PROBLEMA RESUELTO DEL TEMA DE CONCEPTOS BÁSICOS.

Para ilustrar la aplicación de las definiciones presentadas en este tema, se resolverá el siguiente problema. Se requierecalcular la energía que consumen los elementos 2 y 4 del siguiente circuito, en t=500 ms, 1 s, 2 s y 4 s.

Figura 1. Circuito de cinco elementos.

PLANTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN

Antes de calcular la energía se requiere obtener la potencia. A su vez elcálculo de la potencia requiere conocer tanto la corriente como elvoltaje en el elemento. Para este caso, tenemos las gráficas de i2 y v4

pero no las de v2 e i4. Para calcular éstas últimas se deben aplicar lasleyes de Kirchhoff. Así se debe proceder en cualquier problema de estetipo.

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE KIRCHHOFF

Para calcular v2 se plantea la ley de Kirchhoff de voltajes a lo largo dela ruta v2-v3-v4. Entonces el recorrido es en el sentido horario y ademáslo haremos considerando que las elevaciones de potencial sonpositivas: + − = 0 ⋯(1)Dado que V3 y V4 son conocidos:= − ⋯(2)Para el cálculo de i4, se usa la ley de Kirchhoff de corrientes en el nodoa, considerando que las corrientes que entran son positivas y las quesalen negativas: − + = 0 ⋯(3)Si despejamos i2: = − ⋯(4)

Figura 2. Formas de onda para las variablesdel problema.

OBTENCIÓN DE ECUACIONES A PARTIR DE LAS GRÁFICAS

Ahora el problema es que tenemos que representar las variables eléctricas conocidas como funciones del tiempo.Comenzando por los voltajes: ( ) = , 0 ≤ < 1− + 2, 1 ≤ < 30, ≥ 3 V

( ) = 2, 0 ≤ < 1−3, 1 ≤ < 30, ≥ 3 V

Por lo tanto:

( ) = − 2, 0 ≤ < 1− + 5, 1 ≤ < 30, ≥ 3 V

Las ecuaciones de las corrientes son:

( ) = −25 + 50, 0 ≤ < 125 − 125, 1 ≤ < 30, ≥ 3 mA

( ) = − − , 0 ≤ < 1+ , 1 ≤ < 30, ≥ 3 mA

Por lo tanto:

( ) = − + , 0 ≤ < 1− , 1 ≤ < 30, ≥ 3 mA

CÁLCULO DE LA POTENCIA

Ahora podemos para calcular la potencia en cada elemento.

( ) = ( ) ( ) = − + , 0 ≤ < 1− + − , 1 ≤ < 30, ≥ 3 mW

( ) = ( ) ( ) = − + , 0 ≤ < 1− + , 1 ≤ < 30, ≥ 3 mW

CÁLCULO DE LA ENERGÍA

Para obtener la energía es necesario integrar en cada intervalo en el que está definida la potencia. Se considerará quela energía inicial, W(0), es cero en todos los elementos. Para el elemento 4, en el intervalo 0 ≤ < 1:( ) = ∫ ( ) + (0) = ∫ − + + (0) = − + + 0 mJ( ) = − + mJ

Para el siguiente intervalo, el valor de la energía en t=1 s será la condición inicial de la integral.(1) = mJ

Entonces para el siguiente intervalo (1 ≤ < 3), la integral se plantea como sigue:( ) = ∫ ( ) + (1) = ∫ − + − + = − + − + mJ( ) = − + − − − + − + = − + − + mJ

Al final de este intervalo se tiene una energía de:(3) = − 1259 (27) + 8756 (9) − 12503 (3) + 6252 = 0Esta es la condición inicial para el siguiente periodo, ≥ 3:( ) = ( ) + (3) = (0) + 0 = 0En el elemento 2 se tiene, en el intervalo 0 ≤ < 1:( ) = ∫ ( ) + (0) = ∫ − + + (0) = − + + 0 mJ( ) = − + mJ

Para el siguiente intervalo, el valor de la energía en t=1 s será la condición inicial de la integral.(1) = mJ

Entonces para el siguiente intervalo (1 ≤ < 3), la integral se plantea como sigue:( ) = ∫ − + + (1) = − + + mJ( ) = − + − ( − + ) + mJ( ) = − + − 300 mJ

Al final de este intervalo se tiene una energía de:(3) = (27) − (9) + (3) − 300 = 350 mJ

Esta es la condición inicial para el siguiente periodo, ≥ 3:( ) = ∫ (0) + (3) = 350mJ

ELEMENTOS ACTIVOS Y PASIVOS

El problema está resuelto. Sin embargo no queda claro el porqué W4(3) es cero: su corriente y su voltaje no son cero alo largo del intervalo. ¿Será porque se hacen cero al final del mismo? No, eso es incorrecto y se comprueba al observarque también el elemento 2 tiene voltaje y corriente cero en t=3. Sin embargo, su energía para t≥3 s es de 350 mJ. Esdecir de 3 s en adelante la energía consumida es constante, mientras el voltaje y la corriente en el elemento son cero.Otra cuestión a dilucidar es ¿qué tipo de elementos son: activos o pasivos? Para analizar a detalle lo anterior, sepresentan en la figura 3, las gráficas de voltaje, corriente, potencia y energía en los elementos 4 y 2.

Figura 3. Potencia y energía en elementos.

El elemento 4 es un elemento que recibe potencia (es positiva) en los intervalos 0<t<1 s (v e i positivas) y 2 s<t<3 s(v e i negativas), pero en el intervalo 1 s<t<2 s (v e i tienen signos contrarios) devuelve esa potencia (es negativa) alcircuito. Podemos asegurar que es la misma cantidad de energía porque la gráfica de la energía, que es la integral dela potencia en el tiempo, termina en cero para t=3 s: A1-A2+A3=0. Entonces, el elemento es pasivo en los intervalos0<t<1 s y 2 s<t<3 s, pero es activo en el intervalo 1 s<t<2 s. Se dice de este tipo de elementos que son almacenesde energía, no consumen energía, simplemente la guardan y la entregan en distintos intervalos de operación delcircuito. Se les considera elementos pasivos y los usaremos más tarde en el tema de análisis de corriente alterna.

En contraste el elemento 2 siempre consume potencia, p>0 en todo momento, se trata de un elemento pasivo quesiempre consume potencia (v e i siempre tienen el mismo signo): mientras esté conectado consumirá potencia y suenergía crecerá a lo largo del tiempo. El único elemento pasivo con estas características, es el resistor: siempreconsume potencia y al hacerlo incrementa su temperatura porque disipa la energía eléctrica en forma de calor.