CÁLCULO INTEGRAL

ACTIVIDAD 6. INTEGRAL INDEFINIDA

1.- Calcula las siguientes integrales indefinidas y verifica su resultado por derivación.

Grupos separados: MT-MCIN-1402S-B1-002

a¿∫ 45

√x2−1dx=45∫ dx

√ x2−1Aplicamosla fórmula paraintegrar expresiones desegundo grado

de dos términos :∫ dv

√v2±a2=ln (v+√v2±a2 )+C

45∫ dx

√ x2−1=45 ln (x+√ x2−1 )+C

Derivando ddx

[45 ln (x+√x2−1 ) ]+C=45 1

√ x2−1= 45

√ x2−1

b¿∫√ xdx=∫ x12 dx=

x32

32

+C=2x

32

3+C

Derivando

ddx ( 2 x

32

3+C)=2(

32 )3

x32−22=x

12=√x

c ¿∫ x+1√x

dx=∫ x√ xdx+ 1

√xdx=∫ x x

−12 dx+∫ x

−12 dx=∫ x

12 dx+∫ x

−12 dx=¿

x32

32

+C+x12

12

+C=2x

32

3+2 x

12+C

Derivando

CÁLCULO INTEGRAL

ddx ( 2 x

32

3+2 x

12+C)=2(

32 )x

12

3+2( 12 )x

−12 =x

12+x

−12 =√ x+ 1√ x

= x+1√x

d ¿∫ senx

cos2 xdx=∫ senx

cosx (cosx )dx=∫ 1

cosxsenxcosx

dx=∫ secx tanxdx=secx+C

Derivando

ddx

( secx+C )=secx tanx

e ¿∫(x3+ 3√x¿ +1x√ x

)dx=∫ x3dx+∫ x13 dx+∫ x

−32 dx=¿¿¿

¿( x44 + x43

43

+ x−12

−12

)+C=( x44 + 3 x43

4−2x

−12 )+C= x

4

4+ 3x

43

4− 2

√ x+C

Derivando

ddx ( x44 + 3x

43

4− 2

√ x+C)=4 x34 +

3( 43 ) x13

4−2(−12 ) x

−12

−22=x3+ 3√x+x

−32 =x3+ 3√ x+ 1

x √x

f ¿∫ x2+x3+3x 4

dx=∫( x2

x4¿¿+

x3

x4+ 3x4

)dx=∫ x−2dx+∫ dxx

+3∫ x−4dx=¿¿¿

¿−x−1+ln|x|+3 x−3

−3+C=−1

x+ ln|x|−x−3+C

Derivando

ddx

(−x−1+ ln|x|−x−3+C )=−(−1 ) x−2+ 1x−(−3) x−4

¿ x−2+ 1x+ 3x4

= 1x2

+ 1x+ 3x4

= x2+x3+3x4

g¿∫ (1+3 t ) t3dt=¿∫ (t 3+3 t4 )dt=t4

4+3( t 55 )+C=1

4t4+ 35t5+C

Derivando

CÁLCULO INTEGRAL

ddx ( 14 t 4+ 35 t 5+C)=( 14 ) (4 )t 3+( 35 )(5 ) t 4=t 3+3 t 4=(1+3 t ) t 3

h¿∫10dz=10 z+C

Derivando

ddz

(10 z+C )=10

i ¿∫ (7 senθ+cosθ )dθ=7∫ senθdθ+∫ cosθdθ=7 (−cosθ )+¿ senθ+C=¿¿

¿−7cosθ+senθ+C

Derivando

ddx

(−7cosθ+senθ+C )=7 senθ+cosθ

j ¿∫ senθ

1−sen2θdθ1−sen2θ=co s2θ∫ senθ

cos2θdθ=∫ senθ

cosθ cosθdθ

∫ 1cosθ ( senθcosθ )dθ=∫ secθtgθ dθ=secθ+C

Derivando

ddx

( secθ+C )=secθtgθ= senθ

1−sen2θ