Cinemática en una dimensión

Ing. Diana Gallegos Zurita

Cinemática

““Es el estudio del movimiento de los Es el estudio del movimiento de los cuerpos sin considerarse que factor cuerpos sin considerarse que factor

produce dicho movimiento”produce dicho movimiento”

Marco de referenciaEs un cuerpo que junto a un sistema de coordenadas,permite la ubicación de otro cuerpo, en un instante dado.La descripción del movimiento depende del sistema dereferencia.En cada análisis el sistema de referencia se considera fijo. De manera general, se hacen los estudios tomando comoreferencia la tierra, para un observador inmóvil en lasuperficie de la tierra.

Punto de referenciaxf

xi

x

y

O

Respecto a que se mide

TrayectoriaEs la línea que resulta de unir las diferentesposiciones que ocupo la partícula almoverse de un lugar a otro.

P, ti

Q, tf

xf

xi

r

x

yTrayectoria de la partícula

O

Vector PosiciónEl vector posición es aquel que va desde el origen o punto de referencia hasta el punto donde se encuentra la partícula.La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

La posición de la partícula en cada instante está determinada por un vector que la señala. A medida que la partícula cambia de posición en el tiempo, el vector se desplaza con ella.

DesplazamientoLa variación que experimenta el vector posición de unapartícula, en un cierto intervalo de tiempo t .Es aquel vector que va desde el punto de partida al punto de llega.

El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en

t = tf -ti P, ti

Q, tf

xf

xi

x

x

yTrayectoria de la partícula

O

es igual al vector:

x = xf - xi.

B

t1

t

No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo.

A

x

2

Distancia total recorrida

• Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupo una partícula al moverse de un lugar a otro.

• En otras palabras es la trayectoria de una partícula entre dos puntos.

• La distancia es una cantidad escalar.

Vector VelocidadEl vector velocidad va a estar relacionado con la direccióndel vector desplazamiento:

Si la partícula se mueve en dirección x positiva el vectordesplazamiento va ser positivo y por lo tanto la velocidadva a ser positiva, caso contrario el vector velocidadva a ser negativa.

Importante: Existe velocidad cundo hay un desplazamiento de la partícula en un intervalo de tiempo.

Las unidades de la velocidad son: s

m

Diferencia entre Velocidad Y Rapidez.

• La velocidad con que se desplaza un móvil es una cantidad vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

Velocidad V=25km al ESTE Rapidez V=25km

El modulo o magnitud de la velocidades la Rapidez

Rapidez MediaPara un intervalo de tiempo t mucho mayor que cero, la rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia totalrecorrida y el intervalo de tiempo recorre dicha distancia. Rapidez media es una cantidad escalar

La rapidez media NO es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo).Si la rapidez media de un carro es 80 km/h, esto quiere decir que el carro recorre una distancia de 80km en cada hora.Por ejemplo:Si un carro recorre 150 km en 3 horas, su rapidezmedia es: 150 km / 3h = 50 km/h

tdS

Velocidad MediaSi el intervalo de tiempo t es mucho mayor quecero, la velocidad media o promedio se definecomo la relación entre el desplazamiento realizadopor la partícula y el intervalo de tiempo en que seefectuó dicho desplazamiento.

txV

xV

La velocidad media es un vector paralelo al vector x. La velocidad media es un vector.

Diferencia entre Velocidad Media Y Rapidez Media

• Velocidad Media un vector• Rapidez Media un escalar

• = cuando desplazamiento es en línea recta y No hay cambio de dirección.

• • > cuando el vector desplazamiento Cambia

de dirección.

VS

VS

Un atleta recorre 2 vueltas y ½ en una pista circular de 5m de radio en 1 minuto. Longitud de circunferencia C=2r

Determinar la Rapidez y Velocidad Media.

O

B

R = 5 m

A

Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico

Rapidez Media Velocidad Media

Velocidad InstantáneaLa velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio, x/t, conforme t tiende a cero.

dtdx

tx

t

lim0

V

La velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en el punto P.

QQ’

Q’’

x1

x3 x2

P

Dirección de v en P

x

y

O

Rapidez Instantánea

La rapidez instantánea es igual al modulode la velocidad instantánea

dtdr

trlimv~ 0t(t)

)t((t) vv~

•La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en el movimiento en línea recta.

•Sólo la dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en una trayectoria curva.

•Tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad pueden cambiar con el tiempo como en un péndulo.

La aceleración de una partícula puede ocurrir de varias maneras.

La aceleración media de una partícula se define como el cambio en velocidad v dividido entre el intervalo Δt.

if

ifm tt

vvtva

Las unidades de la aceleración son: 2sm

La aceleración instantánea estv

medida en un t

sumamente pequeño

Aceleración Media

Aceleración media vs aceleración instantáneaAceleración media vs aceleración instantánea

Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm. de radio moviéndose con rapidez constante de 200 m/s. Se pide:Determinar el modulo de la aceleración entre los puntos a y b.

Resp:

sxt 310854.7 ba2/50929 smam

Movimiento rectilíneo UniformeRectilíneo cuando el móvil describe una trayectoriarecta y es uniforme cuando su velocidad ( ) permanece constante en el tiempo.• Velocidad constante; implica magnitud y

dirección constantes.• La magnitud de la velocidad recibe el nombre de

rapidez.

V

.ctetxV

La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función velocidad

Por lo tanto la ecuación del desplazamiento será si to= 0

x ( t ) =  x0 + v . t

Donde x0 será la posición inicial del móvil.   

Los desplazamientos recorridos son directamente proporcionales a los tiempos transcurridos.

Definición de EncuentroDefinición de Encuentro“Dos cuerpos se encuentran cuando ocupan Dos cuerpos se encuentran cuando ocupan una misma posición en un mismo tiempo”una misma posición en un mismo tiempo”

dd

vH vM

Xe

te

X(m)

t(s)

XM

m = vM

m = vH

Xe

te

Ecuaciones cinemáticasEcuaciones cinemáticas

Mujer Xe - d= -vMte (1)Hombre Xe = vHte (2)

XeXo

d

Xo d0

0

0

Movimiento Rectilíneo Uniforme)( oo ttvxx

Vttxxm

Vttxxm

12

12

12

12

to

Xo

X

tt

V a

tt

V

Ecuación del MRU

Pendiente es igual a la Velocidad

m>0

m<0

V

-V

Área bajo la curva es igual al Desplazamiento

Aceleración igual a cero

)()()(

oo

oo

xxttVAreaxxttVArea

to

V

to

V

tto

V

ttto

V

-V

Movimiento Rectilíneo Uniforme Casos Particulares

• Si to=0• Si Xo=0• Particula en reposoNo se mueve con respecto a un sistema de referencia en otras palabras la posicion de la particula es la misma en cualquier tiempo.

)( oo ttvxx

El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s?

Las áreas representan los desplazamientos . Los desplazamientos tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, indicando que el móvil regresó al mismo lugar, cuya posición inicial es x=-100m.

Ejercicio:El gráfico que se muestra representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante los 15 s que la partícula estuvo en movimiento la rapidez media fue el doble que la magnitud de la velocidad media, el valor de v1 es:

Respuesta: 7.5 m/sv(m/s)

t(s)0 10 15

-5

V 1

Movimiento rectilíneo Uniformemente Variado

Es aquel movimiento rectilíneo que se caracteriza porque su aceleración a permanece constante en el tiempo (en módulo y dirección).

teconsttVVa tan

0

0

taV

Los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido.

Ejemplo:

• Si cada segundo el valor de su rapidez aumenta en 2m/s. Debido a esto podemos decir que la aceleración de un cuerpo es constante y de valor de 2 m/s2.

• En el ejemplo vemos que el móvil se mueve cada vez más rápido y por tanto las distancias recorridas por el móvil en cada segundo serán diferentes. En este caso:

Los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, podemos construir la siguiente tabla:

De esta tabla concluimos que el cambio de velocidad es igual al producto de la aceleración por el tiempo transcurrido.

taV

ECUACIONES DEL MRUV

20 2

1 attvxx o

atvv o

)(2 02

02 xxavv

20 f

m

vvV

tX

Todas estas ecuaciones son válidas sólo para aceleración constante.

Ecuación Fundamental del M.R.U.V

Si t0=0

Caída LibreEn ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos grandes o pequeños , pesados o livianos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad terrestre g .

Desplazamiento positivo

Desplazamiento negativo

Velocidad positiva

Velocidad negativa

Y

x

Dirección del movimiento

g=a

En lugar de x llamaremos y a las ecuaciones para m.r.u.v.(movimiento rectilíneo uniformemente variado)

gtvv yy 0

gyvv oyy 222

tvv

yy yoy

20

atvv 0

axvv oy 222

20 2

1 attvxx o

tvv

xx yo

20

ECUACIONES CINEMATICAS PARA LA CAIDA LIBRE

20 2

1 gttvyy oy

Análisis del movimiento en Caída Libre

Y

x

v

v

V=0

g=a

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

2

21 atvtxx o

t

x

2

21 atvtxx o

- Cuando la parábola se abre hacia arriba la aceleración es positiva; tiene un mínimo donde la velocidad es igual a cero.

- Cuando la parábola se abre abajo arriba la aceleración es negativa; tiene un máximo donde la velocidad es igual a cero.

t

x

t

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variadoatvv o atvv o

-Vo

V

Área bajo la curva es igual al Desplazamiento

m>0 a

V

m<0 -a

Vo

t t

attvvm

o

o

Pendiente es igual a la aceleración

attvvm

o

o

to

Vo

V

tt

V

)(

))(2

(

0 o

oo

ttvxx

ttvvArea

t ttoto tto ttto

a

-a

a

vttaArea o )(

Área bajo la curva es igual al cambio de velocidad

Para cualquier intervalo de tiempo la aceleración es constante

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Calculo de distancia recorrida, desplazamiento, rapidez y velocidad media en un MRUAv (m/s)

t (s)

v1

-v2

t1

t2t3

Distancia recorridaDistancia recorrida

d =d = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos)

A1 A2

A3

d= Ad= A11 + A + A22 + A + A33

d= vd= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 +½(t +½(t33 –t –t22)v)v22

Desplazamiento resultanteDesplazamiento resultante

D =D = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos)

D= AD= A11 + A + A22 - A - A33

D= vD= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 -½(t -½(t33 –t –t22)v)v22Rapidez mediaRapidez mediar = d/t =r = d/t = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos) tt

Velocidad mediaVelocidad mediav = D/t =v = D/t = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos) tt

Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene.

hminhminmint

21

601 30 301

kmm

kmmmx101

10 1100100 3

hs

hsst120

1 3600

1 30 302

hs

hsst120

1 3600

1 30 30

totaltiempototalentodesplazami

t

xv

tttxtvtvv

21

2211

hkmhv / 7.9h

1201h

1201 h

21

km 10/1h 1/120 12 2/1 10 hkm

hkm

Ejercicio:

Los gráficos mostrados representan el movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a t=0?

Movimiento en dos Dimensiones

Movimiento en dos Dimensiones El movimiento en dos dimensiones o movimiento

compuesto es aquel que se origina cuando intervienen dos movimientos simples los cuales se consideran independientes; el Movimiento Rectilíneo Uniforme y el Movimiento de Caída Libre.

LANZAMIENTO HORIZONTAL O TIRO SEMIPARABÓLICO

• Se produce cuando un cuerpo es lanzado horizontalmente desde una altura o se lanza del piso deseando alcanzar una altura alejado a cierta distancia del punto de inicio del movimiento.

• El movimiento de debe descomponer en un MOVIMIENTO HORIZONTAL y un MOVIMIENTO VERTICAL

Componentes de la Velocidad Inicial (Vo)

Ecuaciones

Otras ecuaciones

El movimiento en x no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán:

Pero en cambio en el eje y se deja sentir la aceleración de la gravedad, por tanto sus ecuaciones serán:

Para este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus componentes x y y.

YoYgVoV yy 222

Ecuación de la Trayectoria

Tiro Parabólico

v= voCos î +(vosen - gt) ĵv= vv= vxxî +vî +vyyĵĵ

Vector Posición rVector Posición r

r= voxt î + (voyt - ½gt2)ĵ

r= (vocos)t î + (vosen t - ½gt2)ĵ

r= rr= rxxî + rî + ryyĵĵ

Altura máxima y tiempo de subidaAltura máxima y tiempo de subida

Tiempo de subida y Altura maximaVy =0 en el punto máximo

YoYgVoV yy 222gtVoV yy

Alcance Máximo Alcance Máximo

X = vox tv

Si la particula tiene un ΔY=0

Para una misma Vo y diferentes angulos de lanzamiento

2190

Ejercicio: Ejercicio: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resistencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro .

Vox = vo cos = 240 cos

x = (240 cos ) t

3600=(240 cos ) t

t= 3600 = 15 . 240 cos cos

Movimiento horizontal

Movimiento vertical Y = vY = voyoy t - t - ½gt½gt22 600= 600= 240sen t - t - ½(9.81)t½(9.81)t22

600= 240sen (15) - ½(9.81) (15)2

cos cos2

1104 tg2 - 3600tg + 1704 = 0 , donde sec x=raiz(1 + tan2x)

tg = 0.575 y tg = 2.69

= 29.9º y = 69.6º

Problema

Problema

Taller

4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es:

• a) 186 m• b) 168 m• c) 148 m• d) 136 m• e) 126 m

5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es:

• a) 104,5 m/s• b) 89,0 m/s• c) 84,5 m/s• d) 76,0 m/s• e) 68,5 m/s