CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBIADAS 4.1ITRODUCCI En el captulo anterior se estudi el diseo de elementos sometidos a cargas estticas simples, como carga axial,flexin,torsinycortantedirecto.Enestecaptuloavanzaremosennuestroestudioalconsiderar elementossometidosacargasestticascombinadas.Cuandoelpuntocrticodeunelementotieneun estadodeesfuerzoplano(biaxial)otriaxial,sudiseoesunpocomscomplejo,yaquelosdatos disponibles de resistencia de los materiales son aquellos de resistencia a estados de esfuerzo simple.Se deberecurrir,entonces,ateorasqueprediganlafalladelosmaterialesbajoestadosdeesfuerzo combinado.En este captulo estudiaremos algunas teoras de falla esttica, propuestas para predecir la falla de los materiales sometidos a cargas estticas. En los captulos 2 y 3 se estudiaron los estados de esfuerzo producidos por cargas simples.Sin embargo, en la resolucin de los problemas no se necesitaron dichos estados de esfuerzo, ya que el diseo se hace porcomparacindirecta;esdecir,elesfuerzonormalmximoproducidoporcargaaxialoflexinse comparaconlaresistenciadelmaterialatraccinocompresin;algosimilarsucedeconlosesfuerzos cortantes.En este captulo se estudiarn estados de esfuerzo triaxiales, ya que puede ser necesario trazar stos para la aplicacin de las teoras de falla. Elordendelcaptuloeselsiguiente.Primero,enlaseccin4.2,serevisanalgunosconceptossobre esfuerzoscombinados,talescomoestadosdeesfuerzobiaxialytriaxial,esfuerzosprincipalesycrculos de Mohr.Despus, en la seccin 4.3, se discuten algunos conceptos referentes a la falla de los materiales.Estosconceptossirvencomounaintroduccinalestudiodelasteorasdefalla.Finalmente,laseccin4.4estudialas teorasde fallaysuaplicacin,incluyendoejemplos,eneldiseodeelementos sometidos a esfuerzos combinados estticos. Cuando los esfuerzos son variables, el fenmeno de falla de los elementos de mquinas y las ecuaciones de falla son diferentes; esto se estudiar en el captulo 5. 4.2ESFUERZOS COMBIADOS En la seccin 2.2 (captulo 2) se repasaron los conceptos de esfuerzo, esfuerzo normal, esfuerzo cortante y estadodeesfuerzoenunpunto.Aquseresumenalgunosconceptosestudiadosall,peroelestudiante puede releer dicha seccin, si lo considera necesario (en especial, puede revisar las figuras 2.1 y 2.2). 2CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS 4.2.1Estados de esfuerzo y esfuerzos principales Estado triaxial de esfuerzo Considere el cuerpo de la figura 4.1.a, el cual est sometido a fuerzas externas.Al hacer un corte sobre el elemento y aislar una de las partes (figura 4.1.b), puede determinarse la fuerza interna1 que soporta dicha seccindecorte;esta fuerzatendrunacomponentetangencialyotranormalalaseccin, lascuales se distribuyen de cierta manera sobre sta.Los esfuerzos normal, S, y cortante, Ss, sobre un punto cualquiera de dicha seccin dependern de la forma en que se distribuya la fuerza y se muestran en la figura 4.1.c. Figura 4.1Un cuerpo soporta esfuerzos normales y cortantes debido a la accin de fuerzas El par de esfuerzos mostrado en la figura 4.1.c es el que acta en el punto indicado, con la orientacin del planodecorte;sinembargo,silaorientacindelplanocambia,tambinlohacenlosesfuerzos.Para conocercompletamenteelestadodeesfuerzoenunpunto,sedebenconocerlosparesdeesfuerzosque actanentresplanosortogonales.Lafigura4.2.amuestraelestadogeneraldeesfuerzoenunpunto, donde SXX, SYYy SZZ son los esfuerzos normales que actan en las direcciones x, y y z respectivamente y SsXY,SsYX,SsXZ,SsZX,SsYZySsZYsonlosesfuerzoscortantesqueactanenlosdiferentesplanos.Los subndicesdelosesfuerzoscortantesindican,ensuorden,esfuerzocortante(s),planodondeactael esfuerzo y direccin en que acta. Figura 4.2Estados de esfuerzo.(a) Estado triaxial de esfuerzo.(b) Esfuerzos principales Como el estado de esfuerzo de un punto depende de la orientacin de los planos ortogonales analizados, setieneunnmeroinfinitodeestadosdeesfuerzo,yaquedichosplanospuedentenerinfinitas 1 La fuerza interna estar ubicada en algn punto de la seccin (o incluso fuera de sta).Dicha fuerza puede llevarse al centroide de la seccin de corte, con lo cual aparecen momentos internos. F5 F1 F2 F3 F4 F6 F7 F5 F8 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas F1 F2 F3 F4 Fn Ft F5 (b) Diagrama de cuerpo libre de una parte del cuerpo.Acta una fuerza interna con componentes Ft y Fn(c) Esfuerzos normal, S, y cortante, Ss, en un punto (rea infinitesimal) de la seccin de corte S F1 F2 F3 F4 F5 Ss dA x y z SsZX SsXZ SsZY SsYZ SsYX SsXY SYY SXX SZZ (a)(b) 1 2 3 CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS3 orientaciones.Al rotar un elemento infinitesimal sometido a esfuerzos, como el de la figura 4.2.a, existir siempreunaorientacindelosplanosdedichoelementoenlacualsloactanesfuerzosnormales,es decir,nohayesfuerzoscortantes.Losplanosencontradossedenominanplanosprincipales,ylos esfuerzos normales que actan en ellos son los esfuerzos principales, 1, 2 y 3, los cuales se muestran en la figura 4.2.b.Por convencin, 1 2 3; entonces, 1 es el esfuerzo principal mximo y 3 es el esfuerzoprincipalmnimo.Ntesequelanicacondicinparaqueunesfuerzonormalseaesfuerzo principal, es que en el plano donde ste acta, el esfuerzo cortante sea nulo. Para determinar los esfuerzos principales, partiendo de un estado de esfuerzo cualquiera, se puede aplicar el siguiente polinomio cbico: (4.1) Lasracesdeestaecuacinsonsiemprerealesysonlosesfuerzosprincipales.Enlaecuacin4.1,un esfuerzocortante(actuandoenunplanopositivo)espositivosiactaenladireccinpositivadelejeo negativo si acta en la direccin negativa del eje. Estado de esfuerzo plano Elcasodeesfuerzoplanoesbastantecomneneldiseodeingeniera;porlotanto,estudiaremoseste caso con cierta profundidad.El estado de esfuerzo biaxial (o estado de esfuerzo plano) es aquel en el cual slo actan esfuerzos en un plano y se muestra en la figura 4.3.a. Figura 4.3Estados de esfuerzo.(a) Estado de esfuerzo plano.(b) Esfuerzos principales Al rotar el elemento infinitesimal en el plano del papel, siempre se podr encontrar una orientacin en la cualsloaparezcanesfuerzosnormales;dichosesfuerzosson,entonces,losesfuerzosprincipales,Ay B,eneseplano,talcomosemuestraenlafigura4.3.b.Elterceresfuerzoprincipaleselqueacta perpendicularmente al plano del papel (en z), en la cara mostrada en las figuras 4.3.a y b, ya que en dicho plano no acta esfuerzo cortante; como tampoco acta esfuerzo normal, dicho esfuerzo principal es nulo: C = 0. Sehancambiadolossubndicesdelosesfuerzosprincipales,1,2y3,porlasletrasA,ByC,para conservar la convencin 1 2 3, ya que slo se sabe el orden de los esfuerzos A, B y C en cada caso particular; es decir, para el estado de esfuerzo de la figura 4.3.b, no se sabe cul de los tres esfuerzos A, B o C es el mximo, el mnimo o el intermedio. Para simplificar algunas grficas y ecuaciones, se adopta la convencin A B; de acuerdo con sta, las ecuaciones para encontrar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzo plano son: . 0 ) 2 () ( ) (2 2 22 2 2 2 3= + + + + + + sXY ZZ sZX YY sYZ XX sZX sYZ sXY ZZ YY XXsZX sYZ sXY ZZ YY ZZ XX YY XX ZZ YY XXS S S S S S S S S S S SS S S S S S S S S S S S x y SsYX SsXY SsYX SsXY SYY SXX (a) SXX SYY (b) A A B B 4CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS (4.2.a) (4.2.b) (4.2.c) donde Ss es el esfuerzo cortante que acta en el plano xy (Ss2 = SsXY2 = SsYX2).Estas ecuaciones se deducen en el curso de Resistencia de materiales I.Ntese que A B, ya que el radical nunca es negativo. 4.2.2Crculos de Mohr Estado de esfuerzo plano Cualquierestadodeesfuerzoplanocomoeldelafigura4.3.asepuederepresentarmedianteunparde puntos en un diagrama- .Como semuestra en la figura 4.4.a, las coordenadas de los puntos X y Y equivalen a los pares de esfuerzos que actan en los planos x y y respectivamente.El signo del esfuerzo cortante en el diagrama - se puede obtener utilizando la siguiente convencin: si el esfuerzo cortante tiende a rotar el elemento en direccin horaria, se toma positivo; en caso contrario, se toma negativo. Figura 4.4Crculos de Mohr para un estado de esfuerzo plano Comosedijoanteriormente,alcambiarlasorientacionesdelosplanosdelelementoinfinitesimalse obtieneninfinitosestadosdeesfuerzo.Ellugargeomtricodelosparesdepuntosquerepresentanlos estados de esfuerzo obtenidos es una circunferencia en el diagrama - , como la de la figura 4.4.a.El centro de dicha circunferencia (punto C) es el centro geomtrico de la lnea XY y siempre est ubicado en el eje . Para determinar el estado de esfuerzo que se obtiene al rotar el elemento infinitesimal de la figura 4.3.a un ngulo,talcomosemuestraenlafigura4.5.b,sedeberotarlalneaXY,alrededordeC,unngulo iguala2(figura4.5.a).Lascoordenadasdelospuntosobtenidos,XyY,representanlasparejasde esfuerzos que actan en los planos x y y respectivamente. ,2 222sYY XX YY XXASS S S S+ ||

\| ++= ,2 222sYY XX YY XXBSS S S S+ ||

\| += , 0 =C(a)(b) max AB C AB C SXX SYY SsXY SsYX X Y CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS5 Figura 4.5Estado de esfuerzo obtenido al rotar, un ngulo , el elemento infinitesimal de la figura 4.3.a La circunferencia de la figura 4.4.a representa los estados de esfuerzo que se obtienen al rotar el elemento infinitesimaldelafigura4.3.aalrededordeunejeperpendicularalplanodelpapel(ejez).Sidicho elemento se rota alrededor del eje x o del eje y se obtienen otras dos circunferencias como las de la figura 4.4.b.Ntese que las tres circunferencias cruzan el eje por los tres esfuerzos principales, uno de ellos es C = 0; es decir, las nuevas circunferencias se construyen a partir de la primera, pasando por el origen del sistema de coordenadas.El rea sombreada corresponde a todos los posibles estados de esfuerzo del elemento infinitesimal bajo cualquier plano de anlisis. De acuerdo con la figura 4.4.b, A > B > C; por lo tanto, 1 = A, 2 = B y 3 = C; se aclara que esto es vlido slo para el caso particular mostrado en dicha figura.Considere los ejemplos de la figura 4.6, en los cuales las equivalencias entre A, B y C y 1, 2 y 3 son diferentes a las de la figura 4.4.b. Figura 4.6Ejemplos de crculos de Mohr para estados de esfuerzo plano Para la figura 4.6.a 1 = A, 2 = C y 3 = B, y para la figura 4.6.b 1 = C, 2 = A y 3 = B. Delasfiguras4.4.by4.6puedeobtenerseelmximoesfuerzocortanteenelpunto,llamadoesfuerzo cortante mximo, max.Ntese que max es igual al radio de la circunferencia ms grande, la cual tiene un dimetro igual a 1 3; por lo tanto: (4.3) .23 1 =max (a)(b) max BC A max ABC (b) SsYX SsXY SsYX SsXY SYY SXX SXX SYY x y x y (a) C X Y 2 Y (SYY, SsYX) (SXX, SsXY) X 6CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Estado triaxial de esfuerzo Para elcasodeesfuerzotriaxial se tiene algosimilar, pero nonecesariamentedoscircunferenciaspasan por el origen del diagrama.La figura 4.7 muestra un ejemplo de los crculos de Mohr para este caso de esfuerzo, donde el rea sombreada tambin representa todos los posibles estados de esfuerzo del punto de anlisis.Aligualqueparaelcasodeesfuerzoplano,elmximoesfuerzocortantesecalculaconla ecuacin 4.3. Figura 4.7Crculos de Mohr para un estado triaxial de esfuerzo 4.2.3Determinacin de puntos crticos Paradeterminarlospuntosenlosquepodracomenzarlafalladeunmiembrodemquinaoestructura sometida a esfuerzos combinados, se deben conocer, o por lo menos estimar, los mecanismos de falla de los materiales.Con respecto a la falla, los materiales dctiles se comportan de una manera diferente a los materiales frgiles; por ejemplo, se estima que para el caso de traccin los esfuerzos cortantes son los que generanlafallaenlosmaterialesdctiles,mientrasqueenlosfrgiles,losesfuerzosnormalessonlos causantes de la falla. Aligualqueparacargasimple,ladeterminacindelospuntoscrticosdeelementossometidosa esfuerzoscombinadossebasaenlaecuacindediseo,enlacualintervienenvariablescomolos esfuerzosprincipales,esfuerzocortantemximo,esfuerzocortanteoctadricoycoeficientesde concentracin de esfuerzos.En la seccin 4.4 se estudian las teoras de falla y las ecuaciones de diseo basadas en stas. Podra pensarse que cuando se presentan esfuerzos combinados, se deben buscar puntos en los cuales se maximizanlosesfuerzosdebidosalasdiferentescargas;sinembargo,nonecesariamenteelpuntoms crticoesaquelenquesepresentanalgunosesfuerzosmximos,perotalvezaquelenelsetieneuna combinacincrticadeesfuerzosnotancrticos.Hayquesercautelosoenlaseleccindelospuntos crticos. 123 max CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS7 EJEMPLO 4.1 DibujarlosestadosdeesfuerzoyloscrculosdeMohrdelospuntoscrticosdeloselementos mostradosenlafigura4.8.Calcular,adems,losesfuerzosprincipalesyelesfuerzocortante mximodecadapuntocrtico.Paraelelementosometidoatraccin, lacargaFesuniformemente distribuida.La longitud de todos los elementos es de 50 cm. Figura 4.8Elementos sometidos a cargas simples. (a) Traccin, (b) flexin, (c) torsin Solucin: Comoseverenlasolucindelejemplo,aquseconsideranestadosdeesfuerzosimples(enel ejemplo4.2seconsideraruncasodeesfuerzoscombinados).Enlasolucindelejemplose muestran los estados de esfuerzo de los puntos crticos de los elementos; si el estudiante tiene alguna dificultad para entender cmo se trazaron stos, se recomienda que repase los conceptos estudiados en el captulo 2 sobre los diferentes tipos de solicitaciones de carga (vanse las secciones 2.3 a 2.5). a) Traccin: Con la ecuacin de equilibrio, Fx = 0, se obtiene que la reaccin en el empotramiento es igual a la cargaaplicada,peroensentidocontrario.ComolafuerzaFesuniformementedistribuida,el esfuerzo se distribuye tambin uniformemente en todos los puntos de cualquier seccin; por lo tanto, todoslospuntossoportanelmismoesfuerzoysonigualmentecrticos.Elestadodeesfuerzo resultante se ilustra en la figura 4.9.a; el esfuerzo SXX acta en la direccin de la fuerza (en x) y en la cara perpendicular a sta (cara x), la cual pertenece a la seccin de corte.El esfuerzo es de traccin y est dado por SXX = F/A = (10000 N)/(10104 m2) = 10106 N/m2 = 10 MPa.SYY = SsXY = 0. Figura 4.9Estado de esfuerzo y crculo de Mohr de los puntos crticos del elemento a traccin ParadibujarelcrculodeMohr,ubicamoselpuntoX(figura4.9.b)concoordenadas(SXX,0),las cuales correspondenalos esfuerzosnormalycortanteenlacarax. SedibujaelpuntoYquetiene coordenadas(0,0)correspondientesalosesfuerzosenlacaray(nohayesfuerzos).Elcrculode Mohrseobtienealtrazarunacircunferenciaconcentroenelpuntomediodela lneaXY.Ntese A = 10 cm2 F = 10 kN (a) x y Seccin: 25 cm2 F = 100 N (b) d = 3 cm T = 100 N-m (c) x y SYY = 0 = B = C SXX = A XY max = SXX/2 (a)(b) SXXSXX 8CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS queslosehadibujadouncrculodeMohr,yaqueenestecasoespecialdeestadouniaxialde esfuerzo, el segundo crculo de Mohr (obtenido al rotar el punto crtico alrededor del eje y) coincide conelmostrado,yeltercero(obtenidoalrotarelpuntoalrededordelejex)esuncrculoderadio nulo con centro en el origen del diagrama - . Con las ecuaciones 4.2 se obtienen los esfuerzos principales, A, B y C, aunque por simplicidad se pueden deducir directamente del crculo de Mohr: dedonde1=A=10MPay2=3=0.Elesfuerzocortantemximo,max,estdadoporla ecuacin 4.3; entonces: b) Flexin: Cuando se tiene una viga sometida a cargas transversales, hay tanto esfuerzos normales (por flexin) como cortantes.Si la viga es lo suficientemente larga comparada con sus dimensiones transversales, los esfuerzos cortantes son relativamente pequeos, y normalmente se omite el anlisis de los puntos demayoresesfuerzoscortantes (siempreque noexistanesfuerzoscortantesadicionales).Unaviga seconsideralargasisulongitudesmayoroiguala10veceslamayordimensindelaseccin transversal.En nuestro caso, la longitud es 10 veces la mayor dimensin de la seccin; por lo tanto, noseconsiderarelpuntomscrticoporcortante,niningnpuntointeriordondesepresenta combinacin de esfuerzos. Paraencontrarlospuntoscrticosseprocedeprimeroadeterminarlasreaccionesenel empotramiento (seccin A), denominadas V y M, tal como se muestra en la figura 4.10. Figura 4.10Reacciones en el empotramiento de la viga sometida a flexin Conlasecuacionesdeequilibrio(defuerzasverticalesydemomentosenelplanodelpapelcon respecto a la seccin A) se obtienen las reacciones en el empotramiento: Enlafigura4.11semuestranlosdiagramasdefuerzacortanteymomentoflectordelaviga,as como las distribuciones de esfuerzos normal y cortante en el empotramiento (los esfuerzos cortantes MPa, 102MPa 102MPa 102= ||

\|+ =A, 0 =C, 02MPa 102MPa 102= ||

\| =BMPa. 52MPa 10= =maxN. 100entonces0; N 100; 0 = = = V V Fy m. - N 50entonces0; m) N)(0.5 00 (1; 0) (= = = M M Mxy A+ x y F = 100 N V M 0.5 m A B CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS9 envigasestndadosporlaecuacin2.29;ladistribucindeesfuerzoscortantesenunaseccin rectangularsemostrenfigura2.35,captulo2).Ntesequelaseccinmscrticaporesfuerzo normaleselempotramiento(yaquesoportamayormomentoflector)yquecualquierseccines igualmentecrticadebidoalafuerzacortante(todoelelementosoportalamismafuerza).Los puntos ms crticos de la viga son (1), (2) y (3) (figura 4.11.b); (1) y (2) son los puntos ms alejados del eje neutro, soportando los mayores esfuerzos normales a traccin y compresin respectivamente, y(3)eselpuntoquesoportamayoresfuerzocortante.Comoyasedijo,sesuponeque(3)noes crtico por soportar un esfuerzo pequeo, y, por lo tanto, slo se consideran los otros dos. Figura 4.11(a) Diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura 4.10.(b) Distribuciones de esfuerzos De acuerdo con las distribuciones de esfuerzos de la figura 4.11.b, ambos puntos crticos, (1) y (2), estnsometidosaunesfuerzonormalsolamente;entonces,tienenestadosdeesfuerzouniaxial.Dichos estados de esfuerzo se muestran en la figura 4.12.a.Al igual que en carga axial, los esfuerzos StyScactanendireccinaxial,encaraspertenecientesalaseccintransversaldelaviga.Los crculosdeMohrsemuestranenlafigura4.12.byc.Porlasmismasrazonesexpuestasenla solucin de la parte (a), slo hay un crculo de Mohr para cada punto crtico. Figura 4.12Estados de esfuerzo y crculos de Mohr de los puntos crticos de la viga Paraunelementosometidoaflexin,elesfuerzosecalculamedianteSXX=Mc/I,donde M=50N-m,c=5/2cm=0.025m(paralospuntos(1)y(2))eI=(1/12)(2cm)(5cm)3= 20.83108m4,conloqueseobtienequeSXX=6MPa.Entonces,St=6MPaySc=-6MPa,y SYY = SSXY = 0.Ntese que el momento flector se toma positivo, ya que el signo del esfuerzo se toma positivo para (1) y negativo para (2). Vy (N) x AB0.5 m 100 Mxy (N-m) x 50 AB (a)(b) E.N. St Sc (1) (2) Ss (3) x y x y B = C = 0 St = AXY max = St/2 (a) Estados de esfuerzo(b) Crculo de Mohr del punto (1) StSt(1) ScSc(2) B = Sc A = C = 0YX max = Sc/2 (c) Crculo de Mohr del punto (2) 10CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Conlasecuaciones4.2y4.3seobtienenlosesfuerzosprincipalesyelesfuerzocortantemximo respectivamente: Punto (1)1 = A = 6 MPa, 2 = 3 = 0; max = 3 MPa. Punto (2)1 = 2 = 0, 3 = B = 6 MPa; max = 3 MPa. c)Torsin: Con la ecuacin de equilibrio, Tx = 0, se obtiene que la reaccin en el empotramiento es igual al par de torsin aplicado, T, pero en sentido contrario.Por la sencillez de carga no es necesario hacer un diagrama de par de torsin; todo el elemento soporta un par interno T; por lo tanto, cualquier seccin esigualmentecrtica.Paraunelementodeseccincircularsometidoatorsin,lospuntosms crticos son los de la periferia (los ms alejados del eje neutro), cuyos estados de esfuerzo resultantes sonsimilaresalmostradoenlafigura4.13.b,dondeSs=Tc/J;T=100N-m,c=(0.03m)/2y J = (/32)(0.03 m)4 = 7.95108 m4; entonces Ss = 18.86 MPa.SXX = SYY = 0. Figura 4.13Elemento sometido a torsin.(a) El punto (1) es uno de los crticos, ya que est en la superficie.(b) Estado de esfuerzo del punto (1).(c) Crculos de Mohr de los puntos crticos A diferencia de los casos anteriores, los puntos crticos del elemento a torsin tienen tres crculos de Mohr, tal como se muestra en la figura 4.13.c. Delasecuaciones4.2y4.3seobtienenlosesfuerzosprincipalesyelesfuerzocortantemximo respectivamente: de donde 1 = A = 18.86 MPa, 2 = C = 0 y 3 = B = 18.86 MPa; entonces: MPa, 86 . 18 MPa) 86 . 18 ( 0 02= + + =A, 0 =CMPa. 86 . 182) MPa 86 . 18 ( MPa 86 . 18= =maxMPa, 86 . 18 MPa) 86 . 18 ( 0 02 = + =B(b)(a) T = 100 N-m Punto en la superficie (1) SsSs Ss Ss (c) x y 3 cm B = Ss A = Ss Y X max = Ss C = 0 CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS11 EJEMPLO 4.2 ElelementoenformadeL,mostradoenlafigura 4.14,estempotradoenunextremoysoporta dosfuerzasenelextremolibre.DibujarloscrculosdeMohrdelospuntoscrticosycalcularlos esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo de cada punto.Para evitar la concentracin de esfuerzos en el extremo libre, las cargas se aplican uniformemente sobre la cara. Figura 4.14Elemento sometido a cargas combinadas Solucin: Debidoaqueelelementonoesrecto,losestadosdeesfuerzoenciertaspartesnopueden determinarse por los mtodos bsicos de resistencia de materiales; adems, se dificulta el proceso de seleccindelospuntoscrticosdebidoaquelosesfuerzossoncombinados.Enlaparte(a)se mostrarunasolucintericaanalizandounconjuntodepuntosclave,quenonecesariamente contienenalpuntomscrtico;enlaparte(b)sedarnlosresultadosdelanlisisdeelementos finitos, usando el programa computacional Algor. a) Solucin terica: Para dar solucin al ejemplo, se supone que la seccinmscrticadelelementoesel empotramiento;porlotanto,allestarael puntomscrtico.Lasreaccionesenel empotramientosepuedendeterminardelas ecuaciones de equilibrio (sumatoria de fuerzas ymomentosenlastresdirecciones cartesianas);sinembargo,estalvezms convenientellevarlasfuerzasexternasal centroidedelempotramientoyencontrarel momentoresultante,haciendoelproducto cruzentreelvectorqueuneelcentroideyel puntodeaplicacindelasfuerzas(figura 4.15) y la fuerza resultante. Figura 4.15Vector r para la determinacin de los momentos internos en el empotramiento 80 40 10 4 10 6 kN 5 kN Todas las medidas en cm x y z x y z 6 kN 5 kN r12CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Cargas en el empotramiento: De acuerdo con las dimensiones del elemento (figura 4.14)m ) 4 . 0 8 . 0 ( k i r + = , y la fuerza total es kN ) 6 5 ( j i F = .El momento resultante en el empotramiento est dado por: entonces: de donde: Las componentes de este momento se ilustran en la figura 4.16. Figura 4.16Cargas internas en el empotramiento (se muestran algunos puntos crticos) Distribuciones de esfuerzos: Las distribuciones de esfuerzos producidos por fuerzas axiales, momentos flectores, pares de torsin yfuerzascortantesseestudiaronenelcaptulo2(vanselasfiguras2.5,2.11,2.28y2.35).Aplicando estos conceptos a las fuerzas y momentos que actan en el empotramiento, se obtienen las distribucionesdeesfuerzosmostradasenlafigura4.17.LafuerzaFxproduceunesfuerzode compresin uniforme en toda la seccin.Los momentos flectores My y Mz producen distribuciones lineales de esfuerzos normales; en ambos casos, el eje neutro pasa por el centroide de la seccin y es paraleloaladireccindel momento.La fuerza Fygeneraesfuerzoscortantesactuandohaciaabajo (en la direccin de la fuerza), y la distribucin de esfuerzos es parablica (vanse la figura 2.35 y la ecuacin2.29delcaptulo2).Finalmente,sepresentanalgunasdistribucionesdelosesfuerzos cortantesproducidosporelpardetorsinMx.Ntesequelosesfuerzosactandetalmaneraque tratan de retorcer la seccin en la direccin de Mx. kN, ) 6 5 ( m ) 4 . 0 8 . 0 ( j i k i F r M + = =| | | | | | , 0 ) 6 )( 8 . 0 ( ) 5 )( 4 . 0 ( 0 ) 6 )( 4 . 0 ( 00 6 54 . 0 0 8 . 0 k j ik j iM + = =m. - kN ) 8 . 4 2 4 . 2 ( k j i M =x y z Fx = 5 kN Mx = 2.4 kN-m A G D B C F H E My = 2 kN-m Mz = 4.8 kN-m Fy = 6 kN CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS13 Figura 4.17Distribuciones de los esfuerzos producidos por las diferentes cargas internas en el empotramiento Puntos crticos: Para seleccionar lospuntoscrticos, sedeterminanloslugares dondeactan los esfuerzosmximos producidos por las diferentes cargas: la fuerza axial produce un esfuerzo uniformemente distribuido; porlotanto,cualquierpuntosoportaelmismoesfuerzo;lafuerzacortanteproduceesfuerzos mximosenlalneaGH;losmomentosflectoresproducenesfuerzosmximosenlospuntosms alejados del eje neutro; y el momento de torsin produce esfuerzos mximos en los puntos medios de los lados de la seccin rectangular. El conjunto de puntos {A, B, ..., H} que se muestra en la figura 4.16 podra contener el ms crtico del elemento, aunque no necesariamente, y se ha escogido de tal manera que en esos puntos acten porlomenosdosesfuerzosmximosproducidospor algunasde lascargas(sin contarcon lacarga axialparalacualtodoslospuntossoncrticos);sinembargo,cuandosetienenesfuerzos combinados,elpuntomscrticoesaquelenelquelacombinacindeesfuerzoseslams x y z A G D B C A G D B C F H E (a) Esfuerzo axial de com-presin producido por Fx (b) Esfuerzos normales producidos por My (c) Esfuerzos normales producidos por Mz (d) Esfuerzos cortantes producidos por Fy(e) Esfuerzos cortantes producidos por Mx A G D B C A G D B C A G D B C x y z 14CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS desfavorable.La combinacin ms crtica de esfuerzos no necesariamente ocurre en un punto donde ocurra uno o ms esfuerzos mximos producidos por una o ms cargas. Clculo de esfuerzos: Acontinuacinsepresentaelclculodelosesfuerzosproducidosporlasdiferentescargasenel empotramiento, utilizando las ecuaciones de resistencia de materiales (captulo 2).Se indica en qu puntos son vlidos los clculos correspondientes.Ntese que el esfuerzo debido a la fuerza cortante FyesmximoenlalneaGHyestdadoporlaecuacin2.31(captulo2),vlidaparasecciones rectangulares.Los esfuerzos debidos al par de torsin Mx se calculan con las ecuaciones 2.14 y 2.17 (captulo 2); los valores de y se obtienen mediante interpolacin rectilnea de los datos de la tabla 2.1 (captulo 2), para a/b = 2.5. Estados de esfuerzo: Lafigura4.18presentalosestadosdeesfuerzodelospuntoscrticosenfuncindelosesfuerzos producidosporcadaunadelascargas.Cadaunodeestosestadosdeesfuerzoesbiaxialyse representa mostrando slo una de las caras del elemento infinitesimal e indicando su orientacin. Alreemplazarlosvaloresnumricosdelosesfuerzosdelafigura4.18,seobtienenlosestadosde esfuerzo de la figura 4.19. Eliminacin de puntos crticos: Delosochoestadosdeesfuerzodelafigura4.19,podemosdescartaralgunosdeellosmediante comparaciones entre puntos cuyos estados de esfuerzo slo difieran en sus valores numricos o en sus orientaciones. LospuntosA,C,DyFestnsometidosaestadosdeesfuerzouniaxial.EntreAyC(puntosa traccin) es ms crtico el punto C ya que est sometido a un esfuerzo mayor.Entre D y F (puntos a compresin) es ms crtico el punto D.Podemos descartar, entonces, los puntos A y F. Esfuerzodecompresinproducidoporla fuerza Fx en los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. , MPa 25 . 1m ) 04 . 0 )( 1 . 0 (kN 52 = = =AFSxFx , MPa 30m ) 1 . 0 )( 04 . 0 )( 12 / 1 (m) m)(0.05 - kN 2 (4 3= = =yyz yMyIc MS, MPa 180m ) 04 . 0 )( 1 . 0 )( 12 / 1 (m) m)(0.02 - kN 8 . 4 (4 3= = =zzy zMzIc MSEsfuerzonormaldetraccinparalospuntos C, H y F, y de compresin para los puntos A, G y D.My no produce esfuerzo en B y E. Esfuerzonormaldetraccinparalospuntos A, B y C, y de compresin para los puntos D, E y F.Mz no produce esfuerzo en G y H. , MPa 25 . 2m ) 04 . 0 )( 1 . 0 )( 2 (kN) 6 )( 3 (232 = = =AFSysFy , MPa 48 . 58m ) 04 . 0 )( 1 . 0 )( 2565 . 0 (m) - kN 4 . 2 (3 2 21= = =abMSxsMx , MPa 32 . 45 MPa) 48 . 58 )( 775 . 0 (1 2= = =sMx sMxS S Esfuerzocortante(aproximado)producido porlafuerzaFyenlospuntosGyH.Para los dems puntos crticos el esfuerzo es nulo. SsMx1:esfuerzocortanteproducidoporelpar de torsin Mx en los puntos B y E. SsMx2:esfuerzocortanteproducidoporelpar de torsin Mx en los puntos G y H. En los dems puntos crticos no hay esfuerzo. CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS15 Figura 4.18Estados de esfuerzo de los puntos crticos en funcin de los esfuerzos individuales Figura 4.19Estados de esfuerzo de los puntos crticos Se puede comparar a B con H, los cuales estn sometidos a un esfuerzo cortante y a uno de traccin.Besmuchomscrticoyaquesusesfuerzos,elnormalyelcortante,sonmayoresalosesfuerzos correspondientes del punto H.Entre E y G (sometidos a un esfuerzo de compresin y a uno cortante) es ms crtico E, por las mismas razones.Podemos descartar, entonces, los puntos H y G. SepodratratardehacercomparacionesadicionalesentrelospuntosB,C,DyE,aunquecon precaucin,yaquesusestadosdeesfuerzonosonsimilares.Teniendoencuentalosvalores numricosyeltipodematerial(comportamientoalatraccinyalacompresin)sepodranhacer descartes adicionales (como en el ejemplo 4.4). SFx A SMySMz x y SFx B SMzx z SsMx1 SFx C SMySMz x y SFx E SMzx z SsMx1 SFx D SMySMz x y SFx G SMy x y SsFy + SsMx2 SFx F SMySMz x y SFx H SMy x y SsFy SsMx2 148.75 MPa A x y 178.75 MPa B x z 58.48 MPa 181.25 MPa E x z 58.48 MPa 208.75 MPa C x y 31.25 MPa G x y 47.57 MPa 211.25 MPa D x y 28.75 MPa H x y 43.07 MPa 151.25 MPa F x y 16CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Crculos de Mohr, esfuerzos principales y esfuerzos cortantes mximos: Lafigura4.20muestraloscrculosdeMohrdelospuntoscrticos,obtenidosdelosestadosde esfuerzo de la figura 4.19.La tabla 4.1 muestra los esfuerzos principales A, B y C, calculados con lasecuaciones4.2,yaquelosestadosdeesfuerzodeloscuatropuntoscrticossonplanos;estos esfuerzosprincipalesseordenandemayoramenorparaobtenerlosesfuerzos1,2y3.Los esfuerzos cortantes mximos se calculan con la ecuacin 4.3 y tambin se presentan en la tabla 4.1. Figura 4.20Crculos de Mohr de los puntos crticos Tabla 4.1Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes mximos de los puntos crticos del elemento. Punto crtico A (MPa) B (MPa) C (MPa) 1 (MPa) 2 (MPa) 3 (MPa) max (MPa) B196.1817.430196.18017.43106.81 C208.750.000208.7500.00104.38 D0.00211.2500.000211.25105.63 E17.23198.48017.230198.48107.86 b) Solucin computacional: ElelementosemodelenAlgor,programaCAD/CAE(DiseoeIngenieraAsistidospor Computador).Esteprogramasebasaenelmtododeelementosfinitos(FEM-FiniteElement Method),enelcualsedividelapiezaenpequeoselementosquetienenformasencilla,loquese denomina mallado, con el fin de determinar las deformaciones y los esfuerzos.La pieza se model con una malla de 20400 elementos. Latabla4.2muestralosesfuerzosprincipales,1y3,ylosesfuerzoscortantesmximosdelos puntosanalizadosenlaparte(a);adems,presentaestosvaloresparalospuntosenloscualesel esfuerzoprincipalmximo,elmnimoyelesfuerzocortantemximosoncrticos.Lafigura4.21 muestraelelementoconunaszonasofranjasqueindicanladistribucindelosesfuerzos principales mximos.En la seccin del empotramiento se muestra la distribucin de los esfuerzos 0 (MPa) (MPa) 208.75 X Y 104.375 (a) Crculo de Mohr del punto C 211.25 (MPa) (MPa) 0 YX 105.625 (b) Crculo de Mohr del punto D (c) Crculos de Mohr del punto B (MPa) X (178.75, 58.48) Z (0, 58.48) (MPa) (d) Crculos de Mohr del punto E (MPa) Z (0, 58.48) X ( 181.25, 58.48) (MPa) CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS17 cortantesmximos (obsrveseelmalladode laseccin).En la figura seindicaelpuntoA,en el cualsepresentaelvalormximode1.TambinseindicaelpuntoD,enelcualsepresentael valor mximo de max y el mnimo de 3. Tabla 4.2Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes mximos calculados usando Algor. Punto crtico 1 (MPa) 3 (MPa) max (MPa) B190095 C150080 D0240120 E019095 A200 D250125 Figura 4.21Elemento modelado en Algor.Se muestra la distribucin de esfuerzos principales mximos en el elemento y la distribucin de esfuerzos cortantes mximos en el empotramiento Delafigura4.21ydelatabla4.2sepuedeobservarquelospuntosdemayoresesfuerzosno necesariamentesonlospuntosseleccionadosenlaparte(a),locualesunindicativodela complejidaddeladeterminacindelospuntoscrticosdeunelementosometidoaesfuerzos combinados. Alcompararlosdatosdelastablas4.1y4.2,seencuentrandiferenciassignificativasentrelos esfuerzoscalculadostericamenteyloscalculadosporelprograma.Lasdiferenciassedeben principalmente a que el mtodo de elementos finitos hace clculos aproximados; en la medida en que se haga un mejor mallado, mayor ser la precisin del mtodo (entre otras cosas, un mayor nmero deelementospuedemejorarelmallado).Unamayorprecisinsepuedeobtenersisemodelala pieza con un mallado mucho ms fino. D: punto de mayor esfuerzo cortante A z y ABC DEF GH 18CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Conelejemploanteriorseculminalarevisindeltemadeesfuerzoscombinados.Enelrestodeeste captulonosocuparemosdelestudiodelasteorasdefallaysuaplicacineneldiseodeelementos sometidosacargasestticascombinadas.Enestemomentoelestudiantepodrapreguntarseculo cules son los esfuerzos que se deben tomar como base para el diseo? SXX?, SYY? SZZ?, SsXY?, SsYZ? SsXZ?,1?,2?3?,max?,obajoquvaloresdeesfuerzosfallarlapieza?Seesperaquelas respuestas a estas preguntas las tenga al terminar de leer el resto del captulo. 4.3COCEPTOS SOBRE FALLA ESTTICA Deacuerdoconloestudiadoenelcaptulo3,eldiseodepiezassometidasacargasestticassimples (axial, flexin, torsin o cortante directo) consiste en comparar el esfuerzo mximo que soporta la pieza conelesfuerzoqueproducelafallaendichapieza;esdecir,laresistenciadefluenciaoelesfuerzo ltimo,entraccin,compresinocortante.Estacomparacinesposibledebidoaquesedisponede tablasdepropiedadesdematerialesycatlogosdefabricantes,loscualessuministranvalorestpicos (mnimos,promedios,etc.)delasresistenciasdelosmateriales,obtenidasalsometerprobetas normalizadasapruebasdetraccin,compresinytorsin.Paradeterminarqutantoresisteun determinadomaterialsometidoaesfuerzoscombinados,podraadoptarseelmismoprocedimiento;es decir, ejecutar ensayos de resistencia.Como puede pensarse en un infinito nmero de posibles estados de esfuerzo, se requeriran ensayos experimentales para cada caso particular. Podra ser recomendable hacer ensayos cuando el elemento a disear es de suma importancia o cuando se va a fabricar en grandes cantidades que justifiquen el costo de los ensayos.Algunas mquinas, como las delaindustriaaeronutica,debendisearseconaltosndicesdeconfiabilidad;porlotanto,esprctica comnefectuarensayosexperimentalesrigurososandespusdediseostericosconfiables.Enotros casos podra no ser justificable efectuar ensayos experimentales, por ejemplo por razones econmicas. Para elementos que no requieran ensayos experimentales o para los cuales stos no se justifiquen, podra ser mejor disearlos con base en el conocimiento que se tenga de los fenmenos que producen la falla.A travs de la historia se han propuesto muchas teoras para describir los fenmenos de falla de materiales; algunas de stas se estudiarn en la seccin 4.4, pero antes, haremos algunas observaciones sobre la falla de materiales sometidos a traccin, y explicaremos el concepto de esfuerzo equivalente. 4.3.1Falla bajo carga de traccin Cuando se somete un elemento a una carga de traccin simple, cualquier punto de ste queda sometido a un estado de esfuerzo uniaxial como el mostrado en la figura 4.22.a.De acuerdo con el crculo de Mohr mostrado en la misma figura, el mximo esfuerzo normal acta en la direccin de la fuerza y el mximo esfuerzo cortante en planos inclinados 45 con esta direccin (figura 4.22.b). Sisesometeunmaterialdctilaunacargadetraccin,sufallaserasimilaralamostradaenlafigura 4.22.c.Parece que el material falla debido a la accin de los esfuerzos cortantes, ya que en la rotura se tiendea formar un conocuyageneratriz forma aproximadamente 45 con la direccin axial2.Entonces, seran los esfuerzos cortantes los culpables de los desplazamientos de los cristales cuando se alcanza el lmite de fluencia; los cristales siguen deslizndose sobre la red hasta la rotura. Sisesometeunmaterialfrgilaunacargadetraccin,sufallaserasimilaralamostradaenlafigura 4.22.d, formando planos perpendiculares a la direccin axial.Como el esfuerzo normal mximo acta en dichos planos, el material parece fallar debido a la accin de los esfuerzos normales3.A medida que el 2Esdeanotarquelosngulosformadosenlafracturadelapiezanosonexactamente45(puedenserdiferentes),yqueeste ngulo depende del tipo de seccin transversal. 3Lafalladeunmaterialfrgilacompresinsedebeaalgunacombinacindelesfuerzonormaldecompresinydelesfuerzo cortante[1]. CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS19 esfuerzo normal aumenta, los cristales del material se van separando, hasta que ste vence las fuerzas de enlace y se produce la separacin de los cristales. Figura 4.22Rotura de materiales dctiles y frgiles bajo carga de traccin Algunas teoras de falla tienen en cuenta estos comportamientos y se basan en ellos.Algunas teoras son adecuadasparamaterialesdctiles,otrasparamaterialesfrgiles,mientrasqueotrasnosonadecuadas para ningn material. 4.3.2Esfuerzo equivalente Antes de proceder con el estudio de las teoras de falla, se discutir tambin sobre el concepto de esfuerzo equivalente, til en el manejo computacional de las diferentes teoras. Para proceder a disear un elemento cuyo punto crtico tenga un estado general de esfuerzo como el de la figura 4.23.a, es necesario aplicar una teora de falla.En algunos casos es conveniente encontrar un valor de esfuerzo, e, denominado esfuerzo equivalente, el cual es funcin de los esfuerzos de la figura 4.23.a y que al ser aplicado a un punto de la manera mostrada en la figura 4.23.b produzca la falla si y slo si el estadorealdeesfuerzosproducelafalladelelemento(deacuerdoconlateoradefalla).Esdecir,al incrementar proporcionalmente todos los esfuerzos de la figura 4.23.a, el esfuerzo equivalente aumentar, y cuando se produzca la falla en el punto, el estado de esfuerzo equivalente producir tambin la falla. Comosabemosqueunpuntosometidoaunesfuerzonormaldetraccinfallasielesfuerzoalcanzala resistencia a la traccin, cuando el estado real de esfuerzos falle, el esfuerzo equivalente ser igual a Su o Sy, es decir, e = Su, si la falla considerada es la rotura, o e = Sy, si la falla considerada es la deformacin plstica. Paraencontrarelesfuerzoequivalentedeacuerdoconunateoradefallaparticular,bastatomarla expresin matemtica de dicha teora y despejar Su o Sy; la expresin al otro lado del igual ser el esfuerzo equivalente.Esto se aplicar ms adelante. FF (d)Fracturadeunmaterialfrgil.Los esfuerzosnormalesseranlosprincipales causantes de la falla del material frgil SS 2 = 3 = 0 1 = S max = S/2 2 2 = 90, entonces = 45. (a) Estado de esfuerzo y crculo de Mohr para un puntosometidoatraccinsimple.Elesfuerzo normal mximo acta en la direccin axial maxmax 45 (b) Esfuerzos en planos inclinados 45 con respectoaladireccinaxial.Enstos ocurre el esfuerzo cortante mximo (c)Fracturadeunmaterialdctil.Los esfuerzoscortantesseranlosprincipales causantes de la falla del material dctil FF ~45 20CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Figura 4.23Concepto de esfuerzo equivalente 4.4TEORAS DE FALLA ESTTICA En esta seccin se estudian algunas teoras de falla esttica.Algunas de ellas son utilizadas en la prctica, ya que representan satisfactoriamente algunos datos experimentales, mientras que otras se presentan slo por inters histrico o pedaggico. 4.4.1 a 4.4.3Teoras de falla esttica para materiales frgiles ParamaterialesfrgilessepresentanlaTeoradelEsfuerzoPrincipalMximo(TEPM),lateorade Coulomb-Mohr o teora de la friccin interna y la Teora de Mohr Modificada (TMM), siendo esta ltima la preferida para materiales frgiles no uniformes sometidos a carga esttica. Cualquierteoradefallapuedeplantearseconbaseenlafallaporrotura(fallatotal)oenlafallapor fluencia(deformacinplsticaopermanente);lasteorasparamaterialesfrgilesseplantearn considerandofallaporrotura,yaquestosnoposeenpuntosdefluencia,oalmenosnoestnbien definidos. 4.4.1Teora del esfuerzo principal mximo LaTeoradelEsfuerzoPrincipalMximo(TEPM),oteoradelesfuerzonormalmximo,fueexpuesta porW.J.M.Rankineydatadelao1850aproximadamente[3].Slosepresentaporintershistricoya que no es adecuada para materiales frgiles ni dctiles. Esta teora establece que la falla suele ocurrir cuando uno de los tres esfuerzos principales, 1, 2 o 3, es igual a la resistencia del material, que puede ser Su o Suc (o Sy o Syc), dependiendo de si el esfuerzo normal considerado es de traccin o de compresin.Por convencin, tomamos 1 2 3; entonces, la TEPM puede expresarse como: (4.4) Lasecuaciones4.4seaplicanas:laprimeracuando1>0ylasegundacuando3 Su).Se muestran tambin las lneas correspondientes a la TEPM y la teora de Coulomb-Mohr. Figura4.29DiagramaA-BdelaTeoradeMohrModificada(TMM)paraunestadodeesfuerzoplano.Se muestra tambin la teora del esfuerzo principal mximo y la de Coulomb-Mohr.Los crculos muestran la tendencia tpicadelosdatosdeensayodeunafundicindehierrogris(losdatosoriginalesprovienendeR.C.GrassieI. Cornet.Fracture of Gray Cast Iron Tubes under Biaxial Stresses.J. App.Mech., vol. 16, pg. 178, 1949) Las ecuaciones que representan la TMM pueden deducirse de la figura 4.29.A cada una de las 6 lneas delpolgonolecorrespondeunaecuacin;sinembargo,siseadoptalaconvencinAB,slose requieren tres ecuaciones, correspondientes a las tres lneas del semiplano inferior-derecho: (4.7.a) (4.7.b) , si,B A u AS =, y 0 si,B A Au ucB uu ucu ucAS SSS SS S < >+=A B Su Su Suc Suc Punto interior.No se produce la falla Puntosobreel contorno.Se produce la falla TEPM Teora de Mohr modificada (TMM) Teora de Coulomb-Mohr Su Su CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS25 (4.7.c) ComolateoradeMohrmodificadaeslapreferidaparamaterialesfrgiles,podrapensarseenaplicar aqu el concepto de esfuerzo equivalente.Este concepto se aplicar para el caso de esfuerzo triaxial; se le propone al estudiante determinar el esfuerzo equivalente para cada condicin dada en las ecuaciones 4.7, despejando Su de cada ecuacin de falla. Estado de esfuerzo triaxial Para el estado de esfuerzo triaxial (o para cualquier estado de esfuerzo), la teora de Mohr modificada est dada por[1]: (4.8.a) (4.8.b) (4.8.c) (4.8.d) Ecuaciones de diseo para la Teora de Mohr Modificada (TMM) Las ecuaciones 4.7 y 4.8 representan la TMM para estados de esfuerzo plano y para estados de esfuerzo triaxial respectivamente.Para disear elementos frgiles, es necesario utilizar un factor de seguridad de tal manera que el elemento no falle.Los factores de seguridad para el diseo de elementos sometidos a cargasestticascombinadasse escogenesencialmentedelamismamaneraqueenel captulo3;eneste captulo se utilizan los datos de la primera fila de la tabla 3.1, como base para la seleccin de factores de seguridad. La manera de introducir el factor de seguridad, , en las ecuaciones 4.7 y 4.8, es reemplazar Su por Su/ y SucporSuc/cuantasvecesseanecesario.Deacuerdoconesto,delasecuaciones4.7y4.8seobtiene que: Para un estado de esfuerzo plano: (4.9.a) (4.9.b) (4.9.c) . 0 si, =A uc BS donde0, y, , , , , : entre mximo el es donde,3 2 1 3 2 1 C C C Se u e =, ) (2212 1 2 1 1 ((

++ = ucu ucSS SC. ) (2211 3 1 3 3 ((

++ = ucu ucSS SC, ) (2213 2 3 2 2 ((

++ = ucu ucSS SC, si,B AuA

S =, y 0 si,) (B A Au ucB uu ucu ucAS SSS S S S < >+=0 si, =AucB

S 26CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Para un estado de esfuerzo triaxial: (4.10.a) (4.10.b) (4.10.c) (4.10.d) EJEMPLO 4.3 Despus de analizar un elemento de hierro fundido gris ASTM 40 (Su = 293 MPa y Suc = 965 MPa; tabla A-3.4) se localizan dos puntos crticos cuyos estados de esfuerzo son los mostrados en la figura 4.30.Grafique los puntos en un diagrama A - B y determine el factor de seguridad del elemento. Figura 4.30Estados de esfuerzo de los puntos crticos de un elemento de hierro fundido gris ASTM 40 Solucin: Como el hierro fundido gris es un material frgil (elongacin menor a 5%), la mejor teora de falla para este material es la de Mohr-modificada.Los dos puntos crticos del elemento tienen estados de esfuerzobiaxial;esdecir,sepuedenaplicartantolasecuacionesgenerales(ecuaciones4.10)como las ecuaciones particulares para estados de esfuerzo biaxial (ecuaciones 4.9).El ejemplo se resolver con las ecuaciones 4.9.Se propone al estudiante hacer uso de las ecuaciones 4.10 para verificar que conducen al mismo resultado. Esfuerzos principales: Los esfuerzos principales de los puntos crticos se calculan con las ecuaciones 4.2. donde0, y, , , , , : entre mximo el es donde,3 2 1 3 2 1 C C C

Seue =, ) (2212 1 2 1 1 ((

++ = ucu ucSS SC. ) (2211 3 1 3 3 ((

++ = ucu ucSS SC, ) (2213 2 3 2 2 ((

++ = ucu ucSS SCx y 30 MPa 120 MPa 400 MPa 30 MPa 90 MPa AB CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS27 Para el punto A tenemos: MPa 22 . 61 1202400 302400 302 22222= + ||

\| ++=+ ||

\| ++=sYY XX YY XXASS S S S MPa 22 . 431 1202400 302400 302 22222 = + ||

\| +=+ ||

\| +=sYY XX YY XXBSS S S S . 0 =C Para el punto B: MPa 24 . 106 9023023022= + ||

\|+ =A MPa 24 . 76 9023023022 = + ||

\| =B . 0 =C Factor de seguridad: Elfactordeseguridaddel puntoAsecalculacon la ecuacin4.9.b,yaqueA=61.22MPa>0yA < B = 431.22 MPa: donde de,) (u ucB uu ucu ucAS SSS S S S+= . 7 . 1) 293 )( 965 () 293 965 (293 965) 22 . 431 )( 293 (22 . 61) (11=((

||

\| =(((

|||

\| =u ucu ucu ucB uA AS SS SS SS

Para el punto B, se utiliza la ecuacin 4.9.a, ya que A = 106.24 MPa > B = 76.24 MPa: . 8 . 224 . 106293donde de, = = = =AuBuAS

S El punto A es ms crtico que B ya que tiene un factor de seguridad menor, que a propsito, parece ser demasiado pequeo.Entonces, el factor de seguridad del elemento es= 1.7. 28CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Lafigura4.31muestraeldiagramaA-BconloslindesdelateoradeMohrmodificadaylos puntoscorrespondientesalospuntoscrticosAyB.ObsrvesequeelpuntoAseencuentraenla zonaconsombreadomsoscuro,quecorrespondealacondicindelaecuacin4.9.b:A>0y A < B.El punto B se encuentra en la zona con sombreado medio, que corresponde a la condicin A B.Ntese tambin que el punto A est en un linde (correspondiente a= 1.7) ms cercano al linde de falla que aquel del punto B, lo que indica que A es ms crtico. Figura 4.31Representacin de los puntos crticos del elemento en el diagrama A - B 4.4.4 a 4.4.6Teoras de falla esttica para materiales dctiles A travs de la historia se han planteado varias teoras para materiales dctiles, tales como la teora de la deformacinnormalmxima,lateoradelaenergadeladeformacintotal,lateoradelaenergade distorsin y la teora del esfuerzo cortante mximo.En este texto se estudiarn tres teoras, las cuales son aplicadas en la prctica, ya que sus resultados concuerdan relativamente bien con datos experimentales: la TeoradelEsfuerzoCortanteMximo(TECM),lateoradelaenergadedistorsin(vonMises-Hencky)ylaTeoradelEsfuerzoCortanteOctadrico(TECO);estasdosltimascoincidenensus resultados y son preferidas ya que concuerdan ms de cerca con los datos experimentales. NtesequelasteorasTECOyTECMestnbasadasenesfuerzoscortantes,yaquelafalladelos materiales dctiles tiende a ocurrir por la accin de stos.Como al hablar de falla de un elemento dctil puede pensarse en la rotura o en la fluencia, las teoras que se estudiarn a continuacin pueden aplicarse, si se quiere, a cualquiera de estas dos fallas; sin embargo, para su presentacin se escoger la resistencia de fluencia, ya que es el criterio de diseo preferido para materiales dctiles[1]. 4.4.4Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) La Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) fue propuesta por primera vez por Coulomb y despus fue descrita por Tresca en 1864[1].A veces se usa el nombre Tresca para referirse a esta teora. Lateoradelesfuerzocortantemximoestablecequelafallasueleocurrircuandoelesfuerzocortante mximodelcuerpo,max,excedeelvalordelesfuerzocortantemximoenunaprobetadeensayo sometidaa traccin,cuandoelesfuerzonormalmximoesigualala resistenciaSy(oSu).Enformade ecuacin, esta teora se puede expresar como: A B Su Su Suc Suc Teora de Mohr Modificada (TMM) Su Su Su = 293 MPa Suc = 965 MPa A (61.22, 431.22) MPaB (106.24, 76.24) MPaCorresponde a N = 2.8 Corresponde a N = 1.7 CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS29 (4.11) donde el subndice p se refiere a la probeta sometida a traccin. Recurdese que en una probeta sometida a traccin, el esfuerzo cortante mximo es igual a la mitad del esfuerzo normal mximo (figura 4.32); es decir, maxp = 1p/2; entonces, cuando 1p = Sy,maxp = Sy/2. Figura 4.32El mximo esfuerzo cortante en una probeta sometida a traccin es igual a la mitad del esfuerzo principal mximo De acuerdo con esto, la ecuacin 4.11 puede expresarse como: (4.12) y como max = (1 3)/2 (ecuacin 4.3), entonces: (4.13) EstaeslaformapreferidadelaTeoradelEsfuerzoCortanteMximo(TECM).Puedeaplicarsepara cualquier tipo de estado de esfuerzo de un material dctil. Elconceptodeesfuerzoequivalente(seccin4.3.2),e,puedeaplicarsealaecuacin4.13.Comoel trmino 1 3 est igualado a la resistencia de fluencia, se tiene que el esfuerzo equivalente de acuerdo con la TECM est dado por: (4.14) Estado de esfuerzo plano Paraunestadodeesfuerzoplano,laecuacin4.13estrepresentadaporelpolgonodelafigura4.33 (obsrveselasimilitudconlateoradeCoulomb-Mohr;figura4.28).Lospuntosinterioresindican condicionesdenofallaylospuntossobreelcontornooexterioresindicancondicionesdefalla.RecurdesequesiseadoptalaconvencinAB,laTECMestrepresentadasloporlastreslneas continuas, las cuales se encuentran en el semiplano donde esta condicin se cumple. , cuando 1 y p maxp maxS = ,2ymaxS .3 1 yS .3 1 =e SpSp 2p = 3p = 0 1p = Sp maxp = Sp/2 30CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Figura 4.33Diagrama A - B de la Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) para un estado de esfuerzo plano Lastreslneascontinuasdelpolgonodelafigura4.33seobtienendelanlisisquesehacea continuacin,enelcualdebenrelacionarselosesfuerzosprincipales1y3(queestnenlaecuacin4.13)conlosesfuerzosprincipalesAyB(quesonlosejesdeldiagrama).Seadoptala convencin A B, aunque un anlisis similar puede hacerse para A B. Primer caso Si A 0 y B 0 (figura 4.34.a), que corresponde al primer cuadrante de la figura 4.33, 1 = A y 3 = C = 0.De la ecuacin 4.13 se obtiene que A = Sy.Est ecuacin corresponde a una lnea vertical (que se extiende indefinidamente) cuya coordenada A es igual a Sy.Si adicionalmente usamos la convencin A B, la lnea resultante es la AB de la figura 4.33.

Figura 4.34Crculos de Mohr para estados de esfuerzo plano Segundo caso Si A 0 y B 0 (figura 4.34.b), tercer cuadrante de la figura 4.33, tenemos que 1 = C = 0 y 3 = B.Laecuacin4.13puedeexpresarsecomoB=Sy,quecorrespondeaunalneahorizontalcuya coordenada B es igual a Sy.Bajo la convencin A B, la lnea resultante es la DC de la figura 4.33. Tercer caso Si A 0 y B 0 (figura 4.34.c), cuarto cuadrante de la figura 4.33, 1 = A y 3 = B.La ecuacin 4.13 puede expresarse como A B = Sy, que, bajo la convencin A B, es la lnea BC de la figura 4.33. (a) A 0 y B 0(b) A 0 y B 0(c) A 0 y B 0 max ABC max BCA max A BC A B Sy Sy Sy Sy Puntointerior.No se produce la falla Puntosobreel contorno.Se produce la falla TECM A B CD E F CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS31 Con este anlisis queda demostrada la parte de la figura 4.33 en la cual A B. Uncasoespecialdeestadodeesfuerzoplanoeselproducidoporunacargadetorsin;esinteresante saber qu predice la TECM para el caso de torsin.Veamos! En la figura 4.13 se mostr el estado de esfuerzo y los crculos de Mohr de un punto crtico de una pieza sometida a torsin.De acuerdo con la figura 4.13.c 1 = Ss y 3 = Ss; usando la ecuacin 4.13 tenemos que13=Ss(Ss) = 2Ss= Sy;es decir,de acuerdocon la TECM la fallaentorsinocurrecuandoSs = 0.5Sy. De acuerdo con lo estudiado en el captulo 3, un elemento sometido a torsin falla si el mximo esfuerzo cortante, Ss, es igual a la resistencia del material a la torsin, es decir, Ss = Sys. Silateoradelesfuerzocortantemximofueracorrectaensuprediccin,ambasecuaciones(Ss=Sysy Ss = 0.5Sy) seran vlidas; por lo tanto, la TECM indica que la relacin entre la resistencia a la torsin y aquella a la traccin est dada por: Sys = 0.5Sy (segn la TECM). (4.15) Los datos de resistencia de los aceros indican que la relacin Sys/Sy vara aproximadamente entre 0.5 y 0.6, rango en el cual se encuentra el valor de 0.5, que es el que predice la TECM. Estudiemosahoraotrocasoparticulardeestadodeesfuerzoplano.Cuando sediseanelementosde mquinas,esmuycomnquesuspuntoscrticostenganestadosdeesfuerzoplanoconunodesus esfuerzos normales igual a cero (figura 4.35.a). Figura4.35EstadosdeesfuerzoconunesfuerzocortanteyunsoloesfuerzonormalysuscrculosdeMohr correspondientes.Ntese que A 0 y B 0, independientemente de los sentidos de los esfuerzos normal y cortante Ntese de lafigura4.35.b quesiempreA0yB0;comoC=0,1=Ay3=B.Entonces, la ecuacin 4.13 puede expresarse como: (4.16)

Reemplazando A y B por las ecuaciones 4.2.a y 4.2.b, respectivamente, y observando que es indiferente si S es SXX o SYY, tenemos que: .y B AS = Ss S Ss S Ss S Ss S (a)Estadosdeesfuerzo.Unesfuerzocortantey un esfuerzo normal de traccin o de compresin A BC max A BC max (b)CrculosdeMohrparalos estados de esfuerzo en (a) 32CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS (4.17) Los trminos S/2 se cancelan, entonces: (4.18) Elevando ambos trminos al cuadrado, pasando Sy2 a dividir a cada trmino de la izquierda y eliminando el 22 como factor, se obtiene: (4.19) Finalmente,teniendoencuentaquelaTeoradelEsfuerzoCortanteMximo(TECM)prediceque Sys = 0.5 Sy (ecuacin 4.15) se obtiene: (4.20) Laecuacin4.20esunaformadelaTECM,vlidacuandosetieneunestadodeesfuerzoconun esfuerzo cortante y un solo esfuerzo normal, como los de la figura 4.35.a. Estado de esfuerzo triaxial Al aplicar la ecuacin 4.13 al caso de esfuerzo triaxial se obtiene el cilindro hexagonal de la figura 4.36, cuyo eje forma ngulos iguales con respecto a los tres ejes coordenados; es decir, el eje del cilindro es el lugargeomtricodetodoslospuntoscuyosestadosdeesfuerzosonaquellosenquelostresesfuerzos principalessoniguales.Seaclaraqueeldiagrama,talcomoestconstruido,esvlidosilosesfuerzos principales no tienen ningn orden preestablecido. Lasuperficiedelcilindrohexagonalrepresentala falla.Aunquelagrficanolomuestra,elcilindrose extiendehaciaelinfinito,tantoparavaloresnegativosdelosesfuerzosprincipalescomoparavalores positivos,locualindicaque,deacuerdoconlateora,noimportaqutangrandesseanlosesfuerzos principales en traccin y compresin, la falla no ocurrira si el punto cae dentro del cilindro. Supongaqueustedintroduceuncuerpodentrodeuntanquellenodelquidoapresin.Lapresindel fluido genera esfuerzos iguales en todas las direcciones (figura 4.37), y el estado de esfuerzo es tal que el crculodeMohrtieneradionulo,aligualqueelesfuerzocortantemximo,talcomosemuestraenla figura4.37.Alaumentarlapresindellquidolosesfuerzosnormalesaumentan,peroelesfuerzo cortantesiguesiendonulo.DeacuerdoconlaTECM,lafallanuncaocurriryaquenohayesfuerzo cortante en el material.El estado de esfuerzo mostrado en la figura 4.37 est representado por un punto que pertenece al eje del cilindro de la figura 4.36, lo cual indica que no ocurrir la falla. .2 2 2 22222y s sS SS SSS S= + ||

\|+ + ||

\|+.2222y sS SS= + ||

\| . 12 / donde de, 12 222 2 2 2=|||

\|+|||

\|=|||

\|+|||

\|ysy ysySSSSSSSS . 5 . 0 donde, 12 2y ysyssyS SSSSS= =|||

\|+|||

\| CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS33 Figura 4.36Diagrama 1 - 2 - 3 de la teora del esfuerzo cortante mximo para estados de esfuerzo triaxial Figura 4.37(a) Estado de esfuerzo con 1 = 2 = 3 = , donde es de compresin.(b) Crculo de Mohr (de radio nulo y centro en ) Elejemploanteriorpuedeservirnosparaentenderelconceptodelascomponenteshidrostticas.Suponga que se descomponen los esfuerzos principales as: 1 1 1" ' + = 2 2 2" ' + = (4.21) , " '3 3 3 + = donde 3 2 1" " " = = ;estosesfuerzosrecibenelnombredecomponenteshidrostticas,yaqueson igualescomoocurreenelejemplodelelementosumergidoenunlquido.Noimportaqutangrandes seanlascomponenteshidrostticas,yaquealrestardosesfuerzosprincipales(paraobtenerunesfuerzo cortantemximo)lascomponenteshidrostticasseanulan.Ntesequeelefectodelascomponentes (a) max = 0 (b) 3 1 2 SySy Sy Sy Eje del cilindro hexagonal 34CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS hidrostticasesdesplazarelcrculodeMohr,peronoincideenelradiodeste.Lascomponentes 3 2 1' y' , ' s inciden en los valores de los esfuerzos cortantes. Ecuaciones de diseo para la Teora del Esfuerzo Cortante Mximo (TECM) LaTeoradelEsfuerzoCortanteMximo(TECM)puedeseraplicadaamaterialesdctilesyest representada por las ecuaciones 4.13, 4.14 y 4.20.Las dos primeras son vlidas para cualquier estado de esfuerzo, y la tercera es vlida para el caso particular estudiado. Como se dijo en la seccin 4.4.3, en el diseo es necesario utilizar un factor de seguridad, , con el fin de evitarlafalla.Lamaneradeintroducirelfactordeseguridadenlasecuaciones4.13,4.14y4.20es reemplazar Sy por Sy/ y Sys por Sys/ cuantas veces sea necesario.De acuerdo con esto, de las ecuaciones mencionadas se obtiene: (4.22) Si el estado de esfuerzo es similar a los de la figura 4.35.a, tambin puede utilizarse: (4.23) 4.4.5Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO) LaTeoradelEsfuerzoCortanteOctadrico(TECO)esutilizadaenlaprcticaparaeldiseode materiales dctiles y concuerda mejor con los datos experimentales que la TECM.Como se dijo antes del comienzo de la seccin 4.4.4, sus resultados coinciden con la teora de la energa de distorsin, la cual seestudiaenlaseccin4.4.6.AntesdeplantearelenunciadodelaTECO,esconvenienteestudiarel concepto de esfuerzo cortante octadrico. Elplanoqueformangulosigualesconlostresplanosprincipales(dondeactanlosesfuerzos principales) se denomina plano del octaedro, tal como se muestra en la figura 4.38.En dicho plano acta, en general, un esfuerzo normal octadrico, o, y un esfuerzo cortante octadrico, o. Figura 4.38Esfuerzos octadricos.Actan en un plano que forma ngulos iguales con los planos principales .3 1

Sye= = . 5 . 0 donde,122 2y ysyssyS S SSSS= ||

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\| 1 2 3 (b)Plano octadrico y esfuerzos octadricos o o 1 2 3 (a) Planos principales y esfuerzos principales CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS35 Para determinar el esfuerzo cortante octadrico en funcin de los esfuerzos principales, basta con aplicar las ecuaciones de equilibro (sumatoria de fuerzas).Se puede demostrar que: (4.24) Para traccin simple, el estado de esfuerzo es uniaxial y 2 = 3 = 0; entonces, de la ecuacin 4.24: (4.25) donde el subndice p se refiere a una probeta sometida a traccin. Conestopodemosenunciarlateora.Lateoradelesfuerzocortanteoctadricoestablecequelafalla suele ocurrir cuando el esfuerzo cortante octadrico del cuerpo, o, excede el valor del esfuerzo cortante octadrico en una probeta de ensayo sometida a traccin, cuando el esfuerzo normal mximo es igual a la resistencia, Sy.4En forma de ecuacin, la teora se puede expresar as: (4.26) De acuerdo con la ecuacin 4.25, cuando 1p = Sy, op = yS ) 3 / 2 ( ; entonces, de la ecuacin 4.26: (4.27) o, reemplazando la ecuacin 4.24 en la 4.27 y reordenando: (4.28) EstaeslaformapreferidadelaTeoradelEsfuerzoCortanteOctadrico(TECO);puedeaplicarsea cualquier punto (con cualquier tipo de estado de esfuerzo) de un material dctil. Podemos aplicar el concepto de esfuerzo equivalente, e, a esta teora.El trmino que est igualado a Sy en la ecuacin 4.28 es el esfuerzo equivalente de acuerdo con la TECO: (4.29) A este esfuerzo se le conoce normalmente como esfuerzo equivalente de von Mises (despus de estudiar la seccin 4.4.6, el estudiante sabr por qu se le llama de esta manera). Estado de esfuerzo plano Las ecuaciones 4.28 y 4.29 pueden aplicarse al caso especial de esfuerzo plano.Como estas ecuaciones son simtricas con respecto a los tres esfuerzos principales, no interesan las equivalencias entre 1,2y 3 y A, B y C; entonces: 4 Ntese la similitud del enunciado con el de la TECM. . cuando 1 y p op oS = . ) ( ) ( ) (3123 223 122 1 + + =o ,321p op =. ) ( ) ( ) (2123 223 122 1 yS + + ,32y oS . ) ( ) ( ) (2123 223 122 1 + + =e 36CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS (4.30) Como C = 0: (4.31) yutilizandolasecuaciones4.2.ay4.2.b,seobtieneaeenfuncindelosesfuerzoscalculadosconlas cargas en el elemento: (4.32) La grfica de la ecuacin 4.31 es la elipse mostrada en la figura 4.39.Se muestra tambin el polgono de la TECM (obsrvese la similitud de ambos contornos).Los puntos interiores indican condiciones de no falla,ylospuntossobrelaelipseoexterioresindicancondicionesdefalla.SiseadoptalaconvencinAB,laTECOestrepresentadasloporlapartedelaelipsequeseencuentraenelsemiplano inferior-derecho (por debajo de la lnea A = B). Figura 4.39Diagrama A - B de la Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO) para un estado de esfuerzo plano.Se muestra tambin el polgono de la TECM Analicemosnuevamenteelcasodeestadodeesfuerzoplanoproducidoporunacargadetorsin,qu predice la TECO para el caso de torsin? La ecuacin 4.32 puede usarse para el caso de torsin.Sabiendo que SXX = SYY = 0, tenemos que: (4.33) Entonces: . ) ( ) ( ) (212 2 2y C B C A B A eS = + + = ,2 2y B A B A eS = + = . 32 2 2y s YY XX YY XX eS S S S S S = + + = A B Sy Sy Sy Sy Puntointerior.Nose produce la falla Puntosobreel contorno.Se produce la falla TECM TECO A = B . 32y sS S =CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS37 (4.34) Figura 4.40Estado de esfuerzo y crculos de Mohr de un punto de un elemento sometido a torsin SesabequelafallaportorsinocurresiSs=Sys,deacuerdoconlaecuacin4.34,siSs=0.577Sy.Entonces, de acuerdo con la TECO, la relacin entre la resistencia a la torsin y la resistencia a la traccin est dada por Sys = 0.577Sy (segn la TECO).(4.35) Como se dijo antes, los datos de resistencia de los aceros indican una relacin entre 0.5 y 0.6, rango en el cual se encuentra el valor de 0.577.De acuerdo con datos experimentales, este valor parece ser un poco ms confiable que el valor de 0.5 de la TECM. Analicemos nuevamente el caso particular estudiado en la seccin 4.4.4, en el cual el estado de esfuerzo es biaxial con uno de sus esfuerzos normales igual a cero (figura 4.41), pero ahora usando la TECO. Figura 4.41Estados de esfuerzo con un esfuerzo cortante y un solo esfuerzo normal Alusarlaecuacin4.32aesteestadodeesfuerzo,yteniendoencuentaqueparadichaecuacines indiferente si S es SXX o SYY, se obtiene: (4.36) Elevando ambos trminos al cuadrado y pasando Sy2 a dividir cada trmino de la izquierda, queda: (4.37) . 1 32 2=|||

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\|ysySSSS . 577 . 03yysSSS =. 3 ) 0 ( 02 2 2y sS S S S = + +Ss S Ss S Ss S Ss S (a) Estado de esfuerzo(b) Crculos de Mohr SsSs Ss Ss x y 3 = Ss 1 = Ss Y X max = Ss 2 = 0 38CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Introduciendo el 3 al parntesis, como 2) 3 ( , y pasndolo a dividir el denominador, obtenemos: (4.38) Finalmente,teniendoencuentaquelaTeoradelEsfuerzoCortanteOctadrico(TECO)prediceque Sys =3 /yS= 0.577 Sy, se obtiene: (4.39) Laecuacin4.39esunaformadelaTECOvlidacuandosetieneunestadodeesfuerzoenun materialdctil,conunesfuerzocortanteyunsoloesfuerzonormal,comolosdelafigura4.41.Ntesequeesta ecuacinesiguala la4.20,dela TECM,exceptoporlarelacinentrelaresistencia de fluencia en torsin y la resistencia de fluencia en traccin. Estado de esfuerzo triaxial Alusarlaecuacin4.28delaTECOenelcasodeesfuerzotriaxial,seobtieneelcilindrodeseccin circulardelafigura4.42(lacurvainterseccindelcilindrodeseccincircularencadaplanoesuna elipse).Al igual que para la TECM, el eje del cilindro forma ngulos iguales con respecto a los tres ejes coordenados;esdecir,unpuntodelejerepresentaunestadodeesfuerzodondelostresesfuerzos principales son iguales.No hay restriccin en el orden de los esfuerzos principales para el trazado de la figura. Figura 4.42Diagrama 1 - 2 - 3 de la teora del esfuerzo cortante octadrico para estados de esfuerzo triaxial . 577 . 0 donde, 12 2y ysyssyS SSSSS= =|||

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\| . 13 /22=|||

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\|ysySSSS 3 1 2 Sy Sy Sy Sy Eje del cilindro circular CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS39 Los puntos de la superficie del cilindro representan la falla.Similarmente a lo que ocurre con el cilindro hexagonal de la TECM, el cilindro de la TECO se extiende hacia el infinito tanto para valores negativos de los esfuerzos principales como para valores positivos. En la TECO tambin es aplicable el concepto de las componentes hidrostticas (ecuaciones 4.21); as, sin importar qu tan grandes son las componentes hidrostticas 3 2 1" " " = = , la falla est determinada por el valor de las otras componentes de los esfuerzos principales 3 2 1' y' , ' . Ecuaciones de diseo para la Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO) LaTeoradelEsfuerzoCortanteOctadrico(TECO)puedeseraplicadaamaterialesdctilesyest representada por las ecuaciones 4.28, 4.29, 4.31. 4.32 y 4.39.Las dos primeras son vlidas para cualquier estadodeesfuerzo,laterceraylacuartaparaunestadodeesfuerzoplanoylaquintaesvlidaparael caso particular estudiado. Paraeldiseodeelementosconestateoraseintroduceunfactordeseguridadenestasecuaciones, reemplazando Sy por Sy/ y Sys por Sys/ cuantas veces sea necesario, obtenindose: (4.40) Si el estado de esfuerzo es plano, puede utilizarse tambin: (4.41) (4.42) Si el estado de esfuerzo es similar a los de la figura 4.41, tambin puede usarse: (4.43) 4.4.6Teora de la energa de distorsin (teora de von Mises-Hencky) Como se dijo anteriormente, los resultados de la teora de la energa de distorsin coinciden con los de la Teora del Esfuerzo Cortante Octadrico (TECO).Los resultados de estas teoras son los preferidos en el diseodematerialesdctilesyaqueconcuerdanmejorconlosdatosexperimentales.Alateoradela energa de distorsin se le conoce tambin como teora de von Mises-Hencky5. Como se ha dicho, el deslizamiento de los tomos dentro de la estructura de un material dctil se debe a losesfuerzoscortantes,loscualesvanacompaadosdeunadistorsinenlaformadelelemento (recurdesequemientrasquelosesfuerzosnormalesalarganoacortanunelemento,loscortanteslo 5Lasecuacionesdelateoradelaenergadedistorsinhansidoobtenidasporcincoprocedimientosdistintos[4,citadoen1],por ejemplo,Eichinger(en1926)yNadai(en1937)obtuvieronindependientementedichasecuacionesatravsdelosesfuerzos octadricos.ElmtododeenergadedistorsinfuepropuestoinicialmenteporJamesClerkMaxwell[5,citadoen1]en1856,y despus se le hicieron algunas contribuciones: en 1904 por Hueber, en 1913 por von Mises yen 1925 por Hencky.Actualmente se le da crdito a von Mises y a Hencky, aunque en ocasiones slo a von Mises.[1] . ) ( ) ( ) (2123 223 122 1

Sye= + + = ,2 2

SyB A B A e= + = . 32 2 2

SS S S S Sys YY XX YY XX e= + + = . 577 . 0 donde,122 2y ysyssyS S SSSS= ||

\|=|||

\|+|||

\| 40CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS deformanangularmente,esdecir,lodistorsionan).Paradeformarunapiezaesnecesarioefectuarun trabajo, el cual se almacena en sta en forma de energa; la energa almacenada debido a la distorsin de una pieza est relacionada con la magnitud del esfuerzo cortante presente. Antesdeenunciarlateora,esconvenienteanalizarlosaspectosconcernientesalaenergade deformacin. Energa total de deformacin Cuandosedeformaunapiezaseefectatrabajo,almacenndoseenergaensta.Laenergatotalde deformacin, U, en un volumen unitario est dada por al rea bajo la curva esfuerzo-deformacin hasta elpuntocorrespondientealesfuerzoaplicado,talcomosemuestraenlafigura4.43,paraelcasode esfuerzo uniaxial. Teniendoencuentaquelacurvaesfuerzo-deformacines prcticamenterectahastaellmitedefluencia(loque generalmente sucede en materiales dctiles), la energa total por deformacin, U, en un volumen unitario para el caso de esfuerzo uniaxial es igual al rea del tringulo sombreado en la figura 4.43, es decir: .21 = U (4.44) Siaplicamoslaecuacinanteriorparauncasodeesfuerzo triaxial,laenergatotalpordeformacinestaradadaporla sumadelasenergascorrespondientesacadaesfuerzo principal: ), (213 3 2 2 1 1 + + = U (4.45) donde1,2y3sonlosesfuerzosprincipalesy1,2y3sonlasdeformacionesprincipales.Para eliminarestastresltimasvariables,usamoslasecuacionessiguientesdelateoradelaelasticidad,las cualesindicanqueladeformacinenunadireccindependenoslodelesfuerzoenesadireccinsino tambin de los esfuerzos en otras direcciones: ) (13 2 1 1 =E(4.46) ) (13 1 2 2 =E(4.47) ), (12 1 3 3 =E(4.48) donde es la relacin de Poisson y E es elmdulo de elasticidad.Al reemplazar las ecuaciones 4.46 a 4.48 en la 4.45, se obtiene: E U Figura 4.43Energa de deformacin Ualmacenadaenunvolumen unitariodecuerpo,debidoala aplicacin de un esfuerzo normal CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS41 | |. ) ( 2213 1 3 2 2 1232221 + + + + =EU (4.49) Engeneral,unelementoexperimentauncambiodevolumenyunadistorsincuandoessometidoa esfuerzos.Laenergatotaldedeformacin,dadaporlaecuacin4.49,puededividirseendos componentes:unaenergadebidaalcambiodevolumenyotradebidaaladistorsin.Lateoradela energadedistorsintienequeverconlasegundacomponente:cuandolaenergadedistorsinenun punto alcanza cierto valor crtico ocurre la falla; esto se ampliar ms adelante. Lafigura4.44muestraunelementocbicosometidoadiferentestiposdeesfuerzotriaxial.Cuandose someteaunestadodeesfuerzodetraccin(ocompresin)hidrosttica,esdecir,cuandolosesfuerzos principales son iguales: 1 = 2 = 3 = h (figura 4.44.b), ocurre un cambio de volumen sin distorsin o cambiodeforma.Cuandosesometeaesfuerzos1d,2dy3d,talque1d+2d+3d=0,ocurreun cambiodeforma(distorsin)sincambiodevolumen(figura4.44.c).Cuandosesometeaunestadode esfuerzotriaxialcualquiera,puedeocurrircambiodevolumenydeforma(figura4.44.d).Finalmente, cada esfuerzo principal de un elemento puede descomponerse en una componente hidrosttica, h, y una componentededistorsin,id(dondeies1,23).Determinemosahenfuncindelosesfuerzos principales: ), ( 3 ) ( ) ( ) (3 2 1 3 2 1 3 2 1 d d d h d h d h d h + + + = + + + + + = + + (4.50) entonces, como 1d + 2d + 3d = 0: , 33 2 1 h = + + (4.51) de donde .33 2 1 + +=h(4.52) Figura 4.44Esfuerzos hidrostticos y de distorsin Comosedijoarriba,laenergatotaldedeformacin,U,puededividirseenunacomponenteporcarga hidrosttica, Uh, y otra por distorsin, Ud: .d hU U U + = (4.53) Laenergaporcargahidrostticasepuedeexpresarutilizandolaecuacin4.49,reemplazandolos esfuerzos principales por las componentes hidrostticas: h h h (a)Elemento sin esforzar 3d 2d 1d 3 = h + 3d 2 = h + 2d 1 = h + 1d (c)Sisecumpleque1d+ 2d + 3d = 0, hay distorsin sin cambio de volumen (d)Elementobajoesfuerzo triaxial.Hay cambio de volumen y de forma (distorsin) (b)Elementobajotraccin hidrosttica.Haycambio de volumen sin distorsin 42CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS | | | | | |. 2 1236 321) ( 22122 2 2 2 2 = = + + + + =E E EUhh h h h h h h h h h h h(4.54) Reemplazando la ecuacin 4.52 en la anterior se obtiene: .3) 2 1 (2323 2 1||

\| + + = EUh(4.55) Resolviendo el cuadrado: | |. ) ( 26) 2 1 (3 2 3 1 2 1232221 + + + + +=EUh(4.56) Despejando la energa de distorsin de la ecuacin 4.53 y reemplazando las expresiones de las ecuaciones 4.49 y 4.56 se obtiene: | || |, ) ( 26) 2 1 (

) ( 2213 2 3 1 2 12322213 1 3 2 2 1232221 + + + + ++ + + + = =EEU U Uh d(4.57) de donde se llega a: | |.313 1 3 2 2 1232221 + ++=EUd(4.58) Laanteriorexpresindalaenergadedistorsinalmacenadaenunelementodevolumenunitario,para cualquierestadodeesfuerzo.Siaplicamoslaecuacin4.58alcasodeunaprobetasometidaatraccin simple,enel cual1p=Sp,2p=3p=0(vase,porejemplo,la figura4.32),dondeel subndicepse refiere a la probeta sometida a traccin, obtenemos: .3121p dpEU += (4.59) Enelmomentoenquelaprobetafalla,elesfuerzomximoesigualalaresistenciadefluenciadel material, 1p = Sy.Entonces, la energa de distorsin en una probeta sometida a traccin en el momento de la falla es: .312y dpSEU += (4.60) Conestopodemosenunciarlateora.LateoradelaenergadedistorsinodevonMises-Hencky establece que la falla suele ocurrir cuando la energa de distorsin por unidad de volumen de un cuerpo, Ud, excede el valor de la energa de distorsin por unidad de volumen en una probeta de ensayo sometida a traccin en el momento de la falla.En forma de ecuacin, la teora se puede expresar as: (4.61) . cuando 1 y p dp dS U U = CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS43 Entonces, para desarrollar esta ecuacin se igualan las ecuaciones 4.58 y 4.60. El estudiante puede igualar estas dos ecuaciones y llegar a las que se obtienen con la teora del esfuerzo cortanteoctadrico.LasecuacionesqueresultandelaTECO,aligualquelasgrficas(vanselas figuras4.39y4.42),sonexactamentelasmismasqueresultanconestateora.Aligualquepara la TECO y la TECM, el concepto de componentes hidrostticas tambin se aplica aqu.A continuacin se repiten las ecuaciones de diseo de la TECO. Ecuaciones de diseo para la teora de la energa de la distorsin o de von Mises-Hencky Estateoraeslapreferidaparamaterialesdctiles.Lasecuacionesdediseollevanelfactorde seguridad: (4.40R) AesteesfuerzoequivalenteseleconocenormalmentecomoesfuerzoequivalentedevonMiseso esfuerzo de von Mises. Para un estado de esfuerzo plano, puede utilizarse tambin: (4.41R) (4.42R) Paraunestadodeesfuerzobiaxialconunodesusesfuerzosnormalesigualacero(figura4.41), tambin puede usarse: (4.43R) Ntese que Sys = 0.577Sy (segn la teora de von Mises-Hencky).(4.35R) 4.4.7Consideraciones sobre las teoras de falla esttica Ecuacin de diseo Deunanlisisdelasecuaciones4.10.a,4.22,4.40,4.41y4.42,sepodraconcluirque,paracualquier teora de falla, basta encontrar el esfuerzo equivalente e igualarlo al esfuerzo de diseo (relacin entre la resistencia y el factor de seguridad).Es decir, la ecuacin de diseo para esfuerzos combinados estticos se puede reducir a: (4.62)

S

Sueye= = ,. ) ( ) ( ) (2123 223 122 1

Sye= + + = ,2 2

SyB A B A e= + = . 32 2 2

SS S S S Sys YY XX YY XX e= + + = . 577 . 0 donde,122 2y ysyssyS S SSSS= ||

\|=|||

\|+|||

\| 44CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS donde e se calcula con la ecuacin dada para cada teora.Adicionalmente, puede utilizarse la ecuacin 4.23la4.43paraeldiseodematerialesdctilescuyospuntoscrticostenganestadosdeesfuerzo biaxial con un esfuerzo cortante y un solo esfuerzo normal. Uso de las teoras de falla Las teoras de falla estudiadas en este captulo suponen que los materiales son homogneos e isotrpicos; esdecir,queestnlibresdedefectoscomoinclusiones,vacosymicrogrietas.Sinembargo,sepuede decir que todos los materiales tienen microgrietas y otros defectos demasiado pequeos como para verse a simplevista;porlotanto,distanmuchodeserhomogneoseisotrpicos.Lasteorasdefallason generalmenteadecuadas,yaquelosensayosserealizanconmaterialesreales(condefectos microscpicos), siempre y cuando los materiales sean macroscpicamente homogneos e isotrpicos. Cuando adems de micro-defectos, los materiales tengan grietas macroscpicas, debe aplicarse la teora delamecnicadefractura6,yaqueelcomportamientodestosdifieredelquepredicenlasteorasde falla.Una grieta en un material puede generar esfuerzos supremamente grandes que pueden producir la falla, dependiendo de las caractersticas de la grieta y de su orientacin relativa a la direccin de la carga.Han ocurrido muchas fallas catastrficas y sbitas en materiales dctiles sometidos a esfuerzos nominales pequeos, como por ejemplo en barcos cisterna y buques de guerra construidos durante la segunda guerra mundial;docedeestasfallasocurrieroninmediatamentedespusdehaberpuestoafloteestasnaves.[1]

Estostiposdefalla,detiposbitoyfrgil,puedenserproducidospormacrogrietas(lascualesse estudian en la mecnica de fractura).En la actualidad, aparatos importantes deberan revisarse mediante rayosX,ultrasonidouotrosmtodosnodestructivos,conelfindedetectarmacrogrietas,que dependiendo de sus caractersticas y orientacin puedan producir falla sbita. Otrosfactorescomolatemperatura,lahumedadylosconcentradoresdeesfuerzoafectanel desempeodelmaterial.Engeneral,lasresistenciasdelosmaterialestiendenasermenoresaaltas temperaturas,ylasbajastemperaturastiendenafragilizarlosmateriales.Eldiseadordebeconocer muy bien las propiedades de los materiales a utilizar, especialmente cuando las condiciones de uso sean diferentes a las condiciones bajo las cuales se efectan los ensayos. Finalmente,acercadelosesfuerzoshidrostticos,Norton[1]dicequemuchosexperimentoshan demostrado que los materiales se pueden esforzar hidrostticamente sin falla a niveles mucho ms all de suresistenciamximaacompresin,yaqueestosloconsiguereducirelvolumendelaprobetasin modificarsuforma.Norton[1]presentaalgunosejemplosenloscualesvidrio,rocasyhielofueron sometidos a compresin o traccin hidrosttica y aguantaron sin falla niveles de esfuerzo mucho mayores queaquellosqueproducenlafallaencompresinoentraccinsimple.Aunquelasteorasestudiadas para materiales dctiles suponen que los esfuerzos hidrostticos no producen falla, es importante aclarar queestasteoraspuedennoservlidasparaalgunascondicionesextremas,porejemplo,silas componenteshidrostticassonmuygrandes.Siemprequeseaposibleyquelascondicioneslo justifiquen, es recomendable hacer uso de datos experimentales para casos poco usuales en la prctica. Resumen de las teoras de falla LateoradeMohrmodificadaesadecuadaparamaterialesfrgilesnouniformes[1]yhasido corroborada para algunas fundiciones de hierro gris, cuya resistencia a la compresin es mayor que la de traccin. Lasteorasdelesfuerzocortantemximo,delesfuerzocortanteoctadricoydelaenergade distorsin(vonMises-Hencky)sonadecuadasparamaterialesdctilesuniformesyhansido comprobadas mediante ensayos experimentales con aceros y aleaciones de aluminio.De estas teoras se 6 Norton[1] describe brevemente esta teora (pginas 309-316), y da una bibliografa para este tema (pgina 334). CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS45 prefiere la TECO o la de von Mises-Hencky, las cuales producen resultados idnticos y representan con mayor exactitud los resultados experimentales. Losmaterialescompuestostienenunusocreciente,especialmenteenaplicacionesdondese requieren grandes relaciones resistencia - peso.Como estos materiales no suelen ser homogneos ni isotrpicos, requieren teoras de falla diferentes a las estudiadas aqu. EJEMPLO 4.4 Calcular el factor de seguridad del elemento en forma de L del ejemplo 4.2, si: a)es de acero aleado SAE 5160 templado y revenido a 700 F, y b)es de fundicin de hierro gris ASTM 30 Figura 4.45Elemento del ejemplo 4.2 Solucin: En el ejemplo 4.2 se seleccionaron cuatro puntos crticos, de los cuales pueden descartarse algunos, ahora que se conoce el material del elemento.La figura 4.46 presenta los estados de esfuerzo de los puntoscrticos(tomadosdelafigura4.19).Latabla4.1,repetidaacontinuacin,presentael resumen de los esfuerzos principales de los cuatro puntos crticos de la pieza. Figura 4.46Estados de esfuerzo de los puntos crticos del elemento de la figura 4.45 178.75 MPa B x z 58.48 MPa 208.75 MPa C x y 181.25 MPa E x z 58.48 MPa 211.25 MPa D x y 80 40 10 4 10 6 kN 5 kN Todas las medidas en cm x y z 46CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS Tabla 4.1REsfuerzos principales y esfuerzos cortantes mximos de los puntos crticos del elemento. Punto crtico A (MPa) B (MPa) C (MPa) 1 (MPa) 2 (MPa) 3 (MPa) max (MPa) B196.1817.430196.18017.43106.81 C208.750.000208.7500.00104.38 D0.00211.2500.000211.25105.63 E17.23198.48017.230198.48107.86 Para determinar el factor de seguridad de cada material, se aplica una teora de falla adecuada. a)Acero SAE 5160 templado y revenido a 700 F: Para el acero puede usarse la TECM o la TECO.Como todos los puntos crticos tienen estados de esfuerzobiaxialconunsoloesfuerzonormalyenalgunoscasosunocortante,podemosaplicarla ecuacin 4.23 la 4.43: (TECM). 5 . 0 (TECO) 577 . 0 con ,122 2y ys y ysyssyS S S S SSSS= = =|||

\|+|||

\|(4.43R y 4.23R) Tambin, como ya se han calculado los esfuerzos principales, podemos utilizar una de las ecuaciones generales de acuerdo con la teora que se seleccione: .3 1

Sye= = (TECM)(4.22R) . ) ( ) ( ) (2123 223 122 1

Sye= + + = (TECO)(4.40R) Seleccionamos la TECM e ilustramos el clculo deusando las ecuaciones 4.22 y 4.23. Analizando la ecuacin 4.23, se concluye que no importa cul es el signo del esfuerzo normal S, ya quealelevarsealcuadradoquedasiempreunacantidadpositiva.AlcompararlospuntosCyD (figura4.46),descartamosC,yaquelamagnituddesuesfuerzoesmenor.Similarmente, descartamos B ya que la magnitud de su esfuerzo normal es menor que aquella del esfuerzo normal de E, teniendo en cuenta que ambos puntos soportan el mismo esfuerzo cortante. Para el punto E, de la ecuacin 4.23 tenemos que: . 0.5 con ,1 MPa 48 . 58 MPa 25 . 18122 2y ysEys yS S

S S= =|||

\|+|||

\| DelatablaA-3.3(apndice3)obtenemosqueSy=1630MPa.ReemplazandoSyenlaecuacin anterior y despejando E se obtiene: . 6 . 7MPa 1630 5 . 0MPa 48 . 58MPa 1630MPa 25 . 1812 / 12 2=(((

||

\|+ ||

\| =E

Utilizando la ecuacin 4.22, de los datos de la tabla 4.1 se obtiene que: CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS47 , ) MPa 48 . 198 ( MPa 23 . 17Eye

S= = de donde E = 7.6, que es el mismo resultado obtenido en el clculo anterior. Para el punto D tenemos que: .1 0 MPa 25 . 21122 2Dys y

S S=|||

\|+|||

\| ReemplazandoSyenlaecuacinanteriorydespejandoDseobtienequeD=7.7.Utilizandola ecuacin 4.22, de los datos de la tabla 4.1 se obtiene que: , ) MPa 25 . 211 ( 0Dye

S= = de donde, tambin, D = 7.7. El punto E posee un factor de seguridad menor que el del punto D, lo que indica que el esfuerzo en E es mayor que en D, siendo E ms crtico.El factor de seguridad del elemento es: = 7.6. El estudiante puede resolver el problema utilizando la TECO, con la cual se obtiene que el punto ms crtico es D y que= 7.7. b)Fundicin de hierro gris ASTM 30: Este material es frgil y debe utilizarse la TMM, dada por la ecuacin 4.9, para estados de esfuerzo plano: (4.9.aR) (4.9.bR) (4.9.cR) Las propiedades del material se obtienen de la tabla A-3.4.Su = 214 MPa y Suc = 752 MPa. Para el punto B, con los datos de la tabla 4.1, tenemos que A > B, entonces se aplica la ecuacin 4.9.a: . 1 . 1MPa 18 . 196MPa 214donde de, = = = =AuBuAS

S Para el punto C, A > B.Tambin se aplica la ecuacin 4.9.a: , si,B AuA

S =, y 0 si,) (B A Au ucB uu ucu ucAS SSS S S S < >+=0 si, =AucB

S 48CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS . 03 . 1MPa 75 . 208MPa 214= = =AuCS

Para el punto D, A = 0, entonces se aplica la ecuacin 4.9.c: . 6 . 3MPa 25 . 211MPa 752entonces, === =BucDucBS

S Finalmente, para el punto E, A > 0 y A < B, entonces se aplica la ecuacin 4.9.b: donde de,) (u ucB uu ucu ucAS SSS S S S+= . 1 . 3) 214 )( 752 () 214 752 (214 752) 48 . 198 )( 214 (23 . 17) (11=((

||

\| =(((

|||

\| =u ucu ucu ucB uA ES SS SS SS

En resumen, B = 1.1, C = 1.03, D = 3.6 y E = 3.1.Como los esfuerzos de traccin en los puntos ByCsonsimilaresalos esfuerzosdecompresinenlos puntosDyE,yelhierrofundidogris es mucho ms resistente a la compresin que a la traccin, los factores de seguridad son menores para los puntos B y C, lo cual indica que son ms crticos.El menor factor de seguridad le corresponde al punto C; entonces, el factor de seguridad del elemento es: = 1.03. Este factor de seguridad parece extremadamente pequeo, ya que se basa en la resistencia mxima y el material es frgil; el elemento podra fallar con las cargas aplicadas. EJEMPLO 4.5 Disear el cilindro de la figura 4.47, de aleacin de aluminio forjado AA 2024 grado T4, sometido a lassiguientescargasuniformementedistribuidasenlosextremos:unpardefuerzasdetraccin, F = 30 kN, un par de momentos flectores, M = 5 kN-m, y dos pares de torsin, T = 8 kN-m. Figura 4.47Cilindro sometido a traccin, torsin y flexin combinadas T F F TM M Puntos crticos A B x y z CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS49 Solucin: Elmaterialdelcilindroesdctil;porlotanto,puedeutilizarselaTECO(olaTECM).Debe determinarselaposicindelospuntoscrticos,calcularlosesfuerzosyaplicarlaecuacin correspondiente de la teora del esfuerzo cortante octadrico. Propiedades del material: Dela tablaA-3.5(apndice3)seleeSy =324 MPa, Su=469 MPayelongacinde19%(en2 in).Esto ltimo indica que el material es dctil. Puntos crticos: Como el material es uniforme, es indiferente si los esfuerzos son de compresin o de traccin. Ladeterminacindelospuntoscrticosesfcilenestecaso,yaquetodoslosesfuerzosmximos producidos por los tres tipos de solicitacin actan simultneamente en ciertos puntos: -LasfuerzasFproducenunesfuerzouniformeentodoelelemento,locualindicaquecualquier punto es crtico con respecto a esta solicitacin. -Los pares de torsin producen esfuerzos mximos en la superficie del cilindro, lo que indica que la superficie es crtica. -Los momentos flectores producen esfuerzos mximos en los puntos ms alejados del eje neutro, esdecir,enlospuntosdelalneaAB(figura4.47),queestnsometidosatraccin,yenlos puntos de la lnea inferior, que estn sometidos a compresin. Como la fuerza F es de traccin y el material es uniforme, los puntos ms crticos del cilindro son los delalneaAB,yaqueallsepresentansimultneamentetodoslosesfuerzosmximos,ylos esfuerzosnormalesproducidosporcargaaxialsesumanconaquellosdelaflexin(ambossonde traccin en AB). Estado de esfuerzo de los puntos crticos: El estado de esfuerzo de cualquier punto de la lnea AB se muestra en la figura 4.48.Las direcciones de los esfuerzos estn dadas por las direcciones de las cargas, tal como se explic en el captulo 2. Figura 4.48Estado de esfuerzo de los puntos crticos del elemento de la figura 4.47 Clculo de esfuerzos: El esfuerzo cortante est dado por la ecuacin 2.12: .m - kN 128 ) m - kN 8 ( 16 163 3 3d d dTSsT = = = El esfuerzo normal producido por flexin est dado por la ecuacin 2.10: .m - kN 160 ) m - kN 5 ( 32 32) 64 / () 2 / (3 3 3 4d d dMdd MIMcSM = = = = =x y z SF + SM SsT 50CONCEPTOS BSICOS SOBRE DISEO DE MQUINAS El esfuerzo normal producido por las fuerzas de traccin est dado por la ecuacin 2.5: .kN 120 ) kN 30 ( 4 4) 4 / (2 2 2 2d d dFdFAFSF = = = = = Clculo del dimetro: El estado de esfuerzo de los puntos crticos es biaxial con un esfuerzo cortante y un esfuerzo normal; por lo tanto, puede aplicarse la ecuacin 4.43: .1577 . 022 2||

\|=|||

\|+|||

\| SSSSysy Para d en metros y todos los esfuerzos en mega pascales, y tomando= 2 (vase la tabla 3.1): donde de,21) 324 ( 577 . 0128 . 032412 . 032416 . 022322 3||

\|=|||

\|+|||

\|+dd d . 0 10 2207 . 7 10 7063 . 3 10 3899 . 1 25 . 08 8 2 8 6= d d d De esta ecuacin sexta se obtiene que d = 0.0819 m; estandarizando puede tomarse d = 82 mm. EJEMPLO 4.6 Laprensadetornillomostradaenlafigura4.49seusaparalasujecindepiezas.Efectuandoel procedimientodediseoparacargasestticas,determinareldimetromedioquedebetenerel tornilloparaqueel ncleo destesoportelascargas queseprevean,sise construyedeaceroSAE 1050 laminado en fro.Por la longitud de la barra para la aplicacin de la fuerza, se puede generar una palanca mxima de 0.30 m.La barra puede estar a una distancia de la tuerca a = 15 cm mximo; la distancia a + b = 21 cm. Figura 4.49Prensa manual de tornillo Tornillo de potencia Mordazamvil Mordazafija Tuerca Cojinete Barra a b CAPTULO 4 CARGAS ESTTICAS COMBINADAS51 Solucin: En el captulo 8 se estudia el diseo de tornillos de potencia, en el cual se deben verificar diferentes tipos de solicitacin: corte, aplastamiento y desgaste de los filetes, as como combinacin de torsin ycargaaxialenelncleodeltornillo.Comoseverenlasolucin,eltornillodeestaaplicacin soporta torsin, flexin, carga axial y fuerza cortante.Se utilizar una teora de falla esttica para la combinacin de esfuerzos. Condiciones de trabajo: Este tipo de prensas podra disearse con base en el par mximo que puede aplicar un operario en el tornillo.Se prev que la condicin ms crtica de carga ocurre cuando la barra se lleva hasta uno de sus topes y se aplica una gran fuerza en el extremo (figura 4.50).De esta manera el tornillo estar sometidoaflexinycortante,ademsdelatorsinycargaaxialinherentesalostornillosde potencia.Tomamosunafuerzacrticade1kN,quepodrapensarsecomodebidaalpesodeuna persona de 100 kg aproximadamente. Figura 4.50Condicin crtica de carga de la prensa con respecto a la resistencia del ncleo del tornillo Con el fin de evitar la falla del tornillo, la barra debe disearse de tal manera que falle (se deforme plsticamente) con una fuerza menor que 1000 N. Es de anotar que aunque el tornillo soportar cargas repetitivas de cierta magnitud (y debe disearse porfatiga),debetambindisearseparasoportarcargaseventualesmuchomayores,debidasauna sobrecarga de la prensa.Como se espera que las cargas mximas acten muy pocas veces durante la vida til de la prensa, es adecuado usar el procedimiento esttico. Propiedades del material: Para el acero SAE 1050 laminado en fro, de la tabla A-3.2 (apndice 3) se obtiene que Sy = 579 MPa y Su = 689 MPa. Diagrama de cuerpo libre: El diagrama de cuerpo libre del tornillo se ilustra en la figura 4.51.La fuerza de 1000 N aplicada en labarraproduceenlaseccinAdeltornillounafuerzade1000Nyunpardetorsindadopor (1000 N)(0.30 m) = 300 N-m, tal como se muestra.El par de torsin aplicado en A tiene la finalidad de contrarrestar el par de friccin que se produce en la tuerca, TB, cuando se est prensando una pieza entre las mandbulas de la prensa.En el extremo C aparece una fuerza FC en direccin axial, debida a la pieza que se est sujetando.Para garantizar el equilibrio aparecen las fuerzas RBx, RBy y RC y los momentosflectoresMCyMB;estosltimosaparecendebidoaquelossoportesdelatuercayel cojineteactancomoempotramientos.Sesu