FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL INFORME DE INVESTIGACION TITULADO:MOVIMIENTO DE LA PARTICULA. ALUMNOS: Cervera Vargas Roy A. Mendoza Ayra Marlon F. Rodriguez Sanchez Rodrigo G. Diaz Lopez Cristian S. Paredez Villanueva Ricardo H. Vilchez Perez Joel A ASESOR: LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFO DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 2 INTRODUCCION La Mecnica es la rama de la Fsica que estudia el movimiento de los cuerpos materiales. Histricamente es la primera de las ciencias exactas de la naturaleza y por lo tanto es un paradigmade todaactividadcientfica.Msan,la Tecnologamoderna ysusinmensas posibilidadesdetransformacindelmundoresultandelaaplicacinsistemticadel mtodo cientfico. Por esta razn, ms all del inters que sin duda tiene el transmitir un conjunto de conocimientos tiles para la actividad profesional del ingeniero, este curso de Fsica,comotodoslosrestantes,tieneelobjetivofundamentaldelograrquelos estudiantes adquieran la capacidad de analizar y resolver los problemas que enfrenten en su actividad profesional con esa mezcla de rigor e imaginacin propia de la ciencia. Elprimerobstculoquedebesuperartodacienciaempricaparasudesarrolloeselde ponerordenennuestrassensacionesextraordinariamentericasyfugaces.Platnfueel primeroenobservarquenadapodramosdeciracercadelaspercepcionesfluidasde nuestrossentidossinopudiramoscaptarenellasrelacionespermanentesproyectadas por nuestra razn. El pensamiento debe ir eliminando factores accesorios o accidentales y con la ayuda de objetos geomtricos y matemticos debe intentar describir los fenmenos que ante nosotros fluyen sin cesar. Platn se limit a enunciar el programa de las ciencias empricas.Habaqueesperarhastalallegadadelapocamoderna,paraquehombres como Kepler, Galileo y Newton lo llevaran a cabo. El primer problema al que se ve enfrentada la Fsica al buscar una descripcin precisa del movimiento es por consiguiente el de eliminar todos aquellos factores que son accesorios yeldeencontrarellenguajematemticomsapropiado.Lamximarealizacindeeste programaalcanzadaenlaantigedadesladescripcindePtolomeodelmovimiento planetario. Resulta natural que la primera descripcin con cierto grado de exactitud de un fenmeno se refiera al movimiento planetario. En efecto, los datos de la observacin son sumamentesimples(debidoaladistanciaentrelosobjetoscelestesylaTierra,esfcil trataralosprimeroscomoobjetospuntuales).Porotraparte,susmovimientossonmuy regularesyperidicos.BasndoseenlasnocionesdelageometradeEuclidesyenla ideaplatnicadelaperfeccindelacircunferencia,tolomeollegaaunadescripcindel movimientoplanetarioentrminosdepartculaspuntualesqueocupanposiciones sucesivas en el espacio a medida que el tiempo transcurre. Los elementos esenciales de la descripcin cinemtica del movimiento de las partculas materiales ya estn presentes en el esquema de Ptolomeo. Slo faltaba incorporar la idea de la Relatividad del Espacio que aparecera con Coprnico y sera enunciada en forma explcita por Galileo. En efecto, para Ptolomeo todo movimiento debe describiese con referencia a la Tierra que se encuentra en reposo en el centro del Universo. Al mostrar la enorme simplificacin conceptual que resultaba al referir el movimiento de los planetas en torno al Sol, Coprnico estaba implcitamente mostrando DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 3 queelsistemadereferenciarespectoalcualsedescribeelmovimientodependeen definitiva de nuestra conveniencia y que por lo tanto no existe un sistema privilegiado. EnesteCaptulointroduciremosloselementosmatemticosbsicosparaladescripcin del movimiento de una partcula. La parte de una teora fsica que introduce el lenguaje necesario para la descripcin de los fenmenos que estudia se llama la Cinemtica. Todo fenmeno que se encuentra dentro delrangodeaplicacindelaTeoradebeserexpresableendicholenguaje.As,la Cinemtica de las Partculas Materiales debe ser capaz de describir cualquier movimiento posible de una partcula en el espacio tridimensional. ElsegundoelementobsicopresenteencualquierteorafsicaeslaDinmica.Ella establece las leyes que obedecen los fenmenos fsicos. En particular, la Dinmica de las partculasMaterialesnospermitirdeterminar,enunasituacindada,culdetodoslos movimientos cinemtica mente posibles seguir la partcula en cuestin. OBJETIVOS: Explicar la importancia del estudio de la dinmica de los cuerpos. Precisaryanalizarlacinemticadeunapartcula,suselementosymedidas esenciales. Identificar las caractersticas del movimiento de una partcula. Deducir e interpretar las ecuaciones aplicadas en el movimiento de una partcula. Aplicar los conceptos estudiados en problemas propuestos. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 4 NOCION DE LA CINEMATICA: Unfenmenoquesiempreestpresenteyqueobservamosanuestroalrededoresel movimiento. La cinemtica es la parte de la Fsica que describe los posibles movimientos sinpreocuparsedelascausasqueloproducen.Noeslcitohablardemovimientosin establecer previamente ''respecto de que'' se le refiere. Debido a esto, es necesario elegir unsistemadereferenciarespectodelcualsedescribeelmovimiento.Elsistemade referencia puede ser fijo o mvil.Lacinemtica(delgriego,kineo,movimiento)eslaramadelamecnicaclsica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo. Tambin se dice que la cinemtica estudia la geometra del movimiento. Enlacinemticaseutilizaunsistemadecoordenadasparadescribirlastrayectorias, denominado sistema de referencia. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 5 HISTORIA GALILEO GALILEI(1564 1642) Laobservacinyelestudiodelosmovimientoshantradola atencindelhombredesdetiemposremotos.Enlaantigua Grecia: Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza.Siguiendoestatradicin,cientficosyfilsofosmedievales observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus caractersticas.Elestudiopropiamentecientficodelmovimientoseiniciacon GalileoGalilei,esalquesedebeunabuenapartedela explicacin de los conceptos de nuestra exposicin. ISAAC NEWTON(1642 1727) Newtonfueelprimeroendemostrarquelasleyes naturales quegobiernanel movimientoenlaTierray lasquegobiernanelmovimientodeloscuerpos celestessonlasmismas.Descubrilaleyde gravitacinuniversaleslafuerzatericadeatraccin que experimentan entre s los objetos con masa. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 6 DEFINICIONES DE LOS CONCEPTOS BSICOS En esta unidad, se estudiar el movimiento de una partcula, la cual slo se traslada, para ello daremos algunas definiciones: Partcula Esuncuerpouniforme,queenlarealidadnoexisteyquecorrespondealaidealizacin matemticadeunobjetocuyasdimensionesyorientacinenelespaciosondespreciables para la descripcin particular del movimiento.Entendemosporpuntomaterialopartculaauncuerpodedimensionestanpequeasque puedaconsiderarsecomopuntiforme;deesemodosuposicinenelespacioquedar determinada al fijar las coordenadas de un punto geomtrico. Sistema de referencia Es un cuerpo respecto del cual se describe el movimiento de otro u otros cuerpos.Posicin Punto del espacio referido a un sistema de referencia.Vector posicin Esunvector,engeneraltridimensional,elcualdefinelaposicindeunapartculaocuerpo.En coordenadascartesianasrectangulares,suscomponentesX,Y,Zpuedenestudiarseporseparado. Generalmente se designa por el vector que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el lugar en donde se encuentran las partculas. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 7 Teniendoencuentaladefinicinanterior,sedicequelapartculasemueverespectoaunejede coordenadas,cuandosuvectorposicincambiaamedidaquetranscurreeltiempo.Enelsistema internacional(SI), el vector posicin se expresa en []. Movimiento Es un concepto relativo pues depende del sistema de referencia. Se puede definir como el cambio de posicin de la partcula en el tiempo, respecto de un punto o sistema de referencia considerado fijo.Trayectoria Parasimplificarelestudioelestudiodelmovimiento,representaremosaloscuerposmvilespor puntos geomtricos, olvidndonos por el momento, de su forma y tamao. Se llama trayectoriaa la lneaquedescribeelpuntoquerepresentaalcuerpoenmovimiento,conformevaocupando posicione sucesivas a lo largo del tiempo.Ejemplo:laestelaquedeja enel cielo un avin a reaccin o los rieles deuna lnea deferrocarril son representaciones aproximadas de esa lnea imaginaria que se denomina trayectoria. Distancia recorrida Es la longitud del recorrido seguido por la partcula. Vector desplazamiento Si una partcula se mueve desde un punto a otro, el vector desplazamiento o desplazamiento de una partcula, representado por , se define como el vector que va desde la posicin inicial a la final, es decir: DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 8 Movimiento rectilneo uniforme Un movimiento es rectilneo cuando el mvil describe una trayectoria recta, y esuniforme cuando suvelocidadesconstanteeneltiempo,dadoquesuaceleracinesnula.Nosreferimosal mediante el acrnimo MRU. El MRU (movimiento rectilneo uniforme) se caracteriza por: -Movimiento que se realiza sobre una lnea recta. -Velocidad constante; implica magnitud y direccin constantes. -La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez. -Aceleracin nula. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA), tambin conocido comomovimiento rectilneouniformementevariado(MRUV),esaquelenelqueunmvilsedesplazasobreuna trayectoria recta estando sometido a una aceleracin constante. Unejemplodeestetipodemovimientoeseldecadalibrevertical,enelcuallaaceleracin interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. Tambin puede definirse el movimiento como el que realiza una partcula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. Cada Libre En fsica, se denomina cada libre al movimiento de un cuerpo bajo la accin exclusiva de un campo gravitatorio. El concepto es aplicable tambin a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la accin desaceleradoradelagravedad,comoundisparovertical;oasatlitesnopropulsadosenrbita alrededor de la Tierra, como la propia Luna. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 9 RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTOEstudiarelmovimientodeuncuerpoquieredecir,determinarsuposicinenelespacioen funcin del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes. a.un origen O, que es un punto del espacio fsico. b.una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio fsico. Decimosqueunapartculaseencuentraenmovimientoconrespectoaunreferencialsisu posicin con respecto a l cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posicin del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo est en reposo en dicho referencial.Delasdefinicionesqueacabamosdedarparaelmovimientoyelreposo deuncuerpo,vemos que ambos conceptos son relativos. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 10 En la Figura hemos representado dos observadores, S y S, y una partcula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y xyz, respectivamente. SiSySseencuentranenreposoentres,describirndelmismomodoelmovimientodela partculaP.PerosiSySseencuentranenmovimientorelativo,susobservacionesacercadel movimiento de la partcula P sern diferentes. Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describir una rbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una lnea ondulante. Naturalmente,silosobservadoresconocensusmovimientosrelativos,podrnreconciliarsus observaciones DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 11 CAPITULO II: MOVIMIENTO RECTILINEO DE UNA PARTICULA POSICIN, DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION: Una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilneo. En cualquier instante dado t, la partcula ocupar cierta posicin sobre la lnea recta.ParadefinirlaPOSICIN(P)delapartculaseeligeunorigenfijoOsobreladireccin positiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia x desde O hasta P. Si x es positiva la partcula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O. Ladistanciax,conelsignoapropiado,defineporcompletolaposicindelapartcula,yse denomina como la coordenada de la posicin de la partcula. Cuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partcula para cualquier valor de tiempo t,seafirmaquese conoce el movimiento delapartcula.Elitinerariodel movimiento puede expresarse en forma de una ecuacin en x y t, tal como x = 6t2 t3, o en una grfica de x en una funcint.Lasunidadesqueseusanconmayorfrecuenciaparamedirlacoordenadadela posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades de uso comn en Estados Unidos. El tiempo t suele medirse en segundos (s). DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 12 DESPLAZAMIENTO Eldesplazamientosedefinecomoelcambiodeposicinyserepresentaerepresentaporel smbolo x. Si la posicin final de la partcula P est la derecha de su posicin inicial P, el desplazamiento Axespositivocuandoeldesplazamientoeshacialaizquierdaxesnegativo.Talycomose muestra en el siguiente grafico: VELOCIDAD MEDIA O PROMEDIO SilapartculasemuevedePaPexperimentandoundesplazamientoxpositivoduranteun intervalo de tiempo t, entonces, la velocidad media ser: LacoordenadadelaposicinPpuedeobtenersesumandoalacoordenadaxdePelpequeo desplazamiento x, el cual ser positivo o negativo segn si P esta a la derecha o a la izquierda deP.Lavelocidadpromediodelapartculasobreelintervalodetiempotsedefinecomoel cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t:

DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 13 Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresaconsecuentementeenmetrosporsegundo(m/s).Siserecurrealasunidadesdeuso comnenestadosunidos,xseexpresaenpiesytensegundos;lavelocidadpromediose expresar entonces en pies por segundo (ft/s). VELOCIDAD INSTANTNEAEslavelocidaddelapartculaencualquierinstantedetiemposeobtienellevandoallmitela velocidadmediaesdecir,sehacecadavezmspequeoelintervalodetiempoyportanto valores ms pequeos de Ax. Por tanto:

La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. observando que el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x con respecto a t, se escribe:

La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partcula. ACELERACIN MEDIA O PROMEDIOConsiderelavelocidadvdelapartculaeneltiempotytambinsuvelocidadv+Tvenun tiempo posterior t + t (figura 4). Laaceleracinpromediodelapartculasobreelintervalodetiempotserefierecomoel cociente de Tv y T: DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 14 SiseutilizanlasunidadesdelSI,Tvseexpresaenm/sytensegundos:laaceleracin promediose expresarentoncesenm/s2. Siserecurrealas unidadesdeusocomn enEstados Unidos, Tv se expresa en ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresa entonces en ft/s2. ACELERACIN INSTANTNEALa aceleracin instantnea ade la partcula en el instante t se obtiene de la aceleracin promedio al escoger valores de T y Tv cada vez ms pequeos:

Laaceleracininstantneaseexpresatambinenm/s2oft/s2.Ellmitedelcociente,elcuales pordefinicinladerivadadevconrespectoat,midelarazndecambiodelavelocidad.Se escribe:

O con la sustitucin de vde:

La aceleracin a se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el numero algebraicov) aumenta. Esto puede significar que la partcula se est moviendo ms rpido en la direccin positiva (figura a) oquesemuevemslentamenteenladireccinnegativa(figurab);enamboscasos,ves positiva.Unvalornegativodeaindicaquedisminuyelavelocidad;yaseaquelapartculase estmoviendomslentamenteenladireccinpositiva(figurac)oqueseestmoviendoms rpido en la direccin negativa (figura d). DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 15 DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA Anteriormente se afirma que el movimiento de una partcula es conocido si se sabe la posicin de la partcula para todo valor del tiempo t. En la prctica, sin embargo, un movimiento rara vez sedefinepormediodeunarelacinentrexyt.Conmayorfrecuencia,lascondicionesdel movimientoseespecificanporeltipodeaceleracinqueposeelapartcula.Porejemplo,un cuerpo en cada libre tendr una aceleracin constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81 m/s2, o 32.2 ft/ s2; una masa unida a un resorte que se ha estirado tendr una aceleracin proporcional a la elongacin instantnea del resorte, medida desde la posicin de equilibrio, etc. En general, la aceleracin de la partcula puede expresarse como una funcin de una o ms de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada de la posicin x en trminos de t, ser necesario efectuar dos integraciones sucesivas. Se considerarn tres clases comunes de movimiento: .Laaceleracinesunafuncindadadet.Paradvysustituir pora,se escribe: Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin. Quedefineventrminosdet.Sinembargo,debenotarsequeunaconstantearbitrariase introducircomoresultadodelaintegracin.Estosedebealhechodequehaymuchos DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 16 movimientosquecorrespondenalaaceleracindada .Paradefinirenformanicael movimientodelapartcula,esnecesarioespecificarlascondicionesinicialesdelmovimiento, esto es, el valor de v0 de la velocidad y el valorx0 de la coordenada de la posicin ent = 0. Al sustituirlasintegralesindefinidasporintegralesdefinidasconloslmitesinferiores correspondientesalascondicionesinicialest=0yv=v0yloslmitessuperiores correspondientes a t = t y v = v, se escribe:

Lo cual produce v en trminos de t. La ecuacin la ecuacinpuede resolverse ahora para dx,

Ylaexpresinqueseacabadeobtenerseasustituidaporv.Ambosmiembrosseintegran despus, el miembro izquierdo con respecto ax desde x = x0 hasta x = x, y el miembro derecho respectoatdesdet=0hastat=t,Lacoordenadadelaposicinxseobtienedeesemodoen trminos de t; el movimiento est completamente determinado.

a = f(x). La aceleracin se da en funcin de x. Puesto que cada miembro contiene slo una variable, se puede integrar la ecuacin. Denotando de nuevo mediantev0 y x0, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de la posicin, se obtiene.

DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 17

La cual produce v en trminos de x. A continuacin se resuelve para dt.

ysesustituyeporvlaexpresinqueacabadeobtenerse.Ambosmiembrospuedenintegrarse entonces para obtener la relacin deseada entre x y t.a=f(v).Laaceleracinesunafuncindadadev.Esposiblesustituirsef(v)poraen (1.2) u (1.4) para obtener cualquiera de las relaciones siguientes:

Laintegracindelaprimeraecuacinproducirunarelacinentrevyt;laintegracindela segunda ecuacin originar una relacin entre v y x. CINEMTICA DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO RECTILINEO: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME: Elmovimientorectilneouniformeesuntipodemovimientoenlnearectaqueamenudose encuentra en las aplicaciones prcticas. En este movimiento, la aceleracin a de una partcula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, la ecuacin se transforma en:

La coordenada de posicin xse obtiene cuando se integra esta ecuacin. Al denotar mediante

el valor inicial de x,se escribe: DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 18

x -

= v.t

Esta ecuacin puede utilizarse slo si la velocidad de la partcula es constante. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO: El movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comn de movimiento. En este, la aceleracin ade la partcula es constante, y la ecuacin se convierte en:

La velocidad v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin:

v -

= at

donde

es la velocidad inicial. Al sustituir por v, se escribe:

Al denotar mediante

el valor inicial de xe integrar, se tiene:

DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 19

Tambin se puede recurrir a la ecuacin siguiente y escribir:

Al integrar ambos lados, se obtiene

CAIDA LIBRE UN POCO DE HISTORIA:Galileo Galilei (1564 - 1642)Lacadadeloscuerposllamlaatencinalosantiguos filsofosgriegos.Aristteles(300a.C.)estableciqueal dejar caer dos cuerpos, el de mayor peso cae ms rpido que el de menor peso.Estaideaaristotlicaprevalecicercade2000aoscomo una regla bsica de la naturaleza, hasta la aparicin del genio de Galileo Galilei (1564 - 1642) que contradice a las ideas de Aristteles,aunenfrentandoalaiglesiacatlicaque defendielprincipioaristotlico.Galileoproponey demuestra que todos los cuerpos dejados caer desde una misma altura llegan simultneamente al suelo, sin importar sus pesos. DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 20 DEFINICIN Esaquelmovimientoverticalquerealizanloscuerposenelvacoendondesedespreciala resistenciadelaireocualquierotroagenteexterno.Endichacadasloactaelpesodel cuerpo.Los cuerpos caen porque los atrae la Tierra CARACTERSTICASEldiagramamuestraunmovimientocompletodecadalibre (subida y bajada) en donde se cumple:En la altura mxima la velocidad es cero: Aunmismonivellavelocidaddesubidamideigual que la velocidad de bajada: o Entre dos niveles el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada: RECORDAR QUE: Atraccin gravitacional de la tierraLa masa de la Tierra tiene la cualidad de atraer hacia su centro a todas las masas que estn cerca de su superficie mediante un una fuerza gravitacional llamada PESO del cuerpo. Aceleracin de la gravedad (g) Sinconsiderarlafriccindelaire,cuandouncuerpoessoltadoelpesodeestecuerpo produce en l una aceleracin conocida como: aceleracin de la gravedad (g), observndose 0 =CVE AV V =D BV V =CE ACt t =CD BCt t =DE ABt t =DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 21 quetodosloscuerposcaenhacialatierraconlamismaaceleracin,independientedesu masa, esta aceleracin es aproximadamente g=9.8 m/s2 en la superficie terrestre.Se sabe que: La fuerza de atraccin gravitatoria es igual al peso

Recuerda: Radio Ecuador> Radio Polo Gravedad Ecuador> Gravedad Polo Por lo tanto:

Constante de gravitacin universal (G) = 6.67 x 10-11 N.m2/ kg2 Masa Terrestre ( MT) = 5.98 x 1024 kg Radio Promedio ( Rpromedio) = 6.38 x 106 m

N

2kg2 k

Nk

kgs2k

UNIDADES DE LA GRAVEDADDINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 22 SEMEJANZAS ENTRE MRUV Y CADA LIBREGalileo Galilei fue el primero en demostrar que en ausencia de la friccin del aire, todosloscuerpos,grandesopequeos,pesadosoligeros,caenalatierraconla mismaaceleracin y mientras quelaalturade cadasepequeacomparadacon el radiodelaTierra(6400km)estaaceleracinpermaneceprcticamenteconstante, luego : La cada libre vertical para alturas pequeas con respecto al radio terrestre viene a serunmovimientorectilneouniformementevariado(MRUV),entoncescumplen las mismas leyes. FORMULAS DE CADA LIBRE ...... ....... .... ... .. ..... .. ..... ....... ....... ....... .....AIREVacio(A) (B) DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 23 Problemas de aplicacin. Ejercicio 1 Unapartculaviajaalo largodeunalnea retademodoen2ssemuevedesdeunaposicin inicial SA=+0,5ma una posicin final SB=-1,5m, luego en otros 4s se mueve desde SB hasta el puntoSC=+2,5m.Determinarlavelocidadmediaylarapidezmediadurantetodoel recorrido. Vf=Vi gt h=Vit 21gt2 Vf2=Vi22gh h=||.|

\|+2V Vf it Donde :Vf : velocidadfinal V0 : Velocidadinicial h : Altura t :Tiempo DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 24 Ejercicio 2 2.La posicin de una partcula a lo largo de una lnea recta esta dado por: S = (

pies donde t esta en segundos. Determinar su mxima aceleracin y su mxima velocidad para el intervalo de tiempo 0 t 10 V =

a =

V =

a = 6t + 18 Va 135 42- - - - - - - - - - - - 15 DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 25 10 3 10t-18t -12 y k = 4p

y k = 4p

y k = 4p

- 8pxh+4p

4p=3-8ph = -18 p =

-8(

h = -18 h = 3 4p

+ k = 15 4(

)

+ k = 15K = -12 Ejercicio 3 La aceleracin de un cohete viajando hacia arriba est dada por la siguiente

Donde S esta en metros, determina la velocidad del cohete cuandoS=2km y el tiempo necesario para alcanzar dicha altura inicialmenteV=0 , S=0, para t=0

Cohete

S

[

2

] s =2km = 2000m DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 26 VB VA aA VF=0 VB

[

]

( )

Ejercicio 4 Dos mviles A y B estn uno junto al otro y viajan enla misma direccin con rapidez VA y VB respectivamente. Si B mantiene su rapidez constante y A desacelera uniformemente con un valor aA. Determinar la distancia D de los automviles justo en el instante que se detiene A TA=TB=t D A B B A DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 27 Para el mvil B: En el espaciotrascurrido por A:

-------(1)

Para mvil A:

2

-------(2)

2

Remplazando 2 en 1:

(

)

( 3) Ejercicio 5 UnabolaAesliberadadesdeelreposoaunaalturade40piesalmismotiempoqueuna segundabolaBeslanzadahaciaarribadesdeunaalturade5piesrespectoalsuelo.Silas bolas pasan una frente a la otra a una altura de 20 pies. Determinar la velocidadcon qu fue la lanzada la bola B desde el suelo. ??????????????? DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 28 Para la bola A

Para la bola B

(

)

DINAMICA CINEMATICA DE LA PARTICULA Mg. Tc. Ing LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFOPgina 29

BIBLIOGRAFA http://descom.jmc.utfsm.cl/ccontreras/capitulo2.pdf WUILLIAN F.RILEY, LEROYD. STURGES ( INGENIERA MECNICA DINMICA) J.L.MERIAM L.G. KRAIGE (MECNICA PARA INGENIEROS DINMICA) 3 EDICIN. BEER&JOHNSTON (MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DINMICA) 8 EDICIN