I.E.P. “RAYMOND CLARK” GEOMETRÍA

4º SECUNDARIA - 2013

I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

1. CONCEPTOS PREVIOSSi una pelota de fútbol reposa sobre una caja de cartón tal como se muestra en la figura, notaremos que el contacto entre la pelota y la caja es un punto, el cual también forma parte de una porción de plano que está limitado por cuatro segmentos de recta.En el gráfico nos da la idea de punto, recta y plano, pero aún así se les conoce como entes matemáticos.

1.1. PUNTOLa marca de un lápiz que aparece al presionar éste sobre un papel nos hace pensar en un punto, pero no podemos afirmar que tenga dimensiones.El punto no se puede definir, pero la idea que tenemos de él, nos permite construir figuras que son el objeto de estudio de la geometría.

¿CÓMO REPRESENTAMOS UN PUNTO?Los puntos se pueden designar por letras mayúsculas y representarse por un trazo, un circulito o una cruz. Así decimos el punto A, el punto B, etc.

1.2. LÍNEA Se entiende así a la extensión considerada en una sola dimensión: la longitud. Corresponde a una serie ilimitada de puntos.

1.2.1.- CLASIFICACIÓN DE LAS LÍNEAS Las líneas se clasifican en rectas, curvas, quebradas y mixtas.

a).- Línea Recta: Es el conjunto de puntos que siguen una misma dirección. Se extiende sin límite en los dos sentidos.

Postulados acerca de una línea recta:

a) La línea recta posee dos sentidos.b) La línea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos. c) Dos puntos determinan una recta.d) Por un punto pasan infinidad de rectas.

¿CÓMO REPRESENTAMOS UNA LÍNEA RECTA ?

SÍMBOLO: AB

SÍMBOLO: L

b).- Línea Curva: Es aquella línea que cambia de dirección constantemente. En otras palabras, la línea curva carece de segmento por más pequeño que éste sea.

c).- Línea Quebrada: Es aquella línea que está constituida de dos o más porciones de rectas que siguen direcciones diferentes, pero que tienen entre sí un punto en común.

d).- Línea Mixta: Es aquella línea que está constituida de dos o más segmentos rectilíneos y de dos o más segmentos curvilíneos; que tienen, de dos en dos, un solo punto en común.

1.3. PLANO La superficie de una pizarra, del piso, de una mesa nos da la idea de un plano.Un plano, es la representación de una sucesión de restas alineadas en una extensión ilimitada. Se acostumbra representarlo por un paralelogramo.

¿CÓMO REPRESENTAMOS UN PLANO?

* Notación: P

Se lee: “Plano P”

1.4. RAYOUn rayo se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos.Gráficamente:

* Notación: OA , donde “O” es el punto de origen.

1.5. SEMIRECTAEs uno de los sentidos de la recta.Gráficamente:

* Notación: OA, donde “O” no es origen.

1.6. SEGMENTO DE RECTAEs la porción de línea recta comprendida entre dos puntos. Sólo en el segmento de recta es posible la medida de longitud.Gráficamente:

A B* Notación:

Significa segmento que inicia en A y termina en B. La medida o longitud de AB se representa por AB.Ejemplo:Es correcto escribir un dato como el siguiente: AB = 5 metros.

1.6.1. CONGRUENCIA DE SEGMENTOSDos segmentos se dicen que son congruentes; cuando tienen la misma longitud.

* Notación: Se lee el segmento es congruente con el segmento .

A B

L

A B

O A

O A

A B

6m

C D

6m

P

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1.6.3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOSe llama punto medio de un segmento al punto que divide al segmento en dos partes congruentes.Ejemplo: “B” es punto medio de AC.

* Notación: AB = BC

1.6.4. OPERACIONES CON SEGMENTOS

Suma : AD = AC + CD

Resta : CD = CE - DE

* OBSERVACIONES:

A).- PUNTOS CONSECUTIVOSSon puntos que se encuentran en una misma recta y uno a continuación del otro.Ejemplo:

* A, B, C, D y E son puntos consecutivos.

B).- PUNTOS COLINEALESSon puntos que se encuentran en una misma recta.Ejemplo:

* A, B, C, D y E son puntos colineales.

PROBLEMAS RESUELTOS1.- Sobre una línea recta están ubicados los puntos consecutivos A, B, C, y D. Si AD = 24, AC = 15 y BD = 17, calcula la longitud del segmento BC.

2.- Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si:CB = 4, DC = 6 y además:

, calcula la longitud del segmento siendo “D” punto medio de

.

3.- Sobre una recta, se tiene los puntos consecutivos A; M, O; R de tal modo que =4m y = 6m. Halla ; si:

4.-Halla “x” , si: AD = 36m.Si:

5.- En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D tal que

AC = . Calcula BC si : BD - 4AB = 20

TAREA NIVEL I

1).- Sobre una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que =12u

=16u y B punto medio de , halla .

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

2).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D dispuestos de manera que =3, =5. Halla , sabiendo que: +4 - 2 =3.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

3).- Se tiene los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S de manera que:

=17m y =6m. Halla “PS”.

a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

4).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: O, A, B y C de modo que

, calcula la longitud de

Si: =8m y =16m

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 20

5).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Halla .Si: =20; =17 y =15.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

6).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si AE =20 y

. Halla .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Halla AD.Si: =60 y =140.

a) 100 b) 110 c) 120 d) 140 e) 160

8).- Sobre una recta se da los puntos consecutivos M, A y B, siendo O punto medio de . Halla , sabiendo que:

.

a) 23 b) 26 c) 33 d) 36 e) 40

9).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, P, C y D, si:

. Calcula “ ”.

a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 36

10).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que:

AC + 2CD + BD = 48; CD = . Halla AC.

a) 12 b) 14 c) 20 d) 24 e) 30

A B C D E

A B C

A B C D E

A B C D E

B C D

x

A

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