UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DINÁMICA

CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA: FUERZA Y ACELARACIÓN

DOCENTE: FREDDI ROLAND RODRIGUEZ ORDOÑEZ

INTEGRANTES:

CARRASCO LÓPEZ KATERINEMONSALVE SEGURA DEYSERROJAS CLAVO DANTE OMAR

CICLO: IV

JAÉN- PERÚ

2014

0

1

Dedico mi trabajo a mis compañeros y a todos los jóvenes que tienen deseo de superarse y crecer en forma personal y profesional.

KATERINE ROSSANA CARRASCO LOPEZ

Dedico mi trabajo a nuestro docente Freddi Rodríguez por enriquecernos nuestro bagaje cultural que nos permitirá desenvolvernos de manera asertiva en nuestra labor como futuros profesionales.

DANTE OMAR ROJAS CLAVO

Dedico éste trabajo con mucho amor y cariño a mis padres por brindarme el apoyo mutuo y continuo para yo continuar mis estudios universitarios, ya que soy un ejemplo a seguir para que mis hermanos menores y sean grandes profesionales.

DEYSER MONSALVE SEGURA

INTRODUCCIÓN

Cuando la resultante del sistema de fuerzas que se ejerce sobre un cuerpo

puntual es nula, el cuerpo está en equilibrio (reposo o velocidad constante).

Cuando dicha resultante no es nula, el cuerpo se halla animado de movimiento

acelerado.

Las fuerzas no equilibradas y el movimiento que originan constituyen la cinética,

rama de la dinámica que se ocupada de la relación entre el cambio del movimiento

de un cuerpo y las formas que lo provocan.

El movimiento que experimenta un cuerpo cuando está sometido a un sistema de

fuerzas no equilibrado se puede establecer utilizando tres métodos diferentes:

1.- Método de fuerza, masa y aceleración.

2.- Método de trabajo y energía.

3.- Método de impulso y cantidad de movimiento.

El método más útil para la resolución de un problema particular depende de la

naturaleza del sistema de fuerzas (constantes o variables) y de la información que

se busca (reacciones, velocidades, aceleraciones, etc.).

2

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Analizar la segunda ley de movimiento de newton, definir masa.

Analizar el movimiento acelerado de una partícula por medio de la ecuación

con diferentes sistemas.

Investigar el movimiento de fuerza central y aplicar los problemas de

mecánica espacial.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desarrollar en el estudiante de ingeniería la capacidad de analizar cualquier

problema en forma lógica y sencilla.

Aplicar para la solución de problemas principios básicos perfectamente

comprendidos que se expondrán en el trabajo.

3

Índice

1. Cinética de una partícula: Fuerza y Aceleración……..…………………5

1.1 Segunda Ley de Newton …………………………..………………5

1.1.1. Sistema de Unidades ……………………………………….6

1.2 Ecuaciones del Movimiento………………………………………..7

1.2.1 Componentes Rectangulares………………………………8

1.2.2 Componentes Tangenciales y Normales……..…………11

1.2.3 Coordenadas Cilíndricas…………………………………..13

1.2.4 Coordenadas Esféricas……………………………………14

1.2.5 Movimiento bajo una Fuerza Central…………………….15

1.2.6 Mecánica Espacial…………………………………………18

CONCLUSIONES...………………………………………………………………22

BIBLIOGRAFIA………………………………….………………………………..23

EJERCICIOS DESARROLLADOS..……………………………………………24

EJERCICIOS PROPUESTOS....……………………………………………….30

4

1. CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN

1.1SEGUNDA LEY DE NEWTON

(Beer & RUSSELL, 2010) Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula

no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud

de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.

La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor al

imaginar el siguiente experimento: una partícula se somete a una fuerza F1

de dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esa

fuerza se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección

de la fuerza (Figura a).

a) b) c)

Al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se

encuentra que su aceleración tiene una magnitud constante a1. Si el

experimento se repite con fuerzas F2, F3….etc., o de diferente magnitud o

dirección (figura b y c), se descubre que cada vez que la partícula se mueve

en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las magnitudes

a1 , a2 , a3 etc., de las aceleraciones son proporcionales a las magnitudes

F1, F2 , F3.etc., de las fuerzas correspondientes:

F1

a1

=F2

a2

=F3

a3

=…… ..=constante

El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de

las fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula que se

considera; se denomina la masa de la partícula y se denota mediante m.

Cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la

aceleración a de la partícula deben satisfacer entonces la relación: F=ma.

5

a1

F1

a2

F2

a3

F3

a

F=ma

1.1.1 SISTEMAS DE UNIDADES

Al utilizar la ecuación fundamental F=ma las unidades de fuerza,

masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso

ocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una

aceleración a a la masa m no sería numéricamente igual al producto ma;

sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir

tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta

unidad de manera que se satisfaga la ecuación F=ma . Se dice entonces

que las unidades forman un sistema de unidades cinéticas consistentes.

En la actualidad, en los Estados Unidos, los ingenieros utilizan dos

sistemas de unidades cinéticas coherentes: el Sistema Internacional de

Unidades (SI) y el U.S. customary system... (RILEY & STURGES, 2005).

En el SI, las magnitudes fundamentales son la longitud (m), la masa

(kg) y el tiempo. La unidad fuerza llamada newton (N) es, por definición, la

fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleración de

1m/s².

El sistema internacional es un sistema absoluto ya que las tres

unidades fundamentales son iguales en cualquier punto (del entorno a la

Tierra, la Luna, del espacio, etc.). En el sistema SI, el peso W de un cuerpo

(fuera de la gravedad), como cualquier otra fuerza, se expresa en newton.

Así pues según la segunda ley de Newton, el módulo W del peso de un

cuerpo de masa m es:

W=mg

En Estados Unidos sigue utilizándose un sistema cuyas magnitudes

fundamentales son la longitud (ft), la fuerza (lb) y el tiempo (s). La unidad de

6

tiempo (el segundo) es la misma que en el sistema SI. La unidad de

longitud (el pie) es, por definición, 0,3048m. La unidad de fuerza (la libra) se

define diciendo que es el peso al nivel del mar y a una latitud de 45° de un

patrón de platino que tiene una masa de 0,4359243 kg. Como la unidad de

fuerza depende de la atracción gravitatoria terrestre, el US customary

system no es un sistema absoluto. En este sistema, la unidad de masa es el

slug. Por definición, una masa de 1 slug adquiere una aceleración de 1ft/s²

cuando se le aplica una fuerza de 1 lb. Resumidamente: m=Wg

donde g es

la aceleración de la gravedad ¿).

1.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

(HIBBELER, 2010) Antiguamente se creía que un cuerpo en reposo estaba

en su estado natural, por lo que para mantenerlo en movimiento era

necesaria una cierta fuerza. La gran contribución de Newton a la Mecánica

fue darse cuenta de que no era necesaria una fuerza para mantener en

movimiento un cuerpo una vez que se hubiera puesto en movimiento y que

el efecto de una fuerza es alterar una velocidad, no mantenerla.

Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante

se determina por medio de una suma vectorial de todas las fuerzas; es

decir. FR=𝚺F, en este caso general la ecuación del movimiento se describe

como:

7

=FR=ΣF

Diagrama cinética

Diagrama de cuerpo libre

F1

F2

F=ma

Cuando el movimiento tiene lugar a lo largo de una curva en el espacio

de tres dimensiones, su descripción precisa de tres coordenadas. Para

describir este tipo de movimiento, existen tres sistemas de coordenadas: el

de coordenadas o componentes rectangulares, coordenadas cilíndricas y el

de coordenadas esféricas.

1.2.1 COMPONENTES RECTANGULARES

(Beer & RUSSELL, 2010) Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a

en componentes rectangulares, se escribe

Σ ( Fx i+F y j+F z k )=m (ax i+a y j+az k )Para que esta ecuación se satisfaga, los

componentes i, j, k, respectivos del lado izquierdo deben ser iguales a los

componentes correspondientes del lado derecho, por consiguiente,

podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes:

ΣF x=m ax

ΣF y=ma y

ΣF z=m az

Al recordar que las componentes de la aceleración son iguales a la

segunda derivada de las coordenadas de la partícula, se tiene:

ΣF x=m x=md2 xd t2 ΣF y=m y=m

d2 yd t2 ΣF z=m z=m

d2 zd t2

Considérese un ejemplo el movimiento de un proyectil. Si se ignora la

resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil después de

que éste se ha lanzado es su peso W=−W j. En consecuencia, las

ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son:

m x=0m y=−W m z=0

8

F z

F yF x

Y las componentes de la aceleración del proyectil corresponden a:

x=0 y=−Wm

=−g z=0

Donde g es 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2, de acuerdo al uso del sistema de

unidades. Las ecuaciones que se obtienen se integran de manera

independiente, como se muestra en la sección, para obtener la velocidad y

el desplazamiento del proyectil en cualquier instante. Cuando un problema

implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de movimiento deben escribirse

para cada uno de).

Se recuerda de la sección que todas las aceleraciones deben

medirse con respecto a un sistema de referencia. En la mayoría de las

aplicaciones de ingeniería es posible determinar las aceleraciones con

respecto a ejes unidos a la Tierra, aunque las aceleraciones relativas

medidas con respecto a ejes móviles, como los ejes unidos al cuerpo

acelerado, no pueden sustituirse en lugar de a en las ecuaciones de

movimiento.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS

(HIBBELER, 2010) Las ecuaciones de movimiento se utilizan para

resolver problemas que requieren una relación entre las fuerzas que

actúan en una partícula y el movimiento acelerado que ocasionan.

Diagrama de cuerpo libre:

• Seleccione el sistema de coordenadas inercial. Por lo general se utilizan

coordinadas x,y,z para analizar problemas en los cuales la partícula tiene

movimiento rectilíneo.

• Una vez que se establece las coordenadas, trace el diagrama de cuerpo

libre de la partícula.

9

• La dirección y sentido de la aceleración a de la partícula también debe

establecerse. Si se desconoce el sentido, suponga que el sentido de cada

componente de aceleración actúa en la misma dirección que su eje de

coordenadas inercial positivo.

La aceleración puede representarse como el vector ma en el diagrama

cinético.

Ecuaciones de movimiento

• Si las fuerzas pueden descomponerse directamente con el DCL, aplique las

ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares.

• Si la geometría del problema parece complicada, lo que a menudo ocurre

en tres dimensiones, puede utilizarse el análisis vectorial cartesiano para la

solución.

• Fricción: si se está en contacto con una superficie de fricción, la cual

relaciona fuerzas de fricción y normales que actúan en la superficie de

contacto mediante la ecuación Ff=ukN, esta fuerza actúa de forma contraria

a la Fz resultante.

• Resorte: si se está en contacto con un resorte elástico, la cual relaciona su

deformación por medio de la ecuación Fs=ks.

Cinemática

• Si se tiene que determinar la velocidad o posición de la partícula, se deben

aplicar las ecuaciones cinemáticas necesarias una vez que se determine la

aceleración de la partícula con 𝚺F=ma.

• Si la aceleración es en función del tiempo, use a=dvdt

y v=dsdt

.

• Si la aceleración es una función del desplazamiento, integre ads=vdv.

• Si la aceleración es constante, use v=v0+at, s=s0+v0xt+1/2xat2, v2=v02+2xa(s-

s0).

10

1.2.2 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

(Beer & RUSSELL, 2010) Al descomponer las fuerzas y la aceleración de

la partícula en componentes a lo largo de la tangente a la trayectoria (en la

dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior de la trayectoria) y

sustituir a la ecuación, se obtienen las dos ecuaciones escalares:

Σ F t=m at Σ Fn=man

Al sustituir a t y an, de las ecuaciones anteriores se tiene:

Σ F t=mdvdt

Σ Fn=mv2

p

Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS

(HIBBELER, 2010) Cuando un problema implica movimiento de una

partícula a lo largo de una trayectoria curva conocida, en el análisis se

utilizaran coordenadas normales y tangenciales puesto que los

componentes de aceleración son fáciles de formular. Método para aplicar la

11

ecuación del movimiento la cual relaciona las fuerzas con las aceleraciones,

para las coordenadas t,n,v, se puede formular como sigue:

Diagrama de cuerpo libre:

• Establezca el sistema de coordenadas t,n,v inercial en la partícula y trace el

diagrama de cuerpo libre de esta.

• La aceleración normal de la partícula siempre actúa en la dirección n

positiva.

• Si la aceleración tangencial es desconocida, suponga que actúa en la

dirección t positiva.

• No hay aceleración en la dirección v.

• Identifique las incógnitas en el problema.

Ecuaciones de movimiento

Aplique las ecuaciones dada del movimiento.

Cinemática

Formule los componentes normales y tangenciales de la aceleración; es

decir:

At=dv/dt o at=vxdv/ds y an=v2/p

Si la trayectoria se define como y=f(x), el radio de curvatura en el

punto donde la partícula está localizada se obtiene como:

p = [1 +( dydx

)2]3/2/[dt2y/d2

x]

12

1.2.3 COORDENADAS CILINDRICAS

Según (Beer & RUSSELL, 2010) Tenemos una partícula P, de

coordenadas polares r y θ que se mueven en un plano bajo la acción de

varias fuerzas. Al descomponer las fuerzas y la aceleración de P en las

componentes radial y transversal y sustituir la ecuación, tenemos:

Σ F r=m ar Σ Fθ=m aθ Σ F z=m az

Al sustituir de acuerdo con las ecuaciones de aceleración, se tiene:

ar=r−θ2 aθ=r θ+2 r θ az=Z

Las coordenadas polares o cilíndricas son una opción adecuada para

el análisis de un problema para el cual se dan datos con respecto al

movimiento angular de la línea radial r, o en casos en los que la trayectoria

puede expresarse convenientemente en función de estas coordenadas.

Una vez que estas coordenadas se establecen, las ecuaciones de

movimiento pueden aplicarse entonces para relacionar las fuerzas que

actúan en la partícula con sus componentes de aceleración.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS

Diagrama de cuerpo libre

• Establezca el sistema de coordenadas r,θ, z inercial y trace el diagrama de

cuerpo libre de la partícula.

• Suponga que ar, aθ, az actúan en las direcciones positivas de r,θ, z si son

desconocidas.

• Identifique las incógnitas en el problema.

13

Ecuaciones de movimiento

Aplique las ecuaciones dada del movimiento.

Cinemática

• Determine las derivadas con respecto al tiempo r , r ,θ ,θ , z , y luego evalúe las

componentes de aceleración ar=r−θ2 aθ=r θ+2 r θ az=Z .

• Si cualquiera de las componentes de aceleración se calcula como una cantidad

negativa, ello indica que actúa en la dirección de su coordenada negativa.

• Cuando se toman las derivadas con respecto al tiempo de r=f (θ), es muy

importante utilizar la regla de la cadena.

1.2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS

En un sistema de coordenadas esféricas, la posición del punto se describe

en función de una distancia radial R y dos ángulos θ y∅ .

Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración son:

r=R eR

v=r=R eR=R θ s en∅ eθ+R ∅ e∅

a=r= ( R−R ∅ 2−R θ2 ) eR+( R θ sen∅+2 R θ sen∅+R ∅ θ cos∅ ) eθ+( R ∅+2 R ∅+R θ2 sen∅ cos∅ ) e∅

Al movimiento curvilíneo en el espacio, la segunda ley de Newton para un

punto material, da:

Σ F R=m aR Σ Fθ=m aθ Σ F∅=m a∅

Combinando las ecuaciones tenemos anteriores tenemos las ecuaciones

escalares.

Σ F R=m aR=R−R ∅2−Rθ2

Σ Fθ=maθ=R θ sen∅+2 Rθ sen∅+R ∅ θ cos∅

Σ F∅=ma∅=R ∅+2 R ∅+R θ2 sen∅ cos∅

14

1.2.5 MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL

(HIBBELER, 2010) Si una partícula se mueve sólo bajo la influencia de una

fuerza cuya línea de acción siempre está dirigida hacia un punto fijo, el

movimiento se llama movimiento de fuerza central.

Este tipo de movimiento lo realizan los planetas alrededor del Sol, la luna y

los satélites artificiales alrededor de la Tierra. A partir de estas observaciones

del movimiento de los planetas en torno al Sol J .Kepler enuncio las tres leyes

siguientes que rigen el movimiento por acción de una fuerza central.

Leyes de Kepler del movimiento planetario.

Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol, el cual

ocupa un foco.

Segunda ley: El radio vector que une cada planeta con el Sol barre áreas

iguales en tiempos iguales.

Tercera ley: Los cubos de las distancias medias de los planteas al Sol son

proporcionales a los cuadrados de sus periodos de revolución.

Para analizar este movimiento, consideraremos la partícula P de la imagen a),

de masa m en la que actúa sólo la fuerza central F. el diagrama de cuerpo libre

de la partícula se muestra en la imagen b).

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F

O

z

x

y

P

(a) (b)

Σ F r=m ar −F=m [ d2rdt2 −r ( dθ

dt )2]

Σ Fθ=maθ 0=m( d2θdt 2 −2

dθdt

drdt )

La segunda ecuación se escribe como:

0=1r [ d

dt (r2 dθdt )]

De modo al integrar se obtiene

r2 dθdt

=h

Donde h es constante de integración. Por consiguiente se concluye que

cuando una partícula de mueve bajo la una fuerza central, su velocidad, de

área es constante.

Ley de la atracción gravitatoria de Newton

En su ley de la gravitación universal, Newton postuló que dos partículas de

masa M y n a una distancia r una de la otra se atraen entre sí con fuerzas

iguales y opuestas F y –F dirigidas a lo largo de la línea que las une. (RILEY &

STURGES, 2005).

16

La magnitud común F de las dos fuerzas es:

F=Gm1 m2

r2

Donde G es una constante universal, llamada la constante de gravitación.

Los experimentos indican que el valor de G corresponde a

(66.73 ± 0.03)× (10−12 ) m3 /(kg . s2)en unidades del SI o aproximadamente

34.4 × (10−9 ) ft4/( lb . s4) en unidades del sistema de uso común en Estados

Unidos. Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par de cuerpos,

pero su efecto sólo es apreciable cuando uno de los cuerpos tiene una masa

muy grande. El efecto de las fuerzas gravitacionales es patente en los casos

que orbitan alrededor de la Tierra, o de cuerpos que caen sobre la superficie

terrestre.

Puesto que la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m

localizado sobre o cerca de su superficie se define como el peso W del

cuerpo, es posible sustituir la magnitud W= md del peso por F, y el radio R de

la tierra por r, de la ecuación de la ley gravitacional se obtiene:

W =mg=GM

R2mo g=GM

R2

Donde M es la masa de la Tierra. En virtud de que la Tierra no es

verdaderamente esférica, la distancia R desde el centro terrestre depende del

punto elegido sobre su superficie, y los valores de W y g variarán entonces

con la altura y la latitud del punto que se esté considerando. Otra razón para la

variación de W y g con la latitud es que un sistema de ejes unido a la tierra no

constituye un sistema de referencia newtoniano. Una definición más precisa

del peso de un cuerpo debe, por lo tanto, incluir una componente que

17

represente la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre. Los valores de g

a nivel de mar varían de 9.781 m/s², o 32.09 ft/ s², en el ecuador, a 9.833 m/s²,

o 32.26 ft/ s², en los polos.

La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m ubicado en el

espacio a una distancia r de su centro, puede determinarse a partir a una

distancia r de su centro, el producto de la constante de gravitación G y de la

masa M de la Tierra puede expresarse como GM=gR².

El descubrimiento de la ley de la gravitación se ha atribuido a la creencia de

que, luego de observar la caída de una manzana e un árbol, Newton reflexionó

que la Tierra debe atraer a una manzana y a la Luna de la misma manera. Si

bien es dudoso que este incidente haya ocurrido en la realidad, sí es posible

afirmar que Newton no habría formulado su ley si no hubiera percibido primero

que la aceleración de un cuerpo que cae debe ser consecuencia de la misma

causa que la aceleración que mantiene a la Luna en su órbita. Este concepto

básico de la continuidad de la atracción gravitacional se comprende mejor en

la actualidad, cuando la brecha entre la manzana y la Luna se está llenando

de satélites terrestres artificiales.

1.2.6 MECANICA ESPACIAL

(Feynman, 2011) Cuando el momento angular L no es nulo, la trayectoria es

una cónica.

Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(𝛉) se expresa el momento

angular y la energía en coordenadas polares y se integra la ecuación

diferencial resultante.

18

r θ

El parámetro se denominado excentricidad, define el tipo de trayectoria

r= d1+ecosθ

cone=√1+ 2l2 E

m3 G2 M 2d= L2

GM m2

Clase de

cónica

Descripción

geométrica

Descripción

física

Elipse ε<1 E<0

Parábola ε =1 E=0

Hipérbola ε >1 E>0

Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya

excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una

fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las

distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una

energía total negativa (E<0).

Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la

posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando e=0 y la posición más

alejada r2 se obtiene cuando θ=π. Es decir,

19

c

ab

r2r1

S

v1

v2

r1=d

1+ey r2=

d1−e

Los semejantes a y b de la elipse valen

2 a=r1+r2 a= d

1−e2

a2=b2+c2 b=a√1−e2

El semejante mayor de la elipse a es independiente del momento angular L,

y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b depende del

momento angular L y de la energía E.

a=−mGM2 E

b=L√aGM

PERIODO

Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.

En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el

radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo

comprendido entre t y t + dt el área de color rojo de forma triangular.

El ángulo del vértice de dicho triángulo es d 𝛉 y la base del triángulo es un

arco de longitud rd 𝛉. El área del triángulo es (base por altura dividido por

dos)

20

θdθ

rdθ

r

r (r . d θ)2

= r2 d θ2

Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas

polares.

∫0

2 r

r 2d θ=∫0

pLm

dt∫0

2 rr2 dθ

2= L

2 m∫2 m

p

dt

La primera integral es el área total de la elipse πab, que es igual a la suma

de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo

miembro es el periodo P del planeta, por tanto:

P=2 mπadL

Poniendo el semieje b en función del semieje a, llegamos a la fórmula que

relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la

elipse a, denominada tercera ley de Kepler.

P2=4 π2 a3

GM

21

CONCLUSIONES

La ley fundamental que rige al movimiento de un punto es la segunda ley de

Newton, la cual relaciona el movimiento acelerado de un punto con las

fuerzas que originan el movimiento.

Las coordenadas cilíndricas son útiles cuando se especifica el movimiento

angular de la línea radial r0 cuando la trayectoria se puede describir de

manera convenientemente con estas coordenadas.

Cuando una fuerza actúa en una partícula, como durante a trayectoria de

vuelo libre de un satélite en un campo gravitacional, entonces el movimiento

se conoce como movimiento de fuerza central. (Movimiento de fuerza

central)

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BIBLIOGRAFÍA

Beer, F., & RUSSELL, J. (2010). Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mexico: McGRAW - HILL/ INTERAMERICANA EDITORES, S.A.

Feynman, R. P. (2011). Fuerzas Centrales . Canada: The Character of a Physical Law.

HIBBELER, R. (2010). Dinamica. España: Pearson Educacion,Mexico.

RILEY, W., & STURGES, L. (2005). Ingeneria Mecánica, Dinamica. Barcelona: REVERTÉ, S.A.

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30°

EJERCICIOS

EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1.- Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la

magnitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleración de

10 ft/s² hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el

plano es uk =0.25.

24

SOLUCIÓN:

W

N F

m=Wg

= 200 lb

32.3 ft / s2=6.21 lb . s2/ ft

+¿→∑ F x=ma Pcos30 °−0.25 N=(6.21 lb s2/ ft )10 ft /s2¿

+↑∑ F y=ma N−Psen 30°−200 lb=0

N=Psen30 °+200 lb

Pcos30 °−0.25 ( Psen30 °+200lb )=62.1lb P=151 lb

=ma

P

200lb

30°

2.- El furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 lb y remolca un

carro B de 550 lb y un carro C de 325 lb. Durante un corto tiempo la fuerza de

fricción desarrollada en las ruedas del furgón es F A=(40 t)lb, donde t está en

segundos. Si el furgón arranca del punto de reposo, determine su rapidez en 2

segundos. También, ¿Cuál es la fuerza horizontal que actúa en el acoplamiento

entre el furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño del furgón y el peso

de los carros.

SOLUCIÓN:

25

Se tiene que considerar el movimiento solo en la dirección horizontal.

+¿←∑ F x=m ax ¿

40 t=( 900+550+32532.2 )a

a=0.7256 t

Como la aceleración es una función del tiempo, la velocidad del furgón se obtiene con a=dv /d t con la condición inicial de que v0=0 en t=0. Tenemos.

∫0

v

dv=∫0

2 s

0.7256 t d t ; v=0.3628 t 2∫0

2 s

¿1.45pies

s

Ecuación de movimiento: cuando t=2s, entonces

+¿←∑ F x=m ax ¿

40 (2 )−T=( 90032.2 ) ⌊0.7256(2)⌋

3.- Se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie de la Tierra con

una velocidad de 18 820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la

velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2 340 mi.

Recude que el radio de la Tierra es de 3 960 mi.

26

2340 mi

240mi

SOLUCIÓN:

m v A

θ

mv

B HJG A

m vB

Puesto = que el satélite se mueve bajo el efecto de una fuerza central dirigida hacia el centro 0 de la Tierra, su cantidad de movimiento angular H 0 es constante. De la ecuación s e t i e n e :

rmvsinƟ=H 0=constante

Que muestra que v es mínima en B, donde tanto r como sin∅ son máximos. Al expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular entre A y B

r A m v A=r B mv B

vB=v A( r A

rB)

vB=(18820mih

)( 3960 mi+240 mi3960 mi+2340 mi )

vB=12,550mih

r B r A O

4.- el patinador de 60 kg que aparece en la figura se desliza cuesta debajo de la

pista circular movido solo por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de

reposo cuando Ɵ=0° , determine la magnitud de la reacción normal que la pista

ejerce en él cuando Ɵ=60°.Ignore su estatura en el círculo.

27

SOLUCIÓN:

Ecuaciones del movimiento:

↓∑ Fx=m an

N s−[60 (9.81 ) N ]sin θ=¿ (60 kg )( v2

4 m )… ..(I )¿

↓∑ Ft=m at

[60 (9.81 ) N ] cosθ=¿ (60 kg ) (a t )¿

a t=9.81cosθ

Como a testa expresada en función de θ , para determinar la rapidez del patinador cuando Ɵ=60° se utiliza la ecuación vd v=at ds. Con la relación geométrica s=θr, donde d s=r dθ=(4 m)dθ y la condición inicial v=0 en Ɵ=0°, tenemos:

vd v=at ds

∫0

v

v dv=¿∫0

60°

9.81cos θ (4 dθ )¿

v2

2∫0

v

¿39.24 sin θ∫0

60°

; v2

2−0=39.24(sin60°−0)

v2=67.97m2

s2

Si sustituimos v y Ɵ=60° en la ecuación (I), tenemos:

N s=1529.23 N=1.53 kN

5.-El doble anillo liso de 0.5 kg que se muestra en la figura puede deslizarse

libremente sobre el brazo AB y la barra guía circular. Si el brazo gira a una

velocidad angular constante de θ=3rad

s , determine la fuerza que el brazo ejerce

sobre el anillo en el instante θ=45°. El movimiento ocurre en el plano horizontal.

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Ecuaciones del movimiento:

+↗∑ F r=m ar⟹N Ccos 45°=(0.5 kg )ar … ..(I )

+↖∑ Fθ=maθ⟹ F−NCsin 45°= (0.5 kg ) aθ … (II)

Con la regla de la cadena, la primera y segunda derivada con

respecto al tiempo de r cuando θ=45° , θ=3rad

s, ¨θ=0

r=0.8 cosθ=0.8 cos45°=0.5657 m

˙r=−0.8 cosθ θ=−0.8 cos 45° (3 )=−1.6971ms

¨r=−0.8 [sin θ ¨θ+cosθ θ2 ]

¨r=−0.8 [sin 45° (0 )+cos45° ( 32 ) ]=−5.091

m

s2

Tenemos:

ar=r−r ˙θ2=−5.091m

s2−(0.5657 m)¿

aθ=r θ+2 r θ=(0.5657 m) (0 )+2(−1.6971m / s)(3 rad /s )=−10.18m

s2

Si sustituimos estos resultados en las ecuaciones (1) y(2) al resolverlo obtenemos:

N c=7.20 N

F=0

6.-El juego mecánico que se muestra en la figura consiste en una silla que gira en

una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la

aceleración angular del brazo OB son θy θ, respectivamente. Determine las

componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya

estatura no se toma en cuenta en el cálculo.

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SOLUCIÓN:

Primero es necesario especificar la primera y segunda derivada con respecto al tiempo de r y θ. Como r es constante , tenemos:

r=r r=0 r=0

Por lo tanto, tenemos:

vr=r=0

vθ=r θ

ar=r−r θ2=−r θ2

aθ=r θ+2 r θ=r θ

Nota: los ejes n, t también se muestran en la fig. (b) que en este caso especial de movimiento circular son coliniales con los ejes r y θ ,respectivamente. Como v=vθ=v t=r θ, entonces por

comparación tenemos:

−ar=an=v2

ρ=

(r θ )2

r=r θ2

aθ=at=dv

d t

= dd t

( r θ )=dr

d t

θ+ d θd t

=0+r θ

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Determine la Aceleración del Sistema y la Tensión en cada cable. El plano

inclinado es liso y el coeficiente de fricción cinemática entre la superficie

horizontal y el bloque C es (U k)c=0.2

2. El carro B de 800kg está enganchado al carro A de 350kg mediante un acoplamiento de resorte. Determine el alargamiento en el resorte si (a) las ruedas de ambos ruedan libremente y (b) se aplican frenos a las cuatro ruedas del carro B, lo que hace que patinen. Considere (U k) c=0.4. Ignore la masa de las ruedas.

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3.- el bloque B descansa sobre una superficie lisa, si los coeficientes de fricción

cinética y estática entre A y B son us=0.4 y uk=0.3 , respectivamente, determine la

aceleración de cada bloque si P=6lb.

A 20 lb

P

B 50 lb

4.-Una sonda espacial se colocará en una órbita circular de 9000 km de radio alrededor del planeta Venus en un plano especificado. Cuando la sonda alcanza A, que es el punto de su trayectoria original más cercano a Venus, se inserta en una primera órbita de transferencia elíptica al reducir su velocidad en vA. Esta órbita lo lleva al punto B con una velocidad más baja. Allí, la sonda se inserta en una segunda órbita de transferencia ubicada en el plano especificado al cambiar la dirección de su velocidad y además reducir su rapidez en vB. Por último, cuando la sonda llega al punto C, se inserta en la órbita circular deseada al reducir su velocidad en vC. Si la masa de Venus es 0.82 veces la masa de la

Tierra, rA 15 103 km y rB 300 103 km, y la sonda se aproxima a A en una trayectoria parabólica, determine en cuánto debe reducirse la velocidad de la sonda a) en A, b) en B, c) en C.

Trayectoria de aproximación

Segunda órbita de transferencia C

B 9000 km A

Órbita circular

Primera órbita de transferencia

r A rB

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5.- Un tobogán y su conductor de 90 kg de masa total se deslizan cuesta abajo a

lo largo de una pendiente (lisa) definida por la ecuación y=0.08 x2 . en el instante

x=10 m, la rapidez del tobogán es de 5ms

. En este punto, determine la tasa de

incremento de la rapidez que la pendiente ejerce en el tobogán. Ignore el tamaño

del tobogán y la estatura del conductor en el cálculo.

6.- Si la posición del anillo C de 3 kg sobre la barra lisa AB se mantiene en

r=720 mm,determine la velocidad angular constante θ a la cual gira el mecanismo

en torno al eje vertical. La longitud no alargada del resorte es de 400 mm. Ignore

la masa de la barra y el tamaño del anillo.

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