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Cinemática, ondas y robótica

Resumen

La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento tratando de

predecirlo. Desde las 3 leyes de Newton, cuyo propósito, en la actualidad es que de

esas 3 leyes se derive todo lo demás que se conoce como mecánica clásica, y que

a su vez se subdivide, y una de sus ramas más importantes, es la cinemática.

Con la cinemática podemos estudiar fenómenos como la velocidad y aceleración

de un cuerpo.

Partiendo de ahí, podemos utilizar sensores bastante comunes en el campo de la

robótica, llamados ultrasónicos, que funcionan a base de ondas.

Los ultrasónicos son sensores que, gracias a la mecánica de las ondas, pueden

medir la distancia respecto al objeto más cercano frente a ellas.

Además, la robótica tiene como requisitos, para llevarse a cabo, tres cosas: diseño

de un prototipo, construcción de éste, y, por último, pero probablemente el más

importante: la programación.

Gracias a la programación, podemos utilizar algoritmos, a base de matemáticas,

para hacer física de manera experimental.

Este trabajo tiene como objetivo medir experimentalmente, y haciendo uso de las

herramientas mencionadas arriba, la aceleración de un cuerpo en un plano

inclinado, específicamente, para ver cómo se comporta de manera práctica.

También, un segundo objetivo es mostrar lo increíblemente poderosa que es la

herramienta de la programación, para demostrar fenómenos de este tipo.

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Introducción

Marco teórico

Inicialmente, como nuestro objetivo es probar los datos que se presentan como

comunes, y a veces hasta indudables, nos dimos a la tarea de deducir las

ecuaciones de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), así que

llevamos a cabo matemáticas no tan complejas, y ya conocidas, para llegar a estas

ecuaciones. Quedó de la siguiente manera.

Buscamos una función que nos permita conocer la posición de una partícula,

dentro de un sistema de referencia inercial, y que ésta, esté en función del tiempo.

Conforme a los conocimientos de Física elemental, recordamos que la aceleración

gravitacional es (aproximadamente) una constante, también en un plano inclinado.

Sabiendo, también, que,

𝑑2

𝑑𝑥2{𝑥(𝑡)} = 𝑎(𝑡) ,

es decir, que una función de la aceleración de un cuerpo, con respecto al tiempo,

es igual a la segunda derivada de la función de posición, respecto al tiempo, del

mismo cuerpo. De la misma manera, la función que describa la velocidad de ese

cuerpo, en función del tiempo, es la primera derivada de la función de posición. De

ahí, si conocemos, para un cuerpo en caída libre, que,

𝑎(𝑡) = 𝑎 ,

donde a es constante, entonces, podemos integrarla para obtener la función de la

velocidad respecto al cuerpo. Así,

∫ 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝐶1 ,

luego,

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𝑣(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝐶1 ,

que es la función de velocidad, con respecto al tiempo; y donde 𝐶1 es una constante

que podemos encontrar por medio de análisis dimensional,

[𝑣] = 𝐿

𝑇 ,

[𝑎𝑡] = 𝐿

𝑇2𝑇 =

𝐿

𝑇 ,

y como 𝑎𝑡 suma a 𝐶1 , entonces 𝐶1 debe tener las mismas dimensiones que 𝑣, de

donde

[𝐶1] = 𝐿

𝑇= [𝑣] ,

por lo tanto, 𝐶1 debe tener el valor de una velocidad; ésta es la velocidad inicial del

cuerpo. Entonces, la función queda de la siguiente manera,

𝑣(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑣0

Esta función la podemos volver a integrar para así obtener una función de la

posición del cuerpo, respecto al tiempo,

∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑡 + 𝑣0 𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑣0 𝑑𝑡 =1

2𝑎𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝐶2 ,

donde para encontrar la constante 𝐶2, podemos usar, de nuevo, análisis

dimensional. Como la función es,

𝑥(𝑡) = 1

2𝑎𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝐶2 ,

entonces,

[𝐶2] = 𝐿 ,

por lo tanto, la función queda de la siguiente manera,

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𝑥(𝑡) = 1

2𝑎𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0 ,

donde 𝑥0 es una constante que representa la posición inicial del cuerpo, con

respecto al sistema de referencia en el que sea representado.

La función 𝑥(𝑡) era lo que se buscaba; es la forma más general para expresar la

posición de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado.

Partiendo de aquí, la aceleración del objeto se puede calcular fácilmente si

conocemos las dos constantes, la distancia que recorre y el tiempo en que lo hace.

-Sensores ultrasónicos

Los sensores ultrasónicos miden la distancia de un objeto frente a ellos mediante el

uso de ondas ultrasónicas. Este es su esquema:

El oscilador, emite ondas ultrasónicas, cuyas frecuencias están por encima del

espectro audible para el humano. Estas ondas, rebotan al cruzarse con un objeto, y

rebotan en sentido opuesto al que fueron emitidas, y se dirigen directamente hacia

el receptor.

La distancia la calcula de la siguiente manera,

Emisor Receptor

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𝑥 = 1

2𝑡𝐶 ,

Donde 𝑥 es la distancia, 𝑡 es el tiempo entre la emisión y la recepción y 𝐶 es la

velocidad del sonido.

Así, con este sensor, podemos detectar el cambio en la distancia.

-Programación en Arduino

La programación en la plataforma de Arduino está basa en el lenguaje de

programación C++.

Objetivos

El objetivo principal de nuestro proyecto es experimentar con la aceleración de un

cuerpo en un plano inclinado, que se puede calcular analíticamente usando

trigonometría; pero con este experimento, se calcula de manera práctica.

Problema

Como se mencionó en el resumen, la gravedad es, en realidad, un tema de bastante

complejidad, y más, de manera abstracta. Muchos estudiantes sienten la curiosidad,

después de haber estudiado estos temas de física, de saber cómo varía en realidad

esa aceleración que conocemos como una constante, y, además, en un plano

inclinado. El problema que buscamos resolver es, precisamente, esa incertidumbre

que se ha presentado a estudiantes, como nosotros.

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Hipótesis

Es posible construir un medidor de velocidad y aceleración en un plano inclinado,

con el que se pueda medir aproximadamente la componente de la aceleración

gravitacional y sus variaciones, por medio de ultrasónicos y programación.

Desarrollo

Para este proyecto se utilizaron los materiales siguientes:

-Tabla de madera de 25 cm x 25 cm. (18)

-Pistola de silicón.

-Silicón.

-Tabla de madera de 40 cm x 40 cm.

-Cables conductores del tipo Jumper.

-Microcontrolador Arduino Leonardo.

-Protoboard.

-Display LCD.

-Interfaz I2C para display LCD.

-Sensor ultrasónico. (2)

Para la realización del proyecto se llevaron a cabo los siguientes pasos:

1. Se midieron triángulos rectángulos, más un rectángulo de lado igual a la

hipotenusa de ambos triángulos.

2. Se consiguió una tabla de madera más grande que actuara como base.

3. Se dibujaron círculos pequeños, en una tabla, con la forma y tamaño del

ultrasónico.

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4. Estos círculos se cortaron con la segueta, y se limaron para que los ultrasónicos

pudieran encajar bien.

5. Se pegaron las partes, construyendo así el plano inclinado.

6. Se colocaron los ultrasónicos en los círculos cortados.

7. Se hicieron todas las conexiones necesarias, y se agregó el display LCD, en la

protoboard, junto con la interfaz I2C, para que muestre la información hecha por los

cálculos en la programación.

Para llevar a cabo los cálculos, utilizamos la expresión final mostrada en el marco

teórico,

𝑥(𝑡) = 1

2𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0 ,

donde conocemos la posición inicial y la velocidad, donde ambas son iguales a cero.

Además, conocemos la distancia, que es una distancia de 30 centímetros. Por lo

tanto, la expresión queda de la forma,

. 3 = 1

2𝑔𝑡2 ,

y el tiempo, 𝑡 , lo conocemos de la siguiente manera: debido a que el sensor

ultrasónico estará midiendo una distancia fija, hasta que pase algo en frente,

podemos usar una función de Arduino, llamada millis, que mide el tiempo como un

cronómetro. Así, cuando la distancia que mide el primer ultrasónico, en la cima de

la estructura, se reduzca, significará que algo pasó en frente de ella, por lo que el

cronómetro de millis comenzará a correr, y cuando la distancia que mide el

ultrasónico, en el fondo de la estructura, se reduzca, significará que el objeto habrá

terminado su recorrido, y por lo tanto el cronómetro se detendrá, y nos enviará cuál

fue esa cantidad de tiempo en la que bajó por la estructura. Conociendo 𝑡 , podemos

despejar 𝑎 , y queda de la siguiente manera,

𝑎 = . 3

𝑡2

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Estos datos se envían al display LCD y se muestran en ella.

Resultados

https://youtu.be/p0bDlJ88i2g

El código es:

#include<LiquidCrystal_I2C.h>

#include<Ultrasonic.h>

LiquidCrystal_I2C LCD(0x3F,16,2);

Ultrasonic US_Entrada(9,8);//inicial

Ultrasonic US_Salida(3,2);//final

unsigned long Tiempo_actual=0;

unsigned long Tiempo_1=0;

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unsigned long Tiempo_2=0;

unsigned long Tiempo_final1=0;

unsigned long Tiempototal=0;

float Conversor=1000;

int Velocidad=0;

float Distancia=30;

float Tiempo=0;

double aceleracion=0;

int Distancia_1=0;

int Distancia_2=0;

void setup() {

LCD.init();

LCD.backlight();

LCD.clear();

LCD.print(" Medidor de ");

LCD.setCursor(0,1);

LCD.print(" aceleracion ");

delay(3000);

LCD.clear();

Serial.print("Medidor de velocidad ");

}

void loop() {

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Tiempo_actual=millis();

Distancia_1=US_Entrada.Ranging(CM);

Distancia_2=US_Salida.Ranging(CM);

if(Distancia_1<=15)

{

Tiempo_1=Tiempo_actual;

LCD.clear();

}

if(Distancia_2<=15&&Tiempo_1!=0)

{

Tiempo_2=Tiempo_actual;

LCD.clear();

Tiempo_final1=Tiempo_2-Tiempo_1;

Tiempototal=Tiempo_final1/Conversor;

aceleracion= (.6/(Pwr(Tiempototal , 2));

Velocidad = (aceleracion*Tiempototal) ;

LCD.clear();

LCD.print("Aceleracion:");

LCD.setCursor(0,1);

LCD.print(aceleracion);

LCD.print(" m/s^2");

delay(10000);

LCD.clear();

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}

}

Análisis de los resultados

Con el proyecto podemos medir (en enteros) con cierto rango de precisión como

varía la componente de la aceleración gravitacional, y hecho con materiales

accesibles. La utilidad costo-beneficio fue satisfactoria, pues la construcción fue en

realidad lo que más tiempo ocupó, sin tener que usar mucho dinero.

Conclusiones

Al finalizar, el proyecto se cumplió con buenos resultados. Aún así, planeamos

mejorar la precisión de los cálculos, con pequeñas modificaciones. De cualquier

manera, la aceleración se puede medir de manera práctica.

Referencias

-¿Qué es la aceleración de la gravedad? - Gravedad. (2019). Del sitio http://gravedad.net/que-es-la-aceleracion-de-la-gravedad

-¿Qué es un sensor ultrasónico? | Fundamentos del sensor: Guía de sensores para fábricas clasificados por principios | KEYENCE. (2019). Retrieved from https://www.keyence.com.mx/ss/products/sensor/sensorbasics/ultrasonic/info/