Esp. Rodrigo A. Castro N. 2011

"Crculos y Ejes radicales"(Un tpico de la Geometra del Crculo)

ResumenEl presente material contiene actividades para ser realizadas con el software Cabrigeometre (Software de la Texas Instruments), conducentes a introducir el tema de ejes radicales. Las actividades propuestas fueron diseadas para ser usadas con estudiantes, que tengan conocimientos bsicos de geometra. El objetivo es presentar el concepto de eje radical entre dos circunferencias. Este concepto generaliza el de mediatriz de un segmento. (Mediatriz: Recta perpendicular por el punto medio a un segmento).

IntroduccinConsideremos los siguientes problemas:

Problema 1.Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar una segunda circunferencia con centro en el punto dado y que sea ortogonal a la primera.

Problema 2.Dadas dos circunferencias exteriores trazar una tercera circunferencia ortogonal a las dos dadas.

Problema 3.Dadas tres circunferencias exteriores sin puntos comunes cualesquiera trazar una cuarta circunferencia ortogonal a las tres dadas. La solucin a los problemas anteriores, los cuales pudieron haberse planteado de una forma ms general, sin la exigencia que fuesen exteriores o que tuviesen puntos comunes, se mostrarn en el desarrollo de estas notas. Dicha solucin geomtrica involucra el concepto de ejes radicales, y ste a su vez el de potencia. La razn fundamental de haber colocado a los problemas las condiciones restrictivas mencionadas es que "la potencia de un punto respecto a una circunferencia dada la definiremos como el cuadrado de la medida de los segmentos tangentes trazados desde el punto a la circunferencia".

Esp. Rodrigo A. Castro N. 2011 TangentesSegmentos Tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.Objetivo: Dada una circunferencia y un punto exterior trazar los segmentos tangentes a la circunferencia desde el punto. (Definicin: El cuadrado de la medida de dichos segmentos se llama la potencia del punto respecto de la circunferencia.) Actividad 1. Trazar los segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. 1. Trace un circunferencia con centro O. 2. Trace un punto exterior P a la circunferencia. 3. Trace el segmento OP. 4. Halle el punto medio M del segmento OP. 5. Trace una circunferencia con centro en M y que pase por P. 6. Determine los puntos A y B interceptos de las dos circunferencias. 7. Trace los segmentos PA y PB. 8. Oculte el semento OP, la circunferencia con centro M y el punto M. 9. Mueva el punto P, observe y concluya. 10. Porque sta construccin geomtricamente es correcta?

Ver archivo en Cabri: tan1.fig Actividad 2. Realizar la Macro-Construccin. 1. Escoja como Objetos Iniciales: La circunferencia y el punto P. 2. Escoja como Objetos Finales: Los segmentos PA y PB. 3. Escoja la opcin: Definir la Macro. En Nombre de la construccin escriba: tangentes. En Nombre del primer objeto final, escriba: segmento tangente. En Ayuda para esta macro escriba: Seleccione una circunferencia y un

Esp. Rodrigo A. Castro N. 2011punto exterior para trazar los segmentos tangentes a la circunferencia desde el punto. 4. Seleccione la opcin Guardar archivo y d un Clic en OK. Actividad 3. Comprobacin de la Macro 1. Dibuje dos circunferencias con centros diferentes y radios diferentes. 2. Trace un punto P exterior a ambas circunferencias. 3. Use la macro "tangentes" para trazar los segmentos tangentes a una y otra circunferencia. 4. Mida estos cuatro segmentos. 5. Mueva el punto P. 6. Cambie de posicin las circunferencias. 7. Trace el segmento que une los centros de las circunferencias. 8. Trace la mediatriz del segmento anterior. 9. Reduzca el radio de una circunferencia a cero (el mnimo posible). 10. Que puede decir al respecto? 11. Reduzca el otro radio de la segunda circunferencia. 12. Que observa?

Ver archivo en Cabri: tan2.fig Actividad 4. Solucin al problema 1. Emplee lo aprendido hasta el momento para resolver el Problema 1. Discuta su solucin.

PotenciaObjetivo: Conjeturar, a partir de la potencia, cul debe ser el lugar geomtrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias dadas.

Esp. Rodrigo A. Castro N. 2011Definicin: Dada una circunferencia y un punto exterior, la potencia del punto respecto a la circunferencia se define como el cuadrado de la distancia desde el punto hasta los puntos de tangencia sobre las tangentes trazadas desde el punto. Nota: El concepto de potencia puede generalizarse para puntos interiores a la circunferencia pero no lo haremos en estas notas. Actividad. Calcular la potencia de un punto respecto a una circunferencia. 1. Construya una circunferencia con centro O y radio arbitrario. 2. Trace un punto exterior P. 3. Use la macro "Tangentes" para trazar las tangentes desde P hasta la circunferencia. 4. Llame los puntos de tangencia A y B. 5. Mida cada una de los segmentos tangentes trazados PA y PB . 6. Use la calculadora para calcular la potencia de P respecto a la circunferencia. 7. Mueva P. 8. Trace los segmentos OP, OA y OB. 9. Cmo son los tringulos POA y POB? 10. Compruebe que la potencia tambin se puede calcular con la distancia del punto P al centro O y el radio de la circunferencia. (Use Teorema de Pitgoras). 11. Mueva P de tal forma que la potencia sea: 1. 25 2. 10 3. 5 4. 1 5. 0.05 12. Mueva P de tal manera que la potencia permanezca "constante" (cualquier nmero aproximado entre 20 y 25). 13. Cul es el lugar geomtrico de tales puntos? Porque?

Ver archivo en Cabri: pot1.fig

Esp. Rodrigo A. Castro N. 2011 Eje RadicalObjetivo: Dadas dos circunferencias construir geomtricamente el eje radical. Definicin. Dados dos circunferencias cualquiera, el eje radical de las dos circunferencias se define como el lugar geomtrico de todos los puntos que tienen igual potencia respecto a las circunferencias. Actividad 1. Dnde se encuentra aproximadamente el eje radical? 1. Trace dos circunferencias exteriores con centros O y O' respectivamente y radios diferentes arbitrarios. 2. Dibuje un punto P exterior a las dos circunferencias. 3. Trace el segmento OO'. Este segmento pertenece a una recta que llamaremos "lnea de los centros". 4. Halle el punto medio de OO' y llmelo M. 5. Trace la mediatriz de OO' por M. 6. Use la macro "tangentes" para trazar los segmentos tangentes desde P a cada una de las circunferencias. 7. Use la calculadora y calcule las potencias desde el punto P a cada una de las circunferencias. 8. Coloque estos dos nmeros cerca el uno del otro de tal manera que usted los pueda ver cuando mueve P.

Ver imagen en Cabri: pot2.fig 1. Mueva P y verifique que sus potencias cambian. 2. Mueva P de tal manera que aunque las potencias cambien las potencias respectivas sean "aproximadamente" iguales. 3. El punto P, con la condicin anterior, describe un lugar geomtrico llamado el eje radical. Aunque el lugar geomtrico no lo observa en pantalla responda las siguientes preguntas:

Esp. Rodrigo A. Castro N. 20111. Cmo es aproximadamente este lugar? 2. Dnde se encuentra aproximadamente? 3. Comparando su posicin relativa con la mediatriz del segmento OO' dnde se encuentra?. 4. M pertenece al eje radical? 5. El eje radical intercepta la lnea de los centros? 6. En caso afirmativo marque una buena aproximacin de este punto y llmelo I. 7. Cmo son el eje radical y la lnea de los centros? 8. Cmo son el eje radical y la mediatriz de OO'? 9. En qu posicin relativa se encuentra I respecto a O y O'? (Describa su respuesta en trmino de los radios de las circunferencias). 4. Modifique los radios de las circunferencias y conteste la pregunta anterior para el caso cuando: 1. ambos radios son iguales, 2. uno de los dos es cero, 3. ambos son cero, 5. qu puede concluir? Actividad 2. Construccin del eje radical. 1. Trace dos circunferencias exteriores sin puntos comunes con centros O y O' y radios arbitrarios R y r respectivamente, donde R > r. 2. Trace la lnea de los centros y el segmento OO'. 3. Halle el punto medio de OO' y llmalo M. 4. Halle las intercepciones de la circunferencia con centro en O y radio R (radio mayor) y la lnea de los centros. 5. Llame Z al intercepto ms cercano de M. 6. Por O' trace una perpendicular al eje de los centros. 7. Llame A', B' a los interceptos de la perpendicular anterior con la circunferencia de radio r. 8. Por A' trace una paralela a la lnea de los centros. 9. Por Z trace una perpendicular a la lnea de los centros. 10. Llame Z' a la interseccin de las dos ltimas rectas trazadas. (Vea figura adjunta) 11. Trace una circunferencia de centro Z y radio |ZZ'|. 12. Llame Q al punto de interseccin ms cercano de O de esta circunferencia con la lnea de los centros. 13. Trace una circunferencia de centro O y que pase por Q. 14. Use la macro "tangentes" para trazar los segmentos tangentes desde O' a la circunferencia con centro O y que pasa por Q (radio R-r). 15. Llame los puntos de tangencia A y B respectivamente. 16. Trace los segmentos OA y OB. 17. Trace una paralela por O' al segmento OA y llame S la interseccin de esta recta con la circunferencia de centro O'. 18. Trace una perpendicular por S a la reta O'S.

Esp. Rodrigo A. Castro N. 201119. Llame T al intercepto de esta ltima recta con la recta que pasa por O y A. (es un punto tangente) 20. Determine el segmento ST. 21. Halle el punto medio J del segmento ST. 22. Trace una perpendicular por J a la lnea de los centros. La recta obtenida es el eje radical. Observacin: El ltimo paso de trazar una perpendicular a la lnea de los centros por J, es por el hecho que la construccin de un segundo punto J' relacionado con el punto B es una construccin simtrica respecto a la lnea de los centros.

Ver figura en Cabi: rad1.fig 1. Mueva O y O'. qu observa? 2. Modifique los radios de las circunferencias. qu observa?. 3. Tome un punto sobre el eje radical y con la macro "Tangentes" trace los segmentos tangentes. 4. Cual es la potencia de ese punto respecto a cada una de las circunferencias?. 5. Cmo puede argumentar geomtricamente que la construccin anterior es correcta y por tanto afirmar que efectivamente el eje encontrado es el eje radical?. Discuta con sus compaeros esta construccin. Actividad 3. Crear una macro para construir el eje radical. 1. No borre la figura anterior. 2. Construya la macro macro macro "Eje Radical" con objetos iniciales las dos circunferencias y objetos finales el eje radical. 3. Abra una plantilla nueva y verifique su macro. Actividad 4. Solucin al problema 2. Dadas dos circunferencias construir una tercera circunferencia que sea ortogonal a las dos dadas.

Esp. Rodrigo A. Castro N. 20111. 2. 3. 4. 5. 6. Trace dos circunferencias exteriores sin puntos comunes. Use la macro "Eje Radical" y construya el eje radical. Tome un punto cualquiera P sobre el eje radical. Mueva P. Con la macro "Tangentes" trace los segmentos tangentes. Llame los puntos de tangencia A,B, y A',B' de la primera y segunda circunferencia respectivamente. 7. Use la calculadora y calcule la potencia de P a ada una de las circunferencias. 8. Con centro en P trace una tercera circunferencia que pase por A. 9. Pasa esta circunferencia por los dems puntos de tangencia?. Por qu? 10. Mueva P. 11. Con qu ngulo se interceptan las tres circunferencias? 12. qu puede concluir respecto a la solucin del problema de hallar una tercera circunferencia ortogonal a dos dadas?. 13. De nuevo mueva P, modifique la posicin de los centros y los radios de las circunferencias.

Ver figura en Cabri: rad2.fig Actividad 4. Eje radical vs. mediatriz. 1. Trace dos circunferencias exteriores sin puntos comunes con centros O y O' 2. Trace el segmento OO'. 3. Trace la mediatriz del segmento OO' (use la macro: Mediatriz: Perpendicular por el punto medio de un segmento). 4. Trace el eje radical (use la macro). 5. Compare la posicin relativa de la mediatriz y el eje radical. 6. Modifique la posicin de los centros y los radios de las circunferencias.

Esp. Rodrigo A. Castro N. 20117. Mida los radios de las circunferencias. 8. Coloque una posicin tal que los radios de las circunferencias sean iguales. Conteste la pregunta 5 (subrayada) 9. Modifique el radio de una de las circunferencias hasta obtener un radio igual a cero. Conteste la pregunta 5 (subrayada) 10. Modifique ambos radios de las circunferencias hasta obtener radios iguales a cero. Conteste la pregunta 5 (subrayada) 11. qu puede concluir?

Centro RadicalObjetivo: Dadas tres circunferencias construir una cuarta circunferencia ortogonal a las tres dadas, es decir construir la solucin al problema 3. Actividad: Construir el centro radical de tres circunferencias exteriores sin puntos comunes. En esta actividad se va a resolver un problema de tipo "Problemas de Apolonio": Dadas tres circunferencias encontrar una cuarta circunferencia ortogonal a las tres dadas. Esta actividad es libre y se espera que con todo lo anterior se pueda resolver geomtricamente y argumentar matemticamente su construccin. No olvide discutir la posicin relativa de las tres circunferencias.

Conclusiones1. El concepto de eje radical entre dos circunferencias generaliza el concepto de mediatriz de un segmento. Esto se puede visualizar a medida que se reducen los radios a medida cero. 2. El centro radical, que es el punto desde el cual, tomado como centro, se traza una circunferencia ortogonal a tres circunferencias dadas, es la generalizacin del circuncentro de un tringulo es decir un punto equidistante a los tres v vrtices del tringulo. Al igual que para hablar de circuncentro se necesita que los tres vertices no sean colineales para hablar de centro radical exigimos que los centros de las circunferencias no sean colineales.