Circuitos Eléctricos

Resistencia R

Autoinducción L i(t)=

Capacidad C.i(t) =

La unidad de trabajo, es decir, la unidad de energía, se llama Julio y es igual a J=1W·Seg. También la unidad de diferencia de potencial V corresponde al trabajo de desplazar 1 Qulombio de carga de un punto a otro, es decir, 1V = 1J/QResistencia R

Unidad Significado Conexión en Serie Conexión en Paralelo

Se mide en ohms (Ω) Re = R1 + R2

Ejemplo. Circuito Resistencia Pura. Ω

En el circuito R, la tensión del generador viene dada por

hallar la intensidad i(t), la potencia

instantánea p(t), la potencia media P y la energía w(t).

Recuerde que Sen2 x = ½ (1 – Cos 2x).

a)

b)

c) La potencia instantánea es p(t) = v(t) i(t) y la potencia promedio es la suma de todas la potencia entre el periodo de tiempo, es decir:

Note que la potencia instantánea dobló su frecuencia original wt al nuevo valor 2 wt. Es decir, lo que era un ciclo de valor 2π originalmente para v(t), para la p(t) pasa a ser solamente un periodo π. Esto se verá más fácilmente en la gráfica.

Así que:

R = 25 Ω

v (t)

i (t)

1

d) Finalmente, la expresión para la energía de un circuito puramente resistivo es:

Julios

Para graficar, tomemos ahora los valores R=25 Ω y Vm=150 (potencia promedio P = (150)2/50 = 450 W):

2

3

Autoinductancia L

Autoinductancia Li(t)=

Unidad Significado Conexión en Serie Conexión en Paralelo

Se mide en Henrios, H

Le = L1 + L2

Ejemplo. Circuito Inductancia Pura. Henrios

En el circuito L, la tensión del generador viene dada por

hallar la intensidad i(t), la potencia

instantánea p(t), la potencia media P y la energía w(t).

Recuerde que Sen2 x = ½ (1 – Cos 2x) y que Sen x Cos x = ½ Sen 2x.

a)

b)

c) La potencia instantánea es p(t) = v(t) i(t) y la potencia promedio es la suma de todas la potencia entre el periodo de tiempo, es decir:

Note que la potencia instantánea dobló su frecuencia original wt al nuevo valor 2 wt. Es decir, lo que era un ciclo de valor 2π originalmente para v(t), para la p(t) pasa a ser solamente un periodo π. Esto se verá más fácilmente en la gráfica.

Así que:

L1

L2

L = 0.02 H

v (t)

i (t)

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e) Finalmente, la expresión para la energía de un circuito puramente inductivo es:

Pues Sen2 x = ½ (1 – Cos 2x)

Para graficar, tomemos los valores w=1000, L=0.02 H y Vm=150 (potencia promedio P =0 W).

Ejemplo. Circuito Inductancia Pura

En bornes de una bobina pura de autoinducción L=0.02 Henrios se aplica la tensión . Hallar la corriente i(t), la potencia instantánea p(t), la potencia media P y la

energía w(t).

Dado que

Note que en el caso de una bobina, el voltaje y la corriente se desfasan 90o

Pero

Entonces:

Ya se demostró que P = 0, pero la gráfica muestra también que la potencia media

En el semiciclo, cuando p(t) es positiva, la energía se almacena en la bobina. En los intervalos de p(t) negativa, la energía del campo magnético regresa de la bobina al generador. Por lo tanto una bobina PURA NO consume energía. La potencia media es nula y no hay transmisión de energía, es decir:

Julios

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Circuito L

Circuito L

Circuito L. Puede apreciarse que por el área, w(t) = 0

Capacitancia C

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Capacidad C.i(t) =

Unidad Significado Conexión en Serie Conexión en Paralelo

Se mide en Farads, F

Ce = C1 + C2

Ejemplo. Circuito Capacitancia Pura. Farads

En el circuito C, la tensión del generador viene dada por

hallar la intensidad i(t), la potencia

instantánea p(t), la potencia media P y la energía w(t).

Recuerde que Sen2 x = ½ (1 – Cos 2x) y que Sen x Cos x = ½ Sen 2x.

a)

b)

c) La potencia instantánea es p(t) = v(t) i(t) y la potencia promedio es la suma de todas la potencia entre el periodo de tiempo, es decir:

Note que la potencia instantánea dobló su frecuencia original wt al nuevo valor 2 wt. Es decir, lo que era un ciclo de valor 2π originalmente para v(t), para la p(t) pasa a ser solamente un periodo π. Esto se verá más fácilmente en la gráfica. Note también que en el caso de un condensador, el voltaje y la corriente se desfasan 90o

Así que:

f) Finalmente, la expresión para la energía de un circuito puramente inductivo es:

C1

C2

C = 500 µF

v (t)

i (t)

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Pues Sen2 x = ½ (1 – Cos 2x) y F=1Q/V 1V = 1J/Q

Para wt=π/2, 3π/2, 5π/2, etc. la energía almacenada es máxima e igual a . Cuando t=0, π, 2π , 3π,

etc. la energía almacenada es nula.

Para graficar, tomemos los valores w=1000, C=500 µF y Vm=150 (potencia promedio P =0 W).

Circuito C

Circuito C

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Circuito C

Como puede constatar ahora en la gráfica, para wt=0, π, 2π, 3π,… la energía almacenada en el campo eléctrico del condensador es nula y para wt = π/2, 3π/2,… la energía almacenada es máxima. Note que también aquí, la onda de potencia y energía tienen una frecuencia del doble de la frecuencia del voltaje original.

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CAPITULO 2

NUMEROS COMPLEJOS.

Ejemplo

Forma Binomial z = x + jy z = 3 + j3

Forma Trigonométrica x = r Cos Ө , y = r Sen Ө z = r (Cos Ө + j Sen Ө) z = 3 (Cos 45o

+ j Sen 45 o )

Forma Polarz = 3 45 ے o

Forma Exponencial z = r Cos Ө + j r Sen Ө = r ejӨ z = 3 e j45o

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS.

z = x + jy, z1 = 3 + j3,

z2 = -1 – j1

Conjugado z* = x – jy, z1* = 3 – j3

Suma y Resta

z3 = z1 + z2 = (3 -1) + j (3 -1)=2 + j2 z = 3 + j3

Multiplicación

z = r (Cos Ө + j Sen Ө) z1 = 3 (Cos 45o + j Sen 45 o )

División

Raíces de un número complejo.

Note que

,

n=0,1,2, hasta k raíces

n=0,

n=1,

n=2,

Logaritmos de un número complejo

Ln z = Ln r e( jΘ+2 π n) = Ln r + ( jΘ + 2 π n) Un número complejo tiene varios logaritmos, todos números complejos, pero n=0 es el principal

n=0 ═► z1=Ln r + j Θ

CAPITULO 3

IMPEDANCIA COMPLEJA

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Circuito RL

Consideremos el circuito serie RL de la figura. Se aplica una tensión de v(t) = Vm e jwt

Por Euler, descomponemos en

VmCos wt + j Vm Sen wt.

Y del circuito tenemos

Que es una ecuación diferencial de primer orden y su solución particular es de la forma i(t)=K ejwt . sustituyendo en la ecuación:

De donde K:

La impedancia del circuito entonces sera:

Es decir, la impedancia de todo el conjunto es un número complejo

Ahora consideremos un circuito RC con la misma tensión aplicada v(t) = Vm ejwt .

Circuito RC

En este caso:

Haciendo y sustituyendo:

De donde :

Y:

asi que que es un número

complejo.

Así que los elementos de un circuito se pueden expresar por su impedancia compleja Z, es decir:

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UNIDADES

, w = rad/s, → wL = V/A → Ω

, w = rad/s, →

RESONANCIA

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