Cinemática 129

TESTTESTTESTTESTTEST

1.- Las velocidades “v” de tres partículas: 1, 2 y 3 en fun-ción del tiempo “t”, son mostradas en la figura. La ra-zón entre las aceleraciones mayor y menor es:

a) 8b) 1 / 2c) 10d) 1e) 3

2.- De las gráficas:

Las que corresponden al movimiento uniformemen-te variado son:

a) A, B y C d) A, D y Eb) C, D y E e) Ningunac) A, C y D

3.- ¿Cuál de los siguientes diagramas v – t correspondecon el diagrama a – t mostrado, si el móvil parte delreposo?

4.- El gráfico corresponde con uno de los siguientes mo-vimientos.

a) El de una piedra lanzada verticalmente haciaarriba.

b) El de una pelota que se lanza verticalmente con-tra el piso.

c) El de una pelota que se suelta desde cierta altura.d) El de un objeto que es lanzado desde cierta altu-

ra sobre el mar.e) El de una persona que baja y luego sube una es-

calera.

5.- Según el gráfico, cuál (es) de las siguientes afirmacio-nes es (son) necesariamente cierta (s).

A B

C D

E

a) d)

b) e) N.A.

c)

Jorge Mendoza Dueñas130

I.- Es un M.R.U.II.- Es un M.R.U.V.III.- El movimiento es

ascendente

a) II y III d) Solo IIIb) Solo I e) I y IIIc) Solo II

6.- ¿Cuál de los siguientes gráficos indica un mayor reco-rrido en los 10 primeros segundos, si siempre se partedel reposo?

a) c)

b) d)

e) N.A.

7.- ¿Cuál de las siguientes gráficas v – t concuerda con lagráfica e – t mostrada?

a) d)

b) e) N.A.

c)

8.- ¿Cuál de los siguientesgráficos a – t concuer-da con el gráfico v – tmostrado?

a) d)

b) e)

c)

9.- Del gráfico se puede afirmar que:

a) El móvil partiódel reposo.

b) Tuvo aceleraciónconstante duran-te los primeros 5segundos.

c) Desaceleró final-mente a razón de15 m/s2.

d) La mayor parte del tiempo se movió con M.R.U.e) b y c son correctas.

10.- Basados en el gráfico podemos afirmar:

a) Para t = 0, el móvilestaba en reposo.

b) Durante los prime-ros 5 segundos semovió en M.R.U.V.

c) Después de los 5 pri-meros segundos semueve con velocidad constante.

d) El M.R.U.V. empieza después de t = 5 segundos.e) Después de t = 5 segundos el móvil se detiene.

Cinemática 131

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

1.- Un móvil se desplaza con M.R.U. según el gráfico. Cal-cular el espacio recorrido al cabo de 10 segundos.

Solución:

2.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V. Cuandot = 2 s, su velocidad es 4 m/s manteniéndola cons-tante. Calcular el espacio recorrido por el móvil has-ta los 6 segundos.

Solución:

e A= = 5 10b gb ge m= 50

A A A= +1 2

Luego: e m= 20

3.- Un auto parte del reposo y describe el gráfico adjun-to. Determinar la velocidad al cabo de 5 segundos.

Solución:

4.- Una partícula posee el siguiente gráfico de su movi-miento (v vs t). Representar el gráfico (e vs t).

Solución:

a = = = FHG

IKJ ⇒ =tan /θ 2

510

vv m s

A = + − =2 4

26 2 4 20

b gb g b gb g

o Entre A y B (mov. acelerado)

t e= ⇒ =0 0

t e A= ⇒ = =3 181

Jorge Mendoza Dueñas132

t s= 15.- El gráfico v = f (t) nos muestra el movimiento de dos

móviles “M” y “N”. Si “M” parte 3 s después que “N”. ¿Alcabo de qué tiempo ambos móviles alcanzan igualvelocidad, si “M” acelera a 2,3 m/s2 y “N” inicia su movi-miento a 8,6 m/s?

Solución:

t e A= ⇒ = =3 181

o Entre B y C (mov. retardado)

e A A

e

e

= −

= −

=

1 2

18 18

0

o Finalmente:

1.- Una partícula se mueve a lo largo de la horizontal deacuerdo a la gráfica (x – t) mostrada. ¿Cuál es la veloci-dad de la partícula en t = 1 s?

o Para N:

v m so = 8 6, /

v v tF o= + a

.............. (1)

a = °tan 37

o Para M:

vo = 0 v t= + −0 2 3 3, b g ......... (2)

v t= +8 63

4,

v v TF o= + a

o (1) = (2):

t s=10

B problemas complementarios

Solución:

2.- El gráfico representa el movimiento de un móvil enlínea recta. Hallar el desplazamiento y espacio reco-rrido por el móvil entre t = 0 s y t = 8 s. (radio = 2 m).

Solución:

o vo = 0 , ya que tan 0° = 0

o Para x = 4 cm

x v t to= + 1

22a (mov. retardado)

4 0 21

22 2

2 2= + ⇒ =b g b ga a cm s/

o Para:

a = 2 2cm s/

vo = 0

vF = ?

v v tF o= + a

vF = +0 2 1b gb gv cm sF = 2 /

A AR

1 2

2 2

2

2

22= = = =π π

πb g

o

t = ⇒6

(Ya que el móvilcambia de sentido)

;

;

;

;

;

;

a = 3

42m s/

a = 2 3 2, /m s

Cinemática 133

3.- Dado el siguiente gráfico, determine la posición delmóvil en el instante t = 2 s.

Solución:

o d = desplazamiento

d A A d= − = ⇒ =1 2 0 0

o Espacio recorrido:

e A A= +1 2

o tanθ = =30

65

o En el triángulo sombreado:

o Analizando el problema:

tanθ =−

⇒ =x x

6 25

4

x = 20

x m= − 20

4.- Construir la gráfica (v – t)para un móvil cuya posiciónrespecto al tiempo se indica en el gráfico.

Solución:

Como la parábola es cóncava hacia abajo el movi-miento es retardado (M.R.U.V.). Nótese que cuandoel móvil llega al punto “A” ya no se mueve: vF = 0

o Entre O y A:

ev v

to F= +FHG

IKJ2

1000

210 20= +F

HGIKJ ⇒ =v

v m soo /

o Finalmente:

5.- El diagrama corresponde al movimiento de dos partí-culas que inicialmente están separados por 200 m. ¿Quétiempo tarda el móvil “A” para encontrar al móvil “B”?

Solución:

o Con el móvil “A” (M.R.U.): v = 35 m/s

o Con el móvil “B” (M.R.U.): v = 15 m/s

o Interpretando el problema:

Nos piden el tiempo de encuentro: te

v vA B=

+FHG

IKJ

t t s=+

FHG

IKJ ⇒ =200

35 154

NOTA

A continuación se explicará otro método para la resolu-ción del presente problema.

e A A= +1 2

200 35 15= +t t

t s= 4

e e m= + ⇒ =2 2 4π π π

Jorge Mendoza Dueñas134

d A A A A= − + + +1 2 3 4

6.- Un móvil en t = 0 está en xo = −50 m. Hallar la posiciónen t = 15 s. Si la siguiente gráfica (v – t) le corresponde.

Solución:

o En el triángulo sombreado (inferior):

tanα = =10

25

o En el triángulo sombreado (superior):

tan /α = =−

⇒ =57 2

25v

v m s

o A

A

1

2

1

22 10 10

1

27 2 25 62 5

= =

= − =

b gb g

b gb g ,

A3 10 7 25 75= − =b gb g

A412 5 25

215 10 93 75= +F

HGIKJ − =,

,b g

o Interpretando el problema:

x d= − 50

x x m= − ⇒ =221 25 50 171 25, ,

7.- El gráfico corresponde a un móvil que parte del repo-so y luego de recorrer 1 800 m se detiene. ¿Qué tiem-po tarda en recorrer dicha distancia?

Solución:

8.- En el diagrama, ¿quétiempo tarda el mó-vil “B” para alcanzaral móvil “A”?

Solución:

o El punto de intersección que muestra el gráfico, escuando el móvil “B” alcanza en velocidad al de “A”.Hasta ese momento sólo han pasado 3 segundos.Esto significa que el móvil “B” alcanzará al móvil “A”después de superar la velocidad de 9 m/s (comoes lógico).

o Transformando el grafico (a - t) a (v - t)

o tanα = =v

t112

tanβ =−

=v

t t2 16b go ............ (2)

..................... (1)

o De (1) y (2): t t2 13=

Nótese: v = 12t1

o Finalmente: t t s2 23 10 30= ⇒ =b go

d d= − + + + ⇒ =10 62 5 75 93 75 221 25, , ,

e A A= = +1 800 1 2

1 8002 2

1 2 1= +−vt v t tb g

1 800 122

12 3

211 1 1 1= +

−t

t t t tb g b gb g

1 800 6 12 1012

12

1= + ⇒ =t t t s

Cinemática 135

3

4

2

4= −vf

tan 372

9 5° =

−−

vfo El problema nos dice que “B” alcanza a “A” ya queambas parten al mismo tiempo.

A AA B=

...... (1)

.............. (2)

(2) en (1): 91

23 6t t t t s= ⇒ =b g

9.- Dos automóviles presentan movimientos donde susvelocidades varían con el tiempo tal como indica lafigura. Si inicialmente se encontraban juntos, ¿quéseparación existe entre ellos en t = 9 s?

Solución:

o Las velocidades tienen signos diferentes, esto nosindica que los automóviles se van alejando: nospiden la separación para t = 9 s. Tenemos que cal-cular la suma de espacios hasta t = 9 s.

10.- En el movimiento lineal del gráfico: vo = −12,5 m/s. ¿Enque instante “t” la velocidad es cero?

Solución:

o Con el móvil “A”:

tan531

9° = −vF

4

3

1

9= −vF

A AA A= + ⇒ =1 91

29 12 63b gb g b gb g

o Con el móvil “B”:

Trabajaremos sólo con valor absoluto, ya que el signo ne-gativo tan sólo nos indica el sentido del movimiento.

A AB B= − + − ⇒ =9 5 21

29 5 3 14b gb g b gb g

o Finalmente: e A AA B= +

e e m= + ⇒ =63 14 77

o Interpretando el problema:

NOTA

En un movimiento donde laaceleración varía uniforme-mente respecto al tiempo,el área bajo la recta del grá-fico (a – t) representa elcambio de velocidad entredos puntos.

A v vF o= −

o En nuestro caso:

A t= −1

22

2b g

t s= 7

91

2t t vf= b g

tanθ = = =9

33

v

tf

v tf = 3

vf = 13

5⇒ =v m sf /

1

22

2t v vf o− = −b g

1

22 0 12 5

2t − = − −b g b g,

o

o

Jorge Mendoza Dueñas136

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

1.- ¿Cuál es la velocidad que lleva el móvil entre los 10 ylos 20 segundos?

Rpta. 0

2.- Según el gráfico, determinar el espacio recorrido, has-ta el quinto segundo a partir de t = 0

Rpta. 30 m

3.- ¿Cuál es la aceleración del móvil según el gráfico?

Rpta. – 5 m/s2

4.- El gráfico representa el movimiento de un móvil enuna línea recta. Hallar el desplazamiento, y el espaciorecorrido por el móvil entre t = 0 s y t = 10 s

Rpta. Desplazamiento = 25 mEspacio = 35 m

5.- La velocidad de tres partículas 1, 2 y 3 en función deltiempo son mostrados en la figura. Calcular la razónentre las aceleraciones mayor y menor.

Rpta. 10

6.- El gráfico pertenece a un móvil que se mueve a lo lar-go del eje x. Si recorre 120 m en los primeros sietesegundos, determinar el valor de su velocidad en elquinto segundo.

Rpta. 20 m/s

7.- Un auto viaja a 40 m/s y frena, desacelerando unifor-memente de acuerdo al gráfico de su movimiento. Ha-llar el espacio recorrido entre t = 7 s y t = 10 s.

Rpta. 35 m

8.- En el gráfico adjunto. ¿Cuál es la posición del móvilcuando t = 10 s?

Rpta. 32 m

9.- Si el móvil parte con vo = 2 m/s ¿ Cuál es su velocidadal cabo de 6 s ?

Rpta. 3 m/s

10.- En la gráfica a – t, determinar la velocidad en el 5to sde movimiento si el móvil parte del reposo.

Cinemática 137

Rpta. 2 m/s

1.- Del diagrama v – t de la figura. Deducir el diagramax – t, si la posición inicial xo = 0

Rpta.

2.- Del diagrama a – t de la figura deducir el diagramav – t si se sabe que la posición y la velocidad iniciales 0.

Rpta.

B problemas complementarios

3.- Un cohete parte, con velocidad inicial de 8 m/s y suaceleración viene dada por la gráfica mostrada en lafigura. ¿Cuál es su velocidad en t = 8 s?sugerencia: a = vf − vo

Rpta. 36 m/s

4.- De la gráfica v – t de la figura deducir las gráficas x – t ya – t; considere que el móvil parte del origen de coor-denadas.

Rpta.

5.- La gráfica (v – t) muestra el movimiento horizontal deun móvil, si para t = 1 s el móvil se encuentra a 3 m a laizquierda del observador. Hallar la posición del móvilpara t = 11 s.

Rpta. 9 m a la derecha del observador

6.- El movimiento de una partícula viene dado por la grá-fica x – t, determinar la gráfica v – t correspondiente adicho movimiento.

Jorge Mendoza Dueñas138

Rpta.

7.- Hallar la velocidad instantánea en t = 10 s; x = posi-ción, t = tiempo

Rpta. 1 m/s

9.- La figura nos indica diagramas velocidad tiempo de dosmóviles A y B que se mueven sobre la misma recta, yque parten de una misma posición inicial. Al cabo dequé tiempo, en segundos, se encontrarán los móviles.

Rpta. 18 s

10.- El gráfico describe el movimiento de un auto y un ca-mión que pasan por un mismo punto en t = 0. Calcu-lar el instante en el cual volverán a estar juntos.

Rpta. 18 s

8.- El gráfico representa la velocidad en función del tiem-po de dos móviles M y N que parten de un mismo pun-to sobre la misma recta. Si N parte 5 s después de M,calcular en qué instante N alcanza a M.

Rpta. 25 s