El contenido de este documento puede variar en el transcurso de la semana entrante del 27 de noviembre al 2 de diciembreActividades iniciales 1. Por qu la masa es una magnitud escalar y el peso es vectorial? 2. La aceleracin de un mvil es un vector y como tal se puede descomponer en componentes. Si se elige un sistema de referencia con el origen centrado en el mvil, un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, qu significado fsico tienen las componentes de la aceleracin referidas a ese sistema de referencia? 3. Comenta la frase pronunciada por un automovilista imprudente despus de estar a punto de salirse de la carretera: "la curva era tan cerrada que la fuerza centrfuga me ha sacado de la carretera!". http://www.youtube.com/watch?v=lUHdYTw5cAo&feature=player_detailpage#t=309s CONCEPTOS BASICOS 1.TRAYECTORIA En cinemtica, la trayectoria es el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador. En la mecnica clsica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre es una lnea continua. Ejemplos: Trayectorias parablicas correspondientes al movimiento de un proyectil en un campo gravitatorio uniforme.

Trayectoria rectilnea.

El conjunto de puntos forma una lnea recta

Trayectoria curvilnea

Cuando la trayectoria puede aproximarse por una curva continua. La trayectoria curvilnea puede ser bidimensional plana o tridimensional (curva alabeada o con torsin).

Trayectoria errticaCuando el movimiento es imprevisible, la trayectoria tambin lo es y su forma geomtrica resulta muy irregular. Un ejemplo de esto es el llamado Movimiento browniano

Trayectoria y vector de posicin de una partcula La posicin de una partcula en el espacio queda determinada mediante el vector posicin r trazado desde el origen O de un referencial xyz a la posicin de la partcula P. Cuando la partcula se mueve, el extremo del vector posicin r describe una curva C en el espacio, que recibe el nombre de trayectoria. La trayectoria es, pues, el lugar geomtrico de las sucesivas posiciones que va ocupando la partcula en su movimiento. En un sistema coordenado mvil de ejes rectangulares xyz, de origen O, las componentes del vector r son las coordenadas (x,y,z) de la partcula en cada instante. As, el movimiento de la partcula P quedar completamente especificado si se conocen los valores de las tres coordenadas (x,y,z) en funcin del tiempo. Esto es

Estas tres ecuaciones definen una curva en el espacio (la trayectoria) y son llamadas ecuaciones paramtricas de la trayectoria. Para cada valor del parmetro t (tiempo) las ecuaciones anteriores nos determinan las coordenadas de un punto de la trayectoria. Vemos que el movimiento real de la partcula puede reconstruirse a partir de los movimientos (rectilneos) de sus proyecciones sobre los ejes coordenados. En el caso de que la trayectoria sea plana, esto es, contenida en un plano, si convenimos en que dicho plano sea el xy, ser z=0 y podemos eliminar el tiempo t entre las dos primeras ecuaciones para obtener la ecuacin de la trayectoria plana en forma implcita, f(x,y)=0, o en forma explcita, y=y(x). Las ecuaciones paramtricas de la trayectoria conducen a una ecuacin vectorial

que es la ecuacin vectorial del movimiento. En ciertos casos puede ser conveniente proceder de un modo distinto, tomando un punto arbitrario OO sobre la trayectoria y definiendo un cierto sentido positivo sobre ella. La posicin de la partcula P, en cualquier instante t, queda determinada por la longitud del arco s = OOP. Entonces, a cada valor de t le corresponde un valor de s, es decir Al parmetro s se le llama intrnseco y la ecuacin se denomina ecuacin intrnseca del movimiento. Evidentemente, dicha ecuacin slo describe el movimiento de la partcula si conocemos de antemano su trayectoria. La trayectoria de un movimiento depende del observador que lo describe. Esto es, tiene carcter relativo al observador. Por ejemplo, consideremos dos observadores, uno de ellos en el Sol y el otro en la Tierra, que describen el movimiento de la Luna. Para el observador terrestre la Luna describir una rbita casi circular en torno a la Tierra. Para el observador solar la trayectoria de la Luna ser una lnea ondulante (epicicloidal). Naturalmente, si los observadores conocen su movimiento relativo, podrn reconciliar fcilmente sus observaciones respectivas. 2. RAPIDEZ

La rapidez promedio o celeridad promedio es la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Su magnitud se designa como v. La celeridad es una magnitud escalar con dimensiones de [L]/[T]. La rapidez se mide en las mismas unidades que la velocidad, pero no tiene el carcter vectorial de sta. La celeridad instantnea representa justamente el mdulo de la velocidad instantnea. Aunque los trminos de celeridad o rapidez son apropiados cuando deseamos referirnos inequvocamente al mdulo de la velocidad, es correcto y de uso corriente (no slo en el uso popular, sino tambin en el cientfico y tcnico) utilizar los trminos "velocidad", "celeridad" y "rapidez" como sinnimos. Esto es as para la totalidad de las magnitudes vectoriales (aceleracin, fuerza, momento, cantidad de movimiento, etc.) a cuyos mdulos no se les asigna nombres especiales. Ejemplo Si un mvil recorre una distancia de 20 cm en 4 s, su rapidez es:

Celeridad y velocidad

Definicin de los vectores velocidad media e instantnea. Definicin de celeridad media:

donde s es la distancia recorrida (longitud del arco, en la figura). Definicin de velocidad instantnea y de celeridad instantnea:

donde dr es el vector desplazamiento y ds es la distancia medida sobre la trayectoria, asociada al desplazamiento. Podemos expresar el vector velocidad en la forma Donde et es el vector unitario en la direccin de la velocidad, tangente a la trayectoria, por lo que recibe el nombre de versor tangente. Los velocmetros de que disponen los vehculos miden el mdulo de la velocidad instantnea, esto es, la celeridad. Unidades de rapidez Las unidades de celeridad:

Metros por segundo: (smbolo, m/s, ms-1) medida del SI Centmetros por segundo: (smbolo, cm/s, cm s-1) Kilmetros por hora: (smbolo, km/h) Millas por hora: (abreviatura, m.p.h.) Milla nutica por hora (knot): (smbolo kt) Mach: 1 mach es la velocidad del sonido, n-machs es n veces la velocidad del sonido. 1 mach 340 m/s 1224 km/h Velocidad de la luz en el vaco: (smbolo c) es una unidad natural c = 299 792 458 m/s

CinemticaLa cinemtica se ocupa de la descripcin del movimiento sin tener en cuenta sus causas. Rama de la mecnica que trata del movimiento en abstracto. La velocidad (la tasa de variacin de la posicin) se define como la razn entre el espacio recorrido (desde la posicin x1 hasta la posicin x2) y el tiempo transcurrido. v = e/t siendo: e: el espacio recorrido y t: el tiempo transcurrido.

http://www.youtube.com/watch?v=bH5Gi1vAgoY&feature=related velocidad y tiempo http://www.youtube.com/watch?v=zeq8sDBdDUs&feature=related relatividad del tiempoLos elementos bsicos de la Cinemtica son: espacio, tiempo y mvil. En la Mecnica Clsica se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de la fsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones del mismo. El espacio fsico se representa en la Mecnica Clsica mediante un espacio puntual eucldeo. Anlogamente, la Mecnica Clsica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenmenos fsicos. El mvil ms simple que se puede considerar es el punto material o partcula; cuando en la Cinemtica se estudia este caso particular de mvil, se denomina "Cinemtica de la partcula"; y cuando el mvil bajo estudio es un cuerpo rgido, se lo puede considerar como un sistema de partculas y hacer extensivos anlogos conceptos; en este caso se la denomina Cinemtica del slido rgido o del cuerpo rgido. El movimiento de una partcula (o cuerpo rgido) se puede describir segn los valores de velocidad y aceleracin, que son magnitudes vectoriales. Si la aceleracin es nula, da lugar a un movimiento rectilneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Si la aceleracin es constante con igual direccin que la velocidad, da lugar al movimiento rectilneo uniformemente acelerado y la velocidad variar a lo largo del tiempo. Si la aceleracin es constante con direccin perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el mdulo de la velocidad es constante, cambiando su direccin con el tiempo. Cuando la aceleracin es constante y est en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tenemos el caso del movimiento parablico, donde la componente de la velocidad en la direccin de la aceleracin se comporta como un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilneo uniforme, generndose una trayectoria parablica al componer ambas. Movimiento rectilneo uniforme Un movimiento es rectilneo cuando el mvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleracin es nula. Nos referimos a l mediante el acrnimo MRU. El MRU (movimiento rectilneo uniforme) se caracteriza por: Movimiento que se realiza sobre una lnea recta. Velocidad constante; implica magnitud y direccin constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez. Aceleracin nula. Caractersticas La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad media (velocidad o rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta relacin tambin es aplicable si la trayectoria no es

rectilnea, con tal que la rapidez o mdulo de la velocidad sea constante llamado movimiento de un cuerpo. Ecuaciones del movimiento Se sabe que la velocidad La posicin es constante; esto significa que no existe aceleracin.

en cualquier instante viene dada por: donde Xo es la posicin de la particula en t = 0

Representacin grfica del movimiento Al representar grficamente la velocidad en funcin del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Adems, el rea bajo la recta producida representa la distancia recorrida. La representacin grfica de la distancia recorrida en funcin del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad.

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado Evolucin respecto del tiempo de la posicin, de la velocidad y de la aceleracin de un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, segn la mecnica clsica. El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA), tambin conocido como movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un mvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleracin constante. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de cada libre vertical, en el cual la aceleracin interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. Tambin puede definirse el movimiento como el que realiza una partcula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

PROBLEMA DE APLICACIN. Una partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instante t est dada por x=3.t 2+ 1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: 1 y 2 s. 1 y 1.5 s. 1 y 1.1 s. 1 y 1.01 s. 1 y 1.001 s. 1 y 1.000 s. Calcula la velocidad en el instante t = 1 s.

En el instante t=1 s, x=4 m t (s) x (m) x( m) t= seg m/s 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 13 7,75 4,63 4,0603 4,006003 4,00060003 9 3,75 0.63 0,0603 0.006003 0,00060003 1 0,5 0.1 0.01 0.001 0.0001 13 7.5 6.3 6.03 6,003 6,0003 6..0000000.3 ...

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t0, la velocidad media tiende a 6.0 m/s. La velocidad en el instante t=1 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t La posicin del mvil en el instante t es xi = 3t 2 + 1 La posicin del mvil en el instante t+t es xf =3(t + t)2 + 1 =3t2+6.t.t + 3t 2+ 1 El desplazamiento es x = xf xi = 6.t(t) + 3(t)2 La velocidad media es vm= xt=6tt+3t2t=6t+3t La velocidad en el instante t es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero v=limt0vm=limt0[6t+3t]=6t m/s

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicin x respecto del tiempo. x=3t2+1 v= dxdt=ddt3t2+1=6t m/s En el instante t = 1 s v = 6 m/s

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana http://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm simulaciones experimentales para entender mejor movimientos y sus graficas En mecnica clsica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres caractersticas fundamentales: 1. La aceleracin y la fuerza resultante sobre la partcula son constantes. 2. La velocidad vara linealmente respecto del tiempo. 3. La posicin vara segn una relacin cuadrtica respecto del tiempo. La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parbola), velocidad (recta con pendiente) y aceleracin (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la cada libre (con velocidad inicial nula).

http://www.youtube.com/watch?v=LqvXvnyYiYg aceleracin derivada de la velocidad velocidad

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleracin constante, cuyas relaciones dinmicas y cinemticas, respectivamente, son:

La velocidad v para un instante t dado es:

siendo

la velocidad inicial.

Finalmente la posicin x en funcin del tiempo se expresa por:En el movimiento rectilneo acelerado, la aceleracin instantnea es representada Donde es la posicin inicial. como la pendiente de la recta tangente a la curva que Adems de las relaciones bsicas anteriores, existe una ecuacin que relaciona entre s el

desplazamiento y la rapidez del mvil.

Intente explicar de dnde se obtiene esta ltima ecuacin

Cada libre:http://www.youtube.com/watch?v=e6wXsAeICRc http://www.youtube.com/watch?v=UXula1V2qKo&feature=related Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la friccin del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleracin constante. En este caso, la aceleracin es aproximadamente de 9,8 m/s . Al final del primer segundo, una pelota habra cado 4,9 m y tendra una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habra cado 19,6 m y tendra una velocidad de 19,6 m/s. En la cada libre el movimiento acelerado donde la aceleracin es la de la gravedad y carece de velocidad inicial. a = - g vo = 0 yf = .g.t (Ecuacin de posicin) Vf = -g.t (Ecuacin de velocidad) Vf = -2.g.y Tiro vertical: Movimiento acelerado donde la aceleracin es la de la gravedad y la direccin del movimiento, puede ser ascendente o descendente. a = - g vo 0 Yf = yo + vo.t - .g.t (Ecuacin de posicin) Vf = vo - g.t (Ecuacin de velocidad) Vf = vo - 2.g.y MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Vector de posicin (r)Para describir el movimiento de una partcula, respecto de un sistema de referencia, tenemos que conocer, en cada instante, la posicin del mvil, su velocidad y la aceleracin con la que est animado. Elegido un sistema de referencia, la posicin del mvil queda determinada por el vector de posicin:

Vector de posicinr(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k(1) El extremo del vector de posicin describe, a lo largo del tiempo, una lnea que recibe el nombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuaciones paramtricas. Se denomina vector desplazamiento r = (r + r) r entre los instantes t0 en el punto P y t1 en el punto Q:

r

Qr + r

Vector desplazamiento

r = x.i + y.j + z.k1.2.- Velocidad (v)

(2)

Se denomina vector velocidad media (vm) al desplazamiento que experimenta un mvil en la unidad de tiempo:

Vector velocidad media

Y se llama celeridad media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo. celeridad media = v = s distancia recorrida = t tiempo empleado

Si la trayectoria es una lnea recta y no hay cambios de sentido, el mdulo del vector velocidad media coincide con la rapidez. Velocidad instantnea (v) es la velocidad que posee una partcula en un instante determinado. Es un vector tangente a la trayectoria y de sentido el del movimiento.

Vector velocidad instantnea

El valor numrico de la velocidad instantnea es el mdulo de la velocidad y se denomina rapidez o celeridad:

1.3.- Aceleracin (a)Se denomina vector aceleracin media, am, a la variacin que experimenta la velocidad instantnea en la unidad de tiempo.

Vector aceleracin media

Aceleracin instantnea a es la aceleracin que posee la partcula en un instante determinado (en cualquier punto de su trayectoria). Su direccin y sentido coincide con el del cambio de la velocidad.

Vector aceleracin instantnea

El valor numrico de la aceleracin instantnea es el mdulo del vector aceleracin:

Componentes intrnsecas de la aceleracinSi elegimos como sistema de referencia uno con origen la posicin de la partcula, en cada instante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleracin tiene dos componentes: a = at + an Aceleracin tangencial: es un vector tangente a la trayectoria y su mdulo representa la variacin del mdulo de la velocidad en un instante. at = |at| = dv/dt Aceleracin normal: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Su mdulo representa la variacin de la direccin del vector velocidad en un instante. an = |an| = v /R donde R es el radio de curvatura de la trayectoria. Por tanto, podemos escribir:

Donde Ut y Un son dos vectores unitarios en la direccin tangente y normal a la trayectoria Ejemplo: El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por v= (3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante. 1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleracin vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2 vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s22. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

vx =4 m/s, ax=3 m/s2 vy=19 m/s, ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleracin

4. Calculamos el ngulo que forman el vector velocidad y el vector aceleracin

Por el producto escalar: va=vacos Calculando el ngulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ngulos

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleracin at= acos =24.1 m/s2 an= asen =2.0 m/s2 Podemos hallar la aceleracin tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleracin a y el vector velocidad v. va=vacos=vat

La aceleracin normal, se obtiene a partir del mdulo de la aceleracin a y de la aceleracin tangencial at

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la direccin del vector velocidad v en el instante t, la direccin del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posicin del mvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura . En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la direccin del vector velocidad cambia un ngulo d. que es el ngulo entre las tangentes o entre las normales. El mvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=d, tal como se aprecia en la figura. Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleracin, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su mdulo v por un vector unitario que tenga su misma direccin y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos trminos

El primer trmino, tiene la direccin de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleracin

El segundo trmino, vamos a demostrar que tiene la direccin normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cosi+senj

Su derivada es

El vector aceleracin es

Las componentes tangencial y normal de la aceleracin valen, respectivamente

Esta ltima frmula, se obtiene de una forma ms simple para una partcula que describa un movimiento circular uniforme. Como la velocidad es un vector, y un vector tiene mdulo y direccin. Existir aceleracin siempre que cambie con el tiempo bien el mdulo de la velocidad, la direccin de la velocidad o ambas cosas a la vez. Si solamente cambia el mdulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilneo, tenemos nicamente aceleracin tangencial. Si solamente cambia la direccin de la velocidad con el tiempo, pero su mdulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos nicamente aceleracin normal. Si cambia el mdulo y la direccin de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parablico, tendremos aceleracin tangencial y aceleracin normal..

Tiro parablico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ngulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleracin constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tena al principio y despus aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en direccin horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parbola.

Descripcin

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ngulo con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

Como el tiro parablico es la composicin de dos movimientos:

movimiento rectilneo y uniforme a lo largo del eje X uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleracin constante de la gravedad son:

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuacin de la trayectoria, que tiene la forma y=ax2 +bx +c, lo que representa una parbola. Obtenemos la altura mxima, cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Alcance horizontal y altura mximaLas ecuaciones del movimiento de los proyectiles son x=v0cos t y=v0sen t-gt2/2

La parbola de seguridadEl alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor mximo se obtiene para =45, teniendo el mismo valor para =45+ , que para =45- . Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ngulos de tiro de 40 y 60, ya que sen(240)=sen(260). La altura mxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

Su valor mximo se obtiene para el ngulo de disparo =90. La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ngulo de disparo est comprendido entre 0 y 180 se denomina parbola de seguridad.

Esta denominacin hace referencia al hecho de que fuera de esta parbola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v0. Se trata de la parbola simtrica respecto del eje Y de ecuacin y=-ax2+b que pasa por los puntos (x=v02/g, y=0), y (x=0, y=v02/(2g)) tal como se ve en la figura. La ecuacin de dicha parbola es

Deduccin alternativa de la ecuacin de la parbola de seguridad Las ecuaciones paramtricas de la trayectoria son x=v0cost y=v0sent-gt2/2 Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuacin de la trayectoria

Esta ecuacin se puede escribir de forma alternativa

Consideremos un punto arbitrario P del plano. Sustituimos las coordenadas (x, y) del punto en la ecuacin de la trayectoria y puede ocurrir1. Que la ecuacin de segundo grado en tan no tenga races reales. El punto P1 no

podra ser un punto de impacto para un proyectil disparado con velocidad inicial v0.

2. Que la ecuacin de segundo grado tenga dos races reales, lo que implicar que el

punto P2 es accesible, y que hay dos ngulos de tiro 1 y 2 que dan en el blanco P2. En la figura, vemos que cualquier punto en el interior de la envolvente es alcanzado por dos trayectorias.3. Cuando la raz de la ecuacin de segundo grado es doble 1=2. Como vemos en la

figura, solo hay una trayectoria que pasa por un punto P3 dado de la envolvente.

Para que las races sean iguales, se tiene que cumplir que el discriminante b2-4ac de la ecuacin de segundo grado ax2+bx+c=0 sea nulo.

Esta es la ecuacin de la envolvente que hemos obtenido anteriormente. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/parabolico.htm HAGA LAS ACTIVIDADES DE SIMULACION Por lo menos 5 de lista dada QUE APARECEN EN ESTA PAGINA PARA QUE COMPRENDA MUCHO MEJOR ESTOS CONCEPTOS. Y ADEMAS AMPLIE SU CAPACIDAD PARA RESOLVER PROBLEMAS VARIADOS. Tiro parablico, Composicin de movimientos, Apuntar un can para dar en un blanco fijo Bombardear un blanco mvil desde un avin Tiros frontales a canasta Alcance mximo en el plano horizontal Alcance mximo en el plano inclinado Otros mximos Disparo de un proyectil contra un blanco mvil Barro que se desprende de una rueda Tiro parablico y movimiento circular Torpedo a la caza de un submarino

Movimiento circular en el plano El movimiento circular es otro tipo de movimiento sencillo. Si un objeto se mueve con celeridad constante pero la aceleracin forma siempre un ngulo recto con su velocidad, se desplazar en un crculo. La aceleracin est dirigida hacia el centro del crculo y se

denomina aceleracin normal o centrpeta. En el caso de un objeto que se desplaza a velocidad v en un crculo de radio r, la aceleracin centrpeta es: a = v /r. En este movimiento, tanto la aceleracin como la velocidad tienen componentes en x e y.

1) Horizontal: s = R. v = R.

s: arco de circunferencia recorrido

: ngulo desplazado

aT = R. aT: aceleracin tangencial : aceleracin angular aN = v /R aN: aceleracin normal o centrpeta aN = R. S v = constante , entonces, aT = 0: velocidad angular problemas resueltos. Ejemplo 1 Un automvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en funcin del tiempo estn dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante. vx=6t2-6t m/s vy=2t-2 m/s ax=12t m/s ay=2 m/s2 Las componentes de la aceleracin en cualquier instante.2

Ejemplo 2: Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en funcin del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el mvil se encontraba en la posicin x0=1, y0=2 m. Calcular: Las componentes de la aceleracin en cualquier instante

Las coordenadas x e y, del mvil, en funcin del tiempo.

Dada la velocidad vx=4t3+4t del mvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

x=t4+2t2+1 m Dada la velocidad vy=4t del mvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

y=2t2+2 m Ejemplo 3: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota adems es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleracin de 2 m/s2. Calcular: La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto La altura mxima Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

1. Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.2. Se determinan los signos de las velocidades

iniciales v0x=0 y v0y=20 y de la aceleracin ay=-10. 3. Se escriben las ecuaciones del movimiento

ax=2 vx=2t x=2t2/2

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de cada de los cuerpos)

ay=-10 vy=20+(-10)t y=20t+(-10)t2/21. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene

el valor de t y luego el valor de x. y=-50 m t=1.74 s x=3.03 m 2.. La altura mxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero vy=0 m/s t=2 s y=20 m La altura desde el suelo es 20+50=70 m.3. El mvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el

origen), ya que su trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuacin de segundo grado tiene dos races 10=20t+(-10)t2/2 t1=0.59 s y t2=3.41 s. http://www.youtube.com/watch?v=uKqWil2aW3A&feature=related uniforme. movimiento circular

http://www.youtube.com/watch?v=9LdLnGER-N0&feature=related con mas explicacin del M:C:U http://www.youtube.com/watch?v=JaewclRWYlA movimiento circular uniforme

SEMEJANZA ENTRE ECUACIONES MOVIMIENTO RECTILINEO Y CIRCULARMRUA (1) s = s0 + v0.t + a.t /2 (2) v = v0 + a.t (3) v - v0 = 2.a.(s - s0) MCUA (1) = 0 + v0.t + .t /2 (2) = 0 + .t (3) - 0 = 2..( - 0) Relacin entre magnitudes angulares y lineales: s = .R v = .R at = .R an = v /R = .R

CASO PARTICULAR: CUANDO EL MOVIMIENTO ES UNIFORMEs = s0 + v.t = 0 + .t consideraciones: = 2..f T = 1/f

LANZAMIENTO HORIZONTAL (g = - 9.8 m/s )eje x: x = v0.t eje y: y = y0 + g.t /2 vector de posicin: r = (v0.t).i + (y0 + g.t /2).j ecuacin de la trayectoria:

componentes de la velocidad: vx = v0 vy = g.t ngulo formado con el eje horizontal: = arctg (g.t/v0)

alcance:

TIRO PARABOLICO (g = - 9.8 m/s )eje x: x = v0.cos .t eje y: y = v0.sen .t + g.t /2 vector de posicin: r = (v0.cos .t).i + (v0.sen .t + g.t /2).j ecuacin de la trayectoria:

componentes de la velocidad: vx = v0.cos vy = v0.sen + g.t ngulo formado con el eje horizontal: = arctg (vy/vx)

altura mxima alcanzada: y mxima = -v0 .sen /2.g

alcance: x = -v0 .sen 2./gen dos

http://www.youtube.com/watch?v=dXkXHEmMmOM movimientos dimensiones y velocidad relativa experimentalmente. FUENTES

Fsica con ordenador http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.ht m Fsica Alonso Finn Fsica Tomo 1 Cuarta edicin Serway