Clase #1 (Conducción Unidimensional Estacionaria)
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Métodos numéricos en la conducción de calor Objetivos: 1.Comprende las limitaciones que presentan las soluciones analíticas de los problemas de conducción de calor. 2.Emplear el método de balance de energía para formular numéricamente el problema de conducción y comprobar que conduce al mismo conjunto de ecuaciones algebraicas que el método de diferencias finitas. 3.Desarrollar la capacidad para resolver problemas de conducción unidimensional y bidimensional en régimen estacionario y transitorio. Principales razones para la búsqueda de métodos alternativos de solución: 1. Limitaciones. 2. Una mejor elaboración de modelos. 3. Flexibilidad. 4. Complicaciones. 5. Naturaleza humana. 1 PPT elaborado por Arturo Arosemena
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Mtodos numricos en la conduccin de calor
Objetivos: 1.Comprende las limitaciones que presentan las soluciones analticas de los problemas de conduccin de calor. 2.Emplear el mtodo de balance de energa para formular numricamente el problema de conduccin y comprobar que conduce al mismo conjunto de ecuaciones algebraicas que el mtodo de diferencias finitas. 3.Desarrollar la capacidad para resolver problemas de conduccin unidimensional y bidimensional en rgimen estacionario y transitorio.
Principales razones para la bsqueda de mtodos alternativos de solucin: 1. Limitaciones. 2. Una mejor elaboracin de modelos. 3. Flexibilidad. 4. Complicaciones. 5. Naturaleza humana.
1 PPT elaborado por Arturo Arosemena
-
Formulacin en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales
()
= lim
0
()
=
+ ()
+
S 0:
()
+ ()
Expansin en serie de Taylor de en torno a :
+ = +
()
+
1
22
2()
2+
1
63
3()
3+
+ +
+ ()
2
-
Conduccin de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor , con generacin de calor y conductividad trmica constante:
La pared se subdivide en seccin de espesor = /, en la direccin separadas por los puntos 0,1,2 , 1,, + 1, 1,;llamados nodos o puntos nodales.
2
2+
= 0
2
2
+12
12
+ 1
1
2
2
+1 2 + 1
2
2
2
+
+1 2 + 1
2+
= 0
= 0,1,2,3, , 1
A travs del anlisis realizado se obtiene un conjunto de 1 ecuaciones (en vista de que son nodos), por lo tanto para determinar la temperatura en 0 y en se necesitan de las condiciones de frontera.
3
-
Formulacin en diferencias finitas de la conduccin unidimensional
en estado estacionario a partir del mtodo de balance de energa o
volumen de control
El mtodo de balance de energa se basa en la subdivisin del medio en un nmero suficiente de elementos de volumen, aplicando a cada uno estos un balance de energa. Es equivalente al mtodo de diferencias finitas deducido a partir de la ecuacin diferencial.
La pared se subdivide en seccin de espesor = /, en la direccin separadas por los puntos 0,1,2 , 1,, + 1, 1,;llamados nodos o puntos nodales. Los nodos interiores son de tamao completo (espesor ), en tanto que el tamao entre los dos elementos en la frontera es la mitad.
,. + ,. + ., =
= 0
Donde: ., =
Aproximando la variacin de temperatura entre dos nodos consecutivos como si fuera lineal:
=
4
-
Formulacin en diferencias finitas de la conduccin unidimensional
en estado estacionario a partir del mtodo de balance de energa o
volumen de control
1
+
+1
+ = 0
+1 2 + 12
+
= 0
= 0,1,2,3, , 1
Lo cual concuerda con el resultado obtenido con el mtodo de diferencias finitas a partir de la ecuacin diferencial.
5
-
Condiciones de frontera
6
Las condicione de frontera tambin se pueden obtener a partir de un balance de energa en los elementos de volumen en los nodo frontera. Note que el ancho del elemento para cualquiera de los nodos de frontera es /2.
Condiciones de frontera ms comunes: 1.Temperatura especifica. 2.Flujo de calor especfico. 3.Condicin de frontera con conveccin. 4.Condicin de frontera con radiacin. 5.Condicin de frontera con conveccin, radiacin y flujo de calor combinados. 6.Condicin de frontera de interface de dos solidos con conductividad trmica diferente.
+ ., = 0
-
7
Condiciones de frontera
1. Temperatura especifica: 0 = 0 = .
= = .
2. Flujo de calor especfico:
0 + 1 0
+ 0
2= 0
3. Condicin de frontera con conveccin:
En caso de tal de que la frontera este aislada 0 = 0. Alternativamente se puede tratar al
nodo en la frontera como un nodo interior, aplicando el enfoque de imagen especular. De igual forma, en el caso de cuerpos con simetra trmica, se puede sustituir el plano de simetra por un aislamiento.
+1 2 + 12
+
= 0 1 20 + 1
2+
0
= 0
0 + 1 0
+
0
2= 0
-
8
Condiciones de frontera
5. Condicin de frontera con conveccin, radiacin y flujo de calor combinados:
4 40 +
1 0
+ 0
2= 0
4. Condicin de frontera con radiacin:
0 + 4
40 + 0 +
1 0
+
0
2= 0
S :
0 + 0 + 1 0
+ 0
2= 0
6. Condicin de frontera de interface de dos solidos con conductividad trmica diferente:
1
+
1
+
,
2+ ,
2= 0
