Circuit Os

FUNDAMENTOS DE CIRCUITOSELÉCTRICOS PARA TÉCNICOS

EN MECATRÓNICA

JIMY ALEXANDER CORTÉS OSORIOJAIRO ALBERTO MENDOZA VARGAS

EDWIN ANDRÉS QUINTERO SALAZAR

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRACOLOMBIA

FUNDAMENTOS DE CIRCUITOSELÉCTRICOS PARA TÉCNICOS

EN MECATRÓNICA

JIMY ALEXANDER CORTÉS OSORIOJAIRO ALBERTO MENDOZA VARGAS

EDWIN ANDRÉS QUINTERO SALAZAR

Prefacio

La Universidad Tecnológica de Pereira ha ofrecido el programa de IngenieríaMecatrónica por ciclos propedéuticos desde el año 2007. Esta carrera, es laprimera en su tipo, que ofrece una universidad pública del país y fue creada bajoel liderazgo del ingeniero Osiel Arbeláez Salazar1 y del Doctor Luis EnriqueArango Jiménez2.

El programa de Ingeniería Mecatrónica por ciclos propedéuticos, se componede tres ciclos:

1. Ciclo Técnico Profesional en Mecatrónica - 4 semestres

2. Ciclo de Tecnología Mecatrónica - 2 semestres

3. Ciclo de Ingeniería Mecatrónica - 4 semestres

El primer ciclo forma egresados con las siguientes competencias laborales:

Auxiliar de electromecánica en los diferentes procesos de mecanizado.

Auxiliar de mantenimiento en la industria.

Operador en el montaje y mantenimiento de dispositivos electromecánicos.

Auxiliar de operación de sistemas neumáticos, hidráulicos y electro-hidráulicos y electro-neumáticos.

Auxiliar instrumentista.

Operador de sistemas automatizados.

1Director Ingeniería Mecatrónica por ciclos2Rector de la Universidad Tecnológica de Pereira

III

Dentro del currículo del ciclo, se encuentra la asignatura Circuitos Eléctricos lacual tiene como objetivo formar al estudiante en los conceptos de la electricidady su utilización en la industria y el hogar.

La presente obra pretende hacer un preámbulo a la teoría de circuitoseléctricos, enfocada hacia la formación de un Técnico Profesional en Mecatrónicade la Universidad Tecnológica de Pereira. Aunque, su contenido es introductorio,también se hace énfasis en la fundamentación matemática y física que es básica enla temática de circuitos para que los estudiantes tengan una formación adecuada,que les permita profundizar en esta materia adelante en los ciclos de Tecnología eIngeniería Mecatrónica.

Agradecimientos

Los autores expresan su agradecimiento a la Universidad Tecnológica dePereira3 y a sus directivas; a los compañeros del Programa de IngenieríaMecatrónica y del departamento de Física de la Universidad. Finalmente, estelibro fue escrito utilizando el procesador de texto LYX4, imágenes y figurassimples realizadas con Kolourpaint5 y google docs, las simulaciones y losgráficos de circuitos fueron hechos en Qucs6. Infinitas gracias a las personas queincentivan el uso y desarrollo de software libre.

3www.utp.edu.co4http://www.lyx.org/5http://www.kolourpaint.org/6http://qucs.sourceforge.net/

V

Índice general

Prefacio III

Agradecimientos V

Introducción XIV

1. La electricidad 111.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Leyes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.1.1. Ley de Gauss para el campo eléctrico . . . . . . 121.1.1.2. Ley de Gauss para el campo magnético . . . . . 131.1.1.3. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.1.4. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3. Fuerza eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.5. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.6. Diferencia de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.6.1. Campo producido por una carga puntual a unadistancia r de la fuente . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.6.2. Potencial producido por una carga puntual . . . 211.1.7. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1.8. Potencia Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2. Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.2. Leyes fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.2.1. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2.2. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . 30

VII

1.2.3. Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.4. La resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.4.1. Asociación de resistencias . . . . . . . . . . . . 361.2.4.2. Asociación de resistencias en Delta y Estrella . 391.2.4.3. Potencia en la resistencia . . . . . . . . . . . . 421.2.4.4. Elementos que afectan la resistencia . . . . . . 431.2.4.5. Variación de la resistencia con la temperatura . 47

1.2.5. El condensador o capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.2.5.1. Condensador de placas paralelas . . . . . . . . 511.2.5.2. Asociación de condensadores . . . . . . . . . . 531.2.5.3. Energía en el condensador . . . . . . . . . . . . 55

1.2.6. La inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.2.6.1. Determinación aproximada de la inductancia de

un Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.2.6.2. Determinación empírica de la inductancia de un

Solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.2.6.3. Energía en el Inductor . . . . . . . . . . . . . . 62

1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Circuitos en corriente continua 732.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.1.1. Capacitores alimentados en cc . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.2. Inductancia alimentada en cc . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.3. Potencia Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.2. Métodos para la solución de circuitos eléctricos . . . . . . . . . . 842.2.1. Método de las corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . 842.2.2. Método de las corrientes de rama . . . . . . . . . . . . . 882.2.3. Método de los voltajes de nodo . . . . . . . . . . . . . . 93

2.3. Teoremas de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3.1. Divisor de tensión y divisor de corriente . . . . . . . . . . 96

2.3.1.1. Divisor de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3.1.2. Divisor de corriente . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.3.2. Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3.3. Teorema de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


Índice general IX

3. Circuitos de corriente alterna 1093.1. La corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.1.1. Definición e historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.2. El transformador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.3. Fundamento Teórico de la corriente alterna . . . . . . . . 1163.1.4. Valor Pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.1.5. Valor Pico Pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.1.6. Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.1.7. Valor Eficaz o Valor RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2. Análisis de la Señal Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.3. Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3.1. Representación compleja de una función sinusoidal . . . . 1303.3.2. Representación de números complejos . . . . . . . . . . . 132

3.3.2.1. Forma compleja binomial . . . . . . . . . . . . 1323.3.2.2. Forma compleja trigonométrica . . . . . . . . . 1323.3.2.3. Forma compleja exponencial . . . . . . . . . . 133

3.4. Impedancia compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.4.1. Impedancia del Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.4.2. Impedancia del Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.4.3. Impedancia del Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.4.4. Resumen de equivalencias fasoriales . . . . . . . . . . . . 1363.4.5. Resumen de operaciones complejas y fasoriales básicas . . 136

3.5. Asociación de Impedancias Fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . 1373.5.1. Asociación serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.5.2. Asociación paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.6. Asociación de fuentes sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.7. Análisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.7.1. Análisis Resistivo fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.7.2. Análisis capacitivo fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.7.3. Análisis Inductivo fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.8. Circuito RC en alterna (Filtro pasa bajo en C) . . . . . . . . . . . 1483.8.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro RC . . . 156

3.9. Circuito RL en alterna (Filtro pasa alto en L) . . . . . . . . . . . . 1583.9.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro RL . . . 165

3.10. Circuito serie RLC en alterna (Filtro eliminador de banda en RLC) 1683.10.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro serie RLC174


4. Potencia eléctrica 1874.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874.2. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.2.1.1. Potencia activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.2.1.2. Potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.2.1.3. Potencia aparente . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.2.1.4. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.2.2. Corrección del factor de potencia . . . . . . . . . . . . . 1914.3. Sistema Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3.1. Sistema trifásico equilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.3.2. Sistema trifásico desequilibrado . . . . . . . . . . . . . . 1984.3.3. Sistema generador y receptor equilibrados conectados en

Estrella (Y-Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.3.4. Sistema generador y receptor equilibrados conectados en

delta (4�4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.3.5. Sistema generador y receptor equilibrados conectados en

estrella delta (Y �4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054.4. Potencia en la corriente alterna trifásica . . . . . . . . . . . . . . 209

4.4.1. Cálculo de la potencia en sistemas trifásicos equilibradosY-Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.4.2. Cálculo de la potencia en sistemas trifásicos equilibrados4�4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.5. Medida de la potencia en corriente alterna trifásica . . . . . . . . 2114.5.1. Medida de la potencia en sistemas equilibrados . . . . . . 212

4.5.1.1. Con neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.5.1.2. Sin neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.5.2. Medida en sistemas desequilibrados . . . . . . . . . . . . 2144.5.2.1. Con neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.5.2.2. Sin neutro (Método de Aron) . . . . . . . . . . 215


Anexo A: Unidades de medida 219

Anexo B: Números complejos 223B.1. El número imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223B.2. El número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223B.3. Presentación de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . 225

Índice general XI

B.4. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Anexo C: Computación numérica 231C.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231C.2. Explorando Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233C.3. Programación en Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Anexo D: Prácticas de laboratorio 251D.1. Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251D.2. Corriente Alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253D.3. Corrección del factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256D.4. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Bibliografía 263

Índice alfabético 265

Introducción

La teoría de circuitos es materia fundamental de estudio de cualquieringeniero, ya que todo el entorno que rodea la ciencia y la tecnología, parte dela comprensión de los fenómenos electromagnéticos de parámetros concentrados.Los sistemas eléctricos desempeñan roles esenciales en la industria y en loshogares, el programa de Técnico Profesional en Mecatrónica, forma a susestudiantes con conceptos y aptitudes óptimas referentes al montaje, manejo ysostenimiento de redes eléctricas. El curso de Circuitos Eléctricos, tiene la misiónde cumplir el objetivo en mención.

En lo concerniente al desarrollo del texto, el primer capítulo hace un recuentode conceptos fundamentales en la electricidad, desde las leyes de Maxwell,pasando por la definición de carga eléctrica, corriente, diferencia de potencialy terminando con la descripción de los elementos que conforman un circuitoeléctrico.

El capítulo segundo se especializa en circuitos eléctricos alimentados exclu-sivamente de corriente continua. En el papel, la corriente continua presenta unamenor dificultad operacional, es por ello que se hace la presentación de algunosmétodos para la evaluación de corrientes y voltajes en los elementos de un cir-cuito eléctrico. Igualmente en este capítulo, se plantean teoremas de circuitos quefacilitan la estimación de parámetros del circuito.

En el capítulo tres hace la presentación de la corriente alterna y el tratamientode los circuitos eléctricos alimentados con señales de voltaje alterno. En estecapítulo, el lector debe hacer especial referencia al anexo B acerca de los númeroscomplejos, ya que estos son fundamentales para el entendimiento del manejo dela corriente alterna.

El último capítulo de esta obra, introduce al lector sobre la potencia eléctricay la corrección del factor de potencia, que hace mas eficientes los sistemas eléc-tricos. Sin embargo, se debe tener presente que el tema de la potencia se tratatransversalmente en todo el texto, debido a su relevante importancia en todos los

XIII

aspectos donde interviene la energía eléctrica.

Esta, su segunda edición ha sido revisada una vez más por pares académicosexternos a la Universidad Tecnológica de Pereira. En dicho proceso se efectuaronalgunas importantes recomendaciones las cuales han sido atendidas. Algunasgráficas han sido redibujadas, parte de los ejercicios fueron mejorados en suredacción y se corrigieron algunos conceptos planteados con anterioridad en ellibro. Esto no significa que el libro se encuentre libre de errores en sus totalidad,por lo que los autores agracen las recomendaciones, las correcciones y las críticasconstructivas realizadas de manera personal a cada uno de los autores o al correoinstitucional [email protected]. Este es un proceso de permanente construcciónque se logra con la ayuda de toda la comunidad académica. Mil gracias a todosustedes.

Capítulo 1

La electricidad

1.1. DefinicionesLa teoría de circuitos eléctricos nace como una síntesis de la teoría

electromagnética desarrollada por James Clerk Maxwell1, la cual permite medirtensiones (voltajes) e intensidades (corrientes) en los elementos de un circuito,causadas por una determinada excitación de voltaje o corriente.

La teoría de circuitos eléctricos es válida siempre y cuando la longitud de losconductores del circuito eléctrico sea mucho menor que la longitud de onda (l )de la señal de alimentación. Por ejemplo, las ondas electromagnéticas viajan a laconstante de la luz en el vacío (c = 299863380,466 m

s ⇡ 3,00⇥ 108 ms ), entonces

según la relación mostrada en la ecuación 1.1, la longitud de los cables debería serbastante inferior a 5000km para señales de voltaje de la red eléctrica local.

c = l f (1.1)

donde:c : rapidez de la luz en el vacío.l : longitud de onda.f : frecuencia de la onda.

1James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13 de junio de 1831- Cambridge, Reino Unido, 5 denoviembre de 1879)

11

1.1.1. Leyes de MaxwellLa teoría electromagnética se fundamenta en cuatro ecuaciones planteadas por

Maxwell, dada la importancia para la ciencia, son enunciadas a continuación.

1.1.1.1. Ley de Gauss para el campo eléctrico

La ecuación 1.2 o ley de Gauss2, establece la relación entre el flujo eléctrico(FE =

R �!E .d

�!A ) a través de cierta superficie cerrada y una carga eléctrica ubicada

en su interior. La superficie en mención recibe el nombre de superficie gaussiana.I �!E .d

�!A =

qenc

e0(1.2)

Donde:�!E : Vector de campo eléctrico.

d�!A : Vector diferencial de área.

qenc: Carga encerrada dentro de la superficie gaussiana.Solución:

e0: Coeficiente de permitividad del espacio libre (8,85⇥10�12 Fm )

En la figura 1.1 se muestra una carga encerrada por una superficie denominadagaussiana. Obsérvese que la superficie tiene forma de cascarón esférico, estodebido a que el vector de campo eléctrico (

�!E ) tiene siempre la misma dirección

que el vector diferencial de área (d�!A ). Lo anterior hace que el producto punto se

simplifique, ya que el ángulo entre vectores es siempre cero y por definición, elproducto punto se convierte en una multiplicación entre magnitudes, como se vea continuación. I �!

E .d�!A =

IE dA cos0 = E

IdA

Ejemplo Calcular el campo eléctrico producido por una carga puntual positivaen el vacío, a una distancia r de la misma.

Solución:

2Johann Carl Friedrich Gauss, (Brunswic, Alemania 30 de abril de 1777 – Gotinga 23 defebrero de 1855)

1.1. Definiciones 13

Figura 1.1: Superficie gaussiana

Partiendo de la ecuación 1.2 y tomando una gaussiana esférica como la de lafigura 1.1, se hace el siguiente cálculo:

EI

AdA =

qenc

e0

EA =qenc

e0

E =qenc

e0A

Donde A es el área de una esfera (A = 4pr2). La ecuación 1.3 muestra el valordel campo eléctrico producido por una carga puntual.

E =qenc

4pr2e0(1.3)

1.1.1.2. Ley de Gauss para el campo magnético

Con la ecuación 1.4 Gauss determinó la no existencia de monopolosmagnéticos. Interpretando de manera trivial la ecuación, esta indica que lasumatoria de líneas de campo magnético que atraviesan una superficie gaussianaes cero, es decir, las lineas que entran son las mismas que salen del encerramiento.

I �!B .d

�!A = 0 (1.4)

Donde�!B es el vector de campo magnético.

1.1.1.3. Ley de Ampere

La ecuación 1.5 muestra la ley de Ampere, la cual indica la presencia de uncampo magnético por la acción de un flujo eléctrico variante en el tiempo o por laexistencia de una corriente eléctrica en un conductor.I �!

B .d�!l = µ0

✓Ienc + e0

dFE

dt

◆(1.5)

Ejemplo Cuál es la corriente en un conductor que a 50 cm produce un campomagnético de 5 µT ?

Solución:Al conductor lo encierra una trayectoria en forma de circunferencia con radio

de 0,5 m o 50 cm, para que los dos vectores, el de campo magnético y el diferencialde trayectoria, estén en la misma dirección y el producto punto se reduzca a unproducto entre escalares; entonces:

Ienc =BLµ0

Ienc =B2pr

µ0

Ienc =5⇥10�6T 2p 0,5m

4p ⇥10�7 Hm

= 12,5A

1.1.1.4. Ley de Faraday

La ley de Faraday3 es presentada en la ecuación 1.6, la cual refiere a lapresencia de un campo eléctrico a causa de la variación en el tiempo de un flujo

3Michael Faraday (Newington, 22 de septiembre de 1791 - Londres, 25 de agosto de 1867)


magnético (FB =R �!

B �d�!A ). I �!

E .d�!l =�dFB

dt(1.6)

1.1.2. Carga eléctricaLa carga eléctrica es una propiedad que poseen las partículas subatómicas

electrón, protón y neutrón, que permite que estas se atraigan o repulsen de acuerdoal tipo de carga que posean. Se dice que los electrones poseen carga negativa, losprotones carga positiva y los neutrones no poseen carga eléctrica.

Figura 1.2: Representación de un átomo de Hidrógeno (isótopo protio)

En la figura 1.2 se muestra una representación simple de un átomo deHidrógeno (H), el cual exhibe dos partículas: Un electrón y un protón (númeroatómico = 1). El átomo de la figura es el isótopo4 más abundante en la naturaleza:1H o denominado protio.

4Entiéndase por isótopo aquellos átomos del mismo elemento pero con distinto peso atómico,debido a la diferencia en el número de neutrones.

La carga eléctrica que poseen estas partículas subatómicas electrón y protón,tiene un valor fijo igual a:

e = 1,602176⇥10�19C

Este valor es un número con 7 cifras significativas de exactitud, por supuesto,el valor crece en exactitud si este es más extenso en cifras. El valor de la carga delelectrón es negativa (�e) mientras que la del protón es positiva (e). Los neutronesno poseen carga eléctrica. La unidad de medida de la carga eléctrica es el Coulomb(C), en consideración al francés Charles-Augustin de Coulomb5.

1.1.3. Fuerza eléctricaEn la sección 1.1.2 se habló del comportamiento que exterioriza la carga

eléctrica que poseen las partículas subatómicas: electrón, protón y neutrón; estaconducta obedece a la Ley de Coulomb, la cual manifiesta una fuerza atractivaen cargas de signos opuestos y de repulsión en las de igual signo. La fuerza esproporcional al valor de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia entre estas. La ecuación 1.7 expresa la magnitud y dirección del vectorfuerza eléctrica, en condiciones de vacío. Los neutrones al no poseer carga, nopresentan atracción o repulsión entre ellos o entre electrones y protones.

�!F a!b =

14pe0

qaqb

r2a!b

r̂ (1.7)

Donde:

�!F a!b: Vector de fuerza eléctrica, su dirección es interpretable de acuerdoa la referencia establecida.

qa qb: Cargas a y b respectivamente.

ra!b: Distancia entre los centros de las cargas a y b.

r̂: Vector unitario en la dirección radial.

5Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême, Francia, 14 de junio de 1736 - París, 23 de agostode 1806).


a

Figura 1.3: Fuerza de atracción entre dos partículas con cargas opuestas

En la figura 1.3 aparecen dos cargas de signo contrario atraídas mutuamente, lareferencia de los subíndices que se emplea en la figura es la siguiente:

�!F b!a: Vector de fuerza, causado por la carga �qb sobre la carga qa.

�!F a!b: Vector de fuerza, causado por la carga qa sobre la carga �qb.

Es de recordar que toda referencia es discrecional.

Ejemplo Cuál es la aceleración que experimentan dos protones que seencuentran a 5µm uno del otro?

Solución:Utilizando la ecuación 1.7 y los valores del cuadro 1.1.

Partícula Carga MasaElectrón �1,602176⇥10�19C 9,11⇥10�31kgProtón 1,602176⇥10�19C 1,67⇥10�27kg

Neutrón* — 1,67⇥10�27kg

Cuadro 1.1: Carga y masa del electrón, protón y neutrón.

*Aunque las masas del protón y el neutrón aparecen iguales en elcuadro 1.1, estas son ligeramente distintas.

F =1

4pe0

�1,6⇥10�19C

�2

(5⇥10�6m)2 = 9,21⇥10�18N

Ahora, por segunda ley de Newton (ÂF = ma):

a =F

mp

Donde mp es la masa del protón (cuadro 1.1)

a = 5,51⇥109 ms2

1.1.4. Energía

La palabra energía (del griego energeia, actividad, operación; energos=fuerzade acción o fuerza trabajando) trae consigo la idea de la capacidad de algoque puede causar un trabajo, transformar o producir un movimiento. La energíaeléctrica es la capacidad que tiene un dispositivo eléctrico para realizar un trabajo.La energía eléctrica se manifiesta en la generación de luz, calor, frío, movimientoo en otro trabajo útil que realice cualquier dispositivo conectado a un circuitoeléctrico cerrado. La energía utilizada para realizar un trabajo se mide en “joules6”en el sistema SI y se representa con la letra “J”.

1.1.5. Potencial eléctrico

Físicamente el potencial eléctrico se define como el trabajo que es necesariopara traer una carga desde el infinito hasta un punto determinado dividido por elvalor de la carga misma. La ecuación 1.8 relaciona el potencial eléctrico con eltrabajo y la carga eléctrica.

V =Wq

(1.8)

En circuitos es común hablar de diferencia de potencial, es decir, el resultadode la resta de dos potenciales ubicados en posiciones distintas; esta diferencia depotencial se denomina voltaje.

6En honor al físico británico James Prescott Joule (Salford, Reino Unido, 1818-Sale, id., 1889).


El voltaje tiene unidades del Sistema Internacional de volt (V), en honor alitaliano Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta7.

1.1.6. Diferencia de potencialPara ampliar el concepto de diferencia de potencial, a continuación partiendo

de la definición de trabajo, presentada en la ecuación 1.9, se desarrolla el términode voltaje entre los puntos A y B.

WA!B =

BZA

�!F .

�!dl (1.9)

Donde:

WA!B: Trabajo realizado desde A hasta B.�!F : Vector de fuerza eléctrica.

d�!l : Vector diferencial de recorrido.

q: Carga eléctrica.�!E : Vector de campo eléctrico.

Como la fuerza eléctrica es: �!Fe =�q

�!E (1.10)

Sustituyendo 1.10 en 1.9:

WA!B =

BZA

(�q�!E ).

�!dl

WA!B =�qBZ

A

�!E .

�!dl (1.11)

Dividiendo la ecuación 1.11 por la carga q:

7Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (Como, Lombardía, Italia 18 de febrero de1745 – Como, Lombardía, Italia 5 de marzo de 1827)

VBA =WA!B

q=�

BZA

�!E .

�!dl (1.12)

VBA =�BZ

A

�!E .

�!dl

Entonces, la diferencia de potencial entre dos puntos A y B, se define como:

VBA =VB �VA =�BZ

A

�!E .

�!dl (1.13)

1.1.6.1. Campo producido por una carga puntual a una distancia r de lafuente

De acuerdo a la ley de Gauss (H �!

E .�!ds = q

eo) y a la definición del producto

punto:

�!E .

�!ds =|�!E ||

�!ds | cosq (1.14)

Como el campo�!E y el vector área

�!ds son paralelos, entonces q = 0I

|�!E ||�!ds | cos(0) =

qeo

Quedando:

|�!E |I

|�!ds |= q

eo

El área de las esfera es: I|�!ds |= 4pr2

|�!E | (4pr2) =qeo

Entonces el campo eléctrico es:

|�!E |= q4peor2 (1.15)


Figura 1.4: Campo eléctrico�!E producido por una carga puntual.

1.1.6.2. Potencial producido por una carga puntual

El voltaje se definió como:

VBA =�rBZ

rA

�!E .

�!dl

Como el campo�!E y el vector área

�!dl son paralelos, entonces q = 0

VBA =�rBZ

rA

|�!E ||�!dl | cos(0)

VBA =�rBZ

rA

(q

4peor2 )dr =�(q

4peo)

rBZrA

drr2

Figura 1.5: Carga puntual del ejemplo de potencial eléctrico

VBA =�(q

4peo)(�1

r) |rB

rA

VBA =q

4peor|rBrA=

q4peo

1rB

� 1rA

�(1.16)

Si rA se coloca muy lejos de rB, rA ! • y VA = 0:

VB =VB �0 =q

4peo

1rB

�VB =

q4peorB

(1.17)

Ejercicio Se tiene una carga puntual de valor q = 2C en un lugar aislado delespacio, como aparece en al figura 1.5. Si rA = 1m y rB = 3m, determine:

a. La magnitud del campo eléctrico�!E producido por la carga en los puntos A

y B.b. El potencial producido en los puntos A y B.c. La diferencia de potencial entre los puntos A y B.d. La fuerza que existiría sobre una carga Q = 0,1C en el punto A.Solución:


a.

EA =q

4peor2A=

24⇥3,1416⇥8,85⇥10�12 ⇥ (1)2 = 1,798⇥1010V

m

EB =q

4peor2B=

24⇥3,1416⇥8,85⇥10�12 ⇥ (3)2 = 1,9982⇥109V

m

b.

VA =q

4peorA= 1,798⇥1010V

VB =q

4peorB= 5,995⇥109V

c.

VBA =q

4peo

1rB

� 1rA

�VBA =VB �VA =�1,19⇥1010V (1.18)

d.Fe = QEA = 0,1C⇥1,798⇥1010V

m

Fe = 1,798⇥109 N

Ejercicio Para la gráfica 1.6 , la cual presenta una carga q = �2C en el campoE = 10V

m determine:a. El trabajo para llevar desde A hasta B, desde B hasta C y desde A hasta C.b. La diferencia de potencial entre los puntos BA, CB y CA.c. Verifique que el trabajo es independiente de la trayectoria para un sistema

conservativo.Solución:a.Como el trabajo es:

Figura 1.6: Ejemplo de trabajo y diferencia de potencial

WA!B =�qBZ

A

�!E .

�!dl

En las trayectorias rectas se pueden simplificar las integrales:

WA!B =�q�!E .

�!lx

Por la definición del producto punto:

WA!B =�q(| E || lx | cosq)

WA!B =�(�2)⇥ [10⇥4⇥ cos(0)]

WA!B = 80J

Nuevamente, se evalúa el trabajo desde B hasta C para llevar dicha carga:

WB!C =�q�!E .

�!ly


WB!C =�q(| E || ly | cosq)

WB!C =�(�2)⇥ [10⇥3⇥ cos(90)]

WB!C = 0J

Finalmente, se determina el trabajo para llevar la carga desde A hasta C:

WA!C =�q(| E || lh | cosq)

El ángulo se puede determinar conociendo los lados del triángulo así:

q = arctan(34) = 36,8698o

Calculando el trabajo:

WA!C =�(�2)⇥ [10⇥5⇥ cos(36,8698o)]

WA!C = 80J

Así mismo:

WC!A =�80J

b.Para las diferencias de potencial, a partir del trabajo, se obtiene:

VBA =WA!B

q=

80�2

=�40V

VCB =WB!C

q=

0�2

= 0V

VCA =W A!C

q=

80�2

=�40V

c.Sumando los trabajos en la trayectoria cerrada:

Figura 1.7: Flujo de electrones libres en un conductor bajo una diferencia depotencial

WA!B +WB!C +WC!A = 0J

Para la diferencia de potencial:

VCA =VBA +VCB

Del ejercicio anterior, se puede verificar que el trabajo es independiente de latrayectoria.

EjercicioDetermine nuevamente el trabajo y el potencial entre los puntos considerando

que el campo eléctrico dado se ha rotado 30 grados en el sentido contrario a lasmanecillas del reloj (Resp. VCB =�15V VCA =�49,64V VBA =�34,64V ).

1.1.7. Corriente eléctricaLa corriente eléctrica comúnmente se define como el flujo ordenado de cargas

eléctricas que circulan por un conductor, por unidad de tiempo; consistentementela ecuación 1.19 expresa claramente este concepto, donde dq es el diferencial decargas eléctricas y dt es el diferencial de tiempo.

i =dqdt

(1.19)


La figura 1.7 muestra un conjunto de electrones en un conductor los cualescirculan por el material formando una corriente eléctrica. Como se aprecia en lamisma figura, los electrones deben ser afectados por un campo eléctrico generadopor una diferencia de potencial o voltaje, el cual hace que cargas negativas seanatraídas hacia el lado positivo del campo eléctrico.

Existe una diferencia solo referencial, entre la corriente electrónica y lacorriente eléctrica (empleada en los circuitos). Físicamente son los electroneslos que se mueven, es decir, la corriente es electrónica, sin embargo, para loscircuitos eléctricos la intensidad por lo general se dirige en sentido contrario almovimiento de los electrones. En resumen, la corriente en circuitos eléctricos sedirige del lugar de mayor al de menor potencial. Obsérvese la figura 1.8, en la cualla corriente I se dirige en sentido horario, del terminal + de la fuente de voltaje.

Figura 1.8: Circuito eléctrico simple

La unidad del Sistema Internacional para la corriente eléctrica es el ampere(A), como homenaje al francés André-Marie Ampère8.

1.1.8. Potencia EléctricaLa Potencia eléctrica es la rapidez con la que se transfiere la energía eléctrica

capaz de producir un trabajo W . La potencia se mide en joule por segundo⇥ J

s⇤

8André-Marie Ampère (Poleymieux-au-Mont-d’Or, 20 de enero de 1775 - † Marsella, 10 dejunio de 1836)

o en watt [W ], y se representa con la letra P, como aparece en la ecuación 1.20,donde dW

dt representa la tasa de transformación del trabajo en función del tiempo.

P =dWdt

(1.20)

1.2. Circuito eléctrico

1.2.1. DefiniciónUn circuito eléctrico es un camino cerrado por el cual circula una corriente

eléctrica, donde los parámetros electromagnéticos, tales como la resistencia, lacapacidad, la inductancia se encuentran concentrados en unos dispositivos que sedenominan elementos de circuito. Algunos elementos de circuito son:

Fuentes de voltaje o corriente

Condensadores o capacitores9

Inductores

Resistencias

Equipos medición

En algunos casos, un circuito eléctrico está integrado por elementos de electrónicade potencia, pero estos quedan fuera del alcance de esta obra.

En la figura 1.8 se aprecia un circuito realizado en su orden con:

1. Una fuente de voltaje de 1 volt.

2. Una resistencia de 50 W.

3. Un amperímetro, que se utiliza para medir corriente eléctrica.

4. Una inductancia de 1 nH.

9En los condensadores circula un tipo especial de corriente denominada corriente dedesplazamiento (ver sección 1.2.5).

1.2. Circuito eléctrico 29

Figura 1.9: Circuito con tres mallas

5. Un condensador o capacitor de 1 pF.

Igualmente, en un circuito eléctrico se pueden apreciar mallas y nodos.

Nodo Como se muestra en la figura 1.9, es el punto donde convergen dos o máscomponentes eléctricos.

Malla Camino cerrado que utiliza la corriente eléctrica partiendo de un nodoy regresando al mismo. Obsérvese que en la figura 1.9 aparecen tres mallas, dosinternas (mallas I y II) y una por el exterior del circuito (malla III).

1.2.2. Leyes fundamentales1.2.2.1. Ley de Ohm10

La ley de Ohm relaciona el voltaje, la corriente y la resistencia solo paraelementos puramente resistivos, como lo muestra la ecuación siguiente:

i =vr

(1.21)

10Georg Simon Ohm (Erlangen, Bavaria 16 de marzo de 1789 - Munich 6 de julio de 1854).

La ecuación 1.21 determina el valor de la corriente eléctrica (i) que circula porla resistencia, de acuerdo con el valor del voltaje (v) al cual se somete ésta y a suresistencia (r). En la sección 1.2.4, se define formalmente el término de resistenciaeléctrica.

1.2.2.2. Leyes de Kirchhoff11

Son dos leyes que ayudan a determinar las variables en los circuitos eléctricos:

Ley de Corrientes La corriente resultante en un nodo es siempre cero, es decir,en un nodo no existe acumulación de energía. La ecuación 1.22 modela esta ley,donde N es el número de elementos que llegan al nodo e ik es la corriente entranteo saliente en el nodo.

N

Âk=1

ik = 0 (1.22)

En el nodo ubicado en la figura 1.9, por ejemplo, llegan dos corrientes: i1 e i2y sale la corriente i3, entonces la relación queda:

i1 + i2 � i3 = 0

Ley de Tensiones La tensión o el voltaje en el recorrido de una malla, siemprees cero. La ley aparece resumida en la ecuación 1.23, donde N es el número deelementos que posee una malla y vk es la tensión propia de cada dispositivo queconforma la malla.

N

Âk=1

vk = 0 (1.23)

Por ejemplo, en el circuito de la figura 1.10 la ley de tensiones de Kirchhoffqueda así:

v f uente � vresistencia � vcondensador = 0

Se aprecia que el voltaje de la fuente tiene polaridad opuesta a la de los otroselementos; a los voltajes en estos elementos se les denomina caídas de voltaje.

11Gustav Robert Kirchhoff (Königsberg, Rusia, 12 de marzo de 1824 - Berlín, 17 de octubre de1887)


Figura 1.10: Distribución de tensiones en un circuito de una sola malla

1.2.3. Fuentes

Existen algunos tipos de fuentes tales como las de tensión (voltaje) eintensidad (corriente), donde estas pueden ser dependientes e independientes.Cuando se habla de fuentes dependientes, se refiere a fuentes cuyo valor estásubordinado proporcionalmente con otra variable del circuito. Este tipo de fuentesno son muy comunes al igual que las fuentes de corriente o intensidad.

Principalmente, se encuentran fuentes de voltaje las cuales pueden serconstantes o variables (alternas). Existen dos tipos de alimentación en un circuitoeléctrico:

1. Corriente continua cc

2. Corriente alterna ac

En la figura 1.11 a) se presenta un simple circuito alimentado por una fuente decorriente continua. En la figura 1.11 b) aparece otro circuito pero con una fuentede corriente alterna.

Figura 1.11: a) Circuito alimentado con corriente continua; b) Circuito alimentadocon corriente alterna

Como ejemplo, las fuentes de corriente continua podrían ser baterías; estasposeen una señal de voltaje como se muestra en la figura 1.12 a); la forma deonda de una fuente alterna se aprecia en la figura 1.12 b). Las señales alternas seencuentran generalmente en los tomacorrientes de los hogares.


Figura 1.12: a) Señal de corriente continua b) Señal de corriente alterna.

La fuente de valor constante siempre presenta el mismo valor de voltaje alpasar el tiempo, mientras que la señal alterna, presenta una tensión oscilante entrevalores positivos y negativos cuyo valor promedio es cero. En la figura 1.12 b) laforma de onda es una onda seno que alcanza valores pico de +1 V y -1 V.

Como simbología de las fuentes, la figura 1.13 muestra que la fuente de señalcontinua, se representa por dos rayas paralelas, donde una de ellas es más larga quela otra y que figura como el terminal positivo. El símbolo de la fuente de corrientealterna es en si una circunferencia con una onda seno en su interior y que tiene

también referenciados los terminales como positivo y negativo. Cabe anotar quela simbología mostrada en esta sección, es la que utilizará como referencia estelibro.

Figura 1.13: Simbología de las fuentes de voltaje

1.2.4. La resistenciaResistencia es la propiedad que tienen los materiales de oponerse al paso o

circulación de corriente eléctrica por éste. La unidad de resistencia eléctrica enel SI es el ohm (W), en honor al físico y matemático alemán Georg Simon Ohm.Este físico y matemático introdujo la denominada Ley de Ohm. En la figura 1.14se aprecia el símbolo esquemático más común de una resistencia. Comúnmente sele denomina también resistencia al resistor eléctrico.

Figura 1.14: (a) Símbolo universal circuital del resistor eléctrico y en (b)diferentes construcciones de resistores eléctricos

Existe una variedad de electrodomésticos que utiliza las resistencias eléctricaspara desempeñar su función, entre estos:


Bombillas incandescentes

Estufa y horno eléctricos

Calentador eléctrico de agua

Plancha y secadora eléctricas de ropa

En la actualidad se promueve el desuso de algunos de estos artículos en elhogar, debido a que consumen una cantidad excesiva de energía o son pocoeficientes no contribuyendo al empleo mesurado de ésta y a la conservación delmedio ambiente. Por ejemplo, hoy se busca utilizar bombillas de bajo consumo oahorradoras en lugar de las incandescentes porque estas entregan más prestacionescon una cuarta o quinta parte de la energía consumida; en equivalencia, unabombilla incandescente de 100 W podría reemplazarse por una de 20 W. Lasbombillas ahorradoras, como la mostrada en la figura 1.15 b) son más eficientesya que transforman la mayor parte de la energía en luz y no en calor como labombilla incandescente que aparece en la figura 1.15 a).

Figura 1.15: a) Bombilla incandescente b) Bombilla ahorradora de energía

Figura 1.16: a) Resistencia limitadora de corriente b) Estufa con resistencia decalefacción eléctrica

En la figura 1.16 a) se aprecia una resistencia que tienen como función limitarla corriente en un circuito; generalmente en condiciones normales no producecalor excesivo. La figura 1.16 b) muestra una estufa que posee en la parte superioruna resistencia eléctrica la cual produce calor que se emplea para cocer alimentos.

1.2.4.1. Asociación de resistencias

Con base en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff (secciones 1.2.2.1 y 1.2.2.2),se pueden reunir dos o más resistencias en un solo elemento resistivo.

Figura 1.17: a)Resistencias en serie b) Resistencia equivalente

Resistencias en serie La asociación en serie de resistencias o de cualquier otronúmero de elementos, se presenta cuando estos elementos comparten la mismacorriente, es decir, la corriente circula por los elementos al mismo tiempo. En lafigura 1.17 a) se aprecia un par de resistencias en serie (R1 y R2) que luego puedenser reemplazadas por una sola resistencia R en la parte b) de la misma figura.

Lo anterior es posible aplicando la ley de tensiones en una malla del siguientemodo:

V �VR1 �VR2 = 0

V =VR1 +VR2

Se sustituye por la ley de Ohm cada uno de los términos:

I Requivalente = I R1 + I R2


I Requivalente = I (R1 +R2)

Como son comunes las corrientes en ambos lados de la ecuación, entonces:

Requivalente = R1 +R2

La conclusión del resultado anterior es que las dos resistencias en serie puedenreemplazarse por una sola, que se obtiene de sumar las resistencias; en el casode que sean tres o más resistencias que se encuentran en serie, el procedimientose conserva, es decir, se deben sumar las mismas. La ecuación 1.24 presenta demanera general la forma de encontrar la resistencia equivalente de resistencias enserie, donde N es el número de resistencias en serie y Rk es cada resistencia en sí.

Requivalente�serie =N

Âk=1

Rk (1.24)

Ejemplo Tres resistencias se encuentran en serie:

R1 = 50W

R2 = 25W

R3 = 100W

Encuentre la resistencia equivalente.Solución:

Requ = R1 +R2 +R3

Requ = 50W+25W+100W

Requ = 175W

Resistencias en paralelo Un par de resistencias se encuentran en paralelocuando estas comparten la misma tensión o tienen común ambos terminales. Enla figura 1.18 a) se aprecia dos resistencias en disposición paralela, por las cualescircula una corriente I1 e I2 respectivamente. En la figura 1.18 b) solo aparece unaresistencia Requivalente la cual cumple la misma función que las resistencias R1 yR2.

Figura 1.18: Resistencia equivalente en paralelo

Lo anterior es posible aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff sobre elúnico nodo que tiene el circuito:

I = I1 + I2

Como el circuito está conformado por resistencias y comparten el mismovoltaje, entonces:

VRequivalente

=VR1

+VR2

Con V común en todos los términos:

1Requivalente

=1

R1+

1R2

El resultado anterior, indica que el inverso de la resistencia equivalente, es elresultado de la suma de los inversos de las resistencias que forman el paralelo. Esdecir:

1Requivalente

=1

R1+

1R2

+1

R3+

1R4

+ . . .

De manera general:1

Requ�paralelo=

N

Âk=1

1Rk

(1.25)

La ecuación 1.25 indica que el valor de la resistencia equivalente en paralelo,donde N es el número total de resistencias en esta disposición y k es cada una delas resistencias.


Ejemplo Tres resistores con los siguientes valores:

R1 = 50W

R2 = 25W

R3 = 100W

Se encuentran en una disposición paralela, encuentre la resistencia equivalente.Solución:

1Requ

=1

R1+

1R2

+1

R3

1Requ

=1

50W+

125W

+1

100W

Requ =1

150W + 1

25W + 1100W

Requ = 14,29W

Se puede concluir, según los dos últimos ejemplos, que la resistenciaequivalente en serie es superior que cada una de las resistencias componentes,mientras que para el caso de las resistencias en paralelo la situación es totalmentecontraria, es decir, la equivalente es menor que cualquiera de las resistenciascomponentes.

1.2.4.2. Asociación de resistencias en Delta y Estrella

En algunos casos, no es posible definir una conexión de resistencias comouna serie o un paralelo, por lo que puede requerirse una conversión que permitadesarrollar el problema llevándolo a una configuración básica.

Figura 1.19: Configuración Estrella en la parte interna y Delta en la parte externa

Conversión de Delta a Estrella

RA =R2 ⇥R3

R1 +R2 +R3(1.26)

RB =R1 ⇥R3

R1 +R2 +R3(1.27)

RC =R1 ⇥R2

R1 +R2 +R3(1.28)

Ejemplo Considere la figura 1.19 en su parte B con los siguientes valoresde resistencia y conviertale a su equivalente Estrella. R1 = 10 W , R2 = 20 WyR3 = 60 W.

Solución:Aplicando las ecuaciones 1.26, 1.27 y 1.28, se tiene:

RA =R2 ⇥R3

R1 +R2 +R3=

20⇥6010+20+30

= 20 W

RB =R1 ⇥R3

R1 +R2 +R3=

10⇥6010+20+30

= 10 W

RC =R1 ⇥R2

R1 +R2 +R3=

10⇥2010+20+30

=103

W


Conversión de Estrella a Delta

R1 =RA ⇥RB +RB ⇥RC +RA ⇥RC

RA(1.29)


RB(1.30)


RC(1.31)

Ejemplo Considere la estrella de la figura 1.19 en su parte A con los siguientesvalores de resistencia y conviertale a su equivalente Delta. RA = 20 W , RB = 10 WyRC = 10

3 W .Solución:

Aplicando las ecuaciones 1.29, 1.30 y 1.31, se tiene:

R1 =10⇥20+ 10

3 ⇥20+10⇥ 103

20= 10 W

R2 =10⇥20+ 10

3 ⇥20+10⇥ 103

10= 30 W

R3 =10⇥20+ 10

3 ⇥20+10⇥ 103

103

= 90 W

Ejercicio

Sabiendo que R = 15W, determine la resistencia equivalente entre losterminales A y B de la figura 1.20 considerando:

a. la reducción de estrella a delta.b. la reducción de delta a estrella.

Figura 1.20: Simplificación mediante reducciones delta-estrella y estrella-deltadel ejemplo en clase.

1.2.4.3. Potencia en la resistencia

La resistencia transforma la energía eléctrica, representada en este casopor el movimiento de electrones (energía cinética), en energía térmica. Estatransformación ocurre debido a que los electrones chocan con los átomos omoléculas del propio elemento, elevando la temperatura termodinámica de éste;a este fenómeno se le conoce como efecto Joule12. En la sección 2.1.3 y en elcapítulo 4 se amplia el concepto de potencia eléctrica, ya que este es transversalen el desarrollo de la teoría de circuitos.

Partiendo de la potencia en cualquier elemento:

p = v i (1.32)

Sustituyendo uno de los términos por la ley de Ohm, la potencia disipada porla resistencia está determinada por la siguiente ecuación:

p = i2r (1.33)

Donde:

p: Potencia en watt (W).

12En honor al físico británico James Prescott Joule (Salford, Reino Unido, 1818-Sale, id., 1889).


i: Corriente en unidades de ampere (A).

r: Resistencia en unidades de ohm (W).

Entonces el calor radiado en joules (J) se determina por:

w =Z t2

t1pdt = r

Z t2

t1i2 dt =

1r

Z t2

t1v2 dt (1.34)

Nótese la utilización de la Ley de Ohm (i = vr ) en la ecuación anterior.

1.2.4.4. Elementos que afectan la resistencia

Los principales elementos que determinan la resistencia eléctrica de unmaterial se presentan en el cuadro 1.2.

Parámetro Símbolo UnidadLongitud L m

Sección transversal A m2

Tipo de material (resistividad) r W�mTemperatura T oC

Cuadro 1.2: Parámetros básicos de la resistencia

Si se toma la resistencia a una temperatura fija, la resistencia de un materialde geometría regular se puede expresar a través de la ecuación 1.35:

R = r LA

(1.35)

Figura 1.21: La resistencia y su dependencia con la geometría del objeto con lalongitud L y el área A

En el cuadro 1.3 se presentan los valores de resistividad r y coeficiente detemperatura a para algunos de los materiales conductores más comunes en loscircuitos eléctricos.

Material r = Resistividad [W�m] a = Coeficiente⇥oC�1⇤

Cobre 1,7⇥10�8 3,9⇥10�3

Aluminio 2,82⇥10�8 3,9⇥10�3

Oro 2,44⇥10�8 3,4⇥10�3

Plata 1,59⇥10�8 3,8⇥10�3

Tungsteno 5,6⇥10�8 4,5⇥10�3

Cuadro 1.3: Resistividad para algunos materiales a 20oC. El coeficiente detemperatura no depende de la temperatura, por lo que es válido para cualquiera.

La resistividad es una propiedad de la substancia y no depende de sugeometría, mientras que la resistencia si.

Ejemplo Determine la resistencia de 100 metros de alambre de cobre de #12AWG13 a 20 oC .

13El calibre de alambre AWG (American Wire Gauge) es una referencia de clasificación dediámetros utilizada en muchos países. Cuanto más alto es el número AWG número, más delgadoes el alambre.


Solución:Haciendo uso del cuadro 1.414, se puede determinar que el área de la sección

transversal del alambre. Como dicho alambre es de sección circular, entonces elárea de su sección transversal se puede determinar con la ecuación 1.36.

Ao = pr2 �! r =d2�! Ao =

pd2

4(1.36)

Ao =3,1416(2,05⇥10�3m)2

4= 3,3103⇥10�6m2

R = rcobreLAo

= 1,7⇥10�8 [W�m]100 [m]

3,3103⇥10�6 [m2]= 0,5135W

Número AWG Diámetro[mm] Corriente Máxima [A]8 3,26 5510 2,59 4012 2,05 3014 1,63 25

Cuadro 1.4: Algunos alambres AWG

Ejemplo Se enrollan 100 vueltas de alambre de aluminio esmaltado15 desección cuadrada de 3 mm de lado sobre un núcleo circular de 10 cm de diámetrocomo se aprecia en la figura 1.22. Si las vueltas se ajustan exactamente sobre elnúcleo, determine:

La longitud del alambre.

La resistencia del alambre a 20 oC.

La longitud mínima de núcleo.

14Datos tomados de http://www.centelsa.com.co/descargar.php?f=userfiles/catalogos/catalogo_cables_para_construccion.pdf15El esmaltado es una capa extremadamente delgada de barniz aislante que recubre la parte

exterior de algunos alambres desnudos, lo que evita la continuidad entre las vueltas de alambreadyacentes.

Solución:En la figura 1.22 se aprecia la forma básica en que el alambre rectangular ha

sido enrollado sobre el núcleo circular.

Figura 1.22: Espiras de alambre rectangular sobre núcleo circular

Calculando la sección transversal del alambre cuadrado se tiene:

A⇤ = lA ⇥ lA = (3⇥10�3m)⇥ (3⇥10�3m) = 9⇥10�6m2

Para la longitud de una vuelta sobre el núcleo:

lVuelta = 2prNucleo �! rNucleo =d2=

0,1m2

= 0,05m

lVuelta = 2p(0,05m) = 0,31416m

Si se tienen n= 100Vueltas, entonces la longitud total L del alambre enrolladoes:

L = lVuelta ⇥N = 0,31416m⇥100 = 31,41m

Finalmente, calculando la resistencia total R del alambre:


R = rAluminioL

A⇤= 2,82⇥10�8 [W�m]

31,41 [m]

9⇥10�6 [m2]= 0,09841W

Para el cálculo de la longitud mínima lm del núcleo sobre la cual se debenenrollar las n espiras:

lm = lA ⇥n = (3⇥10�3m)(100) = 0,3m

1.2.4.5. Variación de la resistencia con la temperatura

La resistencia de la mayoría de los materiales varía de manera importante conla temperatura. Como los materiales más usuales para conducción son los metales,se puede afirmar que la resistencia es directamente proporcional a la temperatura.Esto indica que si la temperatura aumenta, la resistencia también. Es conocidoque todos los materiales tiene resistencia 0W a �273oC grados centígrados, peroalgunos de ellos lo logran mucho antes. Si se analiza, inicialmente, el caso de laresistividad:

Figura 1.23: Relación lineal de la resistividad contra la temperatura

La pendiente de la recta está determinada por:

m =(r �ro)

(T �To)

Despejando la resistividad r:

(r �ro) = m(T �To)

r = m(T �To)+ro

r = ro

m(T �To)

ro+1

�Se define el coeficiente de temperatura a:

a =mro

=(T �To)

ro(r �ro)

Finalmente se llega a la ecuación 1.37 para la resistividad r a cualquiertemperatura:

r = ro [a(T �To)+1] (1.37)

Como la resistencia R es directamente proporcional a la resistividad, se llegaa la ecuación 1.38:

R = Ro [a(T �To)+1] (1.38)

Ejemplo Determine la resistencia del alambre de sección cuadrada de aluminioenrollado sobre el núcleo circular del ejemplo anterior a las temperaturas de:

40 oC

0 oC

-10 oC

Solución:Como la resistencia también depende de la temperatura, esta se debe recalcular

a partir de la ecuación 1.38. Para usar dicha ecuación, se deben conocer losvalores de la resistencia Ro y la temperatura To en un punto cualquiera. El valor


del coeficiente de temperatura se puede leer del cuadro 1.3 el cual se mantieneconstante para cualquier punto sobre la recta.

Se han seleccionado los valores de referencia:

Ro = 0,09841 [W] To = 20 [oC] a = 3,9⇥10�3 ⇥oC�1⇤Para todas las temperaturas se puede decir que:

R = Ro [a(T �To)+1] = 0,09841⇥3,9⇥10�3(T �20)+1

⇤R =

⇥3,8380⇥10�4(T �20)+0,09841

⇤(1.39)

Haciendo T = 40oC y evaluando en 1.39:

RT=40 =⇥3,8380⇥10�4(40�20)+0,09841

⇤= 0,1060W

RT=40 = 0,106W

Haciendo T = 0oC y evaluando en 1.39:

RT=0 =⇥3,8380⇥10�4(0�20)+0,09841

⇤= 0,0907W

RT=0 = 0,0907W

Haciendo T =�10oC y evaluando en 1.39:

RT=�10 =⇥3,8380⇥10�4(�10�20)+0,09841

⇤= 0,0868W

RT=�10 = 0,0868W

Ejemplo A partir de la ley de Ohm, determine la corriente i que circula por laresistencia del alambre de sección cuadrada de aluminio enrollado sobre el núcleocircular sometido a una diferencia de potencial V = 5V , con base en los datos delejemplo anterior a diferentes temperaturas:

T=40 oC �! RT=40 = 0,106W

T=0 oC�! RT=0 = 0,0907W

T=-10 oC �! RT=�10 = 0,0868W

Solución:Tomando los datos del ejercicio anterior y aplicando la definición de la ley de

Ohm que enuncia V = I R para cada temperatura se tiene:

I40 =V

RT=40=

5v0,106W

= 47,1698A

I0 =V

RT=0=

5v0,0907W

= 55,1267A

I�10 =V

RT=�10=

5v0,0868W

= 57,6036A

1.2.5. El condensador o capacitor

Un condensador o capacitor es un elemento físico que almacena energía enun campo eléctrico. Cualesquier par de conductores separados por un aislanteforman un capacitor. Dos cargas de signos contrarios separadas, también formanun condensador. En la figura 1.24 se muestran los símbolos usuales para identificarun capacitor.

Figura 1.24: (a) Símbolo universal circuital del condensador eléctrico y en (b)diferentes construcciones de los condensadores eléctricos

La capacitancia es la propiedad física que permite cuantificar la medidad enque un elemento de circuito almacena energía en forma de campo eléctrico. Launidad de capacitancia es el farad (F), en honor a Michael Faraday. La capacidad


de un condensador se define en la ecuación 1.40, donde C es capacitancia, Q es lacarga en coulombs16 y V es la tensión en volts entre placas del condensador.

Figura 1.25: Condensador de placas paralelas

C =QV

(1.40)

1.2.5.1. Condensador de placas paralelas

Un condensador de placas paralelas es simplemente dos láminas de área A,separadas una distancia d por un dieléctrico o aislante de corriente, como muestrala figura 1.25. Para determinar la capacitancia de este dispositivo, se recurre ala ecuación de Gauss (ecuación 1.2), para la geometría dispuesta en la figura ytomando como dieléctrico el vacío.

E A =Qe0

E =Q

Ae0

Por definición del voltaje, se alcanza:

V = E d

V =Q

Ae0d

16No confundir la C de capacitancia con la C de la unidad de coulombs de carga eléctrica.

Sustituyendo el valor anterior sobre la definición de capacitancia (ecu. 1.40).

C =QV

C =QQ

Ae0d

C =e0Ad

(1.41)

Como conclusión de la ecuación 1.41, se puede decir que la capacidad de uncondensador solo radica en su geometría y el tipo de dieléctrico empleado, que eneste caso es e0 por considerar el vacío. La ecuación podría ser más general si estaconsidera la constante dieléctrica de cualquier material k, es decir, reemplazar elvacío entre placas por un material aislante. La ecuación 1.42 indica una constantedieléctrica e como el producto de k por el coeficiente de permitividad del vacío(e0).

e = ke0 (1.42)

Entonces la capacidad queda como:

C = ke0Ad

(1.43)

El cuadro 1.5 presenta constantes dieléctricas para diferentes medios o materiales.

Material Constante dieléctrica k Rigidez dieléctrica (106 Vm )

Aire (seco) 1,00059 3Baquelita 4,9 24Neofreno 6,7 12

Papel 3,7 16Poliestireno 2,56 24Porcelana 6 12

Aceite de silicona 2,5 15Teflón 2,1 60Vacío 1 —Agua 80 —

Cuadro 1.5: Constantes dieléctricas aproximadas de algunos materiales


1.2.5.2. Asociación de condensadores

De manera similar a las resistencias, los condensadores se pueden asociaren configuraciones serie o paralelo, es decir, dos o más capacitores se puedenreemplazar por uno equivalente dependiendo de su distribución en el circuito.

Equivalencia de condensadores en serie Dos condensadores están en serie,cuando por ellos circula la misma corriente. En la figura 1.26 se aprecia estadisposición.

Figura 1.26: Dos condensadores en serie

Para encontrar el capacitor equivalente, se recurre de nuevo a la ley detensiones de Kirchhoff sumando los voltajes presentes en la figura 1.26.

V =VC1 +VC2

En serie los condensadores comparten la misma carga (Q) y sustituyendo porla relación de capacitancia del condensador (C = Q

V ), se encuentra:

QCequivalente

=QC1

+QC2

1Cequivalente

=1

C1+

1C2

Entonces, el condensador equivalente en un arreglo en serie, es el recíprocode la suma del inverso de las capacitancias de cada uno de los condensadores.De forma general, la ecuación 1.44 muestra la forma como se suman capacitores

en serie, donde N es el número de condensadores, Ck es cada uno de loscondensadores y Cequi�serie es la capacidad equivalente en serie.

1Cequi�serie

=N

Âk=1

1Ck

(1.44)

Ejemplo Tres capacitores con las siguientes capacidades:

C1 = 5µF

C2 = 20µF

C3 = 55µF

Se encuentran en una disposición serial, encuentre el condensador equivalente.Solución:

1Cequ

=1

C1+

1C2

+1

C3

1Cequ

=1

5µF+

120µF

+1

55µF

Cequ =1

15µF + 1

20µF + 155µF

Cequ = 3,73µF

Equivalencia de condensadores en paralelo Los condensadores en paralelocomparten la misma tensión, pero de acuerdo a su capacitancia, almacenan supropia carga (Q). En la figura 1.27 se muestra esta distribución.

Figura 1.27: Condensadores en paralelo


La carga total que se puede almacenar es:

Qtotal = Q1 +Q2 (1.45)

Por la relación de capacidad:

C =QV

Entonces:Qtotal =CequivalenteV

Y sustituyendo en 1.45:

CequivalenteV =C1V +C2V

Queda:Cequivalente =C1 +C2

Es decir, la capacidad total en una distribución en paralelo, es la sumaindividual de las capacidades de cada uno de los elementos. La ecuación 1.46presenta de manera general la suma de condensadores en paralelo.

Cequi�paralelo =N

Âk=1

Ck (1.46)

Ejemplo Con los datos iniciales del ejemplo anterior, encuentre el condensadorequivalente cuando la disposición de estos sea paralela.

Solución:

Cequi�paralelo =C1 +C2 +C3 = 5µF +20µF +55µF

Cequi�serie = 80µF

1.2.5.3. Energía en el condensador

En el proceso de carga de un condensador se crea un campo eléctrico entre lasplacas paralelas del condensador. El trabajo necesario para cargar el condensadorpuede considerarse como el requerido para crear el campo eléctrico. Es decir, laenergía almacenada en el condensador reside en el campo eléctrico y por esto se

denomina energía del campo electrostático. Partiendo de esta definición, se debedeterminar la expresión para la energía almacenada en el condensador.

Por definición el potencial eléctrico está dado por la ecuación 1.47.

V =Wq

=dWdq

(1.47)

Despejando e integrando:

dW =V dq

W =Z

V dq (1.48)

Y recordando la definición de voltaje en el condensador:

V =qC

(1.49)

Evaluando 1.49 en 1.48 e integrando:carga eléctrica

W =Z(

qC)dq =

12C

q2

Si se despeja q de la ecuación 1.49 y se evalúa en ??, se tiene:

E =12(VC)2

C=

12

V 2C2

C

UC =12

CV 2 (1.50)

Se debe recordar que la energía en el SI se debe designar en joules (J) o susmúltiplos.

Ejemplo Se tienen dos placas conductoras paralelas cuyas dimensiones son de4 cm por 6 cm, separadas por una lámina de teflón (ver tabla 1.5) de 1 mm deespesor. Determine:

Solución:a) La capacitancia del condensador resultante.

C = ke0Ad


C = 2,1⇥8,85⇥10�12 Fm⇥ (0,04m⇥0,06m)

0,001mC = 44,6 pF

b) El valor de la carga máxima que se puede almacenar en el condensador.

Emax =Vmax

dVmax = Emaxd

Vmax = 60⇥106Vm⇥0,001m

Vmax = 60kV

C =Qmax

Vmax

Qmax =CVmax

Qmax = 44,6 pF ⇥60kV

Qmax = 2,67 µC

c) La energía máxima almacenada en el condensador.

UC =12

CV 2

UC = 80,3mJ

1.2.6. La inductancia

Un inductor es básicamente un enrollamiento de alambre conductor esmalta-do. Al centro del inductor se le denomina núcleo, el cual puede ser aire, hierro uotro material conductor del campo magnético. La figura 1.28 expone el símbolodel inductor circuital y los tipos de enrollamiento típicos de los inductores.

Figura 1.28: (a) Símbolo universal circuital del inductor eléctrico y en (b)diferentes construcciones de los inductores eléctricos

La inductancia es la propiedad de cierto elemento eléctrico llamado inductor,de producir una tensión en sus terminales que se opone momentáneamente al pasode un campo magnético. La unidad oficial del Sistema Internacional de Unidadespara la inductancia es el henry17 (H).

1.2.6.1. Determinación aproximada de la inductancia de un Solenoide

El comportamiento de las inductancias está relacionada con la ecuación deFaraday (ec. 1.6). La inductancia también se estima como el cambio en el flujomagnético debido al cambio de corriente en el inductor, como indica la ecuación:

L = NdFB

di(1.51)

La inductancia L de una bobina de alambre (solenoide), se puede calcular apartir de la definición de la inductancia L la cual se presenta mediante la ecuación1.52 que relaciona el flujo magnético fB y la corriente I por el inductor:

17En honor a Joseph Henry (Albany, 17 de diciembre de 1797 - Washington, 13 de mayo de1878)


Figura 1.29: Análisis de solenoide para el cálculo de su inductancia

L = NfB

I(1.52)

donde el flujo magnético fB se calcula mediante la ecuación 1.53:

fB =Z~B. ~dA (1.53)

y el campo magnético B a partir de la ecuación de Ampere mostrada en 1.54:ZB.dl = µoI (1.54)

Por lo que, se procede a determinar el campo magnético B sobre la trayectoriacerrada mostrada en la figura 1.29 sobre los tramos 1, 2, 3 y 4. Nótese que lacorriente se multiplica por N, ya que este es el número de veces que aparece lacorriente en la trayectoria de ampere de la figura.I

~B.~dl =Z

1~B.~dl +

Z2~B.~dl +

Z3~B.~dl +

Z4~B.~dl = µoIN

I~B.~dl = Blcos(0)+Bwcos(90)+(0)lcos(180)+Bwcos(�90) = µoIN

Se hace cero para las trayectorias 2, 3 y 4, por lo que resulta solamente:I~B.~dl = Bl +0+0+0 = µoIN

Bl = µoIN

Finalmente, la magnitud del campo magnético B en el interior del solenoideestá dada por la ecuación 1.55:

B =µoIN

l(1.55)

Seguidamente se procede a calcular el flujo magnético fB a través de laecuación 1.53. Como campo magnético B y el área A de la sección transversal delnúcleo sobre el que se realiza el devanado se mantienen constantes y son paralelosentre sí, se llega a la ecuación 1.56:

fB =Z~B. ~dA = BAcos(0) = BA (1.56)

Evaluando 1.55 en 1.56:

fB =µoINA

l(1.57)

Aplicando la definición 1.52, con la expresión del flujo magnético fBencontrada en 1.57:

L = NfB

I= N

µoINAlI

La ecuación 1.58 muestra como se calcula la inductancia L de un solenoide deforma aproximada en el vacío.

L =µoN2A

l(1.58)

Donde,

L: Inductancia en Henrios


N: Número de vueltas de la bobina.

µo: Permeabilidad del vacío (µ0 = 4p ⇥10�7 Hm ).

A: Área de la sección del enrollado m2.

l: Longitud de la bobina en m.

En general, se puede decir que dependiendo de la permeabilidad del medio Km laecuación 1.58 se transforma en 1.59:

L =µN2A

l(1.59)

En la figura 1.29 se aprecian las características asociadas a la ecuación anteriordonde N = 5 vueltas. La permeabilidad de los materiales está definida por lasiguiente ecuación:

µ = Kmµ0 (1.60)

Donde,

Km: Permeabilidad relativa del medio.

El valor de Km varía de acuerdo al material, por ejemplo, el aire o vacío tienenun estimado cercano a 1, mientras que un tipo de hierro puede tener un valor de2000, lo que significa que este material es mejor conductor de campo magnéticoque el vacío o el aire.

Ejemplo Calcule, mediante la expresión aproximada para la inductancia L, elnúmero de vueltas de alambre que debe tener un inductor envuelto en un núcleode hierro de sección 4cm2 y longitud de 15cm, para que este produzca unainductancia de 5H.

Solución:Partiendo de la ecuación 1.59, aislando el término de número de vueltas:

N =

sLl

Kmµ0A

N =

vuut (5H)(0,15m)

2000�4p ⇥10�7 H

m�⇣

4cm2 1m2

10⇥103cm2

⌘ ⇡ 864vueltas

1.2.6.2. Determinación empírica de la inductancia de un Solenoide

Existen expresiones que permiten calcular la inductancia L de maneramás exacta mediante ecuaciones empíricas como la mostrada en 1.61. Estacorresponde aun núcleo circular con una sola capa de alambre con núcleo de aire.

L =0,001 N2 d2

l +0,45 d(1.61)

Donde,

L: Inductancia en mH

N: Número de vueltas de la bobina.

d: Diámetro de la sección del núcleo en mm.

l: Longitud de la bobina en mm.

La exactitud alcanzada por la ecuación 1.61, conocida como la ecuación deWheeler, es del 1% para bobinas cuya relación l/d es mayor que 0.4. El diámetrode la bobina se debe medir hasta el centro del alambre y supone que el diámetrodel alambre sea mucho menor que el diámetro de la bobina.

Para saber más sobre el cálculo empírico de inductores, se recomienda visitarlos vínculos mostrados al pie de la página actual18.

1.2.6.3. Energía en el Inductor

La bobina ideal es un elemento pasivo que almacena energía eléctrica enforma de campo magnético cuando aumenta la intensidad, devolviéndola cuandola corriente disminuye.

La potencia es la cantidad de Energía (trabajo) efectuado por unidad detiempo.

P =dWdt

(1.62)

18http://www.frm.utn.edu.ar /tecnologiae /apuntes/inductores_aire.pdf yhttp://www.microwavecoil.com /Design%20Guides%202008.pdf Visitados el día 20 de marzo de2010


Por otro lado, la potencia eléctrica P en un cierto instante para un dispositivoviene dada por la expresión:

P =V I (1.63)

Como el voltajes en un inductor es:

V = LdIdt

(1.64)


P = (LdIdt

)I = LIdIdt

(1.65)

Igualando 1.62 y 1.65:

dWdt

= LIdIdt

(1.66)

Despejando la energía se tiene:

dW = LIdI

UL =Z

dW = LZ

IdI =12

LI2

UL =12

LI2 (1.67)

La ecuación 1.67 muestra que la energía almacenada en el campo magnéticode un inductor, en un instante de tiempo, es proporcional a la inductancia propiadel inductor por el cuadrado de la corriente en dicho instante.

Cualquier conductor tiene inductancia, incluso cuando el conductor notiene forma una bobina. La inductancia de un hilo recto es pequeña, perono despreciable si la corriente a través de él cambia rápidamente. Este puedeser el caso de incluso unas pocas pulgadas de hilo cuando circula una,corriente de 100 MHz o más. Sin embargo, a frecuencias mucho más bajas lainductancia del mismo hilo puede ser despreciable, ya que la tensión inducidaserá considerablemente pequeña.

1.3. Ejercicios propuestos1. Se desea llevar una carga de q=1 C por cada uno de los lados de un triangulo

equilátero cuyo perímetro mide 6 m. Si la carga se mueve en presencia de uncampo eléctrico E= 20 V/m que va horizontalmente de izquierda a derecha,Determine:

Figura 1.30: Trabajo y potencial del ejercicio 1

a) El trabajo para llevar la carga desde A hasta B y la diferencia depotencial VBA

b) El trabajo para llevar la carga desde B hasta C y la diferencia depotencial VCB

c) El trabajo para llevar la carga desde A hasta C y la diferencia depotencial VCA

2. Para el ejercicio anterior, considere que el campo eléctrico se ha rotado 60grados en el sentido de las manecillas del reloj y proceda a recalcular cadauno de los trabajos y diferencias de potencial del mismo punto.

3. Determine la dirección y el valor de la corriente faltante que satisfaga losdiagramas para cada uno de los nodos de la figura 1.31.

1.3. Ejercicios propuestos 65

Figura 1.31: Diagramas de corrientes del ejercicio de las corrientes

4. Determine la resistencia entre los terminales A y B para cada unos de loscasos considerando que R1=100 ohm, R2=50 ohm.

Figura 1.32: configuraciones en paralelo y serie. 1 y 2 paralelo, 3 y 4 serie. Nóteseque no dependen de la apariencia

5. Calcule la resistencia equivalente vista desde los nodos:RAB, RAG, RHF ,RCE , RBE y RED de la figura 1.33, considerando que el valor de la resistenciacorresponde al número del subíndice en ohms, por ejemplo, R7 = 7W.

Figura 1.33: Determine la resistencia entre cada uno de los terminales definidos

6. Determina la resistencia equivalente entre A y B para el circuito mostradoen la figura 1.34 si se sabe que R1=R2=R3=R9=R6=R8=20 Ohm yR7=R4=R5=60 ohm.

Figura 1.34: encontrar la resistencia equivalente

7. Cuál es el área transversal de un alambre de cobre de 3 metros de longitudcuya resistencia es de 0.013 W?

8. Un alambre de plata tiene una resistencia de 5 W a 0°C . ¿Cuál será suresistencia a 25°C ?

9. Se rodea una finca con un alambre de aluminio de sección circular de 4mm2 el cual, al ser medido en un día a 20 grados centígrados, presenta una


resistencia de 2.2 Ohm. Si se sabe que la finca es un cuadrado perfecto,determine la longitud de los lados de la misma.

10. Para el ejercicio anterior, suponga que el día es fuertemente soleado,de tal forma que la nueva temperatura del alambre es de 35 gradoscentígrados. Cuál sería la resistencia de este alambre si se midiera bajo estascondiciones?

11. Se está haciendo una extensión eléctrica de 100V entre dos casas situadasen el campo, que está separadas 5 kilómetros. Los primeros 2 kilómetrosse utiliza un alambre de cobre cilíndrico de radio 2,5 mm y en el restose utiliza un alambre de aluminio cuyo radio es de 4 mm. Determine laresistencia eléctrica del total de la extensión y la caída de tensión en elalambre, considerando que la resistencia de la carga es de 8 W.

12. Se enrollan n vueltas de alambre esmaltado de cobre #14 sobre un núcleocuadrado de 5 cm de lado y de largo 20 cm. Si se requiere lograr unaresistencia de 1 Ohm a -10 Celsius, determine la longitud del alambre, elnúmero de vueltas de alambre que se requieren y el número de capas dealambre (desprecie la dispersión por el grueso del alambre).

13. En el cerco de una parcela se utiliza alambre de Aluminio de radio 2 mm.Si un trozo de alambre, que rodea el cerco, tiene una resistencia eléctrica de1,5 Ohm , ¿cuál es el largo del cerco si su ancho es de 40 m?

14. Se enrollan 250 vueltas de alambre esmaltado de cobre #12 sobre un núcleocuadrado de 5 cm y de largo 20 cm a -10C, Cuántas vueltas de alambrese pueden hacer en una capa? Cuántas capas de alambre se deben realizarsobre dicho núcleo? Cuál es la resistencia del alambre si este cambia 20grados Celsius? (No considere la dispersión por aumento del diámetro delas capas)

15. Un condensador plano de placas paralelas y cuadradas, de lado 14 cm yseparadas 2 mm en el vacío, se conecta a una batería y se carga a 12 V.

a) ¿Cuál es la carga del condensador?b) ¿Cuánta energía se almacena en el condensador?c) Se desconecta entonces la batería del condensador y la separación de

las placas se incrementa en 3,5 mm. ¿En cuánto cambia la energía almodificar la separación de las placas?

16. Considere el circuito de la figura 1.35 en el cual inicialmente el interrup-tor está abierto y los condensadores descargados. Se cierra el interruptory los condensadores se cargan. Cuando los condensadores quedan comple-tamente cargados, se abre el circuito y el voltaje en circuito abierto quedarestablecido.

Figura 1.35: Circuito del problema propuesto de condensadores en paralelo

a) ¿Cuál es el voltaje en cada condensador?

b) ¿Cuál es la carga de cada una de las placas de los condensadores?

c) ¿Cuál es la carga total que pasa a través de la batería?

17. Un condensador plano de placas paralelas está formado por dos conductorescuadrados de lado 10 cm separados por 1 mm de distancia en el vacío.Determine:

a) La capacidad.

b) Si este condensador está cargado con 12 V, ¿cuánta carga se transfierede una placa a la otra?

18. Considere el circuito de la figura 1.36 en el cual inicialmente el interrup-tor está abierto y los condensadores descargados. Se cierra el interruptor ylos condensadores se cargan. Cuando los condensadores quedan completa-mente cargados, abrimos el circuito y el voltaje en circuito abierto quedarestablecido.


Figura 1.36: Circuito del problema propuesto de condensadores en serie

a) ¿Cuál es el voltaje en cada condensador?b) ¿Cuál es la carga de cada una de las placas de los condensadores?c) ¿Cuál es la carga total que pasa a través de la batería?

19. Dos condensadores de placas planos paralelas, cada uno con una capacidadC1 = C2 = 2 µF, están conectados en paralelo a través de una batería de 12V. Determinar:

a) La carga de cada condensadorb) La energía total almacenada en los condensadores.

20. Un condensador plano de placas paralelas, cuyo dieléctrico entre sus placases papel, tiene una capacitancia de 8µF . Calcule la capacitancia que tendríael mismo condensador si se cambiara e introdujera teflón entre sus placas.

21. Un condensador plano tiene placas cuadradas, como el mostrado en la figura1.37, de lado 10 cm y separación d = 4 mm. Un bloque de dieléctrico deconstante k = 2 tiene dimensiones 10 cm x 10 cm x 4 mm.

Figura 1.37: Ejercicio de cambio de medio dieléctrico

a) ¿Cuál es la capacidad sin dieléctrico?

b) ¿Cuál es la capacidad si el bloque de dieléctrico llena el espacio entrelas placas?

c) ¿Cuál es la capacidad si un bloque dieléctrico de dimensiones 10cm x 10 cm x 3 mm se inserta en el condensador cuyas placasestán separadas 4 mm? (Ayuda: Realice el análisis como tratandocondensadores en serie para cada capa enfrentada)

22. Sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B del sistemade la figura 1.38 es de 200 Volts , calcular:

Figura 1.38: Ejercicio de condensadores con diferencia de potencia potencial entreAB

a) La capacidad equivalente del sistema.

b) La carga almacenada en cada condensador.

c) La energía almacenada en cada condensador.

23. Los cuatro condensadores de la figura 1.39 tienen formas y tamaños iguales,estando el espacio entre sus placas relleno respectivamente de los siguientesdieléctricos: k1 (aire), k2 (papel), k3 (teflón) y k4 (baquelita). Calcular,las capacidades de cada condensador, las diferencia de potencial entre lasplacas de cada uno de los condensadores, la carga que almacena cada unode ellos y la energía, si se sabe que la capacitancia equivalente del sistemaes de 10µF y la fuente es de 10V .


Figura 1.39: Ejercicio de condensadores de geometría similar

24. Se ha construido un condensador de placas paralelas a partir de dos mediosdiscos de radio 2 cm separados 1mm en el vacío perfectamente enfrentados.Determine:

a) La capacitancia del condensador.

b) La capacitancia del condensador cuando uno de los medios discosenfrentados se ha rotado 30 grados.

Capítulo 2

Circuitos en corriente continua

2.1. DescripciónEl principal objetivo de la teoría de circuitos eléctricos, es la cuantificación

de las tensiones e intensidades presentes en todos los elementos que componenel circuito eléctrico. Los circuitos eléctricos en cc son aquellos que se alimentanexclusivamente de fuentes de valor constante, como las baterías.

Figura 2.1: Circuito en cc

La figura 2.1 muestra un circuito típico solo resistivo, alimentado por tres

73

fuentes de voltaje continuo. El circuito en referencia, solo dispone además de susfuentes de tensión, elementos netamente resistivos.

Los elementos condensadores e inductancias, presentan un comportamientoespecial cuando se someten a fuentes de voltaje constante, como se muestra acontinuación.

2.1.1. Capacitores alimentados en ccAnalizando un simple circuito R-C (resistencia y condensador, figura 2.2), se

puede examinar lo que sucede cuando un condensador se alimenta de una fuentede voltaje continua.

Figura 2.2: Circuito R-C

Para este circuito en particular, la corriente no es continua a pesar que esta esproporcionada por una fuente de tensión constante.

Haciendo la evaluación de tensiones internas en la malla, se tiene:

�V +VR +VC = 0

El voltaje en el condensador se obtiene de la ecuación 1.40 (C = QV ), la

corriente se define en la ecuación 1.19 (i = dQdt ) y la tensión en la resistencia por

la ley de Ohm (ecuación 1.21).

�V + iR+QC

= 0

i =VR� Q

RC

2.1. Descripción 75

Tomando el circuito 2.2 en un tiempo inicial, es decir, apenas el interruptorS se cierre, entonces de la relación anterior se puede asegurar que la carga Q escero, por ello la corriente inicial es la relación del voltaje de la fuente sobre laresistencia (I0 =

VR ); a medida que el capacitor se carga, la relación Q

RC aumenta,disminuyendo la corriente i.

Retomando el análisis:

dQdt

=� 1RC

(Q�VC)

dQQ�VC

=� dtRC

Integrando en ambos lados:Z dQQ�VC

=�Z dt

RC

ln✓

Q�VC�VC

◆=� t

RC

Resolviendo para la carga

Q =VC⇣

1� e�1

RC t⌘

Donde VC es la carga final del condensador (Q f ), entonces

Q = Q f

⇣1� e�

1RC t⌘

(2.1)

Como muestra la ecuación 2.2, el término RC dentro del exponencial se conocecomo t (letra tau del alfabeto griego), el cual representa la constante de tiempo ensegundos de carga del condensador.

t = RC (2.2)

Aproximadamente en 4RC o 4t , el condensador se encuentra 98% cargado.

Ejemplo Para el circuito de la figura 2.3, graficar la curva de carga respectivapara una constante de carga de 5ms.

Con base en la ecuación 2.1, se determinan cada uno de los valores que

Figura 2.3: Circuito RC ejemplo

componen la relación.Se halla la capacidad del condensador, utilizando la ecuación 2.2, que es la

constante de tiempo (t) de carga.

5ms = 100WC

C =5ms

100W= 50µF

Para encontrar Q f , se recurre a la ecuación de capacitancia (C = QV ).

Q f =CV

Q f = 50µF 5V

Q f = 0,25⇥10�3C

Mediante unas pocas instrucciones en Octave1, se obtiene la gráfica respectiva(Se recomienda ver los anexos de este libro para saber más sobre Octave):

Qf = 0.25e-3;

RC = 5e-3;

t = 0:1e-5:25e-3;

Q = Qf*(1 - exp(-t/RC));

1Se puede utilizar el mismo código con Matlab


plot(t, Q)

Para incluir rótulos como el título y el nombre de los ejes en el gráfico:

title("CARGA DEL CONDENSADOR")

xlabel("TIEMPO EN SEGUNDOS")

ylabel("CARGA EN COULOMBS")

Figura 2.4: Curva de la carga del condensador

La gráfica de carga del condensador del ejemplo, se presenta en la figura 2.4.

Ahora, para obtener el valor de la corriente en el circuito, se remite a la defini-ción de corriente (i = dQ

dt ), entonces se procede a derivar respecto al tiempo laecuación 2.1.

dQdt

=ddt

⇣Q f

⇣1� e�

tRC

⌘⌘i =

Q f

RCe�

tRC

EntoncesQ f

RC=

VR= I0

Donde I0 es la corriente inicial que se presenta inmediatamente cuando elcircuito se cierra; por tanto la corriente que se presenta en el circuito la describela ecuación 2.3.

i = I0e�t

RC (2.3)

Ejemplo Con la información del ejercicio anterior, graficar la curva de corrienteen función del tiempo.

Se determina la corriente I0.

I0 =VR=

5V100W

I0 = 50mA

Con un código similar al utilizado en el ejemplo anterior, se obtiene la figura2.5.

Como conclusión de la figura 2.5, se aprecia que la corriente luego detranscurridos 4t , se aproxima a cero, es decir, que en estado estacionario (tiemposuperior a 4t) el condensador se comporta como un interruptor en estado abierto.

2.1.2. Inductancia alimentada en ccCuando una corriente continua atraviesa una espira o bobina, esta genera un

campo magnético constante que convierte al devanado en un electroimán. Lafigura 2.62 muestra una corriente recorriendo una bobina, formando un campomagnético y una electroimán en el núcleo del devanado.

Se debe prestar especial cuidado con la alimentación de devanados concorriente directa, ya que esta circula como si estuviera en corto, es decir, lasbobinas para la corriente continua son invisibles y solo son percibidas como unsimple conductor. Para que la inductancia presente alguna resistencia al paso de lacorriente, esta debe manifestar cierto voltaje en terminales, sin embargo, este solose exterioriza si la corriente es dependiente del tiempo, como lo indica la ecuación2.4. Esta ecuación sugiere que la tensión en los terminales de la inductancia se

2Figura tomada de dirección web: http://www.wilsonchamp.com.ar


Figura 2.5: Corriente de carga en el circuito

subordina al valor de la inductancia L (sección 1.2.6) y de la variación de lacorriente respecto al tiempo y como la variación de la corriente cc, es cero, latensión en terminales también.

VL = Ldidt

(2.4)

El circuito formado por una resistencia y un inductor conectados en serie yalimentado mediante una fuente de corriente continua, es un caso también muyimportante para analizar en la teoría de circuitos. La figura 2.7 muestra el circuitogeneral serie formado por una resistencia R y un inductor L.

Aplicando la ley de Kirchhoff correspondiente a los voltajes a la trayectoriacerrada ilustrada en la figura 2.7, se obtiene la ecuación 2.5.

V �VL �VR = 0 (2.5)

Reemplazando cada caída de tensión por su correspondiente equivalente sellega a la ecuación 2.6:

Figura 2.6: Bobina y campo magnético producido

V �Ldidt

= iR (2.6)

Ldidt

=V � iR

Separando las variables t e i en la ecuación 2.6 e integrando en cada lado, seobtiene la ecuación 2.7 que relaciona la corriente con el tiempo:

iZ0

di(V � iR)

=1L

tZ0

dt

� 1R

ln(V � iR) |i0=tL|t0

� 1R[ln(V � iR)� ln(V )] =

tL

[ln(V � iR)� ln(V )] =�RL

t


Figura 2.7: Circuito RL corriente Continua

ln(V � iR)(V )

=�RL

t

(V � iR)(V )

= e�RL t

i =VR� V

Re�

RL t

i =VR(1� e�

RL t) (2.7)

De dicha solución se puede apreciar que en el primer instante que se cierra elinterruptor, el sistema se opone al cambio, por lo que por este no circula corrienteya que la inductancia se pone abierta, pero con el transcurrir del tiempo, este operacomo un corto circuito.

Ejemplo Para el circuito de la figura 2.8, graficar el comportamiento de lacorriente a medida que transcurre el tiempo.

De acuerdo con la información suministrada por la figura 2.8 y empleando laecuación 2.7, se tiene:

i =5V

100W

⇣1� e�

100W0,5H t

⌘

Figura 2.8: Circuito RL alimentado con CC

Utilizando Octave, se consigue graficar el comportamiento de la corrienteen función del tiempo, como aparece en al figura 2.9. Nótese que la corrientealcanza un valor cercano al punto límite (50 mA), alrededor de los 20 ms, luegola corriente permanece estable en 50 mA.

2.1.3. Potencia Corriente Continua

Para los circuitos de corriente continua, la potencia eléctrica se define como elproducto entre el valor instantáneo de corriente I y el valor instantáneo del voltajeV . Si I se expresa en ampere y V en volt, las unidades de la potencia P estarán enwatts. Esta definición también se aplica cuando se consideran valores promediopara I, V y P. La ecuación 2.8 muestra la definición de la potencia eléctrica, dondese relaciona el cambio de la energía (trabajo) con respecto al tiempo.

P =dWdt

(2.8)

Como el voltaje se define como:

V =dWdq

dW =V dq (2.9)

Y evaluando 2.9 en la ecuación 2.8:

P =dWdt

=V dqdt

=Vdqdt


Figura 2.9: Corriente en el circuito RL

Recordando que

I =dqdt

P =V ⇥ I (2.10)

Por la ley de Ohm mostrada en 2.10, se sabe que:

V = I ⇥R (2.11)

Por tanto la potencia puede expresarse como 2.12 y 2.13:

P = (I ⇥R)⇥ I

P = I2 ⇥R (2.12)

P =V ⇥ (VR)

P =V 2

R(2.13)

2.2. Métodos para la solución de circuitos eléctricosExisten diversos métodos para determinar tensiones e intensidades de

elementos al interior de los circuitos eléctricos; a continuación se presentanalgunos de ellos.

2.2.1. Método de las corrientes de mallaComo se definió anteriormente, una malla es un camino cerrado por donde

circula la corriente eléctrica. En la figura 2.10 se aprecia un circuito de dos mallas.

Figura 2.10: Circuito resistivo

El método de las corrientes de malla, sigue los siguientes pasos:Paso 1: Defina sentidos de las corrientes para n � 1 mallas (Trayectorias

cerradas). El sentido definido para la corriente en cada malla es positivo para lascaídas de tensión de acuerdo a las reglas mostradas en la parte a) de la figura 2.11.

Paso 2: Aplique para cada una de las n � 1 mallas, la ley de Kirchhoffcorrespondiente a la sumatoria de voltajes en esta. Se debe recordar que lacorriente circula del terminal de mayor potencial al de menor valor, por cada unode los elementos. Cuando un elemento es común a dos mallas, la corriente queresulta sobre este es la suma (o resta) de las corrientes de cada malla (esto solo en

2.2. Métodos para la solución de circuitos eléctricos 85

el método, no en la realidad); si van en el mismo sentido, se le suma a la corrientede la malla, de lo contrario se le resta. Véase la figura 2.11 donde se ilustran lasreglas para el recorrido sobre un elemento no compartido en la parte a) y otrocompartido en b).

Figura 2.11: Reglas del método de las corriente de malla para el recorrido sobreun elemento no compartido a) y otro compartido b)

Paso 3: Exprese la caída de tensión en cada elemento mediante la ley de Ohm(V = I ⇥R) respetando los signos del paso 2.

Paso 4: Resuelva el sistema de ecuaciones independientes resultante del pasoanterior para determinar la corriente de cada malla.

Paso 5: Con las corrientes de malla encontradas, determine la corriente realpor cada uno de los elementos: Si es necesario, aplique la ley de la sumatoria decorrientes en los nodos para determinar la corriente por cada elemento.

Ejemplo Se desarrolla el circuito de la figura 2.10, por el método de lascorrientes de malla.

Se dibujan las dos trayectorias cerradas en el circuito, las mallas 1 y 2respectivamente.

Ahora, se recurre a la ley de tensiones de Kirchhoff en cada una de las mallas,teniendo especial cuidado en el elemento R2, ya que este sería en teoría atravesado

por dos corrientes de malla. Físicamente R2 solo lo recorre una sola corriente.Se empieza desde cualquier lugar de la malla y se termina en el mismo punto.

En la figura 2.10, se marca con un asterisco el lugar donde empieza el recorrido.Se debe prestar atención en la polaridad de las fuentes, ya que si la corriente

entra por un terminal negativo, este término de la ecuación, tendrá esa mismacaracterística.

Como lo indica la ley de Ohm (V = I R), cada corriente multiplicada por laresistencia es equivalente a una tensión; es por esto que se hacen las sumatoriassobre una malla (ÂN

k=1Vk = 0).Estos voltajes son siempre positivos, sin embargo si una corriente de otra malla

se desplaza en sentido contrario, la ecuación tendría ese término negativo.

Malla I1 Comenzando del lugar marcado con el asterisco en la figura 2.10, serealiza la sumatoria de voltajes.

�V1 + I1R1 + I1R2 � I2R = 0

�V1 + I1 (R1 +R2)� I2R2 = 0 (2.14)

Malla I2 Realizando el mismo procedimiento para la segunda malla y comen-zando del el punto señalado con el asterisco (figura 2.10).

I2R2 � I1R2 + I2R3 +V2 = 0

� I1R2 + I2 (R2 +R3)+V2 = 0 (2.15)

En esta parte se tienen dos ecuaciones (ec. 2.14 y ec. 2.15) con dos términosdesconocidos (I1e I2), sistema con solución!.

Ejemplo Encuentre las corrientes de malla y las tensiones en cada una de lasresistencias del circuito de la figura 2.10, teniendo en cuenta los valores numéricospresentados en el cuadro 2.1.

El método de corrientes de malla entrega las ecuaciones 2.14 y 2.15, las cualesse presentan factorizadas en la ecuación matricial 2.16.

(R1 +R2) �R2�R2 (R2 +R3)

�I1I2

�=

V1�V2

�(2.16)


Elemento ValorV1 5VV2 10VR1 10WR2 50WR3 30W

Cuadro 2.1: Valores de elementos de circuito

Para encontrar los valores de I1 e I2, se pueden emplear diversas metodologías;a continuación, a manera de ejemplo se resuelve utilizando el método de losdeterminantes o método de Cramer3.

I1 =

V1 �R2�V2 (R2 +R3)

�(R1 +R2) �R2

�R2 (R2 +R3)

� =V1 (R2 +R3)�V2R2

(R1 +R2)(R2 +R3)�R22=�43,5mA

I1 =

(R1 +R2) V1

�R2 �V2

�(R1 +R2) �R2

�R2 (R2 +R3)

� =�V2 (R1 +R2)+V1R2

(R1 +R2)(R2 +R3)�R22=�152mA

De las intensidades halladas con anterioridad, se puede apreciar que estastienen signo negativo, por ende se concluye que la circulación real de lascorrientes, es en sentido contrario, es decir, que I1 e I2 van en giro antihorario.En el cuadro 2.2 se presentan las magnitudes de los voltajes y corrientes de lastres resistencias del ejemplo. Debe tenerse especial cuidado con la corriente de laresistencia R2, ya que esta resulta de la diferencia entre las dos corrientes de mallaque giraban en trayectorias opuestas.

En la figura 2.12 aparece el circuito del ejemplo junto con los voltajes ycorrientes de los elementos resistivos y sus respectivas polaridades y sentidos decirculación.

3Gabriel Cramer (Ginebra Suiza 31 de julio, 1704 - Bagnols-sur-Cèze, Francia 4 de enero,1752)

Elemento Voltaje CorrienteR1 435mV 43,5mAR2 5,43V 109mAR3 4,56V 152mA

Cuadro 2.2: Tensiones e intensidades del circuito

Figura 2.12: Voltajes y corrientes del circuito

2.2.2. Método de las corrientes de ramaUna rama es cada uno de los brazos principales que llegan hasta un nodo. Para

el circuito de la figura2.15 se aprecian 3 ramas que van desde entre los nodos A yB.

Para el método de las corrientes de rama se deben respetar las reglaspresentadas en la figura 2.14.

El método de las corrientes de rama (simplificado) requiere los siguientespasos:

Paso 1: Defina, arbitrariamente, el sentido de la corriente por cada rama (Líneacontinua). Se debe recordar que la corriente por todos los elementos de la rama esla misma.

Paso 2: Defina, arbitrariamente, la dirección del recorrido para n-1 trayectoriascerradas del circuito (Curva de flecha punteada).

Paso 3: Aplique la ley de los voltajes de Kirchhoff (mallas) a las n-1trayectorias cerradas definidas en el punto anterior teniendo en cuenta las reglas


Figura 2.13: Circuito básico de ejemplo para los métodos

planteadas en la figura 2.14. Solo n-1 ecuaciones son linealmente independientesy pueden aportar a la solución.

Paso 4: Se deben obtener tantas ecuaciones como incógnitas de corriente sedefinan en el punto anterior, por lo que se deben aplicar la ley de Kirchhoff de lascorrientes a los nodos principales hasta completar el sistema de ecuaciones.

Paso 5: Solucione el sistema de ecuaciones para las corrientes de las ramas porel método algebraico de su elección.

Ejemplo Encuentre la corriente y la caída de tensión por cada uno de loselementos del circuito de la figura 2.13 mediante el método de las corrientes derama.

Solución:Primero se definen arbitrariamente el sentido de las corrientes por cada rama.

Estas se han marcado como I1, I2 e I3. Seguidamente, se definen, de formaarbitraria el sentido del recorriendo para cada trayectoria cerrada. En este caso,se aprecia que existen n=3 trayectorias incluyendo la externa, pero se usan solon�1 = 2. Véase la figura 2.15.

En el siguiente paso, se aplican la ley de Kirchhoff para los voltajes a cada unade las 2 trayectorias linealmente independientes del circuito, respetando las reglasde la figura 2.14:

ÂVolta jes 1=0

=+20�5I1 +10I3 = 0

Figura 2.14: Reglas del método de corrientes de rama

ÂVolta jes 2=0

=�8�2I2 �10I3 = 0

Seguidamente, se puede apreciar que falta una ecuación por lo que se aplica laley de las corrientes de Kirchhoff a uno de los nodos principales, en este caso seha seleccionado el nodo A.

Âcorrientes A=0

= I1 � I2 + I3 = 0

Si se ordena el sistema:

�5I1 +10I3 =�20

�2I2 �10I3 = 8


Figura 2.15: Ejemplo de corrientes de rama

I1 � I2 + I3 = 0

Matricialmente se obtiene:

24 �5 0 100 �2 �101 �1 1

3524 I1I2I3

35=

24 �2080

35 (2.17)

[R] [I] = [V ] (2.18)

El sistema se puede resolver por el método de Cramer:

I1 =

24 �20 0 108 �2 �100 �1 1

3524 �5 0 10

0 �2 �101 �1 1

35I1 =

�20⇥ [(�2)⇥1� (�10)⇥ (�1)]�0+10⇥ [8⇥ (�1)� (�2)⇥0]�5⇥ [(�2)⇥1� (�10)⇥ (�1)]�0+10⇥ [0⇥ (�1)� (�2)⇥1]

=16080

= 2

I2 =

24 �5 �20 100 8 �101 0 1

3524 �5 0 10

0 �2 �101 �1 1

35I2 =

�5⇥ [8⇥1� (�10)⇥0]� (�20)⇥ [0⇥1� (�10)⇥1]+10⇥ [0⇥0�8⇥1]�5⇥ [(�2)⇥1� (�10)⇥ (�1)]�0+10⇥ [0⇥ (�1)� (�2)⇥1]

=8080

= 1

I3 =

24 �5 0 �200 �2 81 �1 0

3524 �5 0 10

0 �2 �101 �1 1

35I3 =

�5⇥ [�2⇥0�8⇥ (�1)]�0+(�20)⇥ [0⇥ (�1)� (�2)⇥1]�5⇥ [(�2)⇥1� (�10)⇥ (�1)]�0+10⇥ [0⇥ (�1)� (�2)⇥1]

=�8080

=�1

De la solución por anterior se puede notar que:

I1 = 2A I2 = 1A I3 =�1A

Para los voltajes en cada elemento:

V1 = I1 ⇥R1 = 2⇥5 = 10V

V2 = I2 ⇥R2 = 1⇥2 = 2V

V3 = I3 ⇥R3 =�1⇥10 =�10V

El sistema se ha solucionado por un método tradicional, pero alternativamentese puede hacer uso del software computacional Octave4, aplicando la ecuación

4www.octave.org


matricial 2.19.

[R]�1 [R] [I] = [R]�1 [V ]

[I] = [R]�1 [V ] (2.19)

De la solución numérica se puede ver que:

I1 = 2A I2 = 1A I3 =�1A

El signo negativo de la corriente I3 significa que esta fue asumida erradamente,por lo que su verdadera dirección es la opuesta.

2.2.3. Método de los voltajes de nodoEl método de los voltajes de nodo requiere realizar los siguientes pasos:Paso 1: Se escoge un nodo principal como referenciaPaso 2: Se seleccionan los demás nodos principales y se aplica sobre estos

la ley de la sumas de las corrientes de Kirchhoff definiendo, arbitrariamente, elsentido de la corriente que entra o sale de los nodos.

Paso 3: Se representa cada una de las corrientes que forman parte de lasumatoria en términos de los voltajes con respecto al nodo de referencia ylas resistencias haciendo uso de la ley de Ohm. Tenga en cuenta la referenciapresentada en la figura 2.16.

Figura 2.16: Referencia para voltajes de nodo

Paso 4: Se deben obtener tantas ecuaciones como incógnitas de voltaje sedefinan en el punto anterior, por lo que se debe aplicar la ley de Kirchhoff delas corrientes a los nodos principales hasta completar el sistema de ecuaciones.

Paso 5: Solucione el sistema de ecuaciones para las los voltajes de nodos porel método algebraico de su elección.

Ejemplo Encuentre la corriente y la caída de tensión por cada uno de loselementos del circuito de la figura 2.13 mediante el método de los voltajes denodo.

Figura 2.17: Ejemplo de voltajes de nodo

Âcorrientes b=0

=�I1 + I2 � I3 = 0

Por la ley de Ohm se sabe que:

I =VR

Evaluando en la sumatoria de las corrientes:

�Va �Vb

R1+

Vb �Vc

R2� Vo �Vb

R3= 0

�20�Vb

5+

Vb �82

� 0�Vb

10= 0


�2⇥ (20�Vb)

2⇥5+

5⇥ (Vb �8)5⇥2

� �Vb

10= 0

�40�2Vb

10+

5Vb �4010

+Vb

10= 0

2Vb �40+5Vb �40+Vb

10= 0

8Vb �8010

= 0

8Vb �80 = 0

Vb = 10

Conocida Vb, se pueden encontrar las corrientes:

I1 =20�Vb

5=

20�105

= 2A

I2 =Vb �8

2=

10�82

= 1A

I3 =�Vb

10=

�1010

=�1A

I1 = 2A I2 = 1A I3 =�1A

Para los voltajes en cada elemento:

V1 = I1 ⇥R1 = 2⇥5 = 10V

V2 = I2 ⇥R2 = 1⇥2 = 2V

V3 = I3 ⇥R3 =�1⇥10 =�10V

2.3. Teoremas de circuitos

Los teoremas de circuitos, son algunas técnicas que sirven para solucionar demanera simple un circuito eléctrico fundamentadas en las leyes de Kirchhoff yde Ohm. A continuación se presenta la técnica de divisor de tensión - corriente yposteriormente dos teoremas importantes: Superposición y Thévenin.

2.3.1. Divisor de tensión y divisor de corriente

Cuando se desea hallar de manera rápida un voltaje o intensidad en undeterminado elemento de circuito, se recurre a los divisores de corriente y tensión.

2.3.1.1. Divisor de tensión

Se debe presentar un configuración especial de circuito, como la mostrada enla figura 2.18. Por ejemplo, si se desea hallar la tensión en la resistencia R3, elvoltaje se hallaría de la siguiente manera:

VR3 =R3

R1 +R2 +R3V1

Por supuesto, de existir más resistencias en serie, estas se sumarían en eldenominador.

Figura 2.18: Circuito para división de tensión.

2.3. Teoremas de circuitos 97

2.3.1.2. Divisor de corriente

Igual que el divisor de tensión, el divisor de corriente debe presentar unaconfiguración especial de circuito como el que aparece en la figura 2.19. De lafigura en cuestión, si se conoce la corriente I y se desea hallar la corriente en laresistencia R2, se hace la siguiente operación:

I2 =R1

R1 +R2I

De forma análoga se consigue la corriente I1.

Figura 2.19: Circuito para división de corriente.

2.3.2. SuperposiciónLa superposición establece que un circuito eléctrico tiene una respuesta

producto de varias fuentes de alimentación, equivalente a la suma de las respuestasindividuales de cada excitación.

Ejemplo Con los valores del cuadro 2.1, obtener los valores de tensiónmostrados en la figura 2.12, aplicando el teorema de superposición.

Para emplear el teorema de superposición, en el circuito en cuestión, se debenresolver dos circuitos donde cada uno de ellos, tiene una de sus fuentes en cero.En la figura 2.20 se contempla las tensiones e intensidades del circuito aplicandoel teorema de superposición y en el cuadro 2.3 se observa la suma algebraica devariables en los elementos para conseguir los resultado esperados, es decir, lascantidades mostradas en la figura 2.12 y el cuadro 2.2.

En el cuadro 2.3 se exhiben términos con signo negativo, debido esto a lapolaridad en las tensiones o a la dirección de circulación de las corrientes.

Figura 2.20: a) Circuito con fuente de 5 V. b) Circuito con fuente de 10 V.

Circuito IR1 IR2 IR3 VR1 VR2 VR3

a) �174mA 65mA �109mA �1,74V 3,26V �3,26Vb) 217mA 44mA 261mA 2,17V 2,17V 7,82V

Total 43mA 109mA 152mA 0,43V 5,43V 4,56V

Cuadro 2.3: Resultados aplicación teorema de superposición de la figura 2.20.

2.3.3. Teorema de Thévenin

El equivalente de Thévenin es una técnica para simplificar un circuito desde elpunto de vista de una carga5 cualquiera. Se deben hallar dos elementos principalesen este teorema: la resistencia y el voltaje de Thévenin respectivamente, vistosdesde la carga en estudio, para luego formar un simple circuito serial de tensión yresistencia de Thévenin y la carga respectiva.

5Se debe entender carga como un elemento consumidor de energía eléctrica como unaresistencia, un motor, una lámpara, etc.

2.3. Teoremas de circuitos 99

Ejemplo Para el circuito de la figura 2.21, hallar su equivalente de Thévenin.

Figura 2.21: Circuito para desarrollo por Thévenin

Como se observa en la figura, se rotulan dos terminales como a y b, dentrode estos se encuentra la resistencia R2. Como primer paso se desconecta estaresistencia, se cancelan las fuentes de voltaje y se encuentra la resistenciaequivalente o resistencia de Thévenin, como aparece en la figura 2.22.

Figura 2.22: Resistencia de Thévenin

De la figura 2.22 se puede deducir que las dos resistencias forman un paraleloentre ellas al compartir la misma tensión; entonces la resistencia de Thévenin es:

RT h =R1R3

R1 +R3(2.20)

Ahora se calcula el voltaje de Thévenin o voltaje equivalente para los puntosa y b. Para ello se puede recurrir al teorema de superposición, es decir, hallarla tensión causada por cada fuente y luego sumarlas. La figura 2.23 muestra elcircuito.

Figura 2.23: Voltaje de Thévenin

VT h =R3

R1 +R3V1 +

R1

R1 +R3V2 (2.21)

La figura 2.24 muestra el circuito equivalente de Thévenin.

Figura 2.24: Circuito equivalente de Thévenin


Siguiendo con los valores de los ejercicios anteriores (cuadro 2.1) se halla que:

VT h = 6,25V

RT h = 7,5W

Entonces la corriente para el circuito de la figura 2.24 y la tensión en laresistencia R2 es:

IR2 = 109mA

VR2 = 5,43V

Resultados idénticos a los obtenidos anteriormente, pero utilizando el circuitoequivalente de Thévenin.

2.4. Ejercicios propuestos

1. Qué tiempo debe transcurrir para que el condensador de la figura 2.25 estéal 50% de la carga máxima luego de cerrar el interruptor.

Figura 2.25: Circuito del ejercicio 1

2. Realice el gráfico utilizando Octave, del comportamiento de la carga y lacorriente en el circuito de la figura 2.25.

3. Determine la corriente y la tensión en la resistencia R2.

Figura 2.26: Circuito ejercicio 3

4. Encuentre las magnitudes de tensión y corriente presentes en la resistenciaR7 de la figura 2.27.


Figura 2.27: Circuito ejercicio 4

5. Simplifique gráficamente el circuito de la figura 2.31, suponiendo que todaslas fuentos son conductores.

6. Encuentre la resistencia equivalente del circuito de la figura 2.28.

Figura 2.28: Resistencia equivalente del ejercicio 6

7. Si se conoce que la corriente en el amperímetro A2 vale 125mA, por mediodel divisor de corriente determine la corriente en el amperímetro A1.

Figura 2.29: Circuito divisor de corriente

8. De acuerdo a la figura 2.30, encuentre las corrientes por cada resistencia, lacaída de tensión y la potencia en estas mediante los métodos de:

a) Corrientes de rama

b) Corrientes de malla


Figura 2.30: Ejercicio propuesto por todos los métodos descritos

c) Voltajes de nodo

d) Presente los datos en forma de tablas.

9. De acuerdo al circuito de la figura 2.31, mediante el empleo del teorema desuperposición, encuentre el voltaje para la resistencia 5 (R5).

10. Con los datos de la figura 2.31, halle el modelo equivalente de Thévenin,referido a los puntos a y b.

11. Halle el voltaje en la resistencia R2 del circuito de la figura 2.32, utilizandola superposición.

12. Para el ejercicio de la figura 2.32, averigüe el equivalente de Théveninrespecto a los puntos a y b.

13. De acuerdo a la figura 2.33, encuentre la corriente que marca el amperímetroA1.



Figura 2.33: Circuito estacionario con alimentación cc

Capítulo 3

Circuitos de corriente alterna

3.1. La corriente alternaLa corriente alterna, la cual se abrevia como CA en español y AC1 en inglés, es

aquella en la que la magnitud y polaridad varían de forma periódica. La forma deonda de la corriente alterna más común es la forma sinusoidal, ya que se encuentraen todos los sistemas de suministro y producción de energía eléctrica. Existenotras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada las cualesson ampliamente utilizadas en la electrónica. La figura 3.1 ilustra la forma básicade las señales alternas mencionadas.

Figura 3.1: Señales alternas más comúnmente utilizadas

Nótese que es necesario que la señal invierta su dirección, ya que de locontrario resultaría pulsante, pero no alterna. La figura 3.2 muestra algunas formas

1AC Alternating Current

109

de señales pulsantes de corriente directa, que ha primera vista podrían confundirsecomo alternas.

Figura 3.2: Señales pulsantes de corriente directa (No Alterna)

3.1.1. Definición e historiaEn los inicios de siglo XIX Alessandro Volta2 presentó su pila voltaica, la cual

fue durante más de 50 años la única fuente de corriente eléctrica. Las baterías de-rivadas de la pila voltaica alimentaron la primera industria eléctrica con aparatostales como el incipiente telégrafo. La unidad de diferencia de potencial eléctricodel Sistema Internacional de Unidades lleva el nombre de volt en su honor desdeel año 1881. Las baterías eléctricas eran complicadas, costosas y de exigente man-tenimiento. Las ideas de Michael Faraday3, en 1831, condujeron a la creación deldínamo, el cual era utilizado en alimentación de lámparas de arco para alumbra-do. El generador reemplazó a las baterías en procesos de galvanizado4, procesofundamental en la revolución industrial.

Después de la Exposición Mundial de París en 1881 y de la presentación de lalámpara de Thomas Alva Edison5, los nuevos sistemas de iluminación eléctricosse convirtieron en el logro tecnológico más importante del mundo. La electrici-dad podía reemplazar las máquinas de vapor para hacer funcionar los motores de

2Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (18 de febrero de 1745 – 5 de marzo de 1827)3Michael Faraday, FRS, (Newington, 22 de septiembre de 1791 - Londres, 25 de agosto de

1867)4Galvanizado es el proceso electroquímico mediante el cual se cubre un metal con otro tal

como oro o plata5Thomas Alva Edison (Milan, Ohio, el 11 de febrero de 1847 – West Orange, Nueva Jersey, 18

de octubre de 1931)

3.1. La corriente alterna 111

las fábricas. La primera central generadora fue establecida por Edison en 1882 através de su compañía General Electric en Nueva York, pero su generador era decorriente continua. La demanda de más electricidad requería que esta se llevaracada vez más lejos, pero la corriente continua presentaba problemas para llevarlaya que gran parte de la energía suministrada se consumía en los conductores o serequería un diámetro importante de alambre conductor para disminuir la resisten-cia de este.

En 1886, George Westinghouse6, fundó Westinghouse Electric para competircon Edison. El sistema de la primera se basó en los descubrimientos y laspatentes de Nikola Tesla7, quien afirmaba que las pérdidas en la transmisión dela electricidad dependían de la posibilidad de manejar las corrientes y voltajesuministrado antes de llegar a su destino. En 1888, el motor bifásico de corrientealterna es inventado por Nikola Tesla y perfeccionado posteriormente por Dolivo-Dobrovolski, quien introdujo el motor asincrónico trifásico en 1889. Con esto seabrió la posibilidad de utilizar la energía transmitida en corriente alterna no sólopara el alumbrado, sino que también para la transformación industrial de la energíaeléctrica en energía mecánica.

Como se sabe la potencia está dada por la ecuación 3.1:

P =V ⇥ I (3.1)

Por otro lado, la ley de Ohm enuncia en su forma básica lo presentado en laecuación 3.4:

V = I ⇥R (3.2)

De la ecuaciones 3.1 y 3.2 se puede obtener la ecuación 3.3 que muestra lapotencia consumida en la línea en forma de pérdida. Esta es función de la corrientey la resistencia de la línea. Existen dos formas básicas de disminuir la pérdida, unaes mediante la reducción de la resistencia de la línea o disminuyendo la corrienteque circula por esta. Una reducción sobre la corriente tiene más efecto sobre lareducción de la pérdida ya que esta es cuadrática.

Plinea = I2 ⇥Rlinea (3.3)

6George Westinghouse, Jr. (Nueva York, 6 de octubre de 1846-id., 12 de marzo de 1914)7Nikola Tesla (Smiljan -hoy Croacia-, 10 de julio de 1856 – Nueva York, 7 de enero de 1943)

La potencia que llega a la carga es la diferencia entre la potencia entregada porel generador y la perdida en la linea. Si la corriente en la línea es grande, la pérdidatambién lo es. La figura 3.3 corresponde a un sistema elemental de transmisión deenergía eléctrica a gran distancia. En un modelo real de la línea de transmisióny el transformador, se deben hacer consideraciones de capacitancia e inductanciaque se han dejado fuera de esta simple ilustración pero que deben ser tenidas encuenta en un análisis detallado del modelo.

Figura 3.3: Sistema elemental del proceso de transformación de la energíaeléctrica

La ecuación 3.4 muestra la potencia efectiva que recibe la carga, que es ladiferencia entre lo generado y lo perdido en la línea de transmisión.

PCarga = PGenerador �PLinea=PGenerador � I2 ⇥Rlinea (3.4)

3.1.2. El transformador IdealEl transformador es una de las denominadas máquinas eléctricas. Esta permite

aumentar o disminuir el voltaje o la corriente en un circuito eléctrico de corrientealterna, fundamentado en la ley de inducción de Faraday. Se construye realizando,como mínimo, dos grupos de vueltas de alambre, usualmente físicamentedesconectas, las cuales comparten el flujo magnético entre ellas. La potencia queentra al primer devanado (grupo de espiras), es igual a la que se recibe a la salidadel segundo devanado. Los transformadores reales tienen pérdidas, que varíandependiendo de los criterios de diseño. La figura 3.4 ilustra el modelo ideal deltransformador.


Figura 3.4: Modelo ideal del transformador

El funcionamiento del transformador se basa en la ley de inducción de Faradaypresentada en la ecuación 3.5, donde N es el número de espiras del devanado y fel flujo magnético que le cruza :

V =�Ndfdt

(3.5)

Si la energía entre los dos devanados del transformador se conserva y teniendoen cuenta la ecuación 3.1, entonces la potencia de cada uno de los devanados esigual a:

P1 =V1 ⇥ I1 (3.6)

P2 =V2 ⇥ I2 (3.7)

Igualando 3.6 y 3.7:

V1 ⇥ I1 =V2 ⇥ I2

De allí resulta la ecuación 3.8 que relaciona los voltajes y corrientes en loslados primario y secundario de un transformador ideal.

V1

V2=

I2

I1(3.8)

Seguidamente, y aplicando la definición 3.8, y notando que el flujo magnéticof entre los devanados del transformador es igual entre estos:

f1 = f2 = f

V1 =�N1df1

dtV2 =�N2

df2

dt

V1 =�N1dfdt

V2 =�N2dfdt

(3.9)


�N1dfdt

�N2dfdt

=I2

I1

Lo que lleva a la relación 3.10:

N1

N2=

I2

I1(3.10)

Finalmente se tiene la ecuación 3.11 que relaciona, de manera ideal, el voltajeV , el número de espiras N de cada devanado y la corriente I:

V1

V2=

N1

N2=

I2

I1(3.11)

Se debe recordar que para un transformador ideal se cumple la ecuación 3.11.La figura 3.5 presenta la disposición de un transformador ideal, correspondiente alos utilizados en el sistema de transmisión de la figura 3.3.

El voltaje se puede elevar mediante un transformador de tensión, lo quedisminuye la corriente, haciendo más eficiente el transporte de energía a largasdistancias con pocas pérdidas en la línea en forma de calor. Antes de entregar laenergía a los usuarios finales, el voltaje se debe reducir a los niveles requeridos.La figura 3.68 representa un modelo de sistema eléctrico desde su producciónhasta los consumidores finales: industria y hogares. Inicialmente la energía salede la planta generadora (1), seguidamente el voltaje es elevado en una estación (2)

8Imagen tomada de http://www.we-energies.com/powerquality/powerdelivery.htm el 15 deJulio de 2012


Figura 3.5: Transformador ideal

a grandes tensiones del orden de las centenas de miles del volts, posteriormentepasa por las líneas de transmisión a lo largo de grandes distancias (3) hasta llegara una estación (4) que nuevamente le disminuye a tensiones de decenas (o menos)de miles de volts para manejar la distribución en las ciudades o en la zona rural(5) hasta el usuario final (6) quien la usa a valores de tensión de tan sólo algunasdecenas de volts con la ayuda de los transformadores de baja tensión.

Figura 3.6: Proceso de generación y transmisión de energía

Conceptualmente transformar el voltaje al elevarlo o reducirlo, no afecta lapotencia, es decir, con cualquier nivel de voltaje se puede entregar la mismacantidad de energía. Como la energía permanece constante, al elevar el voltaje lacorriente disminuye en la misma proporción. Este proceso se realiza procurandolas mínimas pérdidas por la transmisión.

Figura 3.7: Sistema elemental del proceso de transformación de la energíaeléctrica sin transformadores

3.1.3. Fundamento Teórico de la corriente alterna

La corriente y el voltaje que se deben estudiar, cuando se refieren a señalesalternas, son de la forma entregada en la ecuación 3.12:

I = I0cos(wt +f) (3.12)

V =V0cos(wt +f) (3.13)

La figura 3.8 muestra la forma básica de la señal que se produce en ungenerador de corriente alterna. Esta gráfica es función de tiempo. No siempreel voltaje y la corriente se encuentran en fase; posteriormente se evaluarán estoscasos.

Un generador de corriente alterna hace que la corriente cambie de sentidoperiódicamente con el tiempo. El principio de operación de los generadores decorriente alterna sinusoidal se fundamenta en la ley de inducción de Faraday, lacual afirma que si se hace girar a un circuito cerrado en presencia de un campomagnético, en este se produce una variación del flujo que lo atraviesa, lo queinduce una voltaje que es proporcional al cambio del flujo magnético. La ecuación3.14 presenta la ley de inducción de Faraday en su forma integral.

v =I

c

�!E .

�!dl =�dfB

dtdonde fB =

Z �!B .

�!dA (3.14)


Figura 3.8: Forma de onda sinusoidal del generador de corriente alterna

Heinrich Lenz9 comprobó que la corriente debida a la fuerza electromotrizinducida se opone al cambio de flujo magnético, de forma tal que la corrientetiende a mantener el flujo. Esto es válido tanto para el caso en que la intensidaddel flujo varíe, o que el cuerpo conductor se mueva respecto de él. Si se analiza elflujo magnético de acuerdo a la ecuación 3.14, se puede transformar a partir de sudefinición en 3.15:

fB =Z �!

B .�!dA = B⇥A⇥ cos(q) (3.15)

En la figura 3.9,�!B representa la intensidad de campo magnético y

�!A el

área de la espira, definida como circuito, a través de la cual cruzan las líneasde flujo produciendo un flujo fB, q es la posición angular formada entre el campomagnético

�!B y el vector

�!A normal a la espira. Si la posición angular se hace

variar en el tiempo rotando al espira a una rapidez angular w partiendo desde unaposición inicial f , entonces se obtiene:

q = wt +f (3.16)

9Heinrich Friedrich Emil Lenz (12 de febrero de 1804 - 10 de febrero de 1865)

Figura 3.9: Presentación del flujo magnético de una espira

Seguidamente, evaluando la ecuación 3.16 en 3.15 se consigue la ecuación3.17:

fB =Z �!

B .�!dA = B⇥A⇥ cos(wt +f) (3.17)

Si se hace girar la espira en presencia de un campo magnético constante, comose muestra en el montaje ilustrado en la figura 3.10, se produce la forma de ondade la corriente dada en la figura 3.11.

Como el voltaje inducido depende de la derivada del flujo magnético, estase debe calcular con respecto al tiempo mediante la ecuación 3.17 a partir de ladefinición de la ley de Faraday mostrada en 3.14.

v =�dfB

dt=�d(B⇥A⇥ cos(wt +f))

dt=�(B⇥A⇥w ⇥ (�sin(wt +f)))

v =�dfB

dt= B⇥A⇥w ⇥ sin(wt +f)

v = B⇥A⇥w ⇥ sin(wt +f) (3.18)

Si se evalúa el valor de voltaje inducido para la posición 1, considerando que


Figura 3.10: Generador básico de corriente alterna

el ángulo q entre el campo�!B y el vector

�!A área es cero (0), entonces el voltaje

inducido es V = 0 como se presenta en la ecuación 3.20.

q = wt +f = 0

v = B⇥A⇥w ⇥ sin(0) = 0 (3.19)

Seguidamente, evaluando en la posición 2, considerando que el ángulo qentre el campo

�!B y el vector

�!A área es noventa grados (90), entonces el

voltaje inducido es V = B⇥A⇥w como se muestra en la ecuación 3.20 el cualcorresponde al valor máximo de la inducción.

q = wt +f = 90

v = B⇥A⇥w ⇥ sin(90) = B⇥A⇥w (3.20)

Figura 3.11: Proceso de generación de la forma de onda Sinusoidal con respectoal flujo

La ecuación 3.20 presenta la expresión alterna para la determinación delvoltaje inducido por la implementación de la figura 3.10.

3.1.4. Valor PicoEste resulta ser el valor máximo que puede tomar la señal. Para una señal

sinusoidal corresponde a su amplitud y suele utilizarse su magnitud. Véase lafigura 3.12. Si la señal es de la forma presentada en la ecuación 3.21, entonces elvalor Pico está dado por 3.22:

V =V0sin(wt +f) (3.21)

VPico =V0 (3.22)

3.1.5. Valor Pico PicoCorresponde al doble de valor del Pico, es decir dos veces el valor de la

amplitud máxima de la señal sinusoidal.

VPico�Pico = 2VPico (3.23)


3.1.6. Valor Promedio

Se interpreta como el área bajo la curva respecto a un período completo dela señal. El valor promedio se puede interpretar como la componente de continuade la onda sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje deabscisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclopositivo es idéntico al negativo, su valor promedio es cero, por eso el valor mediode una onda con simetría impar se refiere a un semiciclo. Mediante la ecuación3.24 se puede determinar el valor promedio de una señal de voltaje discreta :

VPromedio =1n

n

Âk=1

Vk =V1 +V2 +V3...+Vn�1 +Vn

n(3.24)

Si la señal es continua para todo V (t), entonces se puede calcular su promedioa través de la ecuación 3.25:

VPromedio =1T

Z T

0V (t)dt (3.25)

Ejercicio Determine el valor promedio de una señal de voltaje sinusoidal dadapor la función V (t) = 1 Sin(1 t)V mediante las ecuaciones 3.24 y 3.27.

Análisis

Primero se debe notar que el cálculo del promedio debe realizarse sobre lamitad del período de la señal puesto que de otra forma este daría cero (0) porla simetría de la onda. Si se toman n = 20 muestras, entonces la función debeevaluarse cada cierto tiempo t :

t =T

2⇤n=

2p2⇤20

= 0,1571s

Figura 3.12: Gráfica de la función seno del problema del cálculo de valor Pico,Promedio y RMS

Utilizando una hoja de cálculo, como se aprecia en el cuadro 3.1, y aplicandola ecuación 3.24 se obtiene el resultado en la ecuación 3.26:

VPromedio =1n

n

Âk=1

Vk =0+0,1564+0,3090+0,4540...+0,3090+0,1564

20

VPromedio =1n

n

Âk=1

Vk =12,7062

20= 0,6353V (3.26)

Seguidamente, aplicando la defección de la integral para el valor promedio dela señal:

VPromedio =1T2

Z T2

0V (t)dt =

12p2

Z 2p2

01 Sin(1 t)dt =

1p

Z p

0Sin(t)dt (3.27)


Cuadro 3.1: Cálculo discreto de valor promedio de una señal sinusoidal

VPromedio =1p[�cos(t)]p0 =

1p[�Cos(p)� (�Cos(0))]

VPromedio =1p[�(�1)� (�1)] =

1p[1+1] =

2p

Finalmente, la ecuación 3.28 presenta el valor de Voltaje promedio de la señalsinusoidal de ejemplo dado:

VPromedio =2p= 0,6366V (3.28)

Nótese que los resultados obtenidos mediante el cálculo discreto 3.26 y elcontinuo 3.28 difieren levemente, debido a la cantidad de puntos tomados enla evaluación discreta. Se recomienda, siempre que sea posible, hacer uso de la

expresión continua ya que esta toma infinitos puntos para la evaluación.

3.1.7. Valor Eficaz o Valor RMSSe llama valor eficaz de un tensión alterna, al valor que tendría una tensión

continua que produjera la misma potencia que dicha tensión alterna, al aplicarlasobre una misma resistencia. El valor cuadrático medio o RMS es una medidaestadística de la magnitud de una cantidad variable la cual puede calcularsepara una serie de valores discretos o para una función de variable continua.La expresión 3.29 presenta la manera en que debe calcularse el Valor Eficaz oValor RMS (Root Mean Square) para valores discretos. La gráfica 3.13 ilustra laequivalencia entre la energía radiada por por un circuito de corriente alterna y unode corriente continua para la determinación del valor.

Figura 3.13: Equivalencia rms de alterna a continua

Vrms =

s1n

n

Âk=1

V 2k =

sV 2

1 +V 22 +V 2

3 ...+V 2n�1 +V 2

n

n(3.29)

Este mismo procedimiento se puede determinar de manera continua para unafunción V (t) a través de la integral, la cual se define mediante la expresión


mostrada en la ecuación 3.30:

Vrms =

s1T

Z T

0V (t)2dt (3.30)

Ejercicio Determine el valor rms de una señal de voltaje sinusoidal dada por lafunción V (t) = 1Sin(1t)V mediante la ecuación 3.29 y utilizando la integral 3.27.

AnálisisPara resolver el problema a través de la definición 3.29, se debe construir la

tabla que se muestra en el cuadro 3.2. Este calcula los valores discretos en unintervalo de tiempo t. Se ha seleccionado un valor n = 20 de muestras discretasy se se calcula el periodo de la señal Sinusoidal el cual, para este caso, es deT = 2p s, por lo que cada paso en la evaluación del tiempo es:

t =Tn=

2p20

= 0,3142s

Nuevamente, este desarrollo fue realizado en una hoja de cálculo. Aplicandola ecuación 3.26 se obtiene:

Vrms =

s1n

n

Âk=1

V 2k =

r0+0,30902 +0,58782 +0,80902...+(�0,5878)2 +(�0,3090)2

20

Vrms =

s1n

n

Âk=1

V 2k =

r1020

=

r12=

p2

2= 0,7071V (3.31)

Este mismo problema puede ser resulto aplicando la definición de la ecuación3.32:

Vrms =

s1T

Z T

0V (t)2dt =

s1

2p

Z 2p

0(1 Sin(1 t))2dt (3.32)

Vrms =

s1

2p

Z 2p

0(Sin(t))2dt (3.33)

Para resolver la integral, se debe aplicar la identidad 3.36 que resulta deldesarrollo de la expresión del ángulo doble y la identidad fundamental de latrigonometría (ecu. 3.34) :

Cuadro 3.2: Cálculo discreto de valor rms de una señal sandial

Cos(2q) =Cos(q +q) =CosqCosq �SinqSinq

Cos(2q) =Cos2q �Sin2q

Sin2q +Cos2q = 1 (3.34)

Cos2q = 1�Sin2q

Cos(2q) = 1�Sin2q �Sin2q

Cos(2q) = 1�2⇤Sin2q

Sin2q =1�Cos(2q)

2(3.35)

3.2. Análisis de la Señal Sinusoidal 127

De esta forma, la integral resultante es la mostrada en la ecuación 3.36:

2pZ0

Sin2t dt =2pZ0

1�Cos(2t)

2

�dt (3.36)

2pZ0

Sin2t dt =2pZ0

12

dt �2pZ0

Cos(2t)2

dt

2pZ0

Sin2t dt =

t2� 1

2⇥2Sin(2t)

�2p

0=

2p2

= p (3.37)

El resultado de la integral 3.37 se evalúa en la ecuación 3.33, obteniendo elvalor dado en 3.38:

Vrms =

r1

2p(p) =

r12= 0,7071V (3.38)

El cuadro 3.3 resume los valores pico, promedio y eficaces de algunasforma de onda comunes. Este cuadro es el resultado del tratamiento numéricoanteriormente mencionado (que se ha obviado).

Forma de Onda Valor Pico Valor Promedio Valor Eficaz

Seno Vp2Vpp

Vpp2

Cuadrada Vp Vp Vp

Diente de Cierra VpVp2

Vpp3

Cuadro 3.3: Resumen de valores pico, promedio y eficaz de algunas formas deonda

3.2. Análisis de la Señal Sinusoidal

3.3. FasoresAunque ni el voltaje ni la corriente son vectores, estos se pueden representar

mediante vectores denominados fasores. Los fasores se utilizan habitualmenteen el análisis de circuitos en AC puesto que simplifican de manera importante

su tratamiento. Los fasores permiten determinar la superposición de señalessinusoidales de igual frecuencia las cuales pueden tener diferente amplitud yfase. Si las señales superpuestas no son de la misma frecuencia f , no se puedegarantizar que su resultante sea de la forma sinusoidal, por lo que el modelo delanálisis fasorial, en primera instancia, obliga a cumplir este criterio.

Figura 3.14: Definición de fasor

Si se analiza la figura 3.14, puede notarse que la función Sinusoidal es elresultado de la descripción de un vector que rota a una rapidez angular w , el cualparte su giro desde la posición angular f . De esta forma, la posición q del vectorpara cada instante se puede expresar con la ayuda de la ecuación de movimientorotacional uniforme presentada en 3.39:

q = qo +wt

Si se redefine a qo= fq = wt +f (3.39)

De la trigonometría fundamental, se puede considerar que la posición en (x,y)está dada por las ecuaciones 3.40 y 3.41 que son las formas fundamentales de laseñales generadas en la corriente alterna.

x(t) = r cosq

3.3. Fasores 129

x(t) = r cos(wt +f) (3.40)

y(t) = rsinq

y(t) = r sin(wt +f) (3.41)

Figura 3.15: función sinusoidal para el fasor

Para una vuelta completa puede observarse que:

2p = wT

T =2pw

s

La frecuencia f y el periodo T están relacionados a través de la ecuación 3.42:

f =1T

(3.42)

f =1

2pw

f =w2p

Hz

Por otro lado, la rapidez angular se expresa mediante la ecuación 3.43:

w = 2p fRad

s(3.43)

3.3.1. Representación compleja de una función sinusoidalLa fórmula de Euler10 entrega una importante relación entre el análisis

matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejosen coordenadas polares. Esta se establece mediante la ecuación 3.44 donde j =p�1, aunque la demostración de esta expresión está fuera del alcance de este

trabajo.

r eq j = rCosq + r Sinq j (3.44)

La igualdad posee una parte que es claramente real y una parte imaginaria.En la figura 3.16 se puede ver la representación del planteamiento de Euler en elplano.

r eq j = r [Cosq +Sinq j] = rCosq + r Sinq j = Real + Imaginario j (3.45)

Tomando solo la parte real de la fórmula de Euler, se obtiene:

Realn

r eq jo= Real {rCosq + r Sinq j}= rCosq (3.46)

Si se evalúa 3.39 en 3.46:

Realn

r e(wt+f) jo= rCos(wt +f) (3.47)

10Leonhard Paul Euler ( 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, 18 de septiembre de 1783 SanPetersburgo, Rusia)

3.3. Fasores 131

Figura 3.16: Representación de Euler en el plano

De la ecuación 3.48 se puede verificar que la parte real de lafórmula de Euler, es claramente de la misma forma de onda de laseñal fundamental de los sistemas de corriente alterna. La formaexponencial de la ecuación de Euler, resulta más adecuada para eltratamiento de los sistemas de corriente alterna, ya que su álgebra essimple y se limita al manejo de los números complejos en cualquierade sus formas (exponencial o binomial).

Realn

r e(wt+f) jo= Real

nr e(wt) je(f) j

o= Real

nr e(f) j e(wt) j

o= rCos(wt +f)

(3.48)

Realn(r e(f) j)e(wt) j

o= Real

nF e(wt) j

o= rCos(wt +f) (3.49)

Donde F se define como el fasor y se representa abreviadamente como semuestra en la ecuación 3.50:

F = r e(f) j = r\f (3.50)

Ejercicio Represente fasorialmente la siguientes funciones:

a) i(t) = 30Cos(4t +45)Solución:i(t) = 30Cos(4t +45o)�! i(t) = 30\45o

b) v(t) = 3Sin(2t)Solución:Aplicando la identidad Sin(q) =Cos(q �90) se obtiene:v(t) = 3Sin(2t) = 3Cos(2t �90o)�! v(t) = 3\�90

3.3.2. Representación de números complejosLos números complejos son de suma importancia en el análisis de estado

permanente sinusoidal de circuitos, por lo que resulta relevante describir lasdiferentes formas en las cuales estos se pueden representar. Para ampliar el manejode los números complejos, debe referirse el anexo B: Números complejos.

3.3.2.1. Forma compleja binomial

En su forma binómica un número complejo se debe representar a través de unaparte real y una imaginaria como se ilustra en la ecuación 3.51:

Z = a+b j (3.51)

Dondea es la parte real , b es la cantidad imaginaria y j =p�1.

Ejemplos:

Z1 = 1+p

3 j

Z2 = 3 j

3.3.2.2. Forma compleja trigonométrica

La forma trigonométrica puede obtenerse fácilmente mediante la determina-ción del ángulo q y la magnitud r de fasor en la ecuación 3.52:

Z = rCosq + r Sinq j (3.52)

Donde r =p

a2 +b2 y q = Tang�1✓

ba

◆Ejemplos:

3.4. Impedancia compleja 133

Z1 = 2Cos30+2 sin30 j

Z2 = 3Cos90+3 sin90 j

3.3.2.3. Forma compleja exponencial

Esta resulta ser la forma más natural de expresar un fasor, ya que es laexpresión de la fórmula de Euler. La ecuación 3.53 muestra la forma exponencialde un número complejo:

Z = r eq j (3.53)

Ejemplos:

Z1 = 2e30 j = 2\30

Z2 = 3e90 j = 3\90

3.4. Impedancia compleja

La impedancia se puede definir como la propiedad que tiene un elementode circuito para limitar el paso de la corriente alterna. Usualmente se le llamaimpedancia compleja ya que esta puede constar de una parte real R, que resulta seresencialmente resistiva, y una imaginaria X j , de naturaleza capacitiva o inductiva(Véase la ecuación 3.54.). La parte real R de la impedancia recibe el nombre deresistencia y la imaginaria el de reactancia X j. El valor de la impedancia dependede la frecuencia de la excitación afectando la componente reactiva; esto se analizaen el presente capítulo. La impedancia se mide en Ohms.

Z = R+X j (3.54)

Cada elemento de circuito tiene una expresión asociada, la cual deberepresentarse de manera fasorial a través de su correspondiente transformación.A continuación se analizan cada uno de los elementos básicos de circuito consu transformación fasorial que permite el análisis sinusoidal de estado estable enfrecuencia.

3.4.1. Impedancia del ResistorComo ya se ha definido, la caída de tensión en una resistencia se puede

expresar a través de la ley básica de Ohm que se presenta en 3.55:

v(t)R = R i(t)R �! vR = ZRiR (3.55)

Si la corriente que circula por la resistencia es de forma sinusoidal, comola presentada en la ecuación 3.12, entonces su transformación fasorial se puedelograr de forma simple.

i(t)R = I0cos(wt +f)�! i(t)R = Realn

I0 e(wt+f) jo

(3.56)

Por simplicidad no se escribirá más Real { }. Se deja implícito que estaexpresión se refiere a la parte real de la ecuación 3.56, por lo que esta se transformaen 3.57:

i(t) =n

I0 e(wt+f) jo

(3.57)

v(t)R = Rn

I0 e(wt+f) jo�! v(t)R = ZRiR (3.58)

si se comparan los términos en las ecuaciones 3.58, se descubre que:

ZR = R

3.4.2. Impedancia del InductorLa reactancia inductiva puede ser calculada a partir de la definición de su caída

de tensión como se ilustra en la ecuación 3.59.

v(t)L = Ldi(t)

dt�! v(t)L = ZLiL (3.59)

Si se evalúa la corriente en su forma exponencial en la expresión 3.57 en laecuación 3.59 y luego se deriva:

v(t)L = Ldi(

nI0 e(wt+f) j

o)

dt= L(I0 e(wt+f) j)( jw)

v(t)L = ( jwL) (I0 e(wt+f) j)�! v(t)L = ZLiL (3.60)

3.4. Impedancia compleja 135

Si se compara en la ecuación 3.60, se descubre que:

ZL = jwL (3.61)

3.4.3. Impedancia del CondensadorPor definición, la caída de tensión en un condensador está dada por la ecuación

3.62.

v(t)c =Q(t)

C�! v(t)C = ZCiC (3.62)

Si se despeja la carga Q de la definición de la corriente en 3.63 y se evalúa en3.62.

i(t) =dQdt

�! Q =Z

i(t)dt (3.63)

La caída de tensión se transforma en 3.64:

v(t)c =1C

Zi(t)dt (3.64)

Posteriormente, evaluando la forma de la corriente fasorial 3.57 en 3.64 eintegrando la expresión:

v(t)c =1C

Z hI0 e(wt+f) j

idt =

I0

C

Z he(wt+f) j

idt

La integral se puede tratar mediante la sustitución:

u = (wt +f) j �! du = jwdt

1w

Z[eu]du =

1w

eu =1jw

e(wt+f) j

Finalmente, la integral dada resulta:

v(t)c =I0

C1jw

e(wt+f) j

v(t)c =1

jwCI0e(wt+f) j �! v(t)C = ZCiC (3.65)

Si se compara la ecuación 3.65, resulta que:

Zc =1

jwC(3.66)

3.4.4. Resumen de equivalencias fasorialesLos resultados anteriores se pueden presentar de forma simple mediante sus

equivalentes complejos como se aprecian en el cuadro 3.4.

Elemento Variable(s) Binomial FasorialResistencia R ZR = R ZR = R\0o

Inductancia L ZL = wL j ZL = wL\90o

Capacitancia C ZC = 1wC j =� 1

wC j ZC = 1wC\�90o

Fuente v(t) =V0Cos(wt +f) V0 cosf +V0 sinf j v =V0\f

Cuadro 3.4: Resumen de Impedancias

Importante: Cuando se trabaja con las fuentes en su representación fasorial obinomial, es de notar que el valor utilizado es el valor RMS. Por simplicidad, seasume que los valores expresados en este curso ya están en su equivalente RMSpara las fuentes sinusoudales (Vo = V pp

2).

3.4.5. Resumen de operaciones complejas y fasoriales básicasEl cuadro 3.5 presenta un resumen de las operaciones básicas necesarias para

el tratamiento de las cantidades fasoriales.

Operación Básica Procedimiento de CálculoSuma (A+B j)+(C+D j) = (A+C)+(B+D) jResta (A+B j)� (C+D j) = (A�C)+(B�D) j

Multiplicación A\f B\q = A⇥B\(f +q)División A\f

B\q = AB\(f �q)

Binomial a Fasorial A+B j =p

A2 +B2tan�1\(BA)

Fasorial a Binomial A\f = A⇥Cos(f)+A⇥Sin(f) jInverso 1

A+B j =A

A2+B2 � BA2+B2 j

Cuadro 3.5: Resumen operaciones fasoriales

3.5. Asociación de Impedancias Fasoriales 137

Para mayor información sobre las operaciones con números complejos encualquiera de sus formas, se recomienda referirse al Anexo B: Números Complejosal final de este libro.

3.5. Asociación de Impedancias FasorialesLas impedancias fasoriales, se pueden asociar de forma similar como se hace

con las resistencias.

3.5.1. Asociación serieLa figura 3.17 presenta la conexión en serie de diferentes impedancias. En

la ecuación 3.67 se muestra la posible asociación serie de la impedancias y suequivalencia.

ZEqui = Z1 +Z2 + ...Zn (3.67)

En general:

n

Âk=1

Zk

Figura 3.17: Conexión de impedancias en serie

Ejercicio Se tienen una resistencia de 3W , una inductancia de 2H y uncondensador de 0,5F conectados en serie a través de una fuente que de frecuenciaw = 2 Rad/s. Determine la impedancia equivalente.

Solución:Las impedancias de cada elemento se pueden determinar aplicando lo definido

en el cuadro 3.4.

ZR = R = 3W

ZL = jwL = j(2)(2) = 4 j W

ZC =� 1wC

j =� 1(0,5)(2)

j =�1 j W

ZEqui = ZR +ZL +ZC

ZEqui = 3+4 j+(�1 j) = 3+3 jW

3.5.2. Asociación paraleloLa figura 3.18 ilustra la conexión de impedancias en paralelo y en la expresión

3.68 su valor equivalente.

1ZEqui

=1Z1

+1Z2

+ ...1Zn

(3.68)

1ZEqui

=n

Âk=1

1Zk

(3.69)

Figura 3.18: Conexión de impedancias en paralelo

Ejercicio Se tienen una resistencia de 3W, una inductancia de 2H y uncondensador de 0,5F conectados en paralelo a través de una fuente que de

3.6. Asociación de fuentes sinusoidales 139

frecuencia w = 2 Rad/s. Determine la impedancia equivalente.

Solución:

De igual forma que en el ejemplo anterior, las impedancias de cada elementose pueden determinar aplicando lo definido en la tabla 3.4.

ZR = R = 3W

ZL = jwL = j(2)(2) = 4 j W

ZC =� 1wC

j =� 1(0,5)(2)

j =�1 j W

1ZEqui

=1

ZR+

1ZL

+1

ZC

1ZEqui

=13+

14 j

+1

�1 j=

12� 1

4j+1 j

1ZEqui

=12+

34

j

3.6. Asociación de fuentes sinusoidales

Para tratar el caso de la asociación de fuentes como las ilustradas en la figura3.19, se debe recordar que las frecuencias angulares w de todas las fuentes debenser iguales y se deben expresar como coseno o seno. Si no se cumple la igualdadde las frecuencias, debe solucionar el problema con cada fuente por separado yaplicar la superposición de estas en la respuestas final.

Figura 3.19: Asociación de fuentes sinusoidales

Ejercicio Se dispone de dos fuentes conectadas en serie como se muestran en lafigura 3.19, cuyas funciones en el tiempo están representadas por:

v1(t) = 3Sin(4pt +p)

yv2(t) = 5Cos(4pt +

p4)

Encuentre la función de salida resultante para el caso (a) donde se suman y el caso(b) donde se restan v1 y v2.

Solución:Primero, se deben representar las funciones en su forma fasorial a través del

coseno, por lo que la función v1(t) se debe reescribir. Si se utiliza la identidad3.70:

sin(q) = cos(q � p2) (3.70)

Se obtiene la transformación coseno equivalente:\frac{A}{A^{2}+B^{2}}

v1(t) = 3sin(4pt +p) = 3cos(4pt +n

p � p2

o) = 3cos(4pt +

p2)

3.6. Asociación de fuentes sinusoidales 141

Por efectos del análisis fasorial, es más fácil si se representan los desfases engrados y no en radians. Por lo anterior se obtiene:

v1(t) = 3Cos(4pt +90o)�! v1 = 3\90o = 3cos90o +3sin90o j=0+3 j

v2(t)= 5cos(4pt+45o)�! v2 = 5\45o = 5cos45o+5sin45o j = 3,5355+3,5355 j

Para el caso (a) se debe observar la figura 3.20 que representa la suma:

Figura 3.20: Suma fasorial

v= v1+v2=(0+3 j)+(3,5355+3,5355 j)= 3,5355+6,5355 j = 7,4303\61,59o

v = v1 + v2 = 7,4303\61,59o

v = 7,4303Cos(4pt +61,59o)

Para el caso (b), donde se debe calcular la resta:

Figura 3.21: Resta fasorial

v= v1�v2=(0+3 j)�(3,5355+3,5355 j)=�3,5355�0,5355 j = 3,5758\�171,39o

v = v1 � v2 = 3,5758\�171,39o = 3,5758\188,61o

v(t) = 3,5758Cos(4pt +188,61o)

3.7. Análisis fasorialEl tratamiento de los problemas de circuitos fasoriales puede ser resuelto por

los métodos tradicionales descritos en el capítulo 2. Por efectos de simplicidad,los problemas serán tratados a través de las corrientes de malla o divisores detensión o corriente. La figura 3.22 presenta los casos básicos fasoriales resistivo(a), capacitivo (b) e inductivo (c).

3.7. Análisis fasorial 143

Figura 3.22: Circuitos básicos fasoriales

3.7.1. Análisis Resistivo fasorial

El análisis se basa en el cálculo y la construcción del diagrama fasorial.En este, el eje vertical representa la componente compleja y la parte real en eleje horizontal. Por simplicidad en el análisis se ha escogido la tensión v(t) =V0Cos(wt + f) sin desfase, es decir f = 0, por lo que la determinación de lacorriente es aún más elemental. La parte (a) de la figura 3.22 muestra su circuitoy la figura 3.23 su diagrama fasorial resistivo. De este diagrama se puede apreciarque la corriente y el voltaje a través de un circuito resistivo puro se mantienen enfase.

Figura 3.23: Diagrama fasorial resistivo puro

Si se supone la tensión de la forma presentada en la ecuación 3.71 y se usa laexpresión correspondiente a la impedancia resistiva de la ecuación 3.72, se puedeobtener la corriente por la resistencia. La ecuación 3.73 muestra la corriente através de la resistencia.

v(t) = voCos(wt +f)�! v = vo\0o (3.71)

ZR = R\0o (3.72)

iR =v

ZR=

vo\0o

R\0o =vo

R\0o (3.73)

3.7.2. Análisis capacitivo fasorialAnálogamente al proceso resistivo, el análisis capacitivo se basa en el cálculo

y la construcción del diagrama fasorial. La parte (b) de la figura 3.22 muestra sucircuito y la figura 3.24 su diagrama fasorial capacitivo.


Figura 3.24: Diagrama fasorial capacitivo puro

Haciendo la tensión de la forma presentada en la ecuación 3.74 y usando laexpresión correspondiente a la reactancia capacitiva de la ecuación 3.75, se puedeobtener la corriente por la capacitancia. La ecuación 3.76 muestra la corriente através de la capacitancia. Del análisis fasorial del circuito capacitivo, se puedeconcluir que la corriente se adelanta al voltaje. Por simplicidad se ha escogido,nuevamente, que el desfase sea f = 0, por lo que la ecuación de la tensiónresultante está dada por 3.74:

v(t) = voCos(wt +f)�! v = vo\0o (3.74)

ZC =� 1wC

j =1

wC(� j) =

1wC

\�90o (3.75)

iC =v

ZC=

vo\0o

1wC\�90o

= vowC\90o (3.76)

3.7.3. Análisis Inductivo fasorialLa parte (c) de la figura 3.22 muestra su circuito y la figura 3.24 su diagrama

fasorial inductivo.

Figura 3.25: Diagrama fasorial inductivo puro

Con la tensión de la la ecuación 3.77 y usando la expresión de la reactanciainductiva de la ecuación 3.78, se obtiene la corriente a través de la inductancia.La ecuación 3.76 muestra la corriente a través de la capacitancia. Del análisisfasorial del circuito inductivo, se puede apreciar que la corriente está atrasada conrespecto al voltaje. Si no hay desfase, lo cual se supone por simplicidad de larepresentación, entonces f = 0.

v(t) = voCos(wt +f)�! v = vo\0o (3.77)

ZL = wL j = wL\90o (3.78)

i =v

ZL=

vo\0o

wL\90o =vo

wL\�90o (3.79)


Ejercicio Por el circuito de la figura 3.26 circula una corriente de valor i =10sin(100t +50o) [mA]. Determine:

La tensión en cada uno de los componentes.

La tensión total de sistema serie

Figura 3.26: Circuito serie del problema

Solución:La representación fasorial de cada elemento se expresa mediante la tabla 3.4

aplicando las operaciones encontradas en 3.5. Si se evalúa cada expresión seobtiene:

Transformando la fuente de alimentación a su expresión fasorial:

i = 10sin(100t +50o) = 10cos({100t +50o}�90o) = 10cos(100t �40o)mA

i = 10cos(100t �40o)mA �! i = 10⇥10�3\�40o

Para la transformación de las impedancias:

R1 = 50W �! ZR = 50

L1 = 1nH �! ZL = (1)(1⇥10�9)(100) j = 1⇥10�7 j �! ZL = 1⇥10�7\90o

C1 = 1pF �! ZR =� 1(100)(1⇥10�12)

j =�1⇥1010 j �! ZC = 1⇥1010\�90o

Para los voltajes de cada elemento:

vR = i ZR = (10\�40o)⇥ (50) = 50\�40o

vL = i ZL = (10⇥10�3\�40o)⇥ (1⇥10�7\90o) = 1⇥10�9\50o

vC = i ZC = (10⇥10�3\�40o)⇥ (1⇥1010\�90o) = 1⇥108\�120o

El voltaje total de sistema es:

v = vR + vC + vL = 50\�40o +1⇥10�9\50o +1⇥108\�120o

38,3022�32,1393 j�6,4278⇥10�10+7,6604⇥10�10 j�50⇥106�86602540,38 j

v =�49999961,1�8660282,43 j �! v = 50,7444⇥106\�170,1735o V

Así:

v(t) = 50,7444cos(100t �4170,1735)µV

3.8. Circuito RC en alterna (Filtro pasa bajo en C)Esta aplicación en corriente alterna presenta mucha importancia dentro de

la teoría de circuitos. A continuación se ilustra el análisis básico del circuitoimplementado en la figura 3.27 alimentado mediante una fuente de la formaV =V0Cos(wt +f).

3.8. Circuito RC en alterna (Filtro pasa bajo en C) 149

Figura 3.27: Circuito RC

Primero, se debe encontrar la ecuación general, mediante la ley de Kirchhoffde las mallas, que describe la operación del sistema. Esta se presenta en laecuación 3.80 (también se puede resolver por divisor de tensión):

V =VR +VC (3.80)

Se sabe que:

V = ZRI +VCI

Evaluando lo descrito en la tabla 3.4 que presenta la equivalencia de laimpedancia para cada dispositivo, se tiene:

V = (R)I +(� 1wC

j)I = I(R)+(� 1

wCj)�= I

R� 1

wCj�

ZEqui =VI= R� 1

wCj

Expresando la impedancia en forma fasorial la ZEqui :

ZEqui =| Zequi | \fEqui

| Zequi |=r

R2 +(1

wC)2 fEqui = tan�1

(� 1

wCR

)= tan�1

⇢� 1

wCR

�

Lo que resulta en la impedancia equivalente del sistema:

ZEqui =

rR2 +(

1wC

)2\ tan�1⇢� 1

wCR

�Si el voltaje V se transforma fasorialmente, se tiene:

V =V0Cos(wt +f)�!V =V0\f

Calculando la corriente:

I =V

ZEqui=

V0\fqR2 +( 1

wC )2\ tan�1

�� 1

wCR

I =

24 V0qR2 +( 1

wC )2

35\

f � tan�1⇢� 1

wCR

��(3.81)

Si se define XC = 1wC la ecuación 3.81 se transforma en la ecuación :

I =

24 V0qR2 +X2

C

35\

f � tan�1⇢�XC

R

��(3.82)

Así mismo, la caída de tensión en cada elemento de dispositivo se puededeterminar como:

vR = IZR =

0@24 V0qR2 +X2

C

35\


R

��1A(R\0o) (3.83)

vR = IZR =

24 V0RqR2 +X2

C

35\


R

��(3.84)

vC = IZC =

0@24 V0qR2 +X2

C

35\


R

��1A✓1

wC\�90o

◆(3.85)


vC = IZC =

24 V0XCqR2 +X2

C

35\


R

��90o

�(3.86)

Se definen:

| vC |= V0XCqR2 +X2

C

(3.87)

fC = f � tan�1⇢�XC

R

��90o (3.88)

Finalmente:

vC =| vC | \fC (3.89)

Para la realización de la gráfica fasorial se ha supuesto que no hay desfase, porlo que f = 0. Las ecuaciones 3.82, 3.84 y 3.86 se convierten en 3.90, 3.91 y 3.92:

I =

24 V0qR2 +X2

C

35\� tan�1

⇢�XC

R

��(3.90)

vR = IZR =

24 V0RqR2 +X2

C

35\� tan�1

⇢�XC

R

��(3.91)

vC = IZC =

24 V0XCqR2 +X2

C

35\� tan�1

⇢�XC

R

��90o

�(3.92)

Figura 3.28: Diagrama fasorial de la impedancia RC

En la figura 3.28 se presenta el diagrama fasorial de impedancias del circuitoRC.

Ejercicio: Análisis en frecuencia y fase de un circuito RC Se tiene un circuitoRC como el que se aprecia en la figura 3.27. Si se considera que la fuente es devalor V = 10Cos(wt), determine la respuesta en frecuencia y fase del condensadordel circuito para R = 10W y C = 10µF .

Solución:Se realiza una columna para la Frecuencia que va desde f = 0Hz hasta

f = 4MHz como se ve en el cuadro 3.6 en pasos de frecuencia logarítmicos (Si nose hace de esta manera, se tendrían demasiados datos posiblemente innecesarios).


Seguidamente, se construye la columna de la rapidez angular w , la cual esta dadapor:

w = 2p f

Para la columna Xc en el cuadro 3.6 se usa la ecuación de la reactanciacapacitiva dada por:

XC =1

wC=

11⇥10�6w

Haciendo uso de la ecuación 3.87, que expresa la magnitud del voltaje vc enel condensador para el circuito RC, se puede calcular el valor de la columna vc:

| vC |= V0XCqR2 +X2

C

=10 XCq102 +X2

C

La ganancia resulta como la relación dada por:

Ganancia =vc

vo=

vc

10

Para el cálculo de la fase se recurre a la ecuación 3.88 teniendo en cuenta laexpresión de dicho valor en grados.

fC = f � tan�1⇢�XC

R

��90o = 0� tan�1

⇢�XC

10

��90o

La figura3.29 se ha construido mediante una hoja de cálculo usando los valoresde las columnas Frecuencia contra Ganancia del cuadro. Dicha gráfica ha debidoser realizada seleccionando las propiedades de gráfica como logarítmica paraapreciar mejor el comportamiento general del circuito.

Cuadro 3.6: Análisis RC de la respuesta en frecuencia de ejemplo


Figura 3.29: Relación de ganancia contra frecuencia de un circuito RC

Es claramente concluyente que este circuito, en la salida de su condensador, secomporta como un filtro que deja pasar las frecuencias bajas ( aproximadamentemenores que 1500 Hz). Cuando aumenta la frecuencia, el condensador se pone encorto y la diferencia de potencial entre sus terminales es cero. Si se analiza estemismo circuito por la salida de la resistencia, este se comporta como un pasa altos.

Para el cálculo de la fase del sistema, se realizó la gráfica 3.30 que representalos datos de Frencuencia contra Fase del cuadro que se encuentra referenciado en3.6.

Figura 3.30: Relación de fase contra frecuencia de un circuito RC

De la gráfica 3.30 se puede concluir que en el circuito RC, el voltaje resulta

en un desfase cada vez mayor hasta llegar a ser de -90 grados para una frecuenciacercana a la de corte del filtro de salida del voltaje del condensador.

3.8.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro RC

En el ejercicio anterior se determinó la frecuencia de corte con unaaproximación realizada sobre la gráfica, pero en la práctica se indica que lafrecuencia a la cual se realiza el corte es aquella donde la salida de la ganancia es

1p2= 0,7071.

|VC |= V0XCqR2 +X2

C

Ganancia =|VC |

Vo=

XCqR2 +X2

C

1wCq

R2 +( 1wC )

2=

1p2

1

(wC)q

R2 +( 1wC )

2=

1p2

Elevando al cuadrado a ambos lados:

1(wC)2

⇥R2 +( 1

wC )2⇤ = 1

2

Simplificando:

1(wCR)2 +1

=12

La frecuencia de corte está dada por la ecuación 3.93:

w =1

RC(3.93)


Ejercicio: Frecuencia de corte de un circuito RCDetermine la frecuencia de corte de un circuito RC el cual tiene una resistencia

de R = 10W y un condesador de C = 10µF .Solución:Como:

w =1

RC=

110⇥10⇥10�6 = 10000Rad/s

De allí se determina la frecuencia en Hertz:

f =w2p

= 1591,54Hz

Ejercicio: Análisis en frecuencia de un circuito RC usando QUCS Se repiteel mismo ejercicio presentado en 3.8, el cual se aprecia en la figura 3.27. Si seconsidera que la fuente es de valor V = 10Cos(wt), determine la respuesta enfrecuencia del condensador del circuito para R = 10W y C = 10µF usando elprograma QUCS11.

Solución:Los circuitos también se pueden simular utilizando software especializado

para esta tarea; a continuación se presenta la simulación de un circuito realizadoen el programa Qucs.

Figura 3.31: Circuito RC

11Qucs project: http://qucs.sourceforge.net/index.html

En la figura 3.31 se presenta el circuito RC simulado en Qucs y en lafigura 3.32 aparece la respuesta en frecuencia del circuito anterior a la salida delcondensador C.

Figura 3.32: Respuesta en frecuencia del circuito RC

3.9. Circuito RL en alterna (Filtro pasa alto en L)

A continuación se ilustra el análisis básico del circuito implementado en lafigura 3.33 alimentado mediante una fuente de la forma V =V0Cos(wt +f).

3.9. Circuito RL en alterna (Filtro pasa alto en L) 159

Figura 3.33: Circuito RL

Mediante la ley de Kirchhoff de las mallas se encuentra la ecuación 3.94(también se puede resolver por divisor de tensión):

V =VR +VL (3.94)

Se sabe que:

V = ZRI +VLI

Evaluando lo descrito en el cuadro 3.4 que presenta la equivalencia de laimpedancia para cada dispositivo, se tiene:

V = (R)I +(wL j)I = I [R+wL j]

ZEqui =VI= R+wL j

Expresando la impedancia en forma fasorial la ZEqui :


| Zequi |=q

R2 +(wL)2 fEqui = tan�1⇢

wLR

�Lo que resulta en la impedancia equivalente del sistema:

ZEqui =q

R2 +(wL)2\ tan�1⇢

wLR



Calculando la corriente:

I =V

ZEqui=

V0\fpR2 +(wL)2\ tan�1

�wLR

I =

"V0p

R2 +(wL)2

#\

f � tan�1⇢

wLR

��(3.95)

Si se define XL = wL la ecuación 3.95 se transforma en la ecuación :

I =

24 V0qR2 +X2

L

35\

f � tan�1⇢

XL

R

��(3.96)

Así mismo, la caída de tensión en cada elemento de dispositivo se puededeterminar como:

vR = IZR =

0@24 V0qR2 +X2

L

35\

f � tan�1⇢

XL

R

��1A(R\0o) (3.97)

vL = IZL =

0@24 V0qR2 +X2

L

35\

f � tan�1⇢

XL

R

��1A(wL\90o) (3.98)

Para la realización de la gráfica fasorial se ha supuesto que no hay desfase,por lo que f = 0. Las ecuaciones 3.96, 3.97 y 3.98 se convierten en 3.99, 3.101 y3.103:


I =

24 V0qR2 +X2

L

35\� tan�1

⇢XL

R

��(3.99)

vR = IZR =

0@24 V0qR2 +X2

L

35\� tan

⇢XL

R

��1A(R\0o) (3.100)

vR = IZR =

24 V0RqR2 +X2

L

35\� tan

⇢XL

R

��(3.101)

vL = IZL =

0@24 V0qR2 +X2

L

35\� tan�1

⇢XL

R

��1A(wL\90o) (3.102)

vL = IZL =

24 V0XLqR2 +X2

L

35\� tan�1

⇢XL

R

�+90

�(3.103)

Se definen:

| vL |= V0XLqR2 +X2

L

(3.104)

fL = f � tan�1⇢

XL

R

�+90o (3.105)

Finalmente:

vL =| vL | \fL (3.106)

Figura 3.34: Diagrama fasorial de la impedancia RC

Ejercicio: Análisis en frecuencia y fase de un circuito RL Se tiene un circuitoRL como el que se aprecia en la figura 3.33. Si se considera que la fuentees de valor V = 10Cos(wt), determine la respuesta en frecuencia y fase de lainductancia del circuito para R = 10W y L = 1mH.

Solución:Se realiza una columna para la Frecuencia que va desde f = 0Hz hasta

f = 4MHz como se ve en el cuadro 3.7 en pasos de frecuencia logarítmicos (Si nose hace de esta manera, se tendrían demasiados datos posiblemente innecesarios).Seguidamente, se construye la columna de la rapidez angular w , la cual esta dadapor:

w = 2p f

Para la columna XL en el cuadro 3.7 se usa la ecuación de la reactanciainductiva dada por:

XL = wL = 1⇥10�3w


Haciendo uso de la ecuación 3.104, que expresa la magnitud del voltaje vL enla inductancia para el circuito RL, se puede calcular el valor de la columna vL:

| vL |= V0XLqR2 +X2

L

=10 XLq102 +X2

L

La ganancia resulta como la relación dada por.

Ganancia =vL

vo=

vL

10Para el cálculo de la fase se recurre a la ecuación 3.105 teniendo en cuenta la

expresión de dicho valor en grados.

fL = f � tan�1⇢

XL

R

�+90o = 0� tan�1

⇢XL

10

�+90o

La figura 3.35 se ha construido mediante una hoja de cálculo usando losvalores de las columnas Frecuencia contra Ganancia del cuadro 3.7. Dichagráfica ha debido ser realizada seleccionando las propiedades de la gráfica comologarítmica para apreciar mejor el comportamiento general del circuito.

Figura 3.35: Relación de ganancia contra frecuencia de un circuito RL

Es claramente concluyente que este circuito, en la salida de su inductancia, secomporta como un filtro que deja pasar las frecuencias altas ( aproximadamentemayores que 1500 Hz). Inicialmente, la inductancia se encuentra en corto en sus

Determinación de la frecuencia de corte del filtro

RC

Cuadro 3.7: Análisis RL de la respuesta en frecuencia de ejemplo


terminales, pero cuando aumenta la frecuencia va aumentando la diferencia depotencial entre estos.

Para el cálculo de la fase del sistema, se realizó la gráfica 3.36 que representalos datos de Frencuencia contra Fase de la tabla que se encuentra en el cuadro3.7.

Figura 3.36: Relación de fase contra frecuencia de un circuito RL

De la gráfica 3.36 se puede concluir que en el circuito RL, el voltaje resulta enun desfase cada vez menor desde 90 grados hasta llegar a ser de 0 grados para unafrecuencia cercana a la de corte del filtro de salida del voltaje de la inductancia.A una baja frecuencia predomina la componente inductiva sobre la resistiva, peromientras la frecuencia aumenta, la parte resistiva toma su lugar.

3.9.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro RLEn el ejercicio anterior, nuevamente, se determinó la frecuencia de corte del

circuito RL como una aproximación realizada sobre la gráfica, pero en la prácticase indica que la frecuencia a la cual se realiza el corte es aquella donde la salidade la ganancia es 1p

2= 0,7071.

|VL |= V0XLqR2 +X2

L

Ganancia =|VL |Vo

=XLq

R2 +X2L

wLpR2 +(wL)2

=1p2

Elevando al cuadrado a ambos lados:

(wL)2

[R2 +(wL)2]=

12

Simplificando:

2(wL)2 = R2 +(wL)2

La frecuencia de corte está dada por la ecuación 3.107:

w =RL

(3.107)

Ejercicio: Frecuencia de corte de un circuito RLDetermine la frecuencia de corte de un circuito RL el cual tiene una resistencia

de R = 10W y un condesador de L = 10mH.Solución:Dado que

w =RL=

1010⇥10�3 = 1000Rad/s

De allí que la frecuencia en Hertz es:

f =w2p

= 1591,54Hz

Ejercicio: Análisis en frecuencia de un circuito RC usando QUCS Se repiteel ejercicio para el circuito que se aprecia en la figura 3.33. Si se considera quela fuente es de valor V = 10Cos(wt), determine la respuesta en frecuencia delinductor del circuito para R = 10W y L = 10mH usando el programa QUCS12.

Solución:Igualmente que en el caso del circuito RC, se realiza la misma simulación en

Qucs para el circuito RL.

12Qucs project: http://qucs.sourceforge.net/index.html


Figura 3.37: Circuito RL

La figura 3.37 muestra al circuito RL con un medidor de voltaje en el capacitory en la figura 3.38 aparece la respectiva respuesta en frecuencia en los terminalesde la inductancia.

Figura 3.38: Respuesta en frecuencia en la inductancia

3.10. Circuito serie RLC en alterna (Filtro elimina-dor de banda en RLC)

A continuación se ilustra el análisis básico del circuito RLC implementado enla figura 3.39 alimentado mediante una fuente de la forma V =V0Cos(wt +f).

Figura 3.39: Circuito RLC

Primero, se debe encontrar la ecuación general, mediante la ley de Kirchhoffde las mallas, que describe la operación del sistema. Esta se presenta en laecuación 3.108:

V =VR +VC +VL (3.108)

Se sabe que:

V = ZRI +VCI +VLI

Evaluando lo descrito en la tabla 3.4 que presenta la equivalencia de laimpedancia para cada dispositivo, se tiene:

V = (R)I + j(wL� 1wC

)I = I

R+ j(wL� 1wC

)

�ZEqui =

VI= R+ j(wL� 1

wC)

Expresando la impedancia total en forma fasorial mediante ZEqui :

3.10. Circuito serie RLC en alterna (Filtro eliminador de banda en RLC)169


|Zequi |=r

R2 +(wL� 1wC

)2 fEqui = tan�1

(wL� 1

wCR

)= tan�1

⇢w2LC�1

wCR

�

Lo que resulta en la impedancia equivalente del sistema total:

ZEqui =

rR2 +(wL� 1

wC)2\ tan�1

⇢w2LC�1

wCR



Calculando la corriente de todo el circuito:

I =V

ZEqui=

V0\fqR2 +(wL� 1

wC )2\ tan�1

nw2LC�1

wCR

o

I =

24 V0qR2 +(wL� 1

wC )2

35\

f � tan�1⇢

w2LC�1wCR

��(3.109)

Si se define XLC =q

(wL� 1wC )

2 = abs(wL � 1wC ) la ecuación 3.109 se

transforma en la ecuación :

I =

24 V0qR2 +X2

LC

35\

f � tan�1⇢

XLC

R

��(3.110)

Así mismo, la caída de tensión en entre L y C se puede determinar como:

vLC = IZLC =

0@24 V0qR2 +X2

LC

35\

f � tan�1⇢

XLC

R

��1A✓(wL� 1

wC)\ tan�1

⇢w2LC�1

wC

�◆(3.111)

vLC = IZLC =

24 V0XLCqR2 +X2

LC

35\

f � tan�1⇢

XLC

R

�+ tan�1

⇢w2LC�1

wC

��(3.112)

Se definen:

| vLC |= V0XLCqR2 +X2

LC

(3.113)

fLC = f � tan�1⇢

XLC

R

�+ tan�1

⇢w2LC�1

wC

�(3.114)

Finalmente:

vLC =| vLC | \fLC (3.115)

Ejercicio: Análisis en frecuencia y fase de un circuito serie RLC Se tieneun circuito RLC como el que se aprecia en la figura 3.39. Si se considera que lafuente es de valor V = 10Cos(wt), determine la respuesta en frecuencia y fase delequivalente LC para R = 10W , C = 10µF y L = 1mH.

SoluciónLa rapidez angular w , la cual esta dada por:

w = 2p f

Para la columna XLC, en el cuadro 3.8, se evalúa la ecuación de la impedanciaresultante dada por:

XLC =

r(wL� 1

wC)2 = abs(wL� 1

wC) = abs(1⇥10�3w � 1

10⇥10�6w)


Usando la ecuación 3.113 que corresponde a la magnitud de la salida en VLC,se tiene:

|VLC |= V0XLCq102 +X2

LC

Para la ganancia:

Ganancia =|VLC |

Vo=

XLCqR2 +X2

LC

=XLCq

102 +X2LC

De igual forma para la fase se usa la ecuación 3.114 que se reescribe:

fLC = f �tan�1⇢

XLC

R

�+tan�1

⇢w2LC�1

wC

�= 0�tan�1

⇢XLC

10

�+tan�1

⇢w2LC�1

wC

�Finalmente:La figura 3.40 se ha construido mediante una hoja de cálculo usando los

valores de las columnas Frecuencia contra Ganancia del cuadro 3.8. el cualmuestra los valores parciales ya que la totalidad resultan irrelevantes para elejemplo.

Figura 3.40: Relación de ganancia contra frecuencia de un circuito LC

Cuadro 3.8: Análisis LC de la respuesta en frecuencia de ejemplo.


Se concluye que este circuito, en la salida LC, se comporta como un filtroeliminador de banda ( aproximadamente iguales a 5000 Hz). Inicialmente, entrelos terminales de la inductancia y el condensador se encuentra el circuito abierto,pero cuando aumenta la frecuencia, disminuye la diferencia de potencial entreestos terminales llegando a cero. En este punto XL = �XC. Si se continúaaumentado la frecuencia, nuevamente se abre el circuito hasta llegar a ser abiertonuevamente.

Para el cálculo de la fase del sistema, se realizó la gráfica 3.41 que representalos datos de Frencuencia contra Fase de la misma tabla que se encuentra en elcuadro 3.8.

Figura 3.41: Relación de fase contra frecuencia de un circuito LC

De la gráfica 3.41 se puede nuevamente concluir que en el circuito LC, elvoltaje resulta en un desfase cada vez menor desde -90 grados hasta llegar a serde 0 grados para la frecuencia de corte del filtro de la salidad LC y nuevamenteaumenta hasta llegar a 90 grados cuando se aleja aumentando del la frecuenciade corte. Cuando se llega a la frecuencia de corte, el circuito se comporta comoresistivo ya que las reactancia capacitiva e inductiva se anulan entre sí para dichafrecuencia.

3.10.1. Determinación de la frecuencia de corte del filtro serieRLC

La frecuencia a la cual se realiza el corte es aquella donde la salida de laganancia es 1p

2= 0,7071.

Así:

Ganancia =|VLC |

Vo=

XLCqR2 +X2

LC

=1p2

Se hace notar que la salida se anula totalmente cuando reactancia inductiva ycapacitiva se anulan completamente, lo cual lleva a la ecuación 3.116:

wL� 1wC

= 0

w0 =

r1

LC(3.116)

Como:

XLC =

r(wL� 1

wC)2 = abs(wL� 1

wC)

Entonces la ganancia es:

abs(wL� 1wC )q

R2 +(wL� 1wC )

2=

1p2

Despejando w:

(wL� 1wC )

2

R2 +(wL� 1wC )

2=

12

2(wL� 1wC

)2 = R2 +(wL� 1wC

)2

(wL� 1wC

)2 = R2


wL� 1wC

= R

w2LC�1wC

= R

LCw2 +RCw �1 = 0

Resolviendo para w , se obtienen dos valores:

w1 =� R2L

+

r(

R2L

)2 +1

LC

w2 =R2L

+

r(

R2L

)2 +1

LCSi se multiplican las frecuencias w1 y w2, se llega a la ecuación 3.117 :

w0 =p

w1w2 (3.117)

Se puede definir el ancho de banda B mediante la ecuación 3.118, el cualrelaciona el ancho de la curva:

B = w2 �w1 (3.118)

Lo selectivo del filtro pasador o eliminador de banda se puede especificarmediante la relación adimensional denominada calidad Q, la cual se muestra en laecuación 3.119:

Q =w0L

R=

1w0CR

(3.119)

Ejercicio: Circutio fasorial con varias mallasSe tiene el circuito mostrado en la figura3.42, el cual es alimentado por dos

fuentes v1 y v2 cuyas funciones son dadas por:

v1 = 10Cos(10t +60)V

v2 = 20Cos(10t +45)V

Figura 3.42: Ejemplo de sistema de ecuaciones para fasoriales

Determine la corriente y la caída de tensión en la inductancia L. realice sudiagrama fasorial de impedancia (los valores de las fuentes están en rms).

solución:Aplicando el método de las corriente de malla (también se puede resolver por

superposición y divisor de tensión):


�v1 +ZR1Ia +ZLIa �ZLIb = 0


+v2 +ZR2Ib +ZLIb �ZLIa +ZCIb = 0

Ordenando:

(ZR1 +ZL)Ia �ZLIb = v1

�ZLIa +(ZR2 +ZL +ZC)Ib =�v2

Haciendo uso de la tabla3.9 con w = 10Rad

s :

Elemento Ecuación Valor Equivalencia FasorialResistencia R1 ZR1 = R1\0o ZR1 = 100\0o

Resistencia R2 ZR2 = R2\0o ZR2 = 50\0o

Inductancia L ZL = wL\90o ZL = 10\90o

Capacitancia C ZC = 1wC\�90o ZC = 0,5\�90o

Fuente v1 v1 =V01\f1 v1 = 10\60o

Fuentev2 v2 =V02\f2 v2 = 20\45o

Cuadro 3.9: Resumen de Impedancias del ejercicio

(100\0o +10\90o)Ia � (10\90o)Ib = 10\60o

�(10\90o)Ia +(50\0o +10\90o +0,5\�90o)Ib =�20\45o

Simplificando con la ayuda del cuadro 3.5 de operaciones fasoriales:

(100,4987\5,71o)Ia � (10\90o)Ib = 10\60o

�(10\90o)Ia +(50,8944\10,76o)Ib =�20\45o

Despejando Ia:

Ia=

10\60o �10\90o

�20\45o 50,8944\10,76o

�

100,4987\5,71o �10\90o

�10\90o 50,8944\10,76o

�

Ia=(10\60o)⇥ (50,8944\10,76o)� (�10\90o)⇥ (�20\45o)

(100,4987\5,71o)⇥ (50,8944\10,76o)� (�10\90o)⇥ (�10\90o)

Ia=(508,944\70,76o)� (200\135o)

(5114,8210\16,47o)� (100\180o)=

458,8558\47,65o

5210,7949\16,16o

Ia = 0,08805\31,49o

Ahora, para Ib:

Ib=

100,4987\5,71o 10\60o

�10\90o �20\45o

�

100,4987\5,71o �10\90o

�10\90o 50,8944\10,76o

�

Ib=(100,4987\5,71o)⇥ (�20\45o)� (�10\90o)⇥ (10\60o)

(100,4987\5,71o)⇥ (50,8944\10,76o)� (�10\90o)⇥ (�10\90o)

Ib=(�2009,974\50,71o)� (�100\150o)

(5114,8210\16,47o)� (100\180o)=

2028,5191\227,92o

5210,7949\16,16o

Ib = 0,38929\211,76o

La sumatoria de las corriente en el nodo:

IR1 � IR2 + IL = 0

IL =�IR1 + IR2

Como


IR1 = Ia = 0,08805\31,49o

IR2 = Ib = 0,38929\211,76o

IL =�(0,08805\31,49o)+(0,38929\211,76o)

IL = 0,47733\211,71o

La caída en cada elemento:

VR1 = IR1ZR1 = (0,08805\31,49o)(100\0o) = 8,805\31,49o

VL = ILZL = (0,47733\211,71o)(10\90o) = 4,7733\301,71o

3.11. Ejercicios propuestos1. Se tiene un sistema de generación y transmisión como se presenta en la

figura 3.7. Si el generador entrega una potencia de 100 kW a una tensión de1000V, la cual se requiere transmitir sobre una línea de transmisión de cobrey diámetro 1cm hasta una distancia de 50 km sobre una carga de 200 W. Deacuerdo a lo anterior determine (Considere el modelo inicial del problemadesde el punto de vista de la corrinte continua):

a) La corriente entregada por el generador.

b) La resistencia de la línea de transmisión (Resistividad de Cobre1,70⇥10�8 W�m a 20o C).

c) La potencia en Watts que consume la línea.

d) La potencia en Watts disponible para entregar a la carga.

e) La caída de tensión en Volts sobre la carga.

f ) Finalmente, considere que se utilizan transformadores ideales comoen la figura 3.3 con relación 1:100 para llevar la energía a la carga.Repita los pasos c, d, y e.

2. Por una bobina pura con inductanciaL = 0,01H circula una corriente dei = 5cos200t A . Encuentre la tensión en los bornes de esta y haga la gráficade su diagrama fasorial.

3. Por un condensador puro de capacitancia C = 30µF circula una corrientei = 12cos200t A . Determine la tensión en los bornes de esta y construya elgráfico de su diagrama fasorial.

4. Un circuito RL serie de valores R = 5W y L = 0,06H se determina que latensión en los terminales de la bobina es devl = 15sen200t volts. Encuentrela corriente por el circuito, la caída de tensión en la resistencia y la caída detensión total entre R y L. Realice el diagrama fasorial del sistema.

5. Por un circuito serie de dos elementos simples circula una corriente i =8,5sen(300t +15)A y están sometidos a una tensión de v = 255sen(300t +45)V . Determine cada uno de los elementos que forman el circuito.

6. Una resistencia R = 10W y una inductancia de L = 0,05H se encuentran enparalelo. La corriente que circula por la inductancia es de i(t)= 5sen(200t�45)A. Encuentre la corriente por la resistencia, la corriente total del sistemay dibuje el diagrama fasorial del sistema.

7. Encuentre el valor dela resistencia, inductancia o capacitancia del elementoZ del circuito mostrado en la figura 3.44, si se sabe que la tensión aplicadaes v = 100sen(500t)A y la corriente i = 2,5sen(500t)A.

Figura 3.44: Ejercicio problema propuesto


Figura 3.45: Diagrama fasorial de problema

8. Dibuje el diagrama fasorial y de impedancias para un circuito serie de doselementos para los cuales la tensión y la corriente están dadas por:

v(t) = 50sin(2000t �25°) V

i(t) = 8sin(2000t +5°) A

Qué elemento conectado en serie haría que el circuito se comporte comoresistivo?

9. Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinduc-ción L = 0,02 H. La tensión aplicada de 250V y la corriente resultante de8A se muestran en el diagrama fasorial de la figura 3.45 al igual que susángulos. Sabiendo que el período es T = 0,00314160 s, determine los otrosdos elementos del circuito.

10. Un circuito serie, como el mostrado en la figura 3.46, se compone de unaresistencia R = 8W y un condensador con una capacidad C = 30µF . ¿A quéfrecuencia la corriente adelanta un ángulo de30� respecto de la tensión?.

Figura 3.46: Diagrama fasorial de problema

11.

12. Determinar la impedancia de un circuito serie formado por una resistenciade 15W y una bobina de 15mH, conectado a una tensión de 100V y 50Hz.

13. Calcular la impedancia de un circuito en el que hay una resistencia óhmicade 100W y una capacidad de 31,4µF , si la frecuencia de la corriente que loatraviesa es de 50Hz. ¿Cuánto vale la corriente si la tensión es 120V ?.

14. Calcula la capacidad de un condensador que conectado a una tensión alternade 220V y frecuencia 50Hz, circula una corriente de 1A.

15. Un circuito formado por dos impedancias en paralelo de valores Z1 =3 + 4 j W y Z2 = 6 � 4 j W se encuentra sometido a una fuente de valorv = 10sen(120pt)V . Determine: los elementos de circuito que conectadosen serie entregarían la misma impedancia, la corriente por cada uno y sucaída de tensión.

16. Un circuito RLC con R = 150W, L = 20mH y C = 2µF está conectado enserie a un generador de tensión V = 20V y frecuencia angular w = 2500 Rad

s. Determine su impedancia, la constante de fase y la corriente por el circuito.Escriba también la caída de potencial instantánea en cada elemento.

17. Calcular la corriente y la caída de tensión a través de la resistencia R1 de lafigura 3.47.

V1(t) = 2cos103t Volt.

V (t) = 2sin103t Volt.

R1 = 2W

L1 = 6mH; L2 = 1mH; L3 = 2mH


s-1

Figura 3.47: Circuito del ejercicio 10

C1 = 4µF ; C2 = 1µF

18. Se tiene el circuito mostrado en la figura3.48, el cual es alimentado por dosfuentes v1 y v2 cuyas funciones son dadas por (rms):

v1 = 10Cos(5t +60)V

v2 = 20Cos(10t +45)V


Determine la corriente y la caída de tensión en la inductancia L.

20. Determine el circuito equivalente de Thevenin sobre la inductancia L1 dela figura 3.49, si se sabe que v(t)1 = 10Cos(1000t + 60)V . A que frecuenciael circuito se comporta como netamente resistivo en su equivalente de thevenin?Dibuje el digrama fasorial sobre L1. Cúal debe ser el elemento de circuito, queconectado en serie con esta inductancia, haría que la magnitud de su tensióndisminuya al 30% de su valor actual?.


Figura 3.49: Determinar el equivalente de thevenin

Capítulo 4

Potencia eléctrica

4.1. DefiniciónEl concepto de potencia eléctrica siempre estará asociado al de energía, puesto

que una de las definiciones comúnmente utilizadas relaciona potencia eléctricacon tasa transferencia de energía eléctrica por unidad de tiempo. Para el SistemaInternacional (SI), la unidad de potencia está dada en watts (W) y la equivalenciaen unidades es la siguiente:

1W = 1Js= 1kg

m2

s3

Por ejemplo, una resistencia de 100 W transforma 100 J por segundo en calor,es decir, transfiere esa cantidad de energía (100 J) al ambiente por cada segundotranscurrido.

4.2. Factor de potenciaLa potencia eléctrica se define como la suma de dos tipos de potencias: la

activa (P) y la reactiva (Q), las cuales forman la llamada potencia aparente (S). Laecuación 4.1 muestra la relación entre las potencias en referencia.

S= P+ jQ (4.1)

En la figura se observa la configuración del triángulo de potencia.

187

Figura 4.1: Triángulo de potencias

El consumo de potencia en hogares y empresas, tiene connotaciones impor-tantes en aspectos económicos y técnicos. Principalmente, la industria posee ele-mentos eléctricos de gran consumo, como son motores e iluminación.

El problema radica en que los circuitos que se forman en las diversasempresas, hacen que la corriente y el voltaje se desfacen considerablemente,debido principalmente a la presencia de inductores. Como muestra la ecuación4.2, la potencia resulta del producto entre el voltaje y la corriente conjugada.

S= VI⇤ (4.2)

A medida que el ángulo entre las variables de tensión e intensidad crece, elsistema demanda mayor potencia aparente para desempeñar el mismo trabajo.Esto en últimas, aumenta considerablemente la corriente, incrementando el valordel servicio y sometiendo al propio equipo a condiciones extremas en temperatura.

4.2.1. DefinicionesSi el circuito que se alimenta es puramente resistivo, este tendrá un factor de

potencia igual a uno (1), ya que el desface entre voltaje y corriente es cero. Porejemplo, si una tensión e intensidad de un circuito resistivo tuviera los siguientesvalores:

v(t) = 10cos(377t)V

i(t) = 3cos(377t)A

4.2. Factor de potencia 189

Figura 4.2: Voltaje, corriente y potencia en un sistema de factor de potencia 1

Estos estarían en fase y su comportamiento estaría descrito en la figura 4.2.En otro caso, el factor de potencia fuera 0,5 (cos p

3 = 0,5 entonces f = p3 ), la

corriente podría tener la posterior función:

i(t) = 3cos(377t � p3)A

La figura 4.3 representaría este caso.Como se aprecia en la figura 4.3, la potencia toma valores negativos y cuando

se calcula la potencia promedio, esta resulta en un valor inferior a la potenciapromedio calculada a partir de la figura 4.2, que es a factor de potencia 1 y que notiene valores negativos de potencia.

La potencia eléctrica entonces se describe en los próximos tres términos.

4.2.1.1. Potencia activa

Esta potencia es la que realmente se transforma en trabajo útil. La unidad delsistema internacional para la potencia activa son los watts (W). Eléctricamente lapotencia activa es igual a:

P =V I cosf (4.3)

Figura 4.3: Voltaje, corriente y potencia en un sistema de factor de potencia 0.5

4.2.1.2. Potencia reactiva

La potencia reactiva es aquella que no realiza trabajo, es generada por loscondensadores y consumida por los inductores, como los motores. Para el casode los motores, el funcionamiento de estos contribuye al atraso de la corrienterespecto al voltaje, elevando la cantidad de corriente necesitada para un relativobuen funcionamiento. Al incrementarse la corriente, los costos de la energía seelevan y la temperatura excesiva en los devanados del motor, provocan deterioroen los mismos.

La potencia reactiva se define en la ecuación 4.4. La unidad para referirsea potencia reactiva son los voltamperes reactivos (VAR), que en últimas sonunidades de potencia, o sea, watts (W).

Q =V I sinf (4.4)

4.2.1.3. Potencia aparente

De acuerdo a la figura 4.1, la potencia aparente es la suma geométrica de laspotencia activa y reactiva. La unidad de la potencia aparente son los voltamperes(VA), que también son watts.


S= P+ jQ

4.2.1.4. Factor de potencia

En ausencia de distorsiones armónicas1, el factor de potencia se puede definircomo el coseno del ángulo entre la potencia aparente y la potencia activa. Esteángulo se muestra en la figura 4.1.

f .p.= cosf (4.5)

4.2.2. Corrección del factor de potenciaLos sistemas y equipos se diseñan para operar con variables eléctricas

determinadas, las cuales, debido al nivel de potencia o corriente requeridos,condicionan sobre todo, los diámetros de los alambres conductores. Un conductorque es diseñado para transportar 1 A de corriente, pero debido a un pobre factor depotencia, conduce 1,5 A, va a tener problemas de sobrecalentamiento (por efectoJoule: P = i2R) dañando los aislamientos.

Las cargas eléctricas en las industrias son en su mayoría motores, es poresto que la corriente se atrasa al voltaje, disminuyendo el factor de potencia.Por ejemplo, se alimenta una carga de 100 W de potencia, con una tensión de110 V y se comparan dos factores de potencia cosf1 = 0,5 y cosf2 = 0,97. Sehallan las corrientes correspondientes a los dos factores de potencia referidos conanterioridad, de acuerdo a la ecuación 4.3:

I1 =P

V cosf1=

100W110V cos60�

= 1,82A

I2 =P

V cosf2=

100W110V cos15�

= 0,94A

Se evidencia un aumento en la corriente del 94% al pasar de un f.p. 0,97 a un f.p.0,5. Como la magnitud de la potencia aparente está dada por:

S =V I (4.6)

1Señales de diferente frecuencia que están sumadas a la onda principal de voltaje o corriente,producidas en parte por cargas provenientes de equipo electrónico.

Entonces se determina el valor de las potencias aparentes de acuerdo con susfactores de potencia respectivos.

S1 =V I1 = 110V ⇤1,82A = 200,2VA

S2 =V I2 = 110V ⇤0,94A = 103,4VA

Las potencia aparente S1 es casi el doble de la potencia aparente S2. Ladiferencia de potencia se manifiesta principalmente, en el sobrecalentamiento enlos devanados de las máquinas rotativas. Nótese además que en ambos casos lascargas consumen la misma potencia activa.

Para evitar el desperdicio de potencia eléctrica, se debe actuar sobre la redeléctrica de la empresa en donde se encuentran las cargas que disminuyen elfactor de potencia. Por lo general, factores de potencia en la industria del 0,95son recomendables, si el f.p. de determinada empresa está por debajo de un valoraceptable, la legislación acompaña a las empresas suministradoras del servicioeléctrico, para que sancionen económicamente o hasta suspendan el servicio aclientes que no se ajusten a la normatividad establecida.

Para elevar los factores de potencia de empresas que poseen máquinas rotativas(motores) que en últimas son inductores que consumen potencia reactiva, sedeben instalar generadores de potencia reactiva, como son los condensadores. Lainstalación consiste en ubicar un condensador o un banco de estos, en paralelo conla carga del sistema, es decir, que junto a la subestación eléctrica, se emplaza loscondensadores responsables de mejoramiento del factor de potencia.

Para calcular la capacidad del condensador, se debe medir primero el factor depotencia actual. Usualmente se denominan cosenofímetros los equipos que midenel f.p. de una red eléctrica.

Para mejorar el factor, en una red, se parte del hecho que casi el total de cargasen una industria son de tipo inductivo, por ello la compensación parte sumandoelementos capacitivos que alimenten los reactivos que consumen motores, esdecir, reducir el Q (potencia reactiva) de la red.

La ecuación 4.7 muestra la potencia corregida.

Q f = Q�Qc (4.7)

Donde

Q f : Potencia reactiva corregida.

Q: Potencia reactiva actual.


Qc: Potencia reactiva del condensador.

La cuestión es calcular el valor del condensador, de acuerdo con la potenciareactiva que este debe suministrar (Qc). Entonces:

Qc = Q�Q f (4.8)

Se calcula la potencia reactiva actual (Q):

Q = visinf (4.9)

Donde

v: tensión de línea

i: Corriente

Como la función seno se puede definir en términos de tangente y coseno:

sinf = cosf tanf (4.10)

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación 4.9:

Q = vicosf tanf

Y por la definición de potencia activa (ecu. 4.3), por lo tanto:

Q = P tanf (4.11)

Donde P simboliza la potencia activa de la red.Ahora se calcula la Q f que representa la potencia reactiva a la cual se quiere

llegar, es decir, la potencia reactiva a la cual debería operar la red. Para encontrar aQ f , se utilizan las ecuaciones 4.9 y 4.10 pero con el ángulo corregido (fm: ángulomejorado). Entonces:

Q f = visinfm

Q f = vicosfm tanfm

Como la potencia activa permanece constante, o sea, igual después de lacorrección:

Q f = P tanfm (4.12)

Por último se reemplaza en términos de capacitancia y de reactancia capacitivala Qc:

Qc =v2

Xc= v2wC (4.13)

Donde

v: voltaje

Xc: Reactancia capacitiva

w: Rapidez angular2 de la red en radians sobre segundo ( rads ).

C: Capacitancia del condensador.

Sustituyendo las ecuaciones 4.11, 4.12 y 4.13 en la relación 4.8, se obtiene:

v2wC = P tanf �P tanfm

Se consigue el valor del condensador:

C =P(tanf � tanfm)

wv2 (4.14)

Ejercicio Para el circuito de la figura 4.4, con una frecuencia de 60 Hz,determine la potencia aparente, el factor de potencia y mejore el factor de potenciaen 0,95.

2Por lo general la red se maneja en términos de frecuencia, que es una expresión equivalente:w = 2p f


Figura 4.4: Red inductiva

Evaluando el circuito se determina una corriente fasorial a la salida de lafuente:

i = 6,56\�53,4� A

La potencia aparente de acuerdo a la ecuación 4.2 (S= VI⇤):

S= 110\0� 6,56\53,4 = 721,6\53,4VA

La potencia activa y reactiva son respectivamente:

Figura 4.5: Triángulo de potencia

Variable Valori i = 4,12\�18,2�AS 453,2\18,2�VAP 430,53WQ 141,55VAR

Cuadro 4.1: Variables eléctricas corregidas

P = 721,6cos53,4�W = 430,24W

Q = 721,6sin53,4�VAR = 579,31VAR

En la figura 4.5 se observa el triángulo de potencias respectivas.El factor de potencia es:

f .p.= cos53,4� ' 0,6

Con este bajo factor de potencia, se aprecia que la potencia reactiva es inclusosuperior que la potencia útil que demanda la red. Elevar el f.p. significaría unareducción substancial en la potencia aparente y por supuesto, llevaría a la potenciareactiva a un valor muy por debajo de la potencia activa.

Si se desea un f.p. de 0,95:

fm = cos�1(0,95)

fm = 18,2�

Con este ángulo nuevo, en concordancia con la ecuación 4.14, se procede acalcular el valor de la capacitancia que irá en paralelo con la red.

C =430,53W (tan53,4� � tan18,2�)

2p60Hz(110V )2

C = 95,99 µF

El condensador se anexa al circuito en paralelo con la red, como se aprecia enla figura 4.6.

Los nuevos valores de corriente y potencia, se relacionan en el cuadro 4.1.La diferencia de potencia aparente está en 268,4 VA de ahorro, mientras que

4.3. Sistema Trifásico 197

Figura 4.6: Circuito corregido

la corriente desciende en 2,44 A.

4.3. Sistema TrifásicoEn el transporte y distribución de la energía eléctrica se utiliza lo que se conoce

como sistema trifásico. Se puede indicar que algunas de las razones para utilizarla energía eléctrica en forma trifásica son:

Un circuito trifásico balanceado los cables y alambres conductores puedenser de un diámetro inferior al requerido por un sistema monofásico paraproporcionar la misma potencia.

La potencia en un circuito monofásico cae repetidas veces pasando por cero,mientras que el circuito trifásico se sostiene más el suministro.

La potencia producida por un motor trifásico es mucho mayor que la de unmotor monofásico físicamente equivalente.

Se llama sistema trifásico de tensiones equilibradas, al conjunto de tres fuentes detensión monofásicas sinusoidales, de igual frecuencia y valor pico, cuyos valoresinstantáneos están desfasados simétricamente. El circuito trifásico está formadopor tres circuitos monofásicos, donde a cada circuito simple o fuente de tensiónmonofásica se le denomina fase, las cuales usualmente se referencian con las letras

R, S y T. Para que tres fases estén desfasadas simétricamente, el ángulo de desfaseentre las fases debe ser de 120 grados ( 360

3 = 120o). La figura 4.7 representa cadauna de las fases de un sistema trifásico graficadas en el tiempo.

Figura 4.7: Sistema trifásico en el tiempo

4.3.1. Sistema trifásico equilibradoUn sistema trifásico está equilibrado cuando sus cargas son iguales, y por lo

tanto sus las corrientes I también lo son, pero desfasadas 120o entre ellas; lo quehace que el factor de potencia de cada una de las fases sea igual.

4.3.2. Sistema trifásico desequilibradoSe denomina sistema de cargas desequilibradas al conjunto de impedancias

desiguales que hacen que por el receptor circulen corrientes de fase distintas,aunque las tensiones de la línea sean equilibradas. La figura 4.8 muestra larepresentación fasorial de un sistema, donde cada uno de sus fases se encuentra a120 grados entre sí. Este diagrama puede corresponder a corrientes o voltajes.

Las ecuaciones que representan cada una de las fases R, S y T están dadas por4.15, 4.16 y 4.17 respectivamente:

v(t)R =Vp sin(wt +f) (4.15)

v(t)S =Vp sin(wt +f � 2p3) (4.16)


Figura 4.8: Diagrama fasorial del sistema trifásico

v(t)T =Vp sin(wt +f +2p3) (4.17)

Tanto los generadores como los receptores de un sistema trifásico se puedenconectar indistintamente en estrella o en delta (triángulo). Se entiende por tensiónde línea VL a la tensión entre dos fases y por corriente de línea IL aquella quecircula por cada línea de sistema. La tensión de fase VF es la diferencia depotencial entre cada fase y el neutro.

4.3.3. Sistema generador y receptor equilibrados conectadosen Estrella (Y-Y)

Para las ecuaciones 4.15, 4.16 y 4.17 se debe tener en cuenta que al pasar estasa su representación fasorial es necesario usar el valor Vrms (Vrms =

V pp2

para fuentessinusoidales).

VR =Vrms\f (4.18)

Figura 4.9: Sistema de generación fasorial trifásico estrella

VS =Vrms\(f � 2p3) (4.19)

VT =Vrms\(f +2p3) (4.20)

Realizando la sumatoria de las corrientes en el punto N0 :

IR + IS + IT = 0

De allí que la corriente por el neutro en un sistema equilibrado es cero ( IN = 0)Evaluando en la expresión de la tensión entre las líneas (VL):

VRS =VR �VS (4.21)

VST =VS �VT (4.22)

VT R =VT �VR (4.23)

Inicialmente, y por simplicidad, se supone un valor de f = 0, por lo que latensión de líneaVRS:


VRS =Vrms\f �Vrms\(f � 2p3)

VRS =Vrms\0�Vrms\(0�2p3) (4.24)

Expandiendo 4.24 en su presentación binomial y procediendo a su suma:

VRS = [Vrms cos(0)+Vrms sin(0) j]�Vrms cos(0� 2p

3)+Vrms sin(0� 2p

3) j�

VRS = [Vrms +0 j]�"

Vrms(�0,5)+Vrms(�p

32

) j

#

VRS =Vrms +0 j+Vrms(0,5)+Vrms(

p3

2) j

VRS =Vrms32+Vrms(

p3

2) j (4.25)

Regresando, nuevamente la ecuación 4.25 a su representación fasorial:

VRS =

s(Vrms

32)2 +(Vrms(

p3

2))2

VRS =p

3Vrms (4.26)

Para el ángulo se tiene:

f = arctan(p

33

) =p6

(f = 30o) (4.27)

Se puede concluir, de las ecuaciones 4.26 y 4.27, que la tensión de línea, o losvoltajes entre líneas, de la conexión estrella es

p3 veces mayor que la tensión de

fase VF , y se encuentra adelantada 30o. Véase la ecuación 4.28.

VRS =p

3Vrms\(f +30o)

VST =p

3Vrms\(f �90o)

VT R =p

3Vrms\(f +150o)

En general:

VL =p

3VF (4.28)

Por otro lado, se notar que la corriente de línea es igual a la corriente de fase.Véase la ecuación 4.29:

IL = IF (4.29)

Figura 4.10: Diagrama fasorial con las tensiones de línea y de fase para laconexión estrella

EjemploUn circuito trifásico balanceado en estrella (Y �Y ) tiene una fuente con un

voltaje de fase de 110V y una impedancia de línea de 20+10 j. Si la impedancia


de la carga de 1+2 j, determine:a. La corriente por la fase R.b. La caida de tensión en la carga.

Solución

Figura 4.11: Circuito trifásico del ejemplo

Se debe obtener el circuito equivalente monofásico de la línea R de la figura4.11 ; este se resuelve y es válido para cada fase:

IR =VR

Zc +ZR=

100\020+10 j+1+2 j

IR =100\0

21+12 j=

100\024,18\29,74

= 4,13\�29,74

IR = 4,13\�29,74

Para la caida de tensión en la carga:

V c = IR ⇥Zc

V c = (4,13\�29,74)⇥ (2,23\63,43)

V c = 9,43\33,69

4.3.4. Sistema generador y receptor equilibrados conectadosen delta (4�4)

Figura 4.12: Sistema de generación fasorial trifásico delta

Para la conexión delta - delta, no existe neutro, por lo que las tensiones de faseVF son iguales a las de la línea VL. La ecuación 4.30 muestra la relación entre lastensiones de línea y fase para la conexión delta-delta.

VL =VF (4.30)

Por otro lado, se puede ver que las corrientes de línea no son iguales a lasque circulan por las fases. Analizando cada nodo, bien sea en la carga o en elgenerador, se obtienen las relaciones entre las corrientes de línea y de fase. Si seanaliza el nodo R, en la carga se obtiene la ecuación 4.31.


IR = IRS � IT R (4.31)

Para el caso en que el sistema se encuentre equilibrado, y todas las corrientessean iguales en magnitud y desfasadas 120º entre ellas se llega, de manera similaral análisis realizado en los voltajes del sistema estrella, a la ecuación 4.32 querelaciona las corrientes de línea IL y fase IF .

IL =p

3IF (4.32)

4.3.5. Sistema generador y receptor equilibrados conectadosen estrella delta (Y �4)

Este resulta ser el caso más genraliado dentro de los sistemas trifásicos. Enla figura 4.13 se muestra el circuito básico de la configuración del generador enestrella y la carga en delta.

Figura 4.13: Sistema de generación fasorial trifásico estrella delta

VR =Vrms\f (4.33)

VS =Vrms\(f � 2p3) (4.34)

VT =Vrms\(f +2p3) (4.35)

Del análisis encontrado en la conección estrella a estrella, se puede notar quelos voltajes de línea encontrados son:

VRS =p

3Vrms\(f +30o)

VST =p

3Vrms\(f �90o)

VT R =p

3Vrms\(f +150o)

A partir de los voltajes de línea, se pueden encontrar las corrientes sobre cadaelemento de la carga en delta. Como Z4 = Z1 = Z2 = Z3, entonces:

IRS =VRS

Z4

IST =VST

Z4

IT R =VT R

Z4

Una manera alternativa de evaluar el circuito trifásico estrella delta, esllevando a cabo la transformación de las impedancia en delta a estrella, lo cualse logra fácilmente por la simetría del sistema equilibrado realizando una simpledivisión por 3:

ZY =Z43

Esto puede general un circuito monofásico de fácil tratamiento. La figura4.14muestra su quivalente en estrella a estrella y su parte monofásica para elanálisis simplificado.


Figura 4.14: Sistema de generación fasorial trifásico estrella delta en suequivalente estrella estrella y monofásico.

EjemploUn sistema balanceado conectado con su generador en estrella y su carga

equilibrada en delta, tiene una tensión de fase VR = 10\20oV con secuencia RSTy una impedancia en las cargas de Z = 10+5 jW. Determine:

a. La caida de tensión en cada carga.b. Las corrientes de línea.c. Las corrientes de fase.

Solucióna. Conocido las tensiones de fase:

VR = 10\20o

Entonces:

VS = 10\(20o �120) = 10\100o

VT = 10\(20o +120) = 10\140o

La tensiones de línea se calculan mediante:

VRS =p

3Vrms\(f +30o) = 10p

3\(20o +30o) = 10p

3\50o

VST =p

3Vrms\(f �90o) = 10p

3\(100o �90o) = 10p

3\10o

VT R =p

3Vrms\(f +150o) = 10p

3\140o +150o) = 10p

3\290o

b. Las corrientes de línea se pueden determinar mediante:

IRS =VRS

Z4=

10p

3\50o

10+5 j=

10p

3\50o

11,18\26,57o = 1,54\23,43o

IST =VST

Z4=

10p

3\10o

10+5 j=

10p

3\10o

11,18\26,57o = 1,54\�16,57o

IT R =VT R

Z4=

10p

3\290o

10+5 j=

10p

3\290o

11,18\26,57o = 1,54\263,43o

c. Las corientes de fase se pueden calcular realizando la suma de las corrientesen los nodos:

IR + IT R � IRS = 0

DespejandoIR:

IR = IRS � IT R

Calculando:

IR = 1,54\23,43o �1,54\263,43o = 2,68\53,42o

4.4. Potencia en la corriente alterna trifásica 209

4.4. Potencia en la corriente alterna trifásicaPara obtener la potencia activa de un sistema trifásico se deben sumar las

potencias activas correspondientes a cada fase. De igual forma se procede conla potencia reactiva, teniendo en cuenta que esta potencia es positiva si sonreactancias inductivas y negativa si se trata de reactancias capacitivas. Una vezobtenidas las potencias activa y reactiva totales, la potencia aparente se calculautilizando la ecuación 4.36, que se logra por trigonometría a partir del triángulode potencias de la figura 4.15.

Figura 4.15: Triangulo de potencias

S =p

P2 +Q2 (4.36)

4.4.1. Cálculo de la potencia en sistemas trifásicos equilibradosY-Y

Como las tensiones y las corrientes son iguales en magnitud en las tres fases,se llega a que la potencia total es tres veces la potencia activa en una de las fases.

La ecuación 4.37 muestra dicha relación.

PT = P1 +P2 +P3 = 3PF (4.37)

Lo mismo ocurre con la potencia reactiva en el sistema equilibrado, por lo quela ecuación 4.38 muestra esta relación.

QT = Q1 +Q2 +Q3 = 3QF (4.38)

Si el sistema tiene la carga en estrella, como se aprecia en la figura 4.9, lapotencia activa está dada por la ecuación 4.41.

PT (Y ) = 3VFIF · cosj (4.39)

Lo que se pretende es determinar la potencia desde fuera de la carga, es decir,desde la línea. Dado que la intensidad de línea coincide con la de fase, como semuestra en la ecuación 4.29 y haciendo uso de la ecuación 4.28 para poner latensión de fase en función de la línea en la ecuación 4.41, se llega a:

PT (Y ) = 3VLp

3IL cosj =

p3VLIL cosj (4.40)

Aplicando el mismo criterio a la potencia reactiva 4.41, se obtiene:

QT (Y ) = 3 ·VF · IF · sinj (4.41)

QT (Y ) = 3 · VLp3· IL · sinj =

p3 ·VL · IL · sinj (4.42)

Con las potencias activa y reactiva totales, se obtiene la potencia aparente totaldel sistema trifásico en estrella:

ST (Y ) =q

P2T +Q2

T =p

3 ·VT · IT (4.43)

4.4.2. Cálculo de la potencia en sistemas trifásicos equilibrados4�4

Si la carga del sistema se conecta en delta (4), como se aprecia en la figura4.12, la potencia total es tres veces la de una de las fases. La ecuación 4.44presenta un ejemplo para la potencia en delta del voltaje de línea de las fases

4.5. Medida de la potencia en corriente alterna trifásica 211

RS:

PT (D) = 3 ·VRS · IRS · cosj (4.44)

Ahora se debe expresar la potencia términos de los voltajes de línea. Comoen la conexión delta la tensión de línea coincide con la tensión de fase, véase laecuación 4.30, y la corriente de fase se relaciona con la de línea mediante 4.32,entonces:

PT (D) = 3 ·VL ·ILp

3· cosj =

p3 ·VL · IL · cosj (4.45)

De lo anterior, se puede concluir que la potencia activa de un sistemaequilibrado, se obtiene mediante la misma expresión, independientemente de laconexión; sea estrella o delta. Las potencias de un sistema equilibrado son:

P =p

3 ·VL · IL · cosj (4.46)

Q =p

3 ·VL · IL · sinj (4.47)

S =p

3 ·VL · IL (4.48)

4.5. Medida de la potencia en corriente alternatrifásica

Para medir la potencia en corriente alterna trifásica se pueden usar losmismos instrumentos que en la determinación de la corriente alterna monofásica.Existen distintas disposiciones dependiendo si el sistema está equilibrado odesequilibrado, y si posee neutro o no.

4.5.1. Medida de la potencia en sistemas equilibrados

4.5.1.1. Con neutro

Para obtener la potencia activa, basta con un vatímetro entre una de las fases yel neutro. Si además se desea conocer las potencias aparente y reactiva, y el factorde potencia, hay que añadir también un voltímetro y un amperímetro.

El esquema de conexiones se muestra en la 4.16. Si se denomina V a la lecturadel voltímetro, e I a la del amperímetro, y W a la del vatímetro, las potencias son:

P = 3W ;

S = 3V I;

Q =p

S2 �P2;

cosj =PS=

WV · I

Figura 4.16: Medida de la potencia trifásica en corriente alterna trifásica conneutro


4.5.1.2. Sin neutro

Para este evento, se puede crear un neutro de manera artificial. Esto selogra añadiendo dos resistencias del mismo valor que la resistencia de la bobinavolumétrica del vatímetro, como se aprecia en la figura 4.17.

Figura 4.17: Medida de la corriente trifásica en CA sin neutro

Existen en el mercado comercial vatímetros para sistemas trifásicos sinneutro. Estos presentan tres bornes donde se puede crear el neutro artificial. Lasecuaciones que se deben emplear están dadas por:

P = 3W (4.49)

S =p

3V I (4.50)

Q =p

S2 �P2 (4.51)

cosj =PS=p

3WV I

(4.52)

Figura 4.18: Medida de potencia en un circuito trifásico desequilibrado conneutro.

4.5.2. Medida en sistemas desequilibrados4.5.2.1. Con neutro

Dado que la potencia en cada fase es diferente, hay que medir cada fase porseparado. Si se desea una medida de todas las potencias, hay que colocar tresvatímetros, tres voltímetros y tres amperímetros, es decir, seguir el esquema de lafigura 4.16, pero añadiendo un voltímetro, un amperímetro y un vatímetro en lasotras dos fases restantes. El esquema de conexiones se muestra en la figura4.18.

Hay que emplear las ecuaciones 4.53, 4.54, 4.55 y así pues:

P =W1 +W2 +W3 (4.53)

Q =q

(V1I1)2 �W 21 +

q(V2I2)2 �W 2

2 +q(V3I3)2 �W 2

3 (4.54)

S =p

P2 +Q2 (4.55)

cosj =PQ

(4.56)


Figura 4.19: Método de Aron

4.5.2.2. Sin neutro (Método de Aron)

Para realizar las medidas en un sistema trifásico desequilibrado sin neutro,se puede utilizar un esquema similar a la figura 4.18, creando un neutro artificialpara los vatímetros, de forma parecida a la figura 4.17. En este caso, no harían faltaresistencias se emplean vatímetros iguales, y por tanto, con bobinas voltimétricasde igual resistencia.

El método de Aron, sirve para cualquier carga, conectada en estrella o en delta(triángulo), pero para sistemas trifásicos sin línea neutra.

Se demuestra el método de Aron con variables de función del tiempo,representadas con letras minúsculas. Ya sea con magnitudes instantáneas, o conmagnitudes vectoriales, al no haber neutro se verifica que la suma de las trescorrientes de fase IL es nula:

iR + iS + iT = 0 (4.57)

por lo tanto:

iS =�iR � iT (4.58)

Así que la potencia instantánea del circuito trifásico es:

P = vR · iR + vS · iS + vT · iT (4.59)

Aunque no hay neutro en la red, y no se sabe si la carga está conectada enestrella (con su propio neutro) o en delta (triángulo), la expresión 4.59 es válida, yaque el teorema de Kennelly afirma que se puede encontrar una carga equivalenteen estrella, en caso de que la carga esté en delta.

Evaluando 4.58 y 4.59:

P = vR · iR + vS · (�iR � iT )+ vT · iT = vR · iR � vS · iR � vS · iT + vT · iT (4.60)

Factorizando:

P = (vR � vS) · iR +(vT � vS) · iT = vRS · iR + vT S · iT (4.61)

En general:

P =VRS · IR +VT S ·V T (4.62)

Se demuestra que midiendo sólo la tensión entre dos fases (voltaje de línea),con la configuración del método de Aron, se puede medir la potencia en sistemastrifásicos sin neutro, tanto equilibrados como desequilibrados. Además, si elsistema está equilibrado, se puede demostrar que:

P =W1 +W2 (4.63)

Q =p

3 · (W1 �W2) (4.64)

Donde W1 y W2son las lecturas de los vatímetros.

4.6. Ejercicios propuestos1. Con los datos del circuito de la figura 4.20, encuentre el valor del

condensador, que conectado paralelamente a una fuente de 120 V a 50 Hz,eleve el factor de potencia a 0,95. Verifique el resultado.

2. Con el mismo circuito de la figura 4.20, halle el valor del condensador queeleva el factor de potencia a 0,95 pero para una fuente de 120 V a 60 Hz.


Figura 4.20: Corrección del factor de potencia

3. En base a la información suministrada por el circuito de la figura 4.21,encuentre el condensador que incremente el factor de potencia a 0,95.

4. Encuentre la corriente de línea del circuito trifásico equilibrado de la figura4.22.

5. De acuerdo a la figura 4.22, si sale por fallo la inductancia L5, es decir seinterrumpe la fase S, cuánto vale la corriente en la fase R?

Figura 4.21: Corrección del factor de potencia

Figura 4.22: Circuito trifásico equilibrado

Anexo A: Unidades de Medida

La metrología se define como la ciencia de las mediciones, la cual estransversal a todas las demás porque estas precisan siempre mesurar fenómenospropios de su interés.

Los sistemas de medición han evolucionado de la mano con el progreso de laciencia, el intercambio comercial y la industria. Actualmente en la mayor partedel mundo es aceptado un solo sistema de medición, el Sistema Internacional deUnidades (SI). Este sistema plantea siete unidades fundamentales, de las cualesse derivan todas las demás. En el cuadro 4.2 se ofrece un listado de las unidadesfundamentales del SI.

NOMBRE SÍMBOLO CANTIDAD

metro m Longitudkilogramo kg Masasegundo s Tiempoampere A Intensidad de corriente eléctricakelvin K Temperatura termodinámica

candela cd Intensidad luminosamol mol Cantidad de substancia

Cuadro 4.2: Unidades básicas del SI

De las unidades presentadas en el cuadro 4.2, se desprenden un númeroconsiderable de magnitudes, algunas de ellas se exponen en el cuadro 4.3.

219

Anexo A: Unidades de Medida

NOMBRE SÍMBOLO CANTIDAD

metro cuadrado m2 Áreametro cúbico m3 Volumen

metro sobre segundo ms Velocidad

metro sobre segundo cuadrado ms2 Aceleración

newton N Fuerzahertz Hz Frecuenciapascal Pa Presiónjoule J Energíawatt W Potencia

coulomb C Carga eléctricavolt V Potencial eléctrico

farad F Capacitanciaohm W Resistencia eléctrica

siemens S Conductanciatesla T Campo magnético

volt sobre metro Vm Campo eléctrico

weber Wb Flujo magnéticohenry H Inductancia

Cuadro 4.3: Algunas unidades derivadas del SI

Todas las unidades del cuadro 4.3 son compuestas por unidades básicas del SI,que han sido denominadas en honor a notables hombres de ciencia. En el cuadro4.4 se presentan la equivalencia en unidades básicas del cuadro 4.3.

Anexo A: Unidades de Medida 221

NOMBRE UNIDAD EQUIVALENCIA

newton N kg ms2

hertz Hz 1s

pascal Pa Nm2 =

kgm s2

joule J N m = kgm2

s2

watt W Js = kgm2

s3

coulomb C A svolt V W

A = kg m2

A s3

farad F CV = A2s4

kg m2

ohm W VA = kg m2

A2s3

siemens S 1W = A

Vtesla T kg

A s2

weber Wb T m2 = kg m2

A s2

henry H kg m2

A2s2

Cuadro 4.4: Equivalencia en unidades básicas del SI

Igualmente, las unidades mencionadas suelen ser acompañadas por unosprefijos de magnitud, es decir, factores numéricos; estos son mostrados en elcuadro 4.5.

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR

pico p 10�12

nano n 10�9

micro µ 10�6

mili m 10�3

centi c 10�2

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

Cuadro 4.5: Prefijos comunes

Anexo B: Números complejos

B.1 El número imaginarioEl término o número imaginario corresponde a la letra i usualmente manejada

por los matemáticos o j empleado por los ingenieros electricistas y quecorresponde a raíz cuadrada de menos uno (i = j =

p�1). En esta obra se

manejará la j como el término imaginario.

Operaciones con j

Con el número imaginario se pueden hacer operaciones o simplificaciones. Acontinuación algunas simples operaciones.

j =p�1

j⇥ j = j2 =⇣p

�1⌘2

=�1

1j=

1j⇥ j

j=

jj2 =� j

B.2 El número complejoUn número complejo está compuesto por un término real y uno imaginario,

como se aprecia a continuación:

C= A+ jB (4.65)

Donde:

C: Número complejo

223

B.2 El número complejo

A: Parte real

j: Número imaginario

B: Parte imaginaria

Por ejemplo, cuando se resuelve una ecuación cuadrática:

ax2 +bx+ c = 0 (4.66)

Que tiene las siguientes dos soluciones:

x1 =�b+

pb2 �4ac

2a(4.67)

x2 =�b�

pb2 �4ac

2a(4.68)

Obsérvese, que para que el sistema tenga soluciones b2 � 4ac � 0, de locontrario, la respuesta sería imaginaria.

Ejercicio Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

x2 +2x+2 = 0

De acuerdo con las ecuaciones 4.67 y 4.68:

x1,2 =�2±

p4�8

2

x1,2 =�2±

p�4

2

x1,2 =�2±

p(�1)(4)2

Se saca del radical el menos uno como el número j:

x1,2 =�2± j

p4

2

x1,2 =�1± j

B.3 Presentación de los números complejos 225

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones que involucran el elementoimaginario j:

x1 =�1+ j

x2 =�1� j

Los valores de x1 y x2 son números complejos, porque poseen parte real eimaginaria.

B.3 Presentación de los números complejosLos números complejos se pueden presentar en tres formas diferentes:

Forma binomial

Forma polar

Forma exponencial

Forma binomialEste aspecto del complejo involucra una parte real y una imaginaria; esta

forma se aprecia en la ecuación 4.65 (C= A+ jB).

Forma polarEsta presentación del complejo está dividido en dos partes: la magnitud y el

ángulo, como se puede ver en la ecuación 4.69.

C=C\f (4.69)

Un número complejo en forma polar se puede representar a través de la figuraB.1, la cual forma triángulo rectángulo desde el cual se puede hacer la conversiónde forma polar a binomial y viceversa.

La figura B.1 muestra dos ejes coordenados: el eje real y el imaginario.Partiendo de un número en forma polar se puede llegar a número equivalente

en binomial, utilizando la relación siguiente:

A =C cosf (4.70)

B.3 Presentación de los números complejos

Figura B.1: Representación gráfica del número complejo

B =C sinf (4.71)

Ahora la operación viceversa de binomial a polar se desarrolla mediante:

C =p

A2 +B2 (4.72)

f = tan�1✓

BA

◆(4.73)

Las ecuaciones anteriores son desarrolladas por medio de las definiciones deseno, coseno, tangente y la ecuación de Pitágoras (C2 = A2 +B2).

Forma exponencialEsta forma se sustenta sobre la identidad de Euler (ec. 4.74).

Ce jf =C cosf + jC sinf (4.74)

Donde:

C: Magnitud del número.

B.4 Operaciones con números complejos 227

f : Ángulo

Entonces de manera resumida, un número se puede representar de la siguienteforma:

C=C\f =Ce jf =C cosf + jC sinf = a+ jb (4.75)

B.4 Operaciones con números complejosLos procedimientos de suma, resta, multiplicación y división con números

complejos son distintos a los realizados con números reales.

Suma y resta de números complejosLa adición y substracción de números complejos solo se puede realizar a través

de la forma binomial, es decir que si el número se encuentra en alguna otra forma,este debe ser traducido al modo binomial.

La suma o resta en modo binomial es simple, se hacen las operacionesrespectivas entre partes reales y partes imaginarias, como se considera acontinuación:

Sean dos números complejos A y B, hallar la suma y resta respectiva entreambos términos.

A= Are + jAim

B= Bre + jBim

Donde los subíndices re y im significan parte real e imaginaria del númerocomplejo respectivamente.

Entonces, las operaciones quedan así:

A+B= (Are +Bre)+ j (Aim +Bim) (4.76)

A�B= (Are �Bre)+ j (Aim �Bim)

Ejemplo

Encuentre el complejo F que resulta de la suma de los siguientes tres númeroscomplejos:

C= 3\30�

B.4 Operaciones con números complejos

D= 2� j4

E= 4e j60�

Primero todos los números deben estar en el modo binomial.

C= 2,6+ j1,5

E= 2+ j3,5

Ahora se hace la respectiva suma:

F= C+D+E

F= (2,6+2+2)+ j(1,5�4+3,5)

F= 6,6+ j

Multiplicación y división de números complejosEsta operación se puede realizar en cualquiera de las formas del número

complejo. A continuación se hace la operación en forma binomial.Sean dos números complejos A y B (definidos en la sección anterior),

encuentre el producto y el cociente entre ambos.

A.B= (Are + jAim) .(Bre + jBim) (4.77)

A.B= Are.Bre +Are. jBim + jAim.Bre + jAim. jBim

Se puede apreciar que el procedimiento para el producto en forma binomial,es multiplicar término a término cada una de las partes del número complejo.Seguidamente, aparece el modo de dividir dos complejos en forma binomial.

AB =

Are + jAim

Bre + jBim

Se debe recurrir a un denominado racionalización del número imaginario j;entonces se debe multiplicar todo el término por el complejo conjugado3 del

3El complejo conjugado, es el mismo complejo pero con el término imaginario de signo

B.4 Operaciones con números complejos 229

denominador, como se indica a continuación.

AB =

✓Are + jAim

Bre + jBim

◆.

✓Bre � jBim

Bre � jBim

◆

Nótese, que el término con el cual se multiplica el cociente, no alterael resultado porque este es igual a 1. Cuando se resuelvan los productos, eldenominador será un número real, es decir, el número imaginario j desaparece.Esto sucede porque al multiplicar un número por el mismo conjugado, se cancelala parte imaginaria:

B.B⇤ = (Bre + jBim) .(Bre � jBim)

B.B⇤ = Bre.Bre �Bre. jBim + jBim.Bre � jBim. jBim

Se cancelan los términos de la mitad de la ecuación y como j2 = �1, estoresulta en un real:

B.B⇤ = B2re +B2

im

Los productos o cocientes son mas sencillos si se trabajan en forma polar oexponencial como se advierte a continuación con los números C y D.

C=C\f =Ce jf

D= D\a = De ja

Entonces el producto se realiza de la siguiente forma:

C.D=C.D\f +a =C.De j(f+a)

Y la división tiene un proceso similar:

CD =

CD\f �a =

CD

e j(f�a)

contrario y se indica como el complejo con un asterisco en el superíndice: B⇤

B.4 Operaciones con números complejos

Ejemplo

Sean los complejos en forma polar E = 5\30� y F = 6\20� . Encuentre elproducto y la división entre ambos.

E.F= (5,6)\(30�+20�) = 30\50�

EF =

56\(30� �20�) = 0,8\10�

Anexo C: Computación numérica

C.1 IntroducciónEn Mecatrónica es necesario realizar cálculos numéricos y programar

procesos utilizando equipos y software para computación numérica. Este capítulointenta formar una idea básica al lector en aspectos relacionados con cálculosnuméricos y programación.

Tipos de lenguajeActualmente es común la utilización de lenguajes interpretados para el

desarrollo de actividades específicas relacionadas con el procesamiento numérico.Un lenguaje interpretado es aquel que necesita de un interprete para ejecutar unscript4 determinado; a diferencia de los lenguajes compilados, en los cuales uncódigo de programación que es entendible para los humanos se traduce en unasecuencia de código ejecutable que es entendible para las máquinas.

Como lenguajes interpretados podemos encontrar los siguientes:

PHP: Lenguaje orientado a desarrolladores web.

ActionScript y JavaScript: Similar a PHP. Utilizado en páginas web.

Python: Poderoso lenguaje multipropósito.

Octave y Matlab: Lenguajes orientados a computación numérica. Muyutilizados en universidades y la industria.

En lo que respecta a lenguajes compilados, su mayor exponente es el todopodero-so lenguaje C; también están el Fortran y el Pascal que son muy populares.

4Secuencia de código de programación.

231

C.2 Explorando Octave

Software Libre

El software libre o free software (que no significa "software gratis") es elsoftware que puede ser usado, estudiado y modificado sin ninguna restricción5.Esto apunta a que los usuarios de software puedan obtener los códigos fuentes delos diferentes programas; además de no tener que pagar obligatoriamente algúndinero, por el acceso a los programas. Esto significa que el software no tienecopyrights o derechos de autor; mas bien posee una licencia que garantiza losderechos y libertades de los usuarios6. Esto es bastante filantrópico, puesto que elsoftware al igual que el conocimiento debe ser un patrimonio de la humanidad, esdecir, un bien colectivo. Sin embargo, si el software libre se utiliza en algunaaplicación comercial, un poco de dinero no le haría mal al desarrollador delprograma (¡De algo se tiene que vivir!).

Por el otro lado se encuentra el software licenciado, al cual se accede pagandopor lo general un valor que no se encuentra al alcance de las personas comunes.Aunque se pague el precio de la licencia, aun así, no se tiene derecho al códigofuente, es decir, el usuario está encerrado en un mundo tan pequeño como el dueñoreal del programa haya querido.

Octave

Para hablar de Octave, primero es debido referirse a MATLAB, cuyopropietario es Mathworks inc. MATLAB es la contracción de Matrix Laboratory,y es una herramienta poderosa para atender problemas de ingeniería simple ocompleja. Sin embargo, este software está licenciado totalmente y es bastantecostoso. Afortunadamente este buen programa tiene un excelente competidorllamado Octave7que es totalmente libre. Octave fue escrito por John W. Eatony muchas otras personas. En adelante toda la temática del presente capítulo sedesarrollará aprovechando las bondades de Octave.

5Tomado de la página de "Free Software Fundation" http://www.fsf.org6La licencia completa se puede observar en la página: www.gnu.org/copyleft/gpl.html7La página oficial de Octave es: http://www.octave.org

C.2 Explorando Octave 233

C.2 Explorando OctaveA continuación se presenta de manera resumida algunas funcionalidades del

Octave extraídas principalmente de la documentación oficial del proyecto8.Octave es un lenguaje de alto nivel el cual es trabajado desde consola ó ventana

de comandos y se puede descargar libremente para variadas plataformas (Linux,Windows, MAC, etc) desde la página oficial del proyecto9.

AritméticaSe pueden realizar operaciones simples aritméticas:

octave:#>1 + 2 * 3ans = 7

Operaciones con números complejos:

octave:#>(4+2i)*(2-3i)ans = 14-8i

Una de las ventajas de este tipo de programas, es que tiene funciones preinstaladasque facilitan la vida; por ejemplo, a continuación se calcula la magnitud de laoperación anterior utilizando la función abs().

octave:#>abs(14-8i)ans = 16.125

Igualmente existen las funciones para la parte real -real()-, parte imaginaria -imag()- y muchas mas que pueden ser consultadas del manual oficial.

TrigonometríaPara este programa, la unidad de medición angular es el radián. Si se desea

convertir a grados es necesario multiplicar por 180�p o por el contrario si la

conversión es de grados a radianes, el factor es por p180� ; por ejemplo, el seno

de 30�es igual a 0.5:

8http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/9http://www.gnu.org/software/octave/download.html


octave:#>sin(30 * pi/180)ans = 0.5

También coseno de p3 es igual a 0.5:

octave:#>cos(pi/3)ans = 0.5

El Octave posee algunas constantes, como se ha observado la constante p seescribe -pi-.

Transformaciones de coordenadasExisten tres sistemas de coordenadas como son:

1. Cartesianas

2. Polares

3. Esféricas

Se pueden pasar de un sistema a otro sin ninguna complicación. Por ejemplo, acontinuación se va de polares a cartesianas:

octave:#>theta = pi/6;octave:#>r = 5;octave:#>[x, y] = pol2cart(theta, r)x = 4.3301y = 2.500

El código anterior es bastante interesante, primero se asigna valor a unas variables(theta y r), luego se aplica la función de transformación -pol2cart()- la cual tomaunos argumentos de entrada, que en su orden son el ángulo (theta) y el radio (r),y la salida la asigna a las variables x y. Si deseamos comprobar, entonces:

x = r cosq

y = r sinq

Existen también otras funciones que transforman coordenadas que el lectorpuede explorar:


cart2pol()

cart2sph()

sph2cart()

MatricesCreación de matrices

Crear una matriz en Octave es muy sencillo; entre corchetes ([ ]), los elementosse separan con espacios o comas y las columnas con punto y coma (;).

octave:#>A = [1 2;3 4]

Se pueden crear matrices aleatorias, utilizando la función -rand()-; por ejemplo,una matriz de 2 x 3 (dos filas y tres columnas).

octave:#>B = rand(2, 3)

Aritmética de matrices

Se pueden hacer operaciones entre matrices respetando las debidas reglas [5]:

octave:#>5 * A;octave:#>A * B;

Ecuaciones lineales

Se pueden resolver ecuaciones lineales de la forma:

A⇥X = B

X = A�1 ⇥B

octave:#>X = A \ B;

Obsérvese que se utiliza la barra invertida (\) para este propósito. Como ejemplose resolverá el siguiente sistema:

3x1 �2x2 = 7


2x1 +4x2 = 3

Se ordenan en forma matricial este par de ecuaciones:3 �22 4

�x1x2

�=

73

�Entonces:

x1x2

�=

3 �22 4

��1 73

�El script en Octave para la operación anterior tendría la siguiente forma:

octave:#>A = [3 -2;2 4];octave:#>B = [7;3];octave:#>X = A\BX =2.125-0.3125

Manipulación de matrices

Se pueden manipular las matrices, extraer o reeditar elementos de un arreglo:

octave:#>A = [1 2;3 4];octave:#>A(2, 1) = 7;

En el script anterior, se crea la matriz A y luego se le modifica el término ubicadoen la segunda fila, primera columna; el resultado es:

A =

1 27 4

�Utilidades

Existen muchas funciones que simplifican el trabajo con matrices, por ejemplocrear la matriz identidad:

octave:#>eye(3)ans =1 0 00 1 00 0 1


O medirle el tamaño a determinada matriz:

octave:#>size(eye(3))ans =3 3

Es decir, la matriz identidad anteriormente formulada tiene tres filas y trescolumnas.

GráficosEn Octave se pueden realizar diversos gráficos con variadas funcionalidades.

Gráficas en 2D

Se utiliza principalmente la función -plot()- que realiza gráficas de funciones.En el siguiente ejemplo se realizará el gráfico de la función seno entre �p y pradianes; y se muestra en la figura C.1.

octave:#>theta = -pi:0.1:pi;octave:#>y = sin(theta);octave:#>plot(theta, y)

Primero se define el dominio de la función asignándose a la variable theta;luego se le aplica el seno y se introduce en la función -plot()-.

También el gráfico se puede modificar en su presentación, adicionarle rótulosy cuadrículas entre otras cosas, como se muestra en la figura C.2.

El código que muestra a la figura C.2, es el siguiente:

octave:#>plot(theta, y, ’*b’);octave:#>xlabel(’radianes’);octave:#>ylabel(’seno(theta)’);octave:#>title(Gráfico de la función seno’);octave:#>grid on

Primero se grafica utilizando un argumento extra el cual es -*b- que conecta elgráfico por círculos y de color azul, en los tres siguientes se asignan etiquetas alos ejes y el título; por último se pone la cuadrícula con la instrucción -grid on-.

También se puede graficar varias curvas en el mismo cuadro utilizando lainstrucción -hold on-, como muestra el código a continuación y la figura C.3.


Figura C.1: Función seno

Figura C.2: Función seno modificada

C.3 Programación en Octave 239

Figura C.3: Varios gráficos en una sola ventana

octave:#>clearplot;octave:#>hold on;octave:#>theta = -pi:0.1:pi;octave:#>y1 = sin(theta);octave:#>y2 = cos(theta);octave:#>y3 = y1 + 2*y2;octave:#>plot(theta, y1);octave:#>plot(theta, y2);octave:#>plot(theta, y3);

De la misma manera en una sola ventana pueden estar varias gráficas usando lasinstrucciones -multiplot()-, -subwindow()-; esto es mostrado en la figura C.4.

Gráficos en 3D

Se pueden realizar gráficos en 3D como se aprecia en la figura C.5, con unascuantas instrucciones; por ejemplo la gráfica de la función f (x,y) = e(�x2�y2):

octave:#>x = -3:0.1:3;octave:#>[xx, yy] = meshgrid(x, x);octave:#>z = exp(-xx.^2 - yy.^2);octave:#>title(’exp(-x^2 - y^2)’);octave:#>mesh(x, x, z);

C.3 Programación en Octave

Figura C.4: Varios gráficos en una sola ventana.

Figura C.5: Gráfico en 3D


C.3 Programación en OctaveLa programación en Octave es bastante simple y se puede realizar directamen-

te en la ventana de comandos ó a través de archivos externos.

Funciones y scriptsLa ruta o Path

Para la correcta ejecución de los scripts o las funciones, que se administrendesde un archivo, es necesario especificar la ruta de acceso al Octave, es decir, queel Octave tendrá presente la carpeta donde se guardará los códigos del usuario.

Por ejemplo si se desea guardar códigos de en un archivo y se escoge la carpetaEscritorio, entonces utilizamos la función -addpath(" ")- para adicionar esa rutaal Octave.

Para Linux la instrucción de la ruta podría ser:

octave:#>addpath("/home/USUARIO/Desktop");

Si se desea guardar definitivamente la ruta, entonces se ejecuta la instrucción -savepath-.

Scripts

Un script que en Español podría ser entendido como libreto o guión, es unarchivo que contiene en su mayoría una secuencia de comandos de Octave y quese evalúan tal cual se haría en al ventana de comandos de Octave.

A diferencia de las funciones, estos scripts, no comienzan con la palabrafunction, y las variables utilizadas en el script, no son locales, es decir, persistenhasta el cierre de la sesión actual de Octave.

El siguiente script dibuja una función seno compleja10:

z = [0:0.05:5];plot3(z, exp(2i*pi*z), ";complex sinusoid;");xlabel("eje x");zlabel("eje z");

10Instrucciones extraídas en parte desde: http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Three_002dDimensional-Plotting.html#Three_002dDimensional-Plotting


Figura C.6: Seno complejo

Se guarda en un archivo de nombre -SenoComplejo.m-. Se ejecuta con lainstrucción11:

octave:#>SenoComplejo

Luego de la instrucción aparece el resultado de la ejecución que se muestra en lafigura C.6.

Funciones

Una función es un programa que realiza una tarea específica; toma un ounos valores de entrada, usualmente llamados argumentos y entrega unos datosdeterminados. Por ejemplo, en la ecuación 4.78, el argumento de entrada es unángulo en radianes (p

2 ); y la salida es el valor que entrega la función (y = 1).

y = sin(q) (4.78)

y = sin⇣p

2

⌘y = 1

11Asegúrese de tener la ruta definida (sección 4.6)


Figura C.7: Triángulo rectángulo

Una función debe tener su respectivo nombre, excluyendo los nombres de lasfunciones propias de Octave; los nombres pueden tener secuencias de letras ynúmeros pero el nombre no puede comenzar con algún dígito.

Las funciones se pueden escribir en la ventana de comandos (la función existemientras esté viva la sesión) ó a través de una archivo de texto con extensión .m;en todo caso, siempre la función debe comenzar con la palabra function y terminarcon la sentencia endfunction.

La estructura de la función es muy simple:

function MiFuncion(argumentos de entrada)cuerpo del códigoendfunction

En el ejemplo siguiente, una función calcula la longitud del lado mas largo deun triángulo rectángulo, mostrado en la figura C.7 (lado c).

La función tiene el siguiente código:

# Esta función calcula el valor de la hipotenusa de un# triángulo rectángulofunction Pitagoras(a,b)c = sqrt(a^2 + b^2);disp(c);endfunction

Esta función se almacena en un archivo de texto llamado -Pitagoras.m-; y sellama desde la ventana de comandos, previa asignación del -path- (sección 4.6).Las líneas de código precedidas por el signo #, son comentarios invisibles en laejecución de la función.

octave:#>Pitagoras(2, 3)3.6056


La función -Pitagoras- toma dos valores que corresponden al lado a y lado b(figura C.7) y entrega el valor numérico del lado c.

Control de flujo y decisionesCiclo FOR

El ciclo for repite determinadamente dos o más veces una instrucción oconjunto de estas, consecutivamente. La estructura del ciclo es simple:

for variable = expresióninstruccionesendfor

Como ejemplo, a continuación se presenta un código que genera un listado del 3al 10.

for k = 3:10disp(k);endfor

Se observa que la variable k aumenta de uno en uno.

Ciclo WHILE

El ciclo WHILE a diferencia del ciclo for, se ejecuta un número inicialmenteindefinido, es decir, que el número de ciclos está determinado por algunacondición del programa.

La estructura del ciclo WHILE se presenta a continuación.

while (condición)instruccionesendwhile

Se obtiene el mismo conteo del ejemplo anterior, pero utilizando el while.

k = 3;while (k <=10)disp(k);k++;endwhile


Primero se define la variable k en 3, luego el ciclo indica que k debe ir hasta 10utilizando una comparación (sección 4.6); en el interior del ciclo se incrementapor unidad k, con la instrucción k++.

Es necesario tener cuidado que el ciclo se auto-interrumpa, porque de locontrario puede degenerar en un ciclo infinito, el cual puede producir una caídadel sistema en general.

Sentencia IF

La sentencia if es utilizada con el propósito de tomar decisiones condicionadasdentro de un programa; esta puede escoger entre dos o mas opciones empleandola extensión elseif.

Estructura:

if (condición)sentencia si condición 1 afirmativaelseif (condición 2)sentencia alternativa si condición 1 no cumple y la condición 2 sielsesentencia por defectoendif

El siguiente ejemplo determina si un número previamente introducido es par oimpar. Emplea la instrucción mod que entrega un 0 si la división es exacta y un 1si esta tiene residuo; esta última función está antecedida por un ~ que invierte losresultados.

a = 8;if(~mod(a,2))disp("Número par");elsedisp("Número impar");endif

Sentencia SWITCH - CASE

La sentecia switch - case presenta un comportamiento similar al if ; deacuerdo a una expresión determinada, se escoge una sentencia, como se muestraa continuación.


switch expresióncase situación 1instrucciones...case situación 2instrucciones......otherwiseinstrucciones...endswitch

Utilizando la estructura switch, se determina si el número 3 es par o impar.

switch mod(3, 2)case 0disp("Número par");case 1disp("Número impar");otherwisedisp("Número impar");endswitch

Relaciones y operadores lógicosOperadores de comparación

Estos operadores comparan valores numéricos y retornan 1 si la comparaciónes verdadera y 0 si esta es falsa. En el cuadro C.1 se aprecian los operadores mascomunes.

Operadores lógicos

Los tres operadores básicos son: or, and y not. En el cuadro C.2 se muestranlos tres operadores junto a su significado. Para mayor claridad en el cuadro C.3 seencuentra un ejemplo que emplea operadores lógicos.


Operador Verdadero si ...x < y x es menor que y

x <= y x es menor o igual que yx == y x es igual a yx >= y x es mayor o igual que yx > y x es mayor que yx != yx ~= y x es diferente de yx <> y

Cuadro C.1: Operadores de relación

Operador Símbolo Operación Verdadero si ...AND & x & y x, y son iguales a 1OR | x | y si cualquiera x o y son iguales a 1

NOT ! !x si x es igual a 0

Cuadro C.2: Operadores lógicos básicos

x y x & y x | y !x !y0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 11 1 1 1 0 0

Cuadro C.3: Ejemplo de las operaciones lógicas


Cadenas de textoUna cadena de texto es aquella secuencia de caracteres alfanuméricos que se

encuentra encerrado por una comilla simple o doble, por ejemplo: "elefante", o’tigre’.

Las cadenas se pueden manejar como vectores de caracteres:

octave:#>Var1 = "Hola mundo";octave:#>Var1(4)ans = aoctave:#>Var1(6:10)ans = mundo

En el ejemplo anterior se definió una cadena y se tomaron por indexación simplealgunos elementos. Existen muchas otras funciones con cadenas que se puedenconsultar en el manual oficial del Octave12.

12http://www.network-theory.co.uk/docs/octave/index.html

Anexo D: Prácticas de laboratorio

Anexo D: Prácticas de laboratorio

D.1 Corriente Continua

Equipo1. 2 resistencias de 220W, 2 resistencias de 56W, 1 resistencia de 110W.

2. 1 resistencia variable.

3. 3 pilas de 1,5V .

4. 1 protoboard.

5. 1 multímetro.

6. Alambre 24 AWG.

Trabajo previo1. Investigue acerca de las resistencias, cuál es el significado de las bandas de

colores y por qué es importante conocer la potencia de la resistencia?

2. Del circuito de la figura D.1 encuentre todas las corrientes y voltajes,especialmente en la resistencia R4. Realice el procedimiento manualmentey compruebe mediante simulación. Verifique que ninguna corriente supereel límite de potencia de cada resistencia.

3. Encuentre el equivalente de Thévenin visto desde la resistencia R4 y halleel voltaje sobre la carga. Recuerde que el terminal negativo de las bateríases un punto común.

251

D.1 Corriente Alterna

Figura D.1: Circuito en corriente continua

Trabajo práctico

1. Ensamble físicamente el circuito de la figura D.1 y verifique con elmultímetro los cálculos hechos para la resistencia R4. Se recomienda nodejar conectado permanentemente el circuito con el fin de ahorrar energía.

2. Desconecte la resistencia R4 y comprueba el principio de superposición.

3. Ensamble el equivalente de Thévenin y mida el voltaje y la corriente sobreR4.

4. Modifique R4 con dos valores diferentes y mida la respectiva tensión.

Análisis

1. Corresponden los resultados prácticos a los hallados en el trabajo previo?Existe diferencias considerables? Cuál es la justificación en la diferencia?

2. En el equivalente de Thévenin hallado en el trabajo previo, cumplió con elpunto 4 del trabajo práctico?

D.1 Corriente Alterna 253


Equipo

1. 1 resistencia de 100W de 12 watt13, 1 condensador de 10 µF .

2. 1 generador de señales.

3. 1 osciloscopio con dos sondas (2 entradas).

4. 1 protoboard.

5. 1 multímetro.

6. Alambre 24 AWG.

Trabajo previo

1. Investigue acerca del propósito y funcionamiento del generador de señal yel osciloscopio.

2. Si el eje horizontal del osciloscopio mide tiempo, como se pueden hallardiferencias de ángulo entre dos señales distintas?

3. Que son las medidas directas e indirectas?

4. Como se mide la corriente con un osciloscopio?

5. Simule el circuito de la figura D.1.

6. Variando la frecuencia del generador de señales, midiendo sobre laresistencia, complete el cuadro D.1 con datos de la simulación.

13Es importante que esta resistencia tenga esta capacidad de potencia para evitar que serecaliente.


Figura D.1: Circuito alimentado con AC

Trabajo Práctico

1. Monte sobre el protoboard el circuito de la figura D.1.

2. Alimente el circuito con una señal seno y mida con el osciloscopio laamplitud de la señal generada a una frecuencia de 50Hz.

3. Mida la amplitud de la señal generada con un multímetro a la mismafrecuencia.

4. Complete el cuadro D.2. Ubique el canal 1 del osciloscopio a la salida delgenerador y el canal 2 a la entrada de la resistencia para poder medir elángulo de desfase entre el voltaje suministrado por el generador y el medidoen el circuito.

5. Con cualquiera de los dos canales, mida solo la magnitud del voltaje en elcondensador y consigne los datos en el mismo cuadro.

D.1 Corriente Alterna 255

Frecuencia (Hz) Voltaje V\q Corriente A\q50

100150200250300350400450500

Cuadro D.1: Frecuencia vs voltaje y corriente.

Frecuencia (Hz) Voltaje resistencia (V\q ) Voltaje condensador (V )50

100150200250300350400450500

Cuadro D.2: Frecuencia vs voltaje y corriente.

D.3 Corrección del factor de potencia

Análisis1. Qué diferencia encuentra entre la magnitud de la señal medida con el

osciloscopio y la medida con el multímetro?

2. Se cumple la relación: Vrms =Vpicop

2?

3. Que variación observa respecto a la magnitud del voltaje medido en elcondensador respecto al aumento de la frecuencia en el generador.

4. Qué se aprecia en el ángulo de desfase de la corriente del circuito?

5. Qué se puede concluir acerca del voltaje en el condensador respecto alaumento en la frecuencia de generación?

6. Cómo se comporta el condensador a medida que aumenta la frecuencia?

D.3 Corrección del factor de potencia

Equipo1. 1 resistencia de 100W de 1

2 watt.

2. 1 generador de señales.

3. 1 osciloscopio con dos sondas (2 entradas).

4. 1 protoboard.

5. 1 multímetro.

6. 1 condensador.

7. Alambre 24 AWG.

Trabajo previo1. Construya una inductancia cilíndrica de núcleo de aire de 50 ⇥ 10�6 H,

empleando la siguiente expresión:

L =µ0N2A

l

D.3 Corrección del factor de potencia 257

Figura D.1: Circuito RL

Donde:L: Inductancia en H.µ0 : Coeficiente de permeabilidad del vacío (µ0 = 4p ⇥10�7 H

m )N: Número de vueltas de alambre.A: Área del cilindro (m2).l: longitud de la bobina (m).

2. Determine en el circuito serie RL de la figura D.1, cual es el factor depotencia, teniendo en cuenta que R = 100W, L = 50µH y la fuente es de5V a una frecuencia de 500kHz.

3. Si el circuito es inductivo, es decir, la corriente atrasa al voltaje, corrija elfactor de potencia a 0,9 hallando el valor del condensador respectivo.

4. Simule el circuito y compruebe los cálculos.

Trabajo Práctico1. Haga el montaje con que se muestra en la figura D.1.

2. Mida el factor de potencia.

3. Instale el condensador calculado en el trabajo previo en paralelo a la fuentey mida nuevamente el factor de potencia.

D.4 Filtros

Análisis1. Compare los elementos calculados con los realmente instalados.

2. Por las observaciones en el osciloscopio, es posible determinar el valor realdel inductor?

3. Luego de hecha la corrección, encontró reducción del ángulo inicial?

D.4 Filtros

Equipo1. 1 Osciloscopio.

2. 1 Generador de funciones.

3. 1 Multímetro.

4. 1 resistencia de R = 100W

5. 1 Condensador de C = 0,1µF .

6. 1 inductancia de L = 1mH.14

7. 1 protoboard.

8. Alambre 24 AWG.

Trabajo previo1. Defina qué es un resistor, un condensador y una inductancia. Cómo se

comportan estos ante las bajas y las altas frecuencias? Explique.

2. Para el circuito serie mostrado en la figura D.1 coloque un un condensadorentre los terminales a y b y encuentre la magnitud del voltaje a la salidade este, si se considera que R = 100W y C = 0,1µF alimentados con unafuente alterna de forma seno con amplitud 5V . Calcule la caída de tensión

14Se puede generar a partir de un arreglo en serie de valores de 100uH

D.4 Filtros 259

Figura D.1: Circuito en corriente alterna de la experiencia para filtros

entre los terminales a y b para las frecuencias mostradas en cuadro D.1 yrealice por separado las gráficas de amplitud, en términos de la ganancia,contra frecuencia en Hz y de fase en grados contra frecuencia en Hz en unaescala logarítmica base 10.

3. Determine gráfica y analíticamente la frecuencia de corte del circuito. Quétipo de filtro es a la salida de los terminales a y b?

4. Repita el trabajo previo para los pasos 2 y 3 colocando solamente unainductanciaL = 1mH15 entre los terminales a y b.

5. Nuevamente efectúe el trabajo previo para los pasos 2 y 3 colocandoúnicamente un condensador de C = 0,1uF y una inductancia L = 1mH enserie entre los terminales a y b.

Trabajo práctico1. Implemente físicamente el circuito serie mostrado en la figura D.1 con

R = 100W colocando un condensador de C = 0,1µF entre los terminalesa y b alimentando la serie con una fuente alterna de forma seno de amplitud

15recuerde que 1 mH equivale a 1000uH

D.4 Filtros

5V . Varíe la la frecuencia del generador en los pasos mostrados en el cuadroD.1 y lea la caída de tensión entre a y b mediante un osciloscopio para lasfrecuencias sugeridas en en cuadro D.1; mida la fase entre la fuente y elelemento de circuito que hay entre los terminales a y b (Use el osciloscopio)y proceda a graficar la fase contra la frecuencia en Hz.

2. Determine entre los terminales a y b la frecuencia en Hz para la cual laganancia es de 0,7.

3. Repita el trabajo práctico del paso 1 y 2 colocado solo una inductancia devalor L = 1mH entre los terminalesa y b.

4. Nuevamente repita el trabajo práctico del paso 1 y 2 colocando en serie unainductancia de valor L = 1mH y un condensador de C = 0,1µF entre losterminales a y b.

Análisis1. Realice la gráfica de amplitud, en términos de ganancia, entre los terminales

del elemento de circuito colocado entre a y b contra frecuencia en Hz enuna escala logarítmica base 10 para el paso 1,3 y 4 del trabajo práctico.Identifique sobre la gráfica el valor de la frecuencia para la cual la gananciaes de 0.7. Compare el valor de la frecuencia en Hz de corte con los valoresexperimentales. Existe alguna diferencia? Explique y Justifique.

D.4 Filtros

Frecuencia (Hz) Amplitud (volts) Fase (Grados)5001k3k5k7k9k

10k11k12k12k14k15k16k17k18k19k20k30k40k50k

100k150k200k500k

Cuadro D.1: Datos de Amplitud contra Frecuencia del trabajo en laboratorio. Sesede recordar que k son miles y M son millones

Bibliografía

[1] EATON, J. W. GNU Octave. 2a edición, Network Theory Limited, 2005.ISBN: 0-9541617-2-6

[2] NAHVI, M. EDMINISTER, J. Electric Circuits, Fourth Edition, Schaum’sOutline Series, McGraw - Hill, 2003, ISBN 0-07-139307-2.

[3] SEARS, F. W. ZEMANSKY, M. W. YOUNG, H. D. FREEDMAN, R. A.Física Universitaria, volumen 2, Pearson Education, ISBN 970-26-0672-1

[4] KASATKIN, A. S. Fundamentos de electrotecnia, Editorial MIR Moscú.

[5] BOYLESTAD, R. Introducción al análisis de circuitos, Editorial PrenticeHall, Décima edición, ISBN 970-26-0448-6, 2003.

[6] JOSEPH A. EDMINISTER, Theory and Problems of ELECTRIC CIR-CUITS, Fourth Edition Forth Edition McGRAW-HILL, 2003.

[7] JOSEPH A. EDMINISTER, Teroria y Problemas de Circuitos Electricos,Serie de Compendios Schaum, Mcgraw-hill, 1965.

[8] JOHN CLAYTON RAWLINS, Basic AC Circuits, Second Edition, EastfieldCollege Dallas County Community College District Boston Oxford Auc-kland Johannesburg Melbourne New Delhi, Printed in the United States ofAmerica, 2000

[9] USAOLA GARCIA J. , Circuitos electricos Problemas y Ejercicios Resuel-tos, Prentice HAll.

[10] A. S. KASATKIN, Fundamentos de Electrotecnia, Editorial Mir Moscu,Impreso en la URSS.

263

Bibliografía

[11] RICHARD C. DORF, JAMES A. SVOBODA, Introduction to electricCircuits, Sixth Edition.

[12] G. RANDY SLONE, Tab Electronics Guide to Understanding Electricityand Electronics, Second Edition, McGraw-Hill, 2000.

[13] KHALID SAYOOD, UNDERSTANDING CIRCUITS Learning ProblemSolving Using Circuit Analysis, Printed in the United States of America,Morgan&Claypool Publishers. 2005.

Índice alfabético

Aaislante, 50amperímetro, 28ángulo corregido, 193Aritmética, 233

Ccapacitor, 29, 50carga eléctrica, 15Condensador, 28condensador, 50condensadores en paralelo, 54condensadores en serie, 53constante de la luz, 11constante de tiempo, 76corriente alterna, 109Corriente eléctrica, 26Corrientes de malla, 84corrientes de rama, 88cosenofímetro, 192

Ddieléctrico, 52Divisor de corriente, 97Divisor de tensión, 96

Eefecto Joule, 42energía, 18equivalente de Thévenin, 98

FFactor de potencia, 187, 191Fasores, 127flujo magnético, 112–114, 116, 118f.p., 191

Ggaussiana, 12

IImpedancia, 133Inductancia, 78inductancia, 57inductor, 57isótopo, 15

LLey de Ampere, 14Ley de Coulomb, 16Ley de Faraday, 14Ley de Gauss, 12Ley de Ohm, 29ley de Ohm, 36Leyes de Kirchhoff, 30leyes de Kirchhoff, 36Leyes de Maxwell, 12longitud de onda, 11

Mmedio ambiente, 35metrología, 219

265

Índice alfabético

OOctave, 76ohm, 34

Ppotencia, 187Potencia activa, 189Potencia aparente, 190Potencia eléctrica, 187Potencia reactiva, 190potencial eléctrico, 18

Rradián, 233rapidez de la luz, 11Reactancia capacitiva, 194red eléctrica, 192Resistencia, 34Resistencias en paralelo, 37Resistencias en serie, 36

SSI, 219Sistema Internacional de Unidades, 219Sistema Trifásico, 197Superposición, 97

Ttensión de línea, 193Teorema de Thévenin, 98Teoremas de circuitos, 96teoría electromagnética, 11trabajo, 18transformador, 112, 114Trigonometría, 233

VValor Eficaz, 124Valor Pico, 120

Valor Pico Pico, 120Valor Promedio, 121Valor RMS, 124voltaje, 18voltajes de nodo, 93

Circuit Os

Documents

Transcript of Circuit Os