva y por  la propiedad intensiva asociada se puede establecer la relación que define cualquier propiedad intensiva como la cantidad de propiedad extensiva por unidad de masa, así:

=d/dm

d=dm = dVol

La propiedad intensiva podrá ser una función continua en el espacio y dar así origen a la cantidad extensiva  en una determinada región.  La propiedad extensiva si es acumulable con la acumulación de sustancia..  La naturaleza escalar/vectorial la comparten los dos tipos de propiedades.

¿Podría agregar otras propiedades intensivas y extensivas y mostrar la relación entre ellas?

Leyes básicas

Las leyes básicas son las relaciones físicas fundamentales que representan los principios de conservación en la naturaleza y que siempre habrán de cumplirse.

Principio de conservación Ecuación o ley básica

Materia Continuidad

Energía Ia ley de la termodinámica / Ec. de Bernoulli

Inercia Cantidad de movimiento / Momento de la C. de M.

Entropía IIa ley de la termodinámica / Ec. de energía con fricción

Expresar en su propio lenguaje cada uno de los principios de conservación en los medios continuos

Leyes secundarias

Las leyes secundarias son las relaciones constitutivas que se aplican a medios específicos, de acuerdo con la naturaleza de su comportamiento, y por eso se satisfacen sólo en ese medio específico.

Medio específico Principio constitutivo Ecuación o ley básica

Sólidos Elasticidad Ley de Hooke

Fluidos newtonianos Viscosidad Ley de viscosidad de Newton

Gases Termodinámica Ec. de estado para gases

Agregar algún principio constitutivo e indicar la ley que lo expresa

Método del sistema

Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de sistema formado por una cantidad constante de materia, formada por las mismas partículas y una de sus características será la tendencia al cambio de forma, de posición y de temperatura.  La deformación del espacio ocupado por el sistema impide la fácil descripción del comportamiento del flujo y del fluido.  Si bien este método es muy adecuado para la descripción del comportamiento de los cuerpos rígidos (diagrama de cuerpo libre) no lo es tanto cuando se requiere describir un fluido.

En el sistema las actividades de todas y cada una de las masas satisfacen los principios básicos y los principios secundarios pertinentes.

Considere un motor de combustión interna una vez ha ingresado la mezcla combustible a uno de los cilindros. El método del sistema podrá aplicarse a lo que suceda dentro del cilindro, pero solamente entre la

ocurrencia de dos eventos ¿cuáles dos eventos?

¿Cómo se describe el sistema formado por el agua entregada a un río por uno de sus afluentes durante un minuto?

Método del volumen de control

Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de volumen de control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control (SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado.  La permanencia del espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo ocupan no sean siempre las mismas.  La cantidad de partículas tambien será variable cuando el flujo no es permannete.  Este método facilita la descripción del comportamiento del flujo y del fluido.

En el volumen de control las actividades de todos y cada uno de los volúmenes en el espacio satisfacen los principios básicos y los principios

secundarios pertinentes.

Considere un motor de combustión interna. El método del volumen de control podrá aplicarse a lo que suceda dentro de un cilindro, entre dos instantes determinados. Para eso es necesario definir la SC que delimita

el VC ¿cuál es esa superficie?

¿Cómo se delimita el volumen de control adecuado para describir el comportasmiento del flujo en los alrededores de la confluencia de dos

corrientes de agua? ¿y en una yee de una tubería de conducción? y ¿para estudiar el flujo y las fuerzas que se originan cuando una compuerta

regula la descarga en un canal?

Relación entre los métodos de análisis

El método del sistema para describir el comportamiento de un flujo corresponde a la descripción de un agregado de partículas fluidas, que es el tipo de análisis de Lagrange.

Si lo que se describe es el comportamiento de las partículas en una región fija del espacio, como en el caso del volumen de control, se está ante el tipo de análisis de Euler.

La descripción de las actividades de las partículas fluidas, con el paso del tiempo, desde uno u otro punto de vista pueden relacionarse y dar origen a la ecuación de transporte de Reynolds.

¿El comportamiento de una partícula dependerá del sistema que se use para describirla?

Ecuación del transporte de Reynolds

Considérese una región de flujo donde se ha delimitado un volumen de control y se ha seleccionado un sistema de manera que en el instante inicial las partículas del sistema están todas dentro del volumen de control y el volumen de control no contenga ninguna otra partícula.

Con el paso del tiempo las partículas del sistema viajan a través de la superficie de control abandonándolo y otras partículas cruzarán la superficie de control desde el exterior. Otras partículas del sistema permanecerán dentro del volumen de control al cabo del intervalo de observación.  En ese momento se tendrá una configuración similar a la siguiente:

La región de flujo queda ahora dividida en cuatro espacios:

El espacio ocupado por las partículas que pertenecen al sistema y han abandonado el volumen de control a través de la superficie de control.

El espacio ocupado por las partículas que pertenecen al sistema y no han abandonado el volumen de control.

Las partículas que no pertenecen al sistema y han ingresado al volumen de control desde el exterior a través de la superficie de control.

La partículas que no pertenecen al sistema y no se encuentran dentro del volumen de control.

Además las partículas fluidas son poseedoras de muchas propiedades que dependen de la cantidad de sustancia que represente cada partícula, por ejemplo las partículas poseen masa, poseen cantidad de movimiento, poseen momento de la cantidad de movimiento.  Y cuando una partícula viaja en una región de flujo lleva consigo esa propiedad, o sea que la partícula fluida transporta consigo múltiples propiedades, y las transporta simultáneamente. Entre las propiedades que transporta la partícula fluida están precisamente la masa, la cantidad de movimiento y el momento de la cantidad de movimiento.

La propiedad que transporta el flujo será  y la propiedad intensiva asociada será 

La variación instantánea de la propiedad extensiva  en el sistema, de interés en un momento dado, se puede relacionar con el cambio instantáneo de tal

propiedad dentro del volumen de control y con el flujo de esa propiedad a través de la superficie de control.  Esa relación se conoce como ecuación de transporte de Reynolds, y su significado físico dice que:

La rapidez de variación de  dentro del sistema es igual  a la rapidez de variación de  dentro del volumen de control más el flujo de  a través de la superficie de control.

O más simplificadamente:

Rapidez de variación de  dentro del sistema = rapidez de variación de  dentro del VC + flujo de  a través de la SC:

En otros términos:

El primer miembro de la ecuación representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la propiedad  en el sistema.

El primer término del segundo miembro representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la propiedad  dentro del volumen de control.

El segundo término del segundo miembro representa el flujo (paso instantáneo) de la propiedad  a través de toda la superficie de control.

 representa la propiedad extensiva de interés.  es la propiedad intensiva asociada a  t es el tiempo.  es la densidad el fluido. dvol es el diferencial de volumen dentro del volumen de control.

  es el producto escalar entre la velocidad del flujo y el diferencial de área que cruza.   Tiene el significado de volumen que por unidad de tiempo cruza la superficie de control.

La representación positiva para el diferencial de área es aquella donde el vector área apunta hacia el exterior del volumen de control.

La velocidad del flujo se describe desde un sistema adosado al volumen de control.

La naturaleza escalar o vectorial de la ecuación está dada por la naturaleza escalar o vectorial de  en el miembro de la izquierda y por en el miembro de la derecha.  Tanto como  son de la misma naturaleza, escalares o vectoriales ambos.

La aplicación de la ecuación de transporte de Reynolds conduce al análisis integral del flujo que es un enfoque complementario al análisis diferencial del flujo.  Cada uno de

ellos aporta elementos diferentes para la interpretación de un flujo según las circunstancias particulares de cada caso.

Exprese en sus propias palabras la ecuación de transporte de Reynolds si la propiedad de interés es la masa o si es la cantidad de movimiento

Conservación de la masa: enfoque integral

Si el principio que se requiere estudiar es el de conservación de la masa desde el punto de vista del análisis integral se puede recurrir a la ecuación de transporte de Reynolds:

La rapidez de variación de la masa dentro del sistema es igual  a la rapidez de variación de la masa dentro del volumen de control más el flujo de masa a través de la superficie de control.

O más simplificadamente:

Rapidez de variación de la masa dentro del sistema = rapidez de variación de la masa dentro del VC + flujo de masa a través de la SC:

Para la aplicación de esta ecuación se tendrá presente que la propiedad extensiva H es la masa y que la propiedad intensiva asociada, , es la propiedad extensiva por unidad de masa, es decir,  la unidad:

 = masa  = /masa =1

En otros términos:

El primer miembro de la ecuación representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la masa en el sistema. pero el concepto de sistema exige que la cantidad de sustancia, dada por el número de partículas o por la masa misma, sea constante y por tanto no variará con el tiempo.  Este término es nulo.

El primer término del segundo miembro representa la variación instantánea (o sea con el tiempo) de la masa dentro del volumen de control.

El segundo término del segundo miembro representa el flujo (paso instantáneo) de la masa a través de toda la superficie de control.

t es el tiempo.  es la densidad el fluido. dvol es el diferencial de volumen dentro del volumen de control.

  es el producto escalar entre la velocidad del flujo y el diferencial de área que cruza.   Tiene el significados de volumen que por unidad de tiempo cruza la superficie de control.

La representación positiva para el diferencial de área es aquella donde el vector área apunta hacia el exterior del volumen de control.

La velocidad del flujo se describe desde un sistema adosado al volumen de control.

Todos los términos de la ecuación son escalares Todos los términos tienen unidades de masa sobre unidad de tiempo

Con un orden diferente la ecuación es:

Que dice que el flujo en masa a través de la superficie de control es igual a menos el cambio instantáneo de masa en el interior del volumen de control.  El flujo en masa se conoce como caudal másico.

Esta ecuación se simplifica aún más en estas dos circunstancias:

Si el flujo es permanente:

Que dice que en un flujo permanente el flujo neto en masa a través de la superficie de control es nulo.  En otras palabras, la cantidad de sustancia que ingresa al VC en un intervalo es igual a la cantidad de sustancia que abandona el volumen de control en ese mismo tiempo. Esta expresión se satisface así intervengan uno o varios fluidos o alguno de ellos varíe su densidad en la región de flujo.

Si el fluido es incompresible:

Que dice que en un flujo incompresible el flujo neto en volumen a través de la superficie de control es igual a menos el cambio instantáneo de volumen de fluido dentro del volumen de control.  En otras palabras, el volumen de fluido que sale del VC en un intervalo menos el volumen  de fluido que ingresa al VC en ese mismo tiempo es igual a menos la acumulación de volumen de fluido dentro del volumen de control.

Si, además, el flujo es permanente:

Que dice que en un flujo incompresible permanente el flujo neto en volumen a través de la superficie de control es nulo.  Es decir, el volumen por unidad de tiempo que ingresa al VC es igual al volumen por unidad de tiempo que sale del VC.   El flujo en volumen se conoce como caudal volumétrico.  Cuando se menciona "caudal", normalmente debe entenderse como caudal volumétrico.

¿Puede reescribir las ecuaciones de continuidad estudiadas si el flujo se expresa en términos discretos cuando cruza la superficie de control?

Revise seis formas de resolver un problema simple con el método del volumen de control en http://web.mit.edu/2.25/www/pdf/cv.pdf

Estudio de un caso

Considere el campo de velocidades:    v = kxi - kyj

Determine la geometría de las líneas de corriente si se sabe que el vector velocidad es paralelo al diferencial de arco en cada punto, de manera que la ecuación diferencial de las líneas de corriente es

dx/vx=dy/vy=dz/vz

Determine el campo de aceleración e interprete el resultado.

Determine si el flujo es rotacional o irrotacional.

Determine si el flujo es real. ¿Cuáles hipótesis adicionales se requiere establecer?

Considere un elemento de volumen de ancho unitario que sobre le plano x-y tiene una proyección cuadrada que pasa por los vértices (1,1); (1,2); (2,1) y (2,2).  Calcule el caudal que pasa por cada una de las caras del elemento de volumen. Identifique claramente si ese flujo entra al volumen o sale del volumen. Determine el caudal en la dirección x. Determine el caudal en la dirección y. Determine el flujo neto a través de la superficie de tal volumen.

Identifique la línea de corriente que pasan por el punto (1,1) y la que pasa por (1,2). Determine el caudal que pasa por la vena fluida definida por estas dos líneas de corriente.

Escriba las hipóteis necesarias y clasifique este flujo según los diferentes criterios establecidos:

Viscosidad del fluido Densidad del fluido Permanencia del flujo Orden del flujo Región de flujo Vorticidad del flujo Comportamiento espacial Extensión del campo de flujo

¿Podría hacer un análisis similar para el campo de velocidades v = -(k/r2r ?