Cinemática - Fisica Ahoradiapositiva+03+cinematica.pdf · Prof. Marco A. Merma Jara Referencias...
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Cinemática
Marco A. Merma Jarahttp://mjfisica.netVersión: 08.2013
Prof. Marco A. Merma Jara
Contenido
� Cinemática�Movimiento Unidimensional
� Movimiento Unidimensional con aceleración constante
� Movimiento Bidimensional� Movimiento de Proyectiles� Movimiento Curvilíneo
�Movimiento Relativo�Ejercicios y Problemas
Prof. Marco A. Merma Jara
Cinemática
� Estudio del Movimiento de los cuerpos, considerando las relación geométrica entre�Espacio
�Tiempo
� No considera las causas que originan el movimiento
Prof. Marco A. Merma Jara
Posición
� Vector Posición r
� Coordenadas (x,y,z)
� Vector OA� 0: Observador X
Z
Y
),,( zyxr�
O
A
Prof. Marco A. Merma Jara
Velocidad media
� Movimiento Unidimensional
1 1,x t2 2,x t
t
x
2x
1x
1t 2t
t∆x∆
xv
t
∆< >=∆
Prof. Marco A. Merma Jara
Velocidad Instantánea
� Movimiento Unidimensional
1 1,x t 2 2,x t
t
x
2x
1x
1t 2t
t∆x∆
0lim t
x dxv
t dt∆ →
∆= =∆
Prof. Marco A. Merma Jara
Velocidad media e instantánea
� Velocidad media�La razón de
cambio de la posición de un cuerpo en un intervalo finito de tiempo (∆t)
Prof. Marco A. Merma Jara
Velocidad media e Instantánea
� Velocidad Instantánea�La razón de
cambio del espacio en un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t → 0)
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional
� La velocidad media nos indica que un cuerpo se ha movido de un lugar hacia otro
� Es una interpretación de la realidad, el movimiento de un cuerpo
Prof. Marco A. Merma Jara
Aceleración media
� Movimiento unidimensional
t
v
2v
1v
1t 2t
t∆v∆
va
t
∆< >=∆
1 1,v t 2 2,v t
Prof. Marco A. Merma Jara
Aceleración instantánea
� Movimiento unidimensional
t
v
2v
1v
1t 2t
t∆v∆
0lim t
v dva
t dt∆ →
∆= =∆
2 2,v t1 1,v t
Prof. Marco A. Merma Jara
Aceleración media
� La razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo finito (∆t)
Prof. Marco A. Merma Jara
Aceleración Instantánea
� Razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t → 0)
Prof. Marco A. Merma Jara
Aceleración instantánea
� Indica que tan rápido o que tan lento ocurre el cambio de velocidad en el tiempo
� Aumenta (+) acelera� Disminuye (-) desacelera
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento de una Partícula
� Cambio de posición en el tiempo en 3D
X
Z
Y),,( 111 zyx
1r�
O
A
B
2r�
r�∆
),,( 222 zyx
),,,( tzyxrr =
Prof. Marco A. Merma Jara
Ecuaciones del Movimiento 1D
� Posición )(txx =
� velocidaddt
dxv =
� aceleración
dt
dva =
Prof. Marco A. Merma Jara
Ecuaciones del Movimiento 1D
� Posición
� Velocidad ∫+= 2
1
t
to dtavv
∫+= 2
1
t
to vdtxx
111 ,, tvx222 ,, tvx
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional
� Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t2+2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional
� Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t2+2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s
(2) (1)
2 1
x xv
−< >= =−
( ) 2
46 2 26 /
t
dxv t m s
dt == = + =
2 2(3(2) 2(2) 4) (3(1) 2(1) 4)11 /
2 1m s
+ − − + − =−
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme
� Aceleración Uniforme (constante)
2 2
1 1 2 1 2
1( ) ( )
2lx x v t t a t t= + − ± −
2 1 2 1( )v v a t t= ± −
2 2
2 1 2 12 ( )v v a x x= ± −
212
12
12 vv
tt
xx +=−−
1 1 1, .x t v
2 2 2, ,x t v
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional con velocidad Uniforme
� Espacio recorrido v=cte
2
12 1
t
tx x vdt= + ∫2 1 2 1( )x x v t t= + −
x
t1t 2tx vt=
1 10 0Si x en t= =
2t t=
2x
1x
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme
� Velocidad
)( 12 ttavv o −+=v
t1t 2t
ov
2 1
ov va cte
t t
− = =−
1v
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Unidimensional con aceleración uniforme
� Ejemplo 1:Un automóvil se encuentra a 200m de un semáforo. Si la luz roja se activará en 5 segundos. Determinar la aceleración que debe tener el automóvil, tal que llegue exactamente cuando se activa la luz roja
v
200m
Prof. Marco A. Merma Jara
Caída Libre de los Cuerpos
� Aceleración constante de la gravedad g
yv
( )y oy ov v g t t= ± − −2 2
0( ) 2 ( )y ov v g y y= ± − −
2
y oyo
o
v vy y
t t
+− =−
g�
oyv
2
0 0
1
2yy y v t gt= ± −
oy
y
ot
t
Prof. Marco A. Merma Jara
Caída libre de los cuerpos
� Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1). h=100m, g=9.8m/s2
h
o yv
Prof. Marco A. Merma Jara
Caída libre de los cuerpos
� Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1), h=100m, g=9.8m/s2
2
0 0
1
2yy y v t g t= + −
2
0
1
2yh v t g t− = + −
2
0
10
2yg t v t h− − =
2 2oy oyv v ht
g
± +=
0 yv
h
Prof. Marco A. Merma Jara
Carácter vectorial de la velocidad y aceleración
� Acelerado
1v 2v
v∆
Prof. Marco A. Merma Jara
Carácter vectorial de la velocidad y aceleración
� Desacelerado
1v 2v
v∆
Prof. Marco A. Merma Jara
Carácter vectorial de la velocidad y aceleración
� Acelerado
� Desacelerado
1v 2v
1v 2v
v∆
v∆
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento de Proyectiles
� Movimiento Horizontal� Velocidad
constante
� Movimiento vertical� Aceleración
constante
θθ
22
2
cos2 ov
xgtgxy −=
ov
θ)
g�
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento de Proyectiles
� Ejemplo: Un avión que vuela a 300km/h, debe soltar provisiones en un campamento. A qué distancia antes de pasar por el campamento debe soltarse las provisiones tal que estas lleguen sobre el campamento?. Si h= 600m
h
300 /km h
R
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento de Proyectiles
� Ejemplo: Determinar la distancia a la cual cae la pelota, sobre el plano inclinado. La pelota es lanzada con rapidez inicial de 50m/s.
0v
) β )αD
g�
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento de Proyectiles
� Velocidad Horizontal constante� Aceleración vertical constante, llamado
gravedad�Siempre apunta hacia abajo (nivel de
referencia)
� Válido Para Distancias menores que el radio de la tierra
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Curvilíneo
� R radio de curvatura
� C centro de curvatura
� T eje tangencial� N eje normal
� T, N ejes móviles
CR
T
�
θ ´�
´T
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Curvilíneo
� Radio y centro de curvatura móviles
'C
Rθ
R
''C
'R'R
''R''R
C
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Curvilíneo
� Aceleración CR
T
�
θ´�
´T
x
y
)θ
v�
ˆTv v u=�
ˆ( )Td v ua
dt=�
ˆˆTT
du dva v u
dt dt= +�
ˆ ˆ ( )T Tu u t=
( )v v t=R
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento curvilíneo
� Vectores unitarios
T
�
x
y
)θˆTu i
j
ˆ�u
ˆ ˆˆ cos�u isen jθ θ= − +θ
ˆ ˆˆ cosTu i j senθ θ= +
ˆ ˆ, :i j const
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Curvilíneo
� Cambio de dirección hacia el centro de curvatura C
ˆT iu
ˆT fu
ˆT iu
ˆT fu ˆ
Tu∆
�
�
�
ˆˆ ˆ( cos )T
�
du d disen j u
dt dt dt
θ θθ θ= − + =
CC
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Curvilíneo
� Aceleración Normal� Cambio de dirección
� Aceleración Tangencial� Cambio de valor
2
ˆ� �
va u
R=�
ˆT T
dva u
dt=�
T� aaa��� +=
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Circular
� Radio de Curvatura Constante R
� Centro de curvatura Fijo
R
R X
Y
s∆
R∆
θ)
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Circular
� Ecuaciones � Velocidad
Angular
� Aceleración Angular
dt
dθω =
dt
dωα =
2
2
d
dt
θα =
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Relativo
� Se mide un evento por dos observadores en movimiento relativo
Evento
AOA rr�� =/
ABr /
�
BOB rr�� =/
B
Ax
y
y
x/B A B Ar r r= −� � �
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Relativo
� Velocidad relativa
� Aceleración relativa
/B A B Av v v= −� � �
/B A B Aa a a= −� � �
/ /( )B A A B A Ba a a a= − − = −� � � �
/ /( )B A A B A Bv v v v= − − = −� � � �
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Relativo
� Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º
)θ
Bv�
Av�
x
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Relativo
� Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º
)θ
Bv�
Av�
x
y
(θ
/A B A Bv v v= −� � �
/ˆ ˆ ˆ( ) [( ) cos ( ) ]A B A B Bv v i i v j v senθ θ= − − +�
Prof. Marco A. Merma Jara
Movimiento Relativo
� Ejemplo 2: Dos aviones vuelan a la misma altitud, si el avión A tiene una rapidez de 200 km/h, y el avión B con rapidez de 300 km/h. Todo esto en el momento que se ilustra en la figura. Determinar la velocidad del avión B medido por el piloto en el avión A
Prof. Marco A. Merma Jara
Referencias
� Estática, Ingeniería Mecánica, 7ma Edición, R.C. Hibeller, Addison Wesley, 1997
� Física, Vol I, Raymond Serway, 4ta edición, McGraw-Hill, 1997� Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Facultad de Ingeniería
Eléctrica y Electrónica FIEE, Universidad Nacional del Callao UNAC, 2003