Clase 08

CLASE 8: ESPECTROS DE RESPUESTA Y RESPUESTA A CARGAS DINMICAS GENERALES

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medelln: Septiembre 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medelln Departamento de Ingeniera CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

ESPECTROS DE RESPUESTA

El concepto de espectro de respuesta de un terremoto fue introducido por Maurice Biot en1932 con el objetivo de caracterizar los movimientos del suelo y sus respectivos efectos enuna estructura. Generalmente, esta caracterizacin es presentada en forma grafica, siendoestos grficos usados para predecir, con una precisin adecuada, los efectos mximos quepueden ser esperados para un tipo especifico de carga actuando en una estructura.

En general, un espectro de respuesta es una figura que tiene como eje de abscisas el periodoestructural y como eje de ordenadas el valor absoluto de la respuesta mxima(aceleraciones: Pseudo-aceleracin, velocidad: Pseudo-velocidad y desplazamientos:Deformacin).

*Tomado de http://www.112rm.com/dgsce/planes/sismimur/sis_anexo_5o.html. Acceso 15/03/2012.


Es posible identificar dos tipos de carga impulsiva:

1) Texcitacin > Tnatural Impacto de larga duracin respuesta mxima ocurre en cuanto lacarga impulsiva esta actuando.

2) Texcitacin < Tnatural Impacto de corta duracin respuesta mxima ocurre en la fasede vibracin libre.

Espectros de Choque

Es el estudio del efecto de una carga de impacto. Generalmente, los resultados sonpresentados en forma grafica, donde son proporcionados los valores del radio de respuestamxima (factor de amplificacin dinmica) en funcin de la relacin entre la duracin delimpacto y el periodo natural del sistema de un grado de libertad.

Que significa?????? Que conociendo la respuesta a la carga mxima de impulso aplicadaestticamente, se puede obtener el pico de respuesta de la carga impulsiva, que sera igual aldesplazamiento ocasionado por la carga mxima aplicada estticamente multiplicada por elfactor de amplificacin dinmica.


Espectros de respuesta para distintos tipos de cargas impulsivas o espectros de respuesta de desplazamiento para distintos tipos de cargas impulsivas

*Modificado de Clough y Penzien, 2003


Ejercicio

Considrese la torre presentada en la siguiente figura. La estructura sustenta una masa de1000 kg (masa mucho mayor que la de la misma torre) y posee una rigidez horizontal en elpunto A igual a 394784176 N/m.

1) Cual es la amplificacin dinmica y el desplazamiento horizontal mximo en el punto Acuando el impulso mostrado en la figura acta sobre el sistema.

2) Calcular la amplificacin dinmica y el desplazamiento horizontal mximo en el puntoA cuando el impulso tiene una duracin de 0,02segundos.

*Modificado de Alves, 2005


Solucin

El movimiento horizontal de la masa puede ser representado por un sistema masa-resorte.Se calcular entonces el valor del periodo natural de la estructura:

km

====394784176 628,31 /

1000rad s = == == == =

2T pi

==== 0,01T s====

La relacin entre la duracin de la carga y el periodo natural de la estructura es:

1 0,002 0, 20,01

t

T= == == == =

El factor de amplificacin dinmica es obtenido leyendo directamente en el espectro derespuesta de la carga impulsiva triangular, de esta manera se tiene:


0,6R ====

Se calcular el desplazamiento esttico a partir de la relacin bsica F=ku. As, es posibleobtener:

1579137 0,004 4394784176

Fu m mm

k= = = == = = == = = == = = =

De esta manera, el desplazamiento mximo debido a la accin de la carga dinmica es:

m x mo * 0,6*4 2,4a i dinamicou R u mm= = == = == = == = =

Si la duracin de la carga impulsiva es 0,02s, se tendr entonces que:

1 0,02 20,01

t

T= == == == = 1,75R ==== m x mo 1,75*4 7a i dinamicou mm= == == == =


Para la construccin de un espectro de respuesta es necesario seleccionar el mtodoindicado para obtener la respuesta de una estructura en el tiempo. Los pasos a seguir sonlos siguientes:

Construccin de espectros de respuestas

1. Seleccionar el evento ssmico que define la excitacin. Este evento est caracterizadopor una funcin discreta de aceleraciones en la base, separadas por un diferencial de tiempot (es comn utilizart= 0,01 o 0,02 segundos).

2. Seleccionar el periodo inicial (T) y definir el radio de amortiguamiento () de laestructura.


3. Calcular la respuesta estructural del sistema dinmico debido al evento ssmicoseleccionado.

4. Determinar los valores pico (valores mximos de respuesta) de la historia dedesplazamientos, velocidades y aceleraciones absolutas.

5. Graficar en las abscisas el periodo de la estructura definido en el segundo paso, y en lasordenadas el valor mximo respectivo.

6. Incrementar el periodo (T) un valor diferencial (T) y repetir los pasos 3,4 y 5. Elproceso finaliza cuando se alcance el valor final de periodo establecido.

7. Graficar los resultados de los pasos 2 a 6 para producir los tres diferentes espectros derespuesta.


A partir del procedimiento general para el calculo de un espectro de respuesta expuestoanteriormente, es posible concluir que el esfuerzo computacional necesario para construirun grafico de estos es considerable. Un anlisis dinmico completo que determine larespuesta a lo largo del tiempo es necesario para construir un solo punto del espectro, quecorrespondera a un solo valor del periodo (T).

Relacin entre los espectros de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleracin

Existe una relacin aproximada entre los diferentes espectros de respuesta, que permiteobtener pseudo-espectros a partir de un espectro base. Esto reduce enormemente el esfuerzocomputacional necesario para desarrollar este tipo de grafico. Actualmente, con la velocidadde procesamiento de los computadores modernos se ha conseguido que la tcnica que seresear a continuacin se use cada vez menos.

2VS D DT

pi= == == == =

22 2

AS D DTpi

= == == == =

Donde D es el pico de desplazamiento mximo debido a la accin de la aceleracin ssmica


Espectros de diseo

Otro tipo de espectros son los de diseo, que proporcionan informacin til y necesaria paradisear una estructura que puede ser sometida a una excitacin ssmica durante su vida til.Con ellos se pueden evaluar las fuerzas ssmicas probables, que pueden actuar sobre dichaestructura en un determinado tiempo, conocido como periodo de retorno. Para evaluardichas fuerzas se deben emplear los movimientos ssmicos de diseo, definidos mediante unespectro de diseo o mediante una familia de acelerogramas.

Un espectro de diseo permite evaluarlas aceleraciones que puede demandaruna estructura en funcin del tipo desuelo, el nivel de amenaza ssmica de lazona, la importancia de la edificacin yel periodo del sistema.

Espectro elstico de aceleraciones de diseo definido en la NSR-10. (NSR-10. 2010)


El desarrollo de un espectro de diseo puede ser ejecutado mediante diversas metodologas,todas ellas basadas en estudios estadsticos asociados a: espectros de respuesta de sismoshistricos en la zona de inters y a determinados periodos de recurrencia.

Donde:

Fa es un coeficiente adimensional de amplificacin que afecta la aceleracin en la zona deperiodos cortos (Tc), debida a los efectos de sitio.

Fv es un coeficiente adimensional de amplificacin que afecta la aceleracin en la zona deperiodos intermedios (Tc), debida a los efectos de sitio.

Aa es un coeficiente que representa la aceleracin pico efectiva para el diseo. Su valor seestablece en funcin del grado de amenaza ssmica que presenta el sitio de inters.

Av es un coeficiente que representa la velocidad pico efectiva para el diseo. Su valor seestablece en funcin del grado de amenaza ssmica que presenta el sitio de inters.

RESPUESTA A CARGAS DINMICAS GENERALES

Considrese una carga arbitraria p(t) con un tiempo de actuacin extremadamente corto,como se muestra en la siguiente figura:

Anlisis en el dominio del tiempo


Si se toma especficamente el rea sombreada (impulso lineal de la fuerza) de la figura setiene que:

d

PI Pdt

++++

==== (1)


Siendo unitario el impulso lineal de la fuerza y el tiempo de duracin d tendiendo a cero,se dice que la fuerza es impulsiva unitaria definida matemticamente con el uso de lafuncin delta de Dirac:

(((( )))) 0, t t = = = = (3)

(((( ))))0

1, 0


Donde la respuesta para la fuerza impulsiva unitaria para vibracin libre con y sinamortiguamiento es, respectivamente:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))1 , t>v t sen tm

= = = =

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) , t>t DD

ev t sen t

m

= = = =

(4)

(5)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0vv t sen t

====

&

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))0 0t

DD

v v ev t sen t

++++====

&

A partir de la solucin de la fuerza impulsiva unitaria, la solucin para una fuerza convariacin arbitraria en el tiempo es obtenida considerando esta ultima como una sucesincontinua de aplicacin de fuerzas impulsivas como se muestra en la siguiente figura:



Considerando el sistema sin amortiguamiento (ecuacin (4)), la respuesta para la fuerzaimpulsiva en el instante , cuyo impulso lineal esta dado por p()d, es:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))* = sen , > p ddv t p d v t t tm

= = = = (6)

Finalmente, la respuesta del sistema no amortiguado en el instante t es obtenida sumandolas contribuciones de todos los impulsos hasta ese instante de tiempo. As:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0

1sen 0

t

v t p t d tm

= = = = (7)

Siguiendo un procedimiento similar, es posible obtener que para un sistema conamortiguamiento la respuesta es:

(8)(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))0

1sen 0

tt

DD

v t p e t d tm

= = = =


La anterior integral es comnmente conocida como integral de Duhamel, o integral deconvolucin. Si la funcin aplicada (carga aplicada) es analtica y simple, es posiblecalcular la integral de Duhamel de manera directa. No obstante, esto no es posible en lamayora de casos prcticos, donde la carga es conocida de datos experimentales (datospuntuales). Es por esto que las integrales de respuesta deben ser evaluadas medianteprocedimientos numricos.

Evaluacin numrica de la integral de la respuesta

Para sistemas no amortiguados, se tiene:

(9)

Asumiendo condiciones iniciales iguales a cero:

(10)


O, simplemente:

(11)

Donde:

(12)

A continuacin se presenta el procedimiento numrico que ser aplicado para evaluar loscoeficientes mostrados en (12). Considrese nicamente la integral de y()=p()cosdque se requiere para calcular A(t). La funcin y() es evaluada en incrementos de tiempoiguales () con lo que .

Con esto, la integral puede ser obtenida sumando los valores de AN, multiplicandopreviamente por factores de peso que dependen del proceso de integracin utilizado.



Mtodos de integracin numrica:

Suma simple

(13)Regla trapezoidal

(14)Regla de Simpson

(15)

El valor del coeficiente AN puede ser obtenido para cualquier valor de N usando lasecuaciones (13), (14) y (15).


El valor del coeficiente AN puede ser obtenido para cualquier valor de N usando lasecuaciones (13), (14) y (15). Sin embargo, para poder evaluar este coeficiente se requiere latotalidad de los valores de respuesta de manera que se pueda evaluar AN para valoressucesivos de N. Para tal fin, es ms eficiente usar la forma recursiva de las ecuaciones (13),(14) y (15) que son:

Suma simple

(16)

Regla trapezoidal

(17)

Regla de Simpson

(18)


La evaluacin de la integral B es realizada de la misma manera como se desarrollo la de A.Con esto, las ecuaciones de clculo son las mismas expresadas de (13) a (18), teniendocuidado, eso si, que la funcin trigonomtrica que acompaa la carga es en este caso sent(es decir, y()=p()send ). As pues, calculando los valores de AN y BN para valoressucesivos de N, es posible determinar los correspondientes valores de respuestavN(t)=v(t=N) usando:

(19)

Para sistemas amortiguados, se tiene:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))0

1sen

tt

DD

v t p e t dm

= = = =

(20)


Las anteriores integrales pueden ser evaluadas mediante una sumatoria equivalente a lasusadas previamente para sistemas no amortiguados. En este caso se debe tener muchaprecaucin con el decaimiento exponencial causado por el amortiguamiento.

Donde:

(21)

La forma recursiva de los coeficientes AN son para este caso especifico:

Suma simple

(22)


(23)

Regla trapezoidal

Regla de Simpson

(24)

Vale la pena resaltar que los trminos exponenciales adicionados a los mtodos numricosmostrados corresponden al decaimiento exponencial debido al amortiguamiento en laestructura (es una forma de tener en cuenta el efecto del amortiguamiento). Tambin sedebe tener en cuenta que la funcin que se evalua en la integral de Duhamel es dependientede la frecuencia circular subamortiguada D, que para pequeos valores deamortiguamiento puede ser asumida como D= .


La evaluacin de la integral B es realizada de la misma manera como se desarrollo la de A.Con esto, las ecuaciones de clculo son las mismas expresadas de (22) a (24), teniendocuidado, eso si, que la funcin trigonomtrica que acompaa la carga es en este casosenDt. As pues, calculando los valores de AN y BN para valores sucesivos de N, es posibledeterminar los correspondientes valores de respuesta usando:

(25)

Cabe destacar que la precisin de cada uno de los mtodos descritos anteriormente para elcalculo de los coeficientes A y B depende del intervalo de tiempo seleccionado. Comonorma general este tamao de paso debe ser seleccionado suficientemente pequeo paraque la carga y las funciones trigonomtricas involucradas en el anlisis estn biendefinidas. Tambin se destaca el hecho de que el esfuerzo computacional y la precisin seincrementaran de acuerdo a la complejidad del mtodo utilizado, de este modo, la regla deSimpson ofrecer valores de respuesta mas precisos que la sumatoria simple.


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