Círculo 1semana

TRIÁNGULOS I

DEFINICION

Es la figura geométrica formada al unir tres

puntos no colineales mediante segmentos.

Elementos : Notación : Vértices : A, B y C Triángulo :

Lados : ACyBC,AB ABC ; ∆ABC

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL

TRIÁNGULO.

En la figura se indican las regiones que se han

determinado respecto al triángulo ABC.

ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL

TRIÁNGULO.

- Medida de los ángulos internos : , , .

- Medida de los ángulos externos : x, y, z.

- Perímetro de la región triangular ABC

(2p∆ABC)

- Semiperímetro de la región triangular

ABC(P∆ABC)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL

TRIÁNGULO.

TEOREMA 1

En todo triángulo la suma de las medidas de sus

ángulos interiores es igual a 180º.

En el ∆ABC, se cumple : + + = 180º

TEOREMA 2

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior

es igual a la suma de las medidas de dos ángulos

interiores no adyacentes a él.

En el ∆ABC, se cumple : x = +

TEOREMA 3

En todo triángulo la suma de las medidas de los

ángulos exteriores tomados uno por vértice es

igual a 360º.

A

B

C

A C

B

Región Interior

Región exterior

relativa a BC

Región exterior

relativa a AC

B Y

A C

z

c a

b

2p∆ABC = a + b + c

(P∆ABC) = 2

cba

A C

C

A C

x º

º

B

Región exterior

relativa a AB

2

En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º

TEOREMA 4

En todo triángulo de un lado es mayor que la

longitud se le opone al ángulo de mayor medida y

viceversa (propiedad correspondencia).

En el ∆ABC, si : a > b

Entonces : >

TEOREMA 5

En todo triángulo de un lado es mayor que la

diferencia de las longitudes de los otros dos y

menor que la suma de las mismas (propiedad de

existencia).

En el ∆ABC : a > b > c

Se cumple :

b – c < a < b + c

PROPIEDADES ADICIONALES

En la figura se cumple:

En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo

interior opuesto por el vértice.

Se cumple :

En la figura se cumple :

En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se

cumple :

p : perímetro de la región ABC

B y

x

A z

C

B

A

C

c a

b

B

A C

c a

b

B

D

A

C

x

x

B C

A D

y

O

B x

C

A D

y

P

A

B

C

x = + +

+ = x + y

x + y = +

p < PA + PB + PC < 2p

3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

(Propiedades Básicas y Clasificación)

NIVEL 1

1. Calcular “x”, si : AD = BD

BE = EC

a) 30º

b) 10º

c) 18º

d) 72º

e) 36º

2. Calcular “x”

a) 110º

b) 130

c) 100

d) 120

e) 150

3. Calcular “x”

a) 15º

b) 20º

c) 30º

d) 45º

e) 60º

4. Calcular el menos valor entero de “x”

Si : el ∢ABC el agudo :

Además :

21 LL

a) 46º

b) 47º

c) 44º

d) 98º

e) 89º

5. Determinar el menor ángulo interno de un

triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos

externos forman una progresión aritmética de

razón 30º.

a) 15º b) 30º c) 60º

d) 90º e) 120º

NIVEL 2

6. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra

(AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es

equilátero. Calcular “x”.

a) 50º

b) 55º

c) 60º

d) 65º

e) 70º

7. En la figura : 21 LL

Si : AB = BC, Calcular “”

a) 100º

b) 140º

c) 130º

d) 120º

e) 150º

8. Calcular “x”

Si : AD = AR ; AP = DR

a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 75º

e) 60º

9. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos

exteriores de un triángulo es igual al

complemento de la medida del ángulo interior

ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de

un ángulo interno del triángulo.

a) 30º b) 45º c) 60º

d) 75º e) 90º

10. De la figura, calcule “x + z”

a) 110º

b) 280º

c) 220º

d) 240º

e) 320º

2xº

xº

A D E C

B

120º

x +20º xº

xº

2º

º

A

C B

xº

L2

L1

E

º º

50º

70º

R A C

P Q

B

80º

º O

L1

L2

Q

P A C

B

D

P R

A

zº

xº º

º º

º 40º

º

º

xº

4

NIVEL 3

11. Del gráfico, calcular ”x”

a) 40º

b) 70º

c) 60º

d) 50º

e) 55º

12. En la figura : AP = PS y BM = BN

Calcular “x”

a) 10º

b) 15º

c) 30º

d) 35º

e) 37º

13. Del gráfico, calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 40º

d) 45º

e) 50º

14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en

la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.

Calcule la medida del ángulo que determinan

'AA

y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.

a) 45º + º b) 90º + º c) 90º + 2

º

d) 90º + 2º e) 90º + 2

º3

15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en

AC , desde el cual se traza MN perpendicular a

AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la

región exterior y relativa a BC , tal que :

BCNP = S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la

m∢NPM:

a) 30º b) 60º c) 45º

d) 75º e) 90º

Ejercicios Complementarios

NIVEL 1

1. Calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 60º

2. Calcular “x”

a) 90º

b) 60º

c) 45º

d) 20º

e) 10º 3. Calcular “x”

a) 170º

b) 150º

c) 115º

d) 120º

e) 100º

4. Calcular “x”.

a) 85º

b) 65º

c) 55º

d) 45º

e) 35º

5. Calcular “xº + yº + zº”

a) 120º

b) 135º

c) 270º

d) 90º

e) 180º

40º º

º

º

º

º

º xº

A P B N

M S

C

Q

xº

45º

60º 100º

º º

xº

º º

º

º

A C

A’ B

A’’

L’

º º 40º

xº

º º

20º

xº

xº

xº

xº

70º

º

º º

º

xº

º º

170º

xº

60º

º

º

º º º

xº

yº

zº

º º º

5

NIVEL 2

6. En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo

valor entero del perímetro de la región triangular

ABC.

a) 5 b) 10 c) 20

d) 21 e) 11

7. En la figura. Calcule (xº - yº)

a) 28º

b) 30º

c) 32º

d) 34º

e) 36º

8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36.

Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

9. En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC +

m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores

enteros máximo y mínimo que puede tomar AC .

a) 7 d) 4

b) 6 e) 3

c) 5

10. En el gráfico, AB = BC = CD

Calcule “x”

a) 50º

b) 70º

c) 110º

d) 130º

e) 140º

NIVEL 3

11. En el gráfico calcule “x”

a) 10º

b) 15º

c) 20º

d) 25º

e) 35º

12. En el gráfico, calcule “º

º

”

a) 3

b) 1

c) 1/2

d) 1/3

e) 2

13. Calcular “x” , si : AM = MC

a) 145º

b) 120º

c) 115º

d) 110º

e) 130º

14. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4,

BD = 3

a) 14

b) 10

c) 7

d) 4

e) 3

15. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región

sombreada tiene perímetro mínimo.

a) º + º d) 360º-(º + º)

b) 3

2(º + º) e) 180º -

2

ºº

c) 2

3(º + º)

58º º

º

º

xº

º

º

yº

40º

C

E

B

A xº

D

2º

º

º 20º

º xº

º º º º

A M H N C

º º º

2º º º

º

º C A M

B

D

A C

B

2º

º

B

P

A R O

Q

yº

xº º

125

TRIÁNGULOS II – LÍNEAS NOTABLES


NIVEL 1

1. En la figura; calcular “x”

a) 108º

b) 54º

c) 72º

d) 36º

e) 44º

2. Calcular “x”

a) 55º

b) 60º

c) 45º

d) 40º

e) 10º

3. Calcular “x”

a) 100º

b) 120º

c) 130º

d) 150º

e) 170º

4. Calcular “x”

a) 100º

b) 80º

c) 125º

d) 150º

e) 250º

5. Calcular “x”

a) 85º

b) 75º

c) 70º

d) 65º

e) 60º

NIVEL 2

6. En la figura, calcule “x”

a) 10º

b) 20º

c) 65º

d) 35º

e) 45º

7. En la figura, calcule “x”

a) 35º

b) 30º

c) 15º

d) 10º

e) 20º

8. En la figura CDAB ; Calcule “x”

a) 125º

b) 155º

c) 115º

d) 100º

e) 20º

9. Del gráfico, calcule “x” ;

a) 52º

b) 48º

c) 44º

d) 42º

e) 40º


a) 110º

b) 90º

c) 70º

d) 20º

e) 10º

xº º º

72º

º

º

xº

bº

bº

A C

80º

B

aº aº

º º 60º

60º

xº

100º

170º

xº

100º

º º

º º

º

º xº

º º

80º

60º xº

º

º

º º

2º

70º

º º

º º º

º

30º

70º

º º

xº

A B

C

D

º

º+10º

40º º º

º

º

º

º

º

º

º

º

º º

20º

º º xº

40º

º º

xº

º º º+º

º

º

xº

7

NIVEL 3

11. En el gráfico, AB = BC

Calcule “x”

a) 45º

b) 120º

c) 60º

d) 70º

e) 37º

12. Determine “x”, Si : 21 LL son mediatrices de

BCyAB .

a) 30º

b) 15º

c) 20º

d) 36º

e) 45º

13. Calcular “x”

a) 90º

b) 100º

c) 120º

d) 130º

e) N.A.

14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.

CPyBP son bisectrices exteriores de los ángulos

B y C; respectivamente.

a) 3

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

15. Según el gráfico, calcular el valor “x”

a) 110º

b) 120º

c) 130º

d) 150º

e) 95º


NIVEL 1

1. Calcular “x”

a) 100º

b) 80º

c) 40º

d) 20º

e) 10º


a) 60º

b) 45º

c) 35º

d) 75º

e) 55º


a) 60º

b) 25

c) 50

d) 40

e) 20

4. Calcular “x”

a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 75º

5. Calcular “x”;

a) 30º

b) 35º

c) 60º

d) 75º

e) 45º

xº

º

º 2º

B

A C

º

º

2º

L1

B

L2 xº

75º

P A Q C

xº

º º º

º

xº

7

x 3

P

2º

150º

2

xº

º 2º

xº

º

º

50º

º

º

xº

A

º

º C º

º

80º

B

xº

130º

P

A C

E

º º 30º

xº º

2º

2

3

xº

º º 2º

40º

B

A C

50º

º

B

Q

8

NIVEL 2

6. En el gráfico. Calcular “x”

a) 15º

b) 20º

c) 25º

d) 30º

e) 35º

7. De la figura; 3º = 5º

Calcular “x”

a) 25º

b) 15º

c) 30º

d) 20º

e) 35º

8. Calcular “x” ;

a) 135º

b) 115º

c) 112,5º

d) 52,5º

e) 22,5º

9. De la figura :

5(m∢AED) = 6(m∢ADC)

y m∢BAD = 70º; Calcular la m∢CAD

a) 44º

b) 24º

c) 14º

d) 15º

e) 10º

10. Según el gráfico mostrado:

Calcular : “º +º”

a) 100º

b) 150º

c) 90º

d) 180º

e) 270º

NIVEL 3

11. Del gráfico, Calcular “x”

a) 15º

b) 8º

c) 10º

d) 5º

e) 2º5’

12. De la figura, calcular “x”; en función de “”

a) 90º-2

º

b) 45º+2

º

c) 45º-4

º

d) 90º+4

º

e) 45º-2

º

º

13. De la figura, calcular : xº + yº + zº

a) 180º

b) 360º

c) 300º

d) 270º

e) 100º

14. Calcular “x”

a) 27º

b) 45º

c) 30º

d) 36º

e) 18º

15. En el gráfico, calcular “x”

a) 150º

b) 110º

c) 120º

d) 100º

e) 135º

120º xº

bº

bº

aº

2aº mº

mº

45º

xº

º º

º

º

45º

º

º xº

º º 2b

b

2aº aº

A

B C D

º

º

xº

E

º º

6xº

B

º º

º

º º

º

2xº xº

20º 30º

º º

º º

xº

º

º

2º

º º º

º

mº

xº

yº

xº zº

º º º

º º

º

º

º

º

º º

nº

nº xº

mº

mº xº º

º

xº

º º

xº º

º

mº

º

9

TRIÁNGULOS III

Primer Caso (L.A.L)

Segundo Caso (A.L.A)

Tercer Caso (L.L.L)

Cuarto Caso (A.L.LM)

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

Siendo

OP la

bisectriz de

AOB se

cumple

PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ

Siendo: L mediatriz

de AB se cumple:

PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Altura

Mediana

Bisectriz

Segmento de

mediatriz

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

Si: M es punto medio

de AB y MN // AC

Se cumple:

Si: E y F son puntos medios.

Se cumple:

PA = PB OA = OB

º º

º

º

º

º

º

º

P

A

O

B

º º

EA = BE

BH

BN = NC

EF = 2

PR

A M B

E

L

C H A

B

º º

A C

N M

B

P

E

Q

F

R

10

PROPIEDAD DE LA MEDIANA EN EL

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si: BM es mediana

relativa a AC.

Se cumple:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES


NIVEL 1

1. Calcular “x”, en cada caso.

a) 24, 12 2 , 5 d) 6 2 , 5, 18

b) 5, 10, 2 e) 3 2 , 12, 5

c) 16, 6 2 , 5

2. Calcular “x”

a) 127º

b) 135º

c) 45º

d) 40º

e) 30º

53º 20

x

45º

x 6

30º

x

10

A

º º xº

B

a

c

a + b

b D

A M C

B

45º

a 2 a

a 45

º

a 2a

60

º

30

º a 3

b 5 b

2b 53º/2

k k 10

3k 37º/2

3a

4a

5a 53º

37º

n n 17

4n 14º

76

º

7a

24a

25a 74

º

16º

75

º

a

15º A H

B

C

4a

BM = 2

AC

13

3. Calcular “x”

a) 16

b) 20

c) 12

d) 15

e) 5

4. Calcular “x”; 21 LL son mediatrices de BCyAB

respectivamente.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

5. Calcular “AC”, si PQ = 6

a) 6

b) 3

c) 12

d) 24

e) 48

NIVEL 2

6. Si: AB = BC; Calcular “AH”

Si; además : PQ = 4 y PR = 6

a) 6

b) 4

c) 2

d) 10

e) 12

7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma

un punto de la prolongación de AC y se traza las

distancias hacia los lados iguales del triángulo

isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los

vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto

dista de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente.

a) 11 b) 8 c) 5

d) 4 e) 3

8. Calcular “x”.

Si : AB = 6 , AH = 2

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 3

9. En el gráfico 21 LL son mediatrices de

ACyBD , respectivamente.

Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular : CD

AB

a) 3

1

b) 2

1

c) 3

d) 1

e) 2

10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a,

calcule HP.

a) 2

10a d) 13a

b) 10

130a e)

5

10a

c) 3

10a

A

º 53º

B

16

C

x

º

70º B

xº

A P Q C

L2 L1

M

B

N

A C

Q P

A

Q

P C

R

H

B

0 A

D

B C

L2 L1

A H C

P

M B

N

37º/2

A

º º

B

D x

C H

14

NIVEL 3

11. Según la figura; MNBQ

Si : BQ = AN, MN = a y QN = b

Calcule “AC”

a) a+b

b) 2a+b

c) 2b+a

d) 2b–a

e) 2a–b

12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si :

BE = 20 y MQ = 6.

Calcule “x”

a) 37º

b) 2

º45

c) 2

º53

d) 2

º37

e) 15º

13. En la región exterior y relativa a BC , de un

triángulo ABC, se construye un triángulo

equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC =

30. Calcule la suma de las distancias de “P” a

ACyAB .

a) 40 3 b) 20 3 c) 15 3

d) 18 3 e) 10 3

14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM ,

luego se traza la perpendicular BMaAH , si :

AH = 16m y HM = 15m. Calcule “HC”

a) 30m b) 31 c) 16

d) 34 e) 17

15. De la figura mostrada.

Calcular “x”

Si : AD = CD

(Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo).

a) 10º

b) 5º

c) 15º

d) 30º

e) 18º


1. Calcular “x”

a) 120º - º d) 120º + 2º

b) 120º + º e) 120º - 3º

c) 120º - 2º

2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10

a) 3

b) 2

c) 6

d) 5

e) 10

3. Calcular “x”

a) 12

b) 6 2

c) 3 2

d) 4

e) 3

4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3

a) 115

b) 135

c) 127

d) 143

e) 153

5. Calcular “x”

a) 18

b) 9

c) 3

d) 6

e) 12

º A

M

Q N C

B

º

xº

2xº

A

B

D C

2xº

º º

xº

x P Q

A

º º

C

B

A

B

M

C N

45º

B

A

C

D

º

º

xº

º º

B

A M P C

E

N

º 3

A C D E

M

Q

B

xº

6

x

x

15

NIVEL 2

6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17.

( MN : Mediatriz de AC ).

a) 16

b) 12

c) 8

d) 6

e) 3

7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP;

AB = 6, BC = 8 y AC = 12

a) 6

b) 8

c) 10

d) 13

e) 26

8. Del gráfico, Calcular “x”

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4

Calcular “PQ”

a) 10

b) 6

c) 8

d) 12

e) 5

10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1

Calcular : “MP”

a) 2

b) 4

c) 6

d) 7

e) 8

NIVEL 3

11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD

a) 120º

b) 112º

c) 132º

d) 122º

e) 142º

12. Del gráfico, calcular “DH”.

Si : BE = 2

a) 1

b) 2

c) 1,5

d) 0,5

e) 2,5

13. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4

Calcular : AC

a) 5

b) 6

c) 5 2

d) 7

e) 8

14. Del gráfico, calcular “DH”

a) 3

b) 6

c) 12

d) 6 2

e) 3 2

15. En un cuadrado ABCD de lado 4m, sobre

CDyBC,AB , se toman los puntos P, Q y R.

Respectivamente.

Tal que : PQ = QR = y m∢PQR = 90º.

Si : AP = 1, RD = 3. Calcular la m∢QDC.

a) 37º b) 45º c) 53º

d) 30º e) 60º

B

A

F

N

M C

B

M

A P

N

N

A D F

30º

8 5 5

B

x

B A

M

C

P

A

P M Q

B

C

60º

96º

xº

A

B C

D

º º

A

D

C

E

B

H

A

P

C

Q B

45º

A

B D

H C

45º

º

45º

6 2

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