Circunferencia senati

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CIRCUNFERENCIA Jaime Mayhuay Castro Instructor

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CIRCUNFERENCIA

Jaime Mayhuay Castro

Instructor

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ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

C(h;k): es el centro de la circunferencia.

P(x;y): un punto cualquiera de la circunferencia.

r: se le conoce como radio.

P (x, y)

C(h, k)El CENTRO se ubica en el origen de coordenadas

r

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ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

C(h;k): es el centro de la circunferencia.

P(x;y): un punto cualquiera de la circunferencia.

r: se le conoce como radio.

P (x, y)

C(h, k)El CENTRO se ubica en un punto diferente del origen de coordenadas

r

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ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Cuando el centro coincide con el origen de coordenadas, su ecuación es:

Su ecuación : x2 + y2 = r2

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ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Cuando el centro es cualquier punto(h;k)

Su ecuación : (x – h)2 + (y – k)2 = r2

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ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

De la ecuación ordinaria (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Desarrollando los cuadrados y obtenemos:x2 + y2 –2hx –2ky+ h2 + k2– r2 =0

Si reemplazamos D=-2h E=-2k F = h2 + k2 - r2 Tendremos que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

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PROBLEMA 1

Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, si su centro es (0,0) y tiene un radio de longitud 7

Su centro (0,0) es el origen de coordenadas, y radio 7Entonces su ecuación : x2 + y2 = r2

Rpta : x2 + y2 = 49

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PROBLEMA 2

Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia, si su centro es (4,-5) y tiene un radio de longitud 6

Su centro (4,-5) y radio 6Entonces su ecuación : (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Rpta : (x – 4)2 + (y + 5)2 = 36

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PROBLEMA 3

De la ecuación de la circunferencia: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 16.Hallar su centro y su radio

La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x – 5)2 + (y – 3)2 = 16.C(5; 3) y radio es 4

Rpta :

C(5; 3) y radio es 4

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PROBLEMA 4

De la ecuación de la circunferencia: (x – 2)2 + (y +1)2 = 5.Hallar su centro y su radio

La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x – 2)2 + (y + 1)2 = 5.C(2; -1) y radio es

Rpta :

C(2; -1) y radio es

5

5

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PROBLEMA 5

De la ecuación de la circunferencia: (x +5)2 + y 2 = 36.Hallar su centro y su radio

La ecuación corresponde a (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Comparando.(x +5)2 + y2 = 36.C(-5; 0) y radio es 6

Rpta :

C(-5; 0) y radio es 6

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PROBLEMA 6

Hallar la ecuación general de la circunferencia, si su centro (2,-3) y su radio es 5

La ecuación corresponde a (x – 2)2 + (y +3)2 = 25 resolviendo, x2 + y2 – 4x + 6y - 12= 0

Rpta :

x2 + y2 – 4x + 6y - 12= 0

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PROBLEMA 7

De la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0Hallar el centro y el radio

La ecuación corresponde a D = 6 = – 2h h = – 3 E = – 8 –8=– 2k k = 4El centro (–3,4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42– r2 r = 6La ecuación :

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

Rpta :

C(–3,4) r = 6

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PROBLEMA 8

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto común de las rectas L1: x + 3y – 6 = 0 y L2: x – 2y – 1 = 0.

Pasa por (0,0)El C(h,k) es la intersección de L1y L2 x + 3y – 6 = 0 x= 3

x – 2y – 1 = 0. y = 1 …..C(3,1)

(0,0)

L1 L2

Hallo el radio, es la longitud entre los puntos (0,0) y (3, 1) es:

(3,1)

10)01()03( 22

Su ecuación:(x-3)2 + (y-1)2 = 10

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PROBLEMA 9

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-1, 2) y tangente a la recta 4x + 3y -12 = 0.

El radio, la longitud es la distancia del punto (-1,2) a la recta 4x+3y = 12

tan

(-1,2)

234

12)2(3)1(422

d

Su ecuación:(x + 1)2 + ( y - 2)2 = 4

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PROBLEMA 10

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1,3) y que es tangente al eje X.

El radio, la longitud es la distancia del punto (-1,2) a la recta 4x+3y = 12

radio

(-1,3)

234

12)2(3)1(422

d

Su ecuación:(x + 1)2 + ( y - 3)2 = 4

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PROBLEMA 11

Hallar la circunferencia que pasa por los puntos A(-3,2), B(0,0) y C(7, 4)

Tenemos la ecuación general

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Pasa por (-3,2) (-3)2 + (2)2 + D(-3) + E(2) + F = 0 .. (1)Pasa por (0,0) (0)2 + (0)2 + D(0) + E(0) + F = 0 .. (2)Pasa por (7,4) (7)2 + (4)2 + D(7) + E(4) + F = 0 .. (3)

De (2) F= 0 De (1) -3D+2E = -13De (3) 7D +4E = -65Resolviendo D= -3 E= -11

Su ecuación:x2 + y2 -3x -11y + 0 = 0