UNIDAD 2 - ANÁLISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

CALCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO POR:

DIANA CAROLINA OLARTE

JHEISSON ORLANDO CABEZAS VERA

GRUPO: 100410_530

TUTOR:HENRY EDILSON RIVERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD2015

1

Tabla de contenido

INTRODUCCIÓN.............................................................................................................2

EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................................3

CONCLUSIONES..........................................................................................................15

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................16

2

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se llevó en base a unos ejercicios propuestos por la guía de

actividades, basados en la unidad número dos (2), el cual hace referencia a análisis de

límites y continuidad, donde a través de los conocimientos adquiridos desde entorno de

conocimiento que proporciona el curco como de la investigación individual de cada

participante se pudieron consolidar los ejercicios y comprobar su resultado para

obtener el producto final de esta unidad.

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

El estudiante debe resolver los siguientes ejercicios propuestos:

Resuelva los siguientes límites:

1. limx→ 2x2−x−2x2−5 x+6

limx→2x2−x−2x2−5 x+6

= 22−2−222−5 (2)+6

= 4−2−24−10+6

=00

Es una indeterminada, por lo tanto vamos a factorizar el numerador y el

denominador

limx→2(x−2)(x+1)(x−2)(x−3)

Cancelamos los términos, suponiendo que x−2≠0

limx→2(x−2)(x+1)(x−2)(x−3)

limx→ 2x+1x−3

Ahora se aplica la regla del cociente,

4

limx→ 2x+1x−3

→limx→2(x+1)lim x→ 2(x−3)

limx→2(x+1)limx→2(x−3)

x−3 Es un polinomio, por lo tanto

limx→2 ( x−3 )=2−3=−1

Entonces

limx→2(x+1)−1

x+1 Es un polinomio, por lo tanto

limx→2 ( x+1 )=2+1=3

Entonces

3−1

=−3

2. limx→0√9+x−3

x

El límite no existe por lo tanto

5

limx→ 0√9+x−3

x→lim

x→ 0−¿ √x−3+9x

¿

√x−3+9x

=√x+6x

limx→ 0−¿ √x+6

x¿

Entonces

¿

√ limx→0−¿(x+6 )lim x→ 0−¿ 1x

¿¿

x+6 Es un polinomio, por lo tanto

limx→0−¿ (x +6)=0+6=6¿

√6 limx→0−¿ 1

x¿

El denominador es una cantidad negativa, entonces

limx→0−¿ 1

x= 10−¿ ¿

¿

Simplificando

10−¿=−∞ ¿

6

Ahora bien

√6 x−∞√6 (−∞ )=−∞

3. limx→−23−√ x2+53x+6

limx→−23−√(−2)2+53(−2)+6

=3−√4+5−6+6

=3−√90

=indeterminacion

limx→−23−√(x )2+53(x)+6

∙3+√x2+53+√x2+5

¿ limx→−29−x2−53 (x+2 )+¿¿

¿ limx→−2(2+ x )(2−x)3 ( x+2 )+¿¿

¿ limx→−22+23¿¿

¿ limx→−229

7

4. limh→2b ¿¿

limh→2b ¿¿

limh→2b8b2

2b=limh→ 2b=4b

5. limx→0tan 7 xsen2 x

limx→0tan 7 (0)sen2 (0 )

=indeterminacion ;

limx→0

sen7 xcos7 xsen2 x1

=lim x→0sen7 x

cos7 x ∙ sen2 x=lim x→0

7 x ∙sen7 x7 x

cos7 x ∙2xsen2x2 x

¿(limx→07 x )∙( limx→0

sen7 x7 x

)

¿¿

¿ limx→0(limx→07 x )(lim x→02 x)

=lim x→072

6. limθ→01−cosθθ

8

limθ→01−cosθθ

=1−cos00

=1−10

=00indeterminacion

limθ→01−cosθθ

∙1+cosθ1+cosθ

= 1−cos2θθ (1+cosθ)

= sen2θθ(1+cosθ)

= senθθ∙senθ

(1+cosθ)

limθ→0=senθ

(1+cosθ)= 01+1

=02=0

7. limn→∞√2n2−35n+3

Simplificando radicales

√2n2−35n+3

=√ 2n2−325n2+30n+9

Entonces:

limn→∞√ 2n2−325n2+30 n+9

→√ limn→∞ 2n2−325n2+30n+9

√ limn→∞ 2n2−325n2+30 n+9

El término principal en el denominador de 2n2−3

25n2+30n+9 es n2. Divide el numerador

y el denominador por

9

√ limn→∞ 2− 3n2

25+30n

+9

n2

Las expresiones 3

n2, 9

n2 y 30n

todas tienden a cero (0) cuando n se aproxima a ∞

√ 225=¿ √25

¿

Respuesta = √25≈0.282842712

8. limx→∞{ x34 x3 }x3

1−2x3

Entonces podemos decir que:

limx→∞{ x34 x3 }x3

1−2x3

limx→∞4−x3

(1−2 x)3

Utilizando el hecho de que 4 x es una función continúa de x

limx→∞4−x3

¿¿¿ ¿

Aplicamos la regla de L'Hopital

limx→∞−x3

¿¿

10

4li mx→ ∞

x2

2¿¿¿

Aplicamos nuevamente la regla de L'Hopital

limx→∞x2

2¿¿

4li mx→ ∞

x4 (2 x−1)

Aplicamos nuevamente la regla de L'Hopital

lim ¿x→∞x

4(2 x−1)=limx→∞

ddx

ddx

(4 (2x−1 ))=limx→∞

18¿

4li mx→ ∞

18

Dado 18

es constante

lim ¿x→∞18=18

¿

418

11

8√4=4√2

Respuesta = 4√2≈1.18921

9. ¿Qué valor de n hace que la siguiente función sea continua?

0x={ 2nx−5 para x ≤33x2−nx−2 para x>3

lim ¿x→3−¿ 0x lim ¿x→3+¿ 0x¿¿¿¿

lim ¿x→3 (2nx−5 )=lim ¿x→3(3x2−nx−2)¿¿

2n (3 )−5=3 (3 )2−n (3 )−2

6n−5=27−3n−2

9n−5=30

n=309

=103

Respuesta = 103

10.Hallar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

0x={ 2x2+1 para x ≤−2

ax−b para−2<x<13 x−6 para x ≥1

lim ¿x→−2+¿ 0x lim ¿x→−2−¿0x¿¿¿¿

12

lim ¿x→−2a x−b=lim ¿x→−2(2 x2+1)¿¿

2¿

9=−2a−b

−2a−b=9

lim ¿x→1+¿0x lim ¿ x→1−¿0x¿¿¿¿

lim ¿x→ 1=(3 x−6)=lim ¿x→1(ax−b)¿¿

3 (1 )−6=a (1 )−b

a−b=3−6

a−b=−3

Entonces

−2a−b=9 (1 )

a−b=−3(2)

−2a−b=9−a+b=3−3a=12

13

a= 12−3

=−4

a=−4(3)

Ahora (3) en (2)

−4−b=−3

−b=−3+4

−b=1→b=−1

Respuesta

a=−4

b=−1

14

CONCLUSIONES

A través de la solución de los ejercicios se desarrollan habilidades que nos permiten

desenvolvernos no solo en el campo académico si no también profesional y personal.

El desarrollo del trabajo colaborativo de la guía número dos (2) permitió conocer

conceptos con respecto a análisis de límites y continuidad, donde mediante el

desarrollo de cada uno de los ejercicios planteados, el estudiante iba despejando

dudas con respecto a la solución de cada ejercicio.

15

BIBLIOGRAFÍA

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el cálculo. México D.F. Pág. 784 - 800. Disponible en http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#

Galván, D. y otros (2012), Cálculo diferencial: un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. México DF. Pág. 128 239. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#

Canal julioprofenet – Julio ríos (1 de Dic, 2010). “Limite resuelto con Regla de L'Hopital”. Tomado de Internet el 10 de abril de 2015: https://www.youtube.com/watch?v=CqsNjPWC8XA