Circuitos RLC Teoria 2

Capıtulo 1

CIRCUITOS RLC

Portada del Capıtulo 7

1

2 CAPITULO 1. CIRCUITOS RLC

1.1 INTRODUCCION

En este capıtulo se pretende determinar la respuesta completa x(t) con dos omas elementos almacenadores de energıa, inductancias y capacitancias. Estoscircuitos con dos elementos de almacenamiento de energıa se describen poruna ecuacion diferencial de segundo orden, es decir, una ecuacion diferenciallineal de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de primerorden. De igual forma en este capıtulo se podra observar como la respuestadel circuito toma diferentes formas funcionales al variar los valores de loselementos del circuito.

En este capıtulo se debe hallar la respuesta natural para circuitos de segundoorden, en una primer caso sin fuentes, y luego incluyendo fuentes, para en-contrar la respuesta total como la suma de la respuesta natural y la respuestaforzada.

Una aplicacion especifica de la teorıa expuesta en este capıtulo, son los sis-temas de comunicacion, donde se incluyen capacitancias e inductancias, queson excitadas a traves de senales electricas para producir salidas especıficas.

1.2 BIOGRAFIA

1.2. BIOGRAFIA 3

Tomas Alva Edison ( 1847 - 1931 ): Uno de los mas grandes inventores.Llego a patentar mas de 1.000 invenciones importantes. Nacio en Milan,lugar del estado norteamericano de Ohio. Dedico su ninez a tratarde satisfacer una honda curiosidad que sentıa con relacion a ciertosproductos quımicos. Se aplico particularmente tambien al estudio dehistoria, y le interesaban profundamente ciertos ensayos y libros sobreasuntos cientıficos. A los diez anos contaba con su propio laboratorioen el sotano de su casa, donde trataba de comprobar si eran verdad lasmaravillas que sus libros de quımica contaban. A los 15 anos principioa estudiar telegrafıa bajo la direccion del jefe de estacion de ferrocarrilde una poblacion llamada Mt. Clemens, en el estado de Michigan.Al mismo tiempo trabajaba en la oficina de telegrafos de la localidad.Su primer empleo como telegrafista lo obtuvo en un lugar del Canadallamado Stratford Junction.

En 1868 principio a trabajar como telegrafista de la Western Unionen Boston. Ese mismo ano obtuvo su primera patente de invencion,correspondiente a un computador electrico de votos.

En 1869 se establecio en la ciudad de Nueva York y al poco tiempo fuenombrado superintendente de la Gold and Stock Telegraph Company.Ese mismo ano invento Edison un indicador automatico de cotizacionesde bolsa, patente que vendio al ano siguiente por 40.000 dolares.

Tenıa entonces 23 anos y decidio dedicarse definitivamente a trabajarpor su cuenta. Abrio un taller en Newark, ciudad del estado de NuevaJersey, para fabricar sus indicadores de cotizaciones y para trabajar enotros inventos. En 1871 colaboro con C. L. Sholes, el inventor de lamaquina de escribir, en un esfuerzo tendente a perfeccionar la primermaquina de escribir de la que se obtuvieron resultados satisfactorios.Durante los siguientes cinco anos completo muchas otras invenciones.Entre ellas se cuentan un papel parafinado y el sistema de telegrafoautomatico que consistıa en un procedimiento para trasmitir hasta seismensajes por el mismo hilo telegrafico simultaneamente.


En 1876 establecio su laboratorio en Menlo Park, en el mismo estado deNueva Jersey, y en ese ano invento el trasmisor telefonico de carbono.En 1877 completa la invencion del fonografo. Una de las mas impor-tantes contribuciones aportadas por Edison al bienestar humano fue lainvencion de la bombilla electrica incandescente, que realizo en 1879.El mismo ano perfecciono la dinamo e invento sistemas de distribucion,regulacion y medida de corrientes electricas.

El ano siguiente ocurrio la invencion del separador magnetico de min-erales, y un ano mas tarde establecio Edison una fabrica de bombillasen Harrison y construyo talleres para la fabricacion de accesorios.

En 1891 invento una camara que realizaba las funciones de las camarascinematograficas actuales. De 1900 a 1910 trabajo en la construccion deun acumulador a base de nıquel y hierro, perfecciono el procedimientopara fabricar cemento Portland e ideo un disco fonografico.

Entre los muchos honores que su prolıfica labor le merecio se cuentanel haber sido nombrado comendador de la Legion de Honor de Franciay haber recibido la Medalla Alberto, de la Real Sociedad de Artes dela Gran Bretana. Fue hecho miembro de la Academia Nacional deCiencias en 1927.

1.3. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES 5

1.3 EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN

FUENTES

El primer objetivo es calcular la respuesta natural de un circuito RLC enparalelo sin fuentes, resaltando que el circuito RLC en paralelo es de vitalimportancia en el estudio de redes de comunicacion y diseno de filtros.

Figura 1.1: Circuito RLC

Observe el circuito de la figura 1.1; en este caso se tiene un capacitor y uninductor que tiene una resistencia asociada distinta de cero.

Para el analisis se supondra que la energıa puede almacenarse inicialmente,tanto en el inductor como en el capacitor, por lo que la corriente del inductory el voltaje del capacitor podran tener valores iniciales distintos de cero.Aplicando LCK en el nodo superior del circuito de la figura 1.1 se obtiene lasiguiente ecuacion,ver ecuacion 1.1:

v

R+

1

L

∫ t

t0

vdt− i(t0) + cdv

dt= 0 (1.1)

El signo negativo es consecuencia de la direccion asignada a i.

Las condiciones iniciales de la bobina y el condensador son las siguientes:

i(0+) = I0

v(0+) = V0

(1.2)


Derivando a ambos lados la ecuacion 1.1 con respecto al tiempo se obtiene:

Cd2v

dt2+

1

R

dv

dt+

1

Lv = 0 (1.3)

El resultado es una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo ordencuya solucion v(t) es la respuesta natural.

Hay varias formas de solucionar esta ecuacion, una de ellas consiste en supon-er una solucion de la siguiente forma:

v = Aest (1.4)

Al sustituir la anterior ecuacion 1.3 en se obtiene:

CAs2est +1

RAsest +

1

LAsest = 0

Aest(Cs2 + frac1Rs +

1

L

) (1.5)

Para satisfacer esta ecuacion en cualquier tiempo, por lo menos uno de lostres factores presentes en la ecuacion 1.5, A, est o el factor agrupado entreparentesis, debe ser cero; haciendo cero los dos primeros se obtiene la soluciontrivial de la ecuacion diferencial y esta no puede satisfacer las condicionesiniciales dadas, por lo tanto no son soluciones; al igualar a cero el tercerfactor resulta:

Cs2 +1

Rs +

1

L= 0 (1.6)

Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion caracterıstica, si puede satisfacerla solucion supuesta entonces es correcta. La ecuacion 1.6 tiene dos solucionespor ser de segundo grado, s1 y s2:

s1 = − 1

2RC+

√( 1

2RC

)2

− 1

LC

s2 = − 1

2RC−

√( 1

2RC

)2

− 1

LC

(1.7)

1.3. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES 7

Se puede demostrar que cualquiera de estos dos valores satisface la ecuaciondiferencial dada.

Sustituyendo s por s1 se obtiene:

v1 = A1es1t (1.8)

De igual forma con s2 se obtiene:

v2 = A2es2t (1.9)

La primera solucion satisface la ecuacion diferencial:

Cd2v1

dt2+

1

R

dv1

dt+

1

Lv1 = 0 (1.10)

y la segunda satisface la ecuacion:

Cd2v2

dt2+

1

R

dv2

dt+

1

Lv2 = 0 (1.11)

Despues de sumar y combinar ambas soluciones, se obtiene:

Cd2(v1 + v2)

dt2+

1

R

d(v1 + v2)

dt+

1

L(v1 + v2) = 0 (1.12)

A partir del principio de linealidad y teniendo en cuenta las ecuaciones ?? y??, se tiene la forma de la respuesta natural:

v1 = A1es1t + A2e

s2t (1.13)

Donde s1 y s2 estan dadas por las ecuaciones 1.7; A1 y A2 son dos constantesarbitrarias que deben elegirse tales que satisfagan las dos condiciones inicialesespecıficas, dependiendo de las amplitudes de A1 y A2, la curva de respuestasera diferente. De igual forma las constantes s1 y s2 pueden ser numerosreales o complejos conjugados, para cada caso las respuestas producidas serandiferentes, por lo tanto para tener mayor claridad se haran dos definiciones.


Observando las ecuaciones 1.7 y reemplazando por el siguiente termino:

ω0 =1√LC

(1.14)

La funcion est es adimensional, entonces el exponente st es adimensional, porlo tanto como las unidades de t son segundos entonces las unidades de s son[s−1], que corresponde a unidades de frecuencia. Esta cantidad es llamadafrecuencia de resonancia y es funcion de L y C, y se representa por la letragriega omega.

De igual forma la expresion:

α =1

2RC(1.15)

es llamada frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponen-cial y se representa por el sımbolo alfa, esta expresion es una medida de larapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural hacia su estadofinal permanente. Por ultimo, s, s1 y s2 se llamaran frecuencias complejas.

Debe tenerse en cuenta que s1, s2, ω y α son solamente sımbolos para simpli-ficar el estudio de los circuitos RLC.

Como resumen general se presenta el siguiente conjunto de relaciones:

v1 = A1es1t + A2e

s2t

s1 = −α +√

α2 − ω20

s1 = −α +√

α2 − ω20

ω0 =1√LC

α =1

2RC

(1.16)

Las magnitudes de A1 y A2 deben encontrarse aplicando las condicionesiniciales dadas. Las raıces de la ecuacion caracterıstica contienen tres posiblescondiciones:

1.4. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO 9

1. Dos raıces reales y diferentes cuando:

α2 > ω20

2. Dos raıces reales iguales cuando:

α2 = ω20

3. Dos raıces complejas conjugadas cuando:

α2 < ω20

• Cuando las dos raıces son reales y distintas se dice que el circuito essobreamortiguado.

• Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito es crıticamenteamortiguado

• Cuando las dos raıces son complejas conjugadas, se dice que el circuitoes subamortiguado.

1.4 EL CIRCUITO RLC EN PARALELO

SOBREAMORTIGUADO

El primer tipo de respuesta natural se obtiene cuando:

α2 > ω20 (1.17)

En este caso, el radical sera positivo y las raıces seran s1 y s2, ambas realesnegativas.

Aplicando las siguientes desigualdades:

√α2 − ω2

0 < α(−α−

√α2 − ω2

0

)<

(−α +

√α2 − ω2

0

)< 0

(1.18)

Se puede demostrar que s1 y s2 son numeros reales negativos. Ası la re-spuesta encontrada sera la suma (algebraica) de dos terminos exponencialesdecrecientes los cuales tienden a cero conforme el tiempo aumenta.


1.5 AMORTIGUAMIENTO CRITICO

El caso en donde los valores de los elementos del circuito estan ajustadostal que α y ω0 son iguales recibe el nombre de amortiguamiento crıtico, estoen la practica es imposible; no se puede hacer que α y ω0 sean exactamenteiguales, el resultado real siempre sera un circuito sobre o subamortiguado.El amortiguamiento crıtico se da cuando:

α = ω0

LC = 4R2C2

L = 4R2C

(1.19)

En este caso la respuesta natural toma la siguiente forma:

v(t) = A1e−αt + A2te

−αt (1.20)

1.6 EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SUB-

AMORTIGUADO

En esta seccion, si se aumenta el valor de R, se logra que el coeficientede amortiguamiento α disminuya mientras que ω0 permanece constante, laecuacion caracterıstica del circuito RLC en paralelo tendra dos raıces com-plejas cuando α2 > ω0 esto se cumple cuando:

LC < (2RC)2

L < 4R2C(1.21)

Recordando que:

v(t) = A1es1t + A2e

s2t (1.22)

1.6. EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SUB-AMORTIGUADO 11

Donde:

S1,2 = −α±√

α2 − ω20 (1.23)

Cuando:

ω20 > α2 (1.24)

Se tiene:

S1,2 = −α± j√

ω20 − α2 (1.25)

Donde:

j =√−1 (1.26)

Estas raıces complejas conducen a una respuesta del tipo oscilatorio. Pormedio de una sustitucion simple, se tiene la frecuencia natural de resonanciaωd.

ωd =√

ω20 − α2 (1.27)

Las raıces son:

S1,2 = −α± jωd (1.28)

En resumen la respuesta que se tiene es:

v(t) = e−αt(A1e

jωdt + A2e−jωdt

)(1.29)

En forma equivalente pero mas larga tenemos:

v(t) = e−αt

{(A1+A2

)[ejωdt + e−jωdt

2

]+j

(A1−A2

)[ejωdt − e−jωdt

j2

]}(1.30)


utilizando la identidad de Euler:

e±jωt = cos (ωt)± sin (ωt) (1.31)

Sustituyendo la identidad de Euler en la respuesta, se obtiene:

v(t) = e−αt[(A1 + A2) cos (ωdt) + j(A1 + A2) sin (ωdt)

](1.32)

Donde el primer termino entre parentesis cuadrado de la ecuacion ?? es iguala cos (ωdt) y el segundo termino entre parentesis cuadrado de la ecuacion ??es igual a sin (ωdt). Sustituyendo por los nuevos coeficientes se tiene:

v(t) = e−αt[B1 cos (ωdt) + B2 sin (ωdt)

](1.33)

Esta ecuacion representa la forma de la respuesta natural subamortiguada,y su validez se verifica reemplazando directamente en la ecuacion diferencialoriginal. Las constantes B1 y B2, se determinan a partir de las condicionesiniciales v(0) e i(0).

La respuesta natural subamrtiguada es oscilatoria con magnitud decreciente.La frecuencia de oscilacion depende de ωd y la rapidez de decrecimiento.

Se hallara la forma general de las constantes B1 y B2 en terminos de lascondiciones iniciales cuando el circuito no esta forzado.

Partiendo de t = 0,se tiene:

vn(0) = B1 (1.34)

Para hallar B2 se evalua la primera derivada de v(0) obteniendo:

dv

dt= e−αt

[(ωdB2 − αB1

)cos (ωdt) +

(ωdB2 + αB1

)sin (ωdt)

](1.35)

evaluado la derivada en 0+.

dv(0)

dt= ωdB2 − αB1 (1.36)

1.7. EL CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTES 13

Como i(0) y v(0) son conocidos se puede utilizar:

dv(0)

dt= −v(0)

RC− i(0)

C(1.37)

Con estas dos ultimas ecuaciones ver 1.36 y 1.37, se puede obtener:

ωdB2 = αB1 − v(0)

RC− i(0)

C(1.38)

Ejemplo, ver figura 1.4:

1.7 EL CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTES

En esta seccion se analizara la respuesta natural de un circuito que contieneuna resistencia, una inductancia y una capacitancia ideales conectadas enserie, ver la figura 1.5.

La ecuacion integrodiferencial del circuito serie es:

Ldi

dt+ Ri +

1

C

∫ t

t0

idt− vc(t0) = 0 (1.39)

En forma analoga, la ecuacion integrodiferencial para el circuito RLC enparalelo es:

Cdv

dt+

1

Rv +

1

L

∫ t

t0

vdt− iL(t0) = 0 (1.40)

Las ecuaciones obtenidas al derivar son:

Ld2v

dt2+ R

di

dt+

1

Ci = 0

Cd2i

dt2+

1

R

dv

dt+

1

Lv = 0

(1.41)

Se puede observar que ambos modelos comparten equivalencias y similitudes,ademas las condiciones iniciales sobre el voltaje del capacitor y la corriente


del inductor en el modelo serie son equivalentes a las condiciones inicialessobre sus recıprocos en el modelo paralelo.

Un breve resumen de las respuestas del circuito serie se da a continuacion:

La respuesta sobreamortiguada es:

i(t) = A1es1t + A2e

s2t (1.42)

donde:

s1,2 = − R

2L±

√( R

2L

)2

− 1

L(1.43)

Entonces:

α =R

2L(1.44)

ω0 =1√LC

(1.45)

La respuesta crıticamente amortiguada es:

i(t) = e−αt(A1t + A2

)(1.46)

El caso subamortiguado:

i(t) = e−αt(B1 cos (ωdt) + B2 sin (ωdt)

)(1.47)

Donde:

ωd =√

ω20 − α2 (1.48)

Un incremento en α ya sea en el circuito serie o paralelo, manteniendo ω0

constante, lleva a una respuesta subamortiguada. Se debe tener especialcuidado al evaluar α ya que difiere en ambas topologıas.

s

1.8. LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC 15

1.8 LA RESPUESTA COMPLETA DEL CIR-

CUITO RLC

Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmu-tan dentro de la red produciendo respuestas forzadas que no necesariamentese anulan cuando el tiempo tiende a infinito.

La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada ynatural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a larespuesta completa para encontrar los valores de las constantes.

La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) deun sistema de segundo orden, consiste en una respuesta forzada,

vf (t) = Vf (1.49)

que es una constante de excitacion de CD, y una respuesta natural,

vn(t) = Aes1t + Bes2t (1.50)

Ası:

v(t) = Vf + Aes1t + Bes2t (1.51)

Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie), sedeben encontrar A, y B; sustituyendo el valor conocido de v en t = 0+ seencuentra una ecuacion que relaciona A y B, v(0+) = Vf + A + B, peroesto no es suficiente, se necesita otra relacion entre A y B y normalmente seobtiene tomando la derivada de la respuesta:

dv

dt= 0 + s1Aes1t + s2Bes2t (1.52)

Se sustituye el valor conocido de dvdt

en t = 0+.

Podrıa tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relacion entreA y B si se usara el valor de d2v

dt2en t = 0+, sin embargo este valor no se

conoce en un sistema de segundo orden, serıa mas util para encontrar el valor


inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo setendran 2 ecuaciones para hallar las dos incognitas A y B.

Solo falta determinar los valores de v y dvdt

en t = 0+, suponiendo que v es elvoltaje en el capacitor, vC . Como iC = C dvc

dt, si se puede establecer un valor

inicial para la corriente del capacitor automaticamente se tendra el valor dedvc

dt. Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor como respuesta,

entonces el valor inicial de diLdt

deberıa relacionarse con algun voltaje delinductor. Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes deinductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales desus derivadas en terminos de los valores correspondientes para vC e iL.

Circuitos RLC Teoria 2

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