ECUACIONES DIFERENCIALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA

tUNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERFACULTAD DE INGENIERA CIVILAo de la Promocin de la Industria Responsable y del Compromiso Climtico

ECUACIONES DIFERENCIALESProblemas de valor inicial y de frontera

En la mayora de las aplicaciones estamos interesados no en la solucin general de una ecuacin diferencial, sino en una solucin particularque satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.

.A. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:

Es sabido que slo en unos cuantos casos se puede expresar la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria por medios analticos y que, en general, es imposible resolver el problema de Cauchy aun cuando se sepa que tiene solucin nica, por lo que es necesario desarrollar mtodos que permitan obtener aproximaciones precisas de esa solucin. En esta prctica, utilizaremos un mtodo numrico para resolver problemas de valores iniciales.

Se llama problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy en un intervalo [to, tf ], al dado por una EDO (Ecuacin Diferencial Ordinaria) y una condicin inicial en la forma:y = f(t, y(t)),(PVI)y(to) = yo

En general, los mtodos numricos se basan en la discretizacin de la variable independiente t (tiempo o espacio) sustituyendo el intervalo [to, tf ] por una malla finita de n +1 puntos o nodos ti (i = 1,...,N ) en los que se obtiene la solucin de modo aproximado. La distancia entre dos nodos consecutivos de la malla hi = ti+1 ti se denomina paso. El objetivo es definir una estrategia que nos permita producir una sucesin {yn} con n = 1,...,N que aproxime a la solucin exacta y(t) en los puntos tn de la malla. A esa sucesin se le llama solucin numrica del problema de Cauchy.

Un problema de valor inicial o de Cauchyconsta de una ecuacin diferencial de ordenn y de ncondiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a susn -1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.

Es decir:

Ejemplo

Una partculaP se mueve a lo largo del ejexde manera tal que su aceleracin en cualquier tiempo est dada por . Encuentre la posicin de la partcula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partcula est localizada en y est viajando a una velocidad deRecuerde que la primera derivada de la posicin nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleracin. De donde el problema de valor inicial sera:

Integrando con respecto aobtenemosy usando la condicinpodemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiemposera

Integrando de nuevo

y usando la condicin podemos determinar qu y obtener la posicin de la partcula en cualquier tiempo.

En la figura 1se muestra la grfica de la posicin de la partcula versus tiempo.

Figura 1

B. PROBLEMAS DE valor FRONTERA:

Un problema de valores en la frontera o de Dirichletconsta de una ecuacin diferencial ordinaria de ordenn y den condiciones de frontera impuestas sobre la funcin desconocida enn valores de la variable independiente.Es decir:

Ejemplo

Una partculaPse mueve a lo largo del ejex de manera tal que su aceleracin en cualquier tiempo est dada por . Encuentre la posicin de la partcula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partcula est localizada eny enest en.El problema de valores de frontera asociado es:

Integrando dos veces obtenemos que la posicin de la partcula est dada por

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

de donde y. Y as la posicin de la partcula en cualquier tiempo est dada por

La grfica de la posicinse muestra en la figura 2.

Figura 2