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Tinoco, G. (2013). Circulo: Cónicas y ecuación del círculo. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM.

Circulo: Cónicas y ecuación del circulo

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Cónicas La parte central de este curso son las cónicas. Estas curvas han sido estudiadas por los matemáticos desde la época de los antiguos geómetras griegos. Las características y propiedades de estas curvas son muy diversas y se aplican en la ingeniería, la arquitectura, y en el diseño y construcción de instrumentos ópticos, acústicos y de telecomunicaciones.

Inicialmente se les estudió como secciones se superficies cónicas cortadas por planos. Posteriormente se les relacionó con ecuaciones de segundo grado al reconocerlas como lugares geométricos o conjuntos de puntos que satisfacen ciertas condiciones sobre distancias entre puntos o entre puntos y rectas.

Una superficie cónica de revolución (cono) se engendra mediante una recta que gira alrededor de otra a la cual, corta. Esta segunda recta es el eje de la superficie y la recta que gira es la generatriz. El punto de intersección de ambas es el vértice de la superficie.

Las curvas que se generan al cortar un cono mediante un plano, se conocen como secciones cónicas. Si a es el semi-ángulo central del cono y si el plano forma un ángulo b con el eje del cono, entonces la cónica es: Una elipse, si 90a b< < ° , una parábola, si b a= , una hipérbola, si 0 b a° < < .

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Nota: Ver aplicación interactiva "Secciones cónicas" del capítulo "Ecuación general de 2° grado" disponible en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

Círculo !

Introducción El círculo se puede definir como sección cónica y como lugar geométrico. El círculo es la sección que se obtiene al cortar un cono recto mediante un plano perpendicular al eje del cono. También, el círculo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro, esto es, el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia constante, llamada radio, del centro.

Nota: Ver aplicaciones interactivas "Secciones cónicas" y "Cónicas: (lugar geométrico 2)", del capítulo "Ecuación general de 2° grado", disponible en la dirección:

http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

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Ecuación del círculo Para determinar la ecuación del círculo es preferible considerar el centro del círculo en el origen del sistema de coordenadas, ya que así, la ecuación del círculo se reduce a una ecuación cuadrática simple.

En general, si se desea encontrar la ecuación que satisfacen los puntos ( ),P x y cuya

distancia al origen ( )0, 0O es igual a r, donde r es cualquier número no negativo,

tenemos la siguiente condición:

( ),d P O r=

Sustituyendo las coordenadas del punto P y del centro O en la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

2 22 1 2 1

2 2

2 2

0 0

x x y y r

x y r

x y r

! + ! =

! + ! =

+ =

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, se llega a:

2 2 2x y r+ =

Esta expresión se conoce como forma estándar de la ecuación del círculo con centro en el origen.

Traslación de ejes En la geometría analítica todas las figuras y ecuaciones tienen como marco de referencia un sistema de ejes coordenados, sin embargo, se puede recurrir a más de un sistema de ejes coordenados en el plano, pues esto puede facilitar ciertas técnicas.

Si se tiene un conjunto de puntos en el plano y sus coordenadas se refieren a un sistema de ejes x y , se puede considerar un segundo sistema de ejes ' 'x y , paralelos a los anteriores, pero, de tal manera que el origen de este segundo sistema de ejes se encuentre en un punto diferente al origen del sistema inicial.

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Por ejemplo: en la siguiente figura se tienen tres puntos en un sistema de ejes x y , y se

considera otro sistema de ejes ' 'x y cuyo origen se encuentra en el punto ( )' 2,3O del

sistema x y .

Se puede observar en la figura, que las coordenadas de los puntos respecto al sistema de coordenadas x y son: ( )6, 4A , ( )2, 6B ! y ( )5, 1C ! . Mientras que respecto al sistema

' 'x y son: ( )4, 1A , ( )4, 3B ! y ( )3, 4C ! .

Para obtener estas coordenadas, respecto al segundo sistema de ejes, se pueden restar las coordenadas de 'O a las coordenadas de los puntos respecto al sistema x y .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

6, 4 6 2, 4 3 4, 1

2, 6 2 2, 6 3 4, 3

5, 1 5 2, 1 3 3, 4

! " " =

" ! " " " = "

" ! " " " = "

Para generalizar lo anterior, consideremos un sistema de ejes x y en el plano cartesiano, con

origen en ( )0,0O y un punto cualquiera ( )' ,O h k

distinto de O . Si se traza un nuevo par de ejes ' 'x y , paralelos a los ejes x y y con origen en 'O ,

cada punto del plano puede expresarse con coordenadas en términos de x y , o en términos de

' 'x y .

En la figura, los puntos C y D corresponden a las coordenadas x y de P , y los puntos M y N corresponden a sus coordenadas ' 'x y . Además,

los puntos A y B corresponden a las coordenadas ( ),h k de 'O con respecto a los

ejes x y . Entonces:

' '

' '

x PN PD ND PD O B x h

y PM PC MC PC O A y k

= = ! = ! = !

= = ! = ! = !

De lo anterior se obtiene la siguiente relación entre los dos sistemas de coordenadas:

!!

!!

&!

' 'x x h y y k= ! = !

Estas fórmulas se conocen como fórmulas de traslación de ejes y establecen la relación entre las coordenadas x y (respecto a un sistema original de coordenadas), con las coordenadas ' 'x y (respecto a un nuevo sistema de ejes).

Círculo con centro fuera del origen Para encontrar la ecuación de un círculo cuyo centro no sea el origen del sistema de coordenadas sino un punto cualquiera ( ),C h k , se puede recurrir a la traslación de ejes,

considerando un nuevo sistema de coordenadas ' 'x y con centro en C .

Con respecto a este nuevo sistema de coordenadas, la ecuación del círculo con centro en C y radio r es:

( ) ( )2 2 2' 'x y r+ =

Para determinar la ecuación del círculo con respecto al sistema de coordenadas original x y , se hace la sustitución con las fórmulas de traslación de ejes:

' 'x x h y y k= ! = !

Con lo cual se obtiene:

( ) ( )2 2 2x h y k r! + ! =

Esta expresión es la forma estándar o canónica de la ecuación del círculo de radio r y centro en ( ),C h k .

Ecuación de un círculo Para determinar la ecuación de un círculo es necesario conocer sus elementos esenciales: la ubicación de su centro y la medida de su radio.

Ejemplo: Determinar la forma estándar de la ecuación del círculo que tiene su centro en el punto

( )10, 2C ! y cuyo radio mide: 2 21r =

Se sustituyen los datos en la forma estándar de la ecuación de un círculo.

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( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2

22 2

2 2

10 2 2 21

10 2 84

x h y k r

x y

x y

! + ! =

! ! + ! =

+ + ! =

Nota: La tarea de encontrar la forma estándar de la ecuación de un círculo, dada la ubicación de su centro y la medida de su radio, se puede practicar en la aplicación "Ecuación del círculo (1)" del capítulo "Círculo",

disponible en la dirección de internet: http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy