Clase 1 MMC 2014

Mecnica del Medio Continuo I semestre 2014

Prof. Oscar Begambre (I.C.,M.Sc.,PhD Ingenieria de Estructuras) Clase 1

Representacin grafica del Tensor de Difusin

UIS- Escuela de Ingeniera Civil

Materia: Mecnica del Medio Continuo

Clases: Lunes 8 a.m.-10 a.m.

martes 8 a.m.-10 a.m Saln: ABP205

Profesor: O. Begambre (Oficina 202-2 Ed. Beltrn Pinzn).

Correo electrnico: [email protected]

Objetivo General: Reconocer y aplicar los conceptos de Deformacin, Esfuerzo (Tensin) y Ecuacin Constitutiva para

formular y resolver problemas cientficos y de ingeniera.

Objetivos Especficos:

1. Definir el Concepto de Medio Continuo

2. Definir los conceptos de Esfuerzo, Deformacin, Ecuacin Constitutiva

3. Definir los conceptos de fuerzas de cuerpo y de superficie

4. Formular el Problema Fundamental de Valor de Contorno en Elasticidad - PFVCE.

5. Introducir la Notacin Indicial y el Concepto de Tensor para su uso operacional en MMC

Programa Resumido

I Fuerzas y Tensor de Esfuerzos

1- Introduccin: Principios generales. Teora del continuo. Fuerzas de cuerpo, fuerzas de superficie. Definicin de estado

de esfuerzo en un punto. Tensor de esfuerzos. Ecuaciones de equilibrio formulacin diferencial (segunda ley de Newton).

Elementos de algebra Tensorial. Ejercicios propuestos. Formulacin Global ecuaciones de equilibrio. Crculo de Mohr

revisitado. Ejemplos.

2- Transformacin del Tensor de esfuerzo. Uso de algebra tensorial para transformacin de esfuerzos. Determinacin de

esfuerzos principales, planos principales y direcciones principales. Ejercicios propuestos. Primer Quiz.

II Slidos Elsticos

3- Los tres estados de la materia. Estado de Deformacin y movimiento del medio continuo. Tensor de Deformaciones.

Ley de Hooke Generalizada. Ejercicios propuestos.

4- Modelaje del comportamiento elstico lineal de slidos reales. Formulacin del problema fundamental de valor de

contorno en elasticidad - PFVCE. Ejercicios propuestos y Ejemplos. Segundo Quiz

Mecnica del Medio Continuo - Programa Resumido I

UIS- Escuela de Ingeniera Civil

Materia: Mecnica del Medio Continuo

Profesor: O. Begambre (Oficina 202-2 Ed. Beltrn Pinzn)

Bibliografa bsica

1. Fung, Y.C., A First course in continuum Mechanics (Third Edition), Prentice Hall, 1994. Edicin

Disponible en la Bibilioteca UIS.

2. Mase, G.T. and Mase, G.N., Continuum Mechanics for Engineers, (Second Edition),

CRC Press, 1999 Disponible en formato electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS -

http://tangara.uis.edu.co/ CRCnetbase.

3. W. Michael Lai, David Rubin, Erhard Krempl, Introduction to Continuum Mechanics (Fourth

Edition), Elsevier, 2010. Disponible en formato electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS -

http://tangara.uis.edu.co/ Elsevier.

4. Wu, H-C, Continuum Mechanics and Plasticity, CRC Press, Boca Raton, 2005. Disponible en formato

electrnico en la pgina de la Biblioteca UIS - http://tangara.uis.edu.co/ CRCnetbase.

5. Cadavid, J.H., Mecnica del Medio Continuo: Una Iniciacin (Primera Edicin), Fondo Editorial

Universidad EAFIT, 2009.

6. Timoshenko, S.,Goodier, J.N. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, 3rd Edition, 1970,

7. G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.

8. Sissom, L.E. and Pitts, D. R., Fenmenos de Transporte, Guanabara Dois, 1972.

9. Pimenta. P., Fundamentos da Mecnica dos Slidos e das Estruturas. Universidade de So Paulo, 2006.

10.Truesdell C. A first course in rational continuum mechanics. Academic Press, 1992

Mecnica del Medio Continuo - Programa Resumido

Informacin General

Evaluacin

2 Quices: Tercera y Sexta semana.

Mecnica del Medio Continuo MMC

El problema Central de la Mecnica

Describir el movimiento (o reposo) de objetos del mundo fsico y sus causas

Enfoque Determinista (causa efecto)

Se dispone de cuatro principios de conservacin (herramientas para solucionar

el problema). La conservacin de la masa y de la energa y la Conservacin de

la cantidad de movimiento (angular y lineal)

Interaccin entre sistemas fsicos definida como un intercambio de cantidades de movimiento

(por medio del contacto entre fronteras o a distancia). Descripcin Geomtrica de la interaccin

empleando la entidad matemtica conocida como Vector.

En los sistemas fsicos usuales en ingeniera la conservacin del momento se aplica

en trminos de las tres leyes de newton: Ley de inercia

Ley de la fuerza (la segunda ley es una de las herramienta mas poderosas de la mecnica)

Ley de accin y reaccin

Aristteles

384 a.c.- 322 a.c.

Galileo

1564-1642.

Newton

1642-1727.

Principios Generales empleados en la mecnica clsica

Axiomas :

Principio del espacio absoluto

Principio del tiempo absoluto

Conservacin de la masa

Principio del momento lineal

Principio del momento angular

Principio de conservacin de Energa

Principio de Entropa

Conservacin de Cargas

Teora de Ecuaciones Constitutivas

Limitados a situaciones

donde estos 5

principios

son necesarios

Nota: los dos primeros Axiomas no son empleados en la mecnica relativista (inicio del siglo XX)


Para la descripcin del movimiento de los sistemas fsicos conocidos como partculas y

cuerpos rgidos se emplea el Sistema Inercial de Referencia (el nuevo sistema fsico, o idealizacin de

los cuerpos aqu estudiado se conoce como Medio Continuo)

x x

y y

t = 1

x x

y y

t = 0 t = 1

t = 0

Veamos por ejemplo que se necesita para determinar la velocidad promedio del centro de masa de los sistemas mostrados (caso a)

(caso a)

(caso b)

if

cmicmfcmcm

tt

rr

r

rV

n

j

jjcm rmM

r1

1A B

jr

jm


Los problemas con el numero de partculas surgen cuando se ve la necesidad de hacer la

medida instantnea de las posiciones para cada partcula (si se quiere realizar el clculo

indicado en las ecuaciones a y b)

Cuando es factible hacer la medidas necesarias y valerse de las ecuaciones a y

b y los mtodos operativos que las sustentan, el sistema se puede clasificar

como de pocas partculas (es el caso de la mecnica celesta)

En el caso de los lquidos, solidos (reales) y gases la aplicacin de las ecuaciones

a y b, por ejemplo, se complica ya que es experimentalmente difcil obtener

informacin instantnea sobre cada una de las posiciones (o velocidades)

No poder aplicar los elementos de mecnica de un sistema de partculas a sus problemas

de diseo represent una limitacin muy grande para la ingeniera. Del esfuerzo para

superar este problema naci el concepto de MEDIO CONTINUO (Laplace (1807), Cauchy

(1827) SIGLO XIX)


Para intentar disminuir el numero de mediciones (velocidades, posiciones densidades, momento, energia) se

propusieron las siguientes hiptesis:

En 1909 los hermanos Cosserat (Henry y Franois) propusieron el concepto de medio

continuo generalizado, pero solo a finales de los aos 60 del siglo XX, los trabajos de

Truesdell, Toupin y Mindlin, acabaron de dar forma a este concepto (sistema fsico).

1. Un sistema de muchas partculas se puede dividir en regiones finitas que ocupan un V que en cada instante acoge una cantidad limitada de las mismas.

Dominio

V

2. Se presume que una propiedad fsica (densidad, energa, etc.) se mantiene constante dentro de cada V. En este punto se hace necesario definir el tamao mnimo de este V (reducirlo a un punto p que contenga un numero de partculas). Esta nocin se puede escribir de la siguiente manera:

pVLimV

0

C

Para las medidas de las propiedades

fsicas en sistemas de muchas

partculas, estas se pueden substituir

por puntos del espacio

V Puede permanecer en reposo (Euleriano) o acompaar

el movimiento del sistema de

partculas (Lagrangiano)


3. Hiptesis de Continuidad: Se acepta que los valores de una propiedad fsica estn conectados a lo largo del

dominio. En otras palabras las propiedades fsicas manifiestan una continuidad dentro del sistema de puntos

del espacio. .

La hiptesis bsica es que la masa (u otra propiedad fsica) esta distribuida de forma continua en

el espacio y que la densidad de esa distribucin (de la masa) puede ser definida.

Esta teora (del continuo), busca describir las relaciones entre fuerzas externas y fuerzas internas

en un cuerpo despreciando la estructura material en escala atmica.

Definicin del medio Continuo

Un medio continuo es un sistema de muchas partculas, que admite que sus propiedades fsicas

puedan medirse y operarse para y entre puntos del espacio fsico (en lugar de hacerlo para

partculas individuales) y en el que dichas propiedades gozan de continuidad.

Cuerpo: Llamamos al

continuo encerrado por una

superficie Cuerpo


Validez de la hiptesis de continuidad

1. Que se entiende por partcula en sistemas en ingeniera?

Molculas

tomos

Electrones, protones y neutrones

Partculas subatmicas

C

ule

s c

um

ple

n c

on la h

ipte

sis

de c

ontinuid

ad?

Segn la

Mecnica cuntica este grupo

registra problemas de continuidad

Satisfacen la

hiptesis de continuidad


Todos los sistemas formados por

molculas disfrutan de continuidad?

Un sistema de molculas goza de continuidad

si se cumple que:

C

Es el recorrido libre. Entre una y otra

colisin molecular se da una separacin.

El valor mximo de esta se llama recorrido

libre

Es la mas pequea medicin de longitud por

realizarse (experimental por ejemplo)

Nota:

Verificar la continuidad de un sistema es un

requisito para lograr que las predicciones

tericas coincidan con la experimentales.

Mecnica del Medio Continuo MMC en la Fsica y la Ingenieria

Mecnica de Slidos Mecnica de fluidos

Fsica Clsica

Termodinmica Electromagnetismo ptica Acstica Mecnica clsica

Partcula Cuerpo rgido

Sistemas de Partculas

pocas

muchas

Mecnica del Medio Continuo Mecnica Estadstica

Ingenieria Estructural (anlisis)

Ingeniera Estructural (anlisis)

Mecnica de Slidos

Teoras Generales

Elasticidad

Plasticidad

Visco elasticidad

Teoras Deducidas

Placas

Cascarones

Torsin

Mecnica del dao y de la fractura

Resistencia de Materiales

Hiptesis simplificadoras, mas restricciones, fundamento en resultados experimentales

Mecnica del Medio Continuo

Tipos de Anlisis de sistemas Estructurales en Ingeniera Civil

Diseo de estructuras

Lineal No Lineal

Depende de t No Depende de t Depende de t No Depende de t

Dinmica Esttica Dinmica Esttica

Elasticidad Plasticidad (otras)

Determinista

Estocstica

Determinista

Estocstica

Modelo del Comportamiento estructural

Solucin del Modelo: Mtodos Numricos

MEF, MEC, Diferencias finitas

Elementos Discretos, otros

Fundamento Matemtico

Mtodos variacionales

Mtodos integrales ponderados

Optimizacin Estructural

Mtodos

clsicos

Mtodos

heursticos

Paquetes comerciales

ANSYS, ADINA, NASTRAN, ABAQUS, SAP

Comportamiento Materiales

Isotropa, Anisotropa,

Homogeneidad, No Homogeneidad

Cargas

Modelamiento

Hecho en Casa

Fortran, C++, Matllab, etc

Aplicaciones en Ciencia y Tecnologa

Metales Policristalinos

Materiales Cermicos

Materiales Polimricos

Tejidos vivos

Gases

Fluidos

Slidos

Perforaciones: gas, petrleo, agua

Materiales Biocompatibles (cermicos)

Propiedades viscoelsticas de tejidos artificiales

Infraestructura Civil

Cargas externas-Efectos de un Sismo

Cargas externas-Anlisis de Impacto o de choque

Contacto Llanta Pavimento

Descripciones para el movimiento usadas en la MMC

Descripcin Lagrangena o Material Descripcin Euleriana o Espacial

Siguiendo las partculas. Expresar las variables (v, T, ..)

como funcin de las coordenadas materiales

de la partcula y del tiempo

Observando los cambios en posiciones fijas. Expresar las

variables (v, T, ..) como funcin de las coordenadas

espaciales de puntos fijos en el espacio fsico

Relacin entre coordenadas materiales y coordenadas espaciales

),,,(

),,,(

321

321

tXXXTT

tXXXvv

),,,(

),,,(

321

321

txxxTT

txxxvv

1

Descripcin del Movimiento del Continuo (Mapeo)

2

La ecuacin 2 describe la densidad o la velocidad de una partcula del continuo en

coordenadas materiales.

Coordenadas Materiales (identifican las

partculas del cuerpo)

Ecuacin de movimiento del continuo:

Coordenadas Espaciales (posiciones

fijas en el espacio fsico)

Material

Espacial

Fuerzas de Cuerpo

z

y

x

X

Y

Z

V

fX x

V

*0lim

V

fY

y

V

*0lim

V

fZ z

V

*0lim

Intensidad de las fuerzas de cuerpo

Figura 1

3

z

y

x

S

FnormalEsfuerzo n

oS

*lim:

S

FtecordeEsfuerzo t

S

*0lim:tan

Superficie Interior y superficie Exterior

n

Fuerzas de Superficie

Intensidad de las fuerzas

de superficie internas

S

fX x

S

*0lim

S

fY

y

S

*0lim

S

fZ z

S

*0lim

Intensidad de las fuerzas

de superficie externas

AS

Nota:

Figura 2

4

Figura 3

5

Figura 4

6 = 3 + 2+1

Estado de Esfuerzo en un Punto y convencin de signos

para los esfuerzos

Z

Y

X

Figura 5

Esfuerzos no

uniformes

Taylor

l =cos (n, x)

m = cos (n, y)

n = cos (n, z)

Suponiendo que la altura del tetraedro tiende a cero, manteniendo a A pequea pero finita, las fuerzas de volumen, el momento lineal y su tasa

de cambio con el tiempo desaparecen

A

Representacin matricial (en coordenadas

cartesianas) del tensor de esfuerzos

7

7a

Ecuaciones de Equilibrio Segunda Ley de Newton Formulacin diferencial

X

Y

Z

Nota 2: Ver figura 5

0 yF

0 xF

0 zF

0 yM

0 xM

0 zM

Conservacin del

momento lineal

Conservacin del

momento angular

8 9

Nota 1: condiciones de equilibrio que deben existir para el todo el campo

de esfuerzos en el medio continuo

Notacin Indicial

ii

j

ijRaX

3,2,1,

,,,

ji

zyxji

jiij Momentos

Conservacin del

momento lineal

Conservacin del

momento angular

Fuerzas

Ecuaciones de Equilibrio 2 Ley de Newton Formulacin diferencial

Siempre que un ndice se repita una vez , el es un

ndice mudo e indica una sumatoria con el valor del

ndice variando de 1 a n (nmeros enteros o x,y,z)

Nota: un ndice mudo no puede repetirse mas de una vez

cuando la convencin es usada

Permite realizar de manera fcil operaciones con tensores sin el uso, o la aparicin, de los

vectores base ei

Un ndice que aparece solo una vez en cada termino de una ecuacin, como el ndice i

en la ec. A, es llamado ndice Libre. Un ndice libre toma los valores 1,2,3 (x,y,z) uno cada vez.

mimi xax ' A

10

11

Numero de trminos de una sumatoria (ecuacin) = mudosindices#3

Ecuaciones de Equilibrio 2 Ley de Newton Formulacin diferencial

Numero de ecuaciones = libresindices.#3

Ejercicios - Esfuerzo

100150

15050

Sabiendo que el estado de esfuerzo plano en un punto esta dado por:

Haga un grafico que muestre la variacin de los esfuerzos normales y tangenciales

para todos lo posibles planos que pasan por el punto

Nota: se debe emplear la formula de Cauchy.


c

Elementos de Algebra Tensorial

Notacin Indicial

Convencin de suma de Einstein

Considerando la siguiente suma:

nnxaxaxaxas ...332211 1

n

i iixas

12

Las leyes de la mecnica del continuo deben ser formuladas en trminos de cantidades

que son independientes de las coordenadas (invariantes).

n

j jjxas

1 n

m mmxas

13 4

O de forma equivalente:

Permite realizar de manera fcil operaciones con tensores

sin el uso, o la aparicin, delos vectores base ei


En las ecs. 1 a 4, los ndices i, j o m se conocen como ndices mudos, en el

sentido que la suma es independiente de la letra usada.

La ecuacin 1 puede simplificarse adoptando la siguiente convencin: Siempre

que un ndice se repita una vez , el es un ndice mudo e indica una sumatoria con el valor del ndice variando de 1 a n (nmeros enteros)

Ej.

iixas 5

..... jjmmii xaxaxa 6

Nota: un ndice mudo no puede repetirse mas de una vez cuando la convencin es

usada.

iii xba No esta definida en la convencin



De aqu en adelante, se tomara siempre n = 3, de

forma que:

332211

332211

332211

eaeaeaea

aaaaa

xaxaxaxaxa

ii

mmii

mmii

7 3

1

3

1i j jiijxxa

jiij xxa

La convencin se puede usar en:

8



jjjjjjjiij xxaxxaxxaxxa 332211

Expandiendo la ec.7, primero en i:

Luego en j:

33332332133133

32232222122122

31132112111111

xxaxxaxxaxxa

xxaxxaxxaxxa

xxaxxaxxaxxa

jj

jj

jj

333323321331322322221221311321121111 xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxa jiij


Ordenando:

Numero de trminos de una sumatoria (ecuacin) = mudosindices.#3

9


kjiijk xxxa

Otro ejemplo de aplicacin de la convencin de Einstein:

ki j jiijkkxxxa

3

1

3

1

3

110

11

La ec. 11 representa la suma de 27 trminos

Cuidado!!!!!

kjiiijk

jjiii

xxxxa

xxxa No estn definidas en la convencin de sumatoria

(por que)


Representacin de vectores y tensores en forma de componentes cartesianas

Base ortogonal del espacio

Euclidiano

Componentes rectangulares de un vector

Otro ejemplo de aplicacin de la convencin de Einstein:


Ejercicio :Sin preocuparse por el significado fsico de las siguientes expresiones,

expndalas usando la convencin de sumatoria.

a)

Expandiendo en i

332211332211

332211

332211

ewewewvuvuvu

ewvuvuvu

ewvuewvuewvu

jj

jjjjjj

Expandiendo en j


b)

Expandiendo en i

333323321331

322322221221

311321121111

332211

evTevTevT

evTevTevT

evTevTevT

evTevTevT jjjjjj

Expandiendo en j

333322311323322221121331221111 evTvTvTevTvTvTevTvTvT

Reordenando:

c)

Expandiendo en i

333322331133

332222221122

331122111111

332211

evTevTevT

evTevTevT

evTevTevT

evTevTevT jjjjjj

Expandiendo en j

332211332211 veveveTTT Reordenando:


Considerando el siguiente sistema de tres ecuaciones:

333232131

'

3

323222121

'

2

313212111

'

1

xaxaxax

xaxaxax

xaxaxax

De forma

compacta

Elementos de Algebra Tensorial ndices Libres

Usando la

convencin

de sumatoria:

12

mm

mm

mm

xax

xax

xax

3

'

3

2

'

2

1

'

1

13

mimi xax '

3,2,1i

14

Un ndice que aparece solo una vez en cada termino de una ecuacin, como el ndice i

en la ec.14, es llamado ndice Libre. Un ndice libre toma los valores 1,2,3 uno cada vez.


ndices Libres

Numero de ecuaciones = libresindices.#3

La expresin:

mimi eQe 3,2,1i

Representa 3 ecuaciones, cada una con tres trminos.

15

ji ba No tiene sentido

El ndice libre que aparece en cada termino de una ecuacin debe ser el mismo

La ecuacin:


jmimij AAT

3,2,1

3,2,1

j

i

La ec. 16 representa (pregunta) ecuaciones, cada una con (pregunta) trminos.

16

Si existen dos ndices libres en una ecuacin tal como:

ikij TT Nuevamente no tiene sentido


Delta de Kronecker

jisi

jisiij

0

1 17

0

1

323123211312

332211


Delta de Kronecker

17

0

1

323123211312

332211

jisi

jisiij

0

1

ijmjim

jmjm

jmjm

jjjjmjm

imim

mm

mm

mm

ii

TT

General

TT

TT

TTTTTc

aa

General

aaaaa

aaaaa

aaaaab

a

33

22

13132121111

33332321313

23232221212

13132121111

332211 3111

)

)

)


Notar que:

18

19

20

Delta de Kronecker

....etc

injnmjim

ijmjim


Notar que:

21

Delta de Kronecker

ijji eed )

Si e1, e2, e3 son vectores unitarios, entonces:

jiij dxdxds 2


Ej. Considere un elemento de lnea con componentes dx, dy, dz en el espacio

Euclidiano tridimensional con coordenadas rectangulares x, y, z. Compruebe,

que la longitud al cuadrado del elemento de lnea es:

Delta de Kronecker

Definiendo:

dzdx

dydx

dxdx

3

2

1

0

1

323123211312

332211

Y sabiendo:

Usando la ec.18 o expandiendo A en i y luego en j:

A

2

2

2

2

2

1

2 dxdxdxdxdxdxdxds iijiij

0

1

1

ijk


Esta definido como:

Smbolo de Permutacin

O sea:

0...

1

1

333112111

132213321

312231123

Podemos expresar el determinante de una matriz 3x3:

A 321det kjiijk aaaA

Si los valores

de i,j,k

aparecen en la

secuencia:

otras

32132132

1231231222


Ejercicio propuesto:

Calcule el determinante de una matriz 3x3 expandiendo la ecuacin A y

aplicando la definicin del smbolo de permutacin.


Solucin



si 321 ,, eee Forman una base del 3D (mano derecha), entonces:

etc

eee

eee

eee

213

132

321

Notar que: kjiikjjikkijjkiijk 23

Podemos escribir: kijkji eee 24

Propiedad Cambio de Signo



S

i

:Entonces

ebb

eaa

ii

ii

kijkjijijijjii ebaeebaebeaba

Producto Vectorial:

25a kjiijk ebaba

kjiijk

kjijki

iqkjijkq

qkjjkqii

kkjjii

wvu

wvu

wvu

ewveu

eweveuwvuwvu

Triple producto escalar



Si i=q

Propiedad

Cambio de

Signo

25b

mkjijkqmiq

mkjijkqiqm

qkjjkqii

kkjjii

ewvu

ewvu

ewveu

eweveuwvu

Triple producto vectorial



Propiedad

Cambio de

Signo

25c

ijmkikmjjkqmiq

jkiljlijklmijm

El producto de Smbolos de Permutacin puede expresarse en trminos del delta

de Kronecker


Identidad

26

Ejercicio: Probar la igualdad 26 por

expansin directa

Tensores: Definicin

Transformacin Lineal

T Trasformacin lineal Trasforma vectores en vectores

22

11

bTa

y

bTa

1

Si T cumple las siguientes propiedades lineales:

11

2121

)(

)(

TaaT

y

TaTaaaT

Vectores arbitrarios

Escalar

T es una Trasformacin Lineal

o Tensor de Segundo Orden

Tensores

aea

o

aea

aea

aea

ii

33

22

11

Componentes de un tensor

iieaeaeaeaa

332211

De forma equivalente:

Vectores unitarios, sistema Cartesiano de coordenadas

Componentes de un vector

Tensores

jiji Teeab


bTbConsiderando el tensor T. Para cualquier vector ,

a es un vector dado por:

iiTeaTeaTeaTeaaTb

332211

Usando def. tras.

lineal

2

Componentes de b

3a

33323213133

32322212122

31321211111

TeeaTeeaTeeaebb

TeeaTeeaTeeaebb

TeeaTeeaTeeaebb

Componentes de b

Tensores


3b

Los trminos e1Te1 , e2Te1 y e3Te1 son las componentes de Te1. Convencin:

Escribir las componentes como

jiij TeeT

TeeT

TeeT

,......1221

1111

4

Componentes del

Tensor

T

3332321313

3232221212

3132121111

aTaTaTb

aTaTaTb

aTaTaTb

Usando 3a y 4, la ecuacin b=Ta puede escribirse como:

Tensores


5a

O de forma compacta:

5b jiji aTb

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

a

a

a

TTT

TTT

TTT

b

b

b

Usando notacin matricial, las ecs. 5 quedan:

Tensores


5c

Matriz del tensor T

Con relacin al sistema e1, e2,e3 :

333231

232221

131211

TTT

TTT

TTT

Componentes

de Te1 Componentes

de Te3 Componentes

de Te3

jj

jj

jj

eTeTeTeTTe

eTeTeTeTTe

eTeTeTeTTe

33332231133

23322221122

13312211111

Tensores


jjii eTTe

6a

6b

Tensores

Ejercicio propuesto:

1. Si T trasforma cada vector en su imagen especular con relacin a

un plano fijo, encuentre la matriz que representa a T.

33

22

11

eTe

eTe

eTe

Perpendicular al espejo

En el plano del espejo

Ta

e1

a

1.Formulacin Global Ecuaciones de Equilibrio

(Ecuaciones de equilibrio de Cauchy)

2. Revisin Circulo de Mohr

1. Ecuaciones de movimiento de Cauchy-(global)

Considerando una porcin arbitraria del continuo en la posicin deformada

1

Tasa de cambio del momento lineal

(2 Ley Newton)

Suma fuerzas de superficie Suma fuerzas de cuerpo

Campo de velocidad

Teorema de Gauss y conservacin de masa ()

2

1. Ecuaciones de movimiento de Cauchy

3

En la configuracin deformada

Consulta : transformacin al sistema de referencia X (Lagrangeano)

=(detA) 0 Idea Como sabemos que

Gradiente de la funcin cambio de configuracin

4

haciendo 4 x

3 (ver ecuacin 22 clase 7

A-1 detA

)(det ADonde Tensor de tensin de Kirchhoff

5

6 Tensor de tensin nominal (no simtrico)

Ecuaciones

Lagrangeanas

de movimeinto

2. Transformacin de Esfuerzo plano

Determinar las expresiones que relacionan las tensiones en los

dos sistema de coordenadas mostrados

2. Transformacin de tensin plana

1cos

1

dy

dy

dy

dxsen

1

dx

dy

dy1

x

y y1

x1

(+)

1x11yx

x

y

xy

yx

Podemos escribir:

Haciendo suma de fuerzas:

coscos111 dxdzdydzsendxdzsendydzdzdyFx xyxyyxx

dxdzsendydzdxdzdydzsendzdyFy xyxyyxyx coscos1111

2

3

2. Transformacin de tensin plana

Usando 1 Despejando 1x 11yxy de 2 3 y

cos2cos 221 sensen xyyxx

2211 coscos sensen xyxyyx

4

5

2. Ecuaciones de Transformacin de tensin plana

2. Circulo de Mohr - Transformacin de tensin plana

Usando las identidades trigonometricas:

2cos2

2

2cos1cos

2

2cos1

2

2

sensen

sen

6


6 4

5

22cos2

1

2

11 senxyyxyxx

2cos22

111 xyyxyx sen

7

8

Ecuaciones parametricas de un circulo


Eliminando la funcin del ngulo 2

xyyxyxyxx 22

112

2

14

1

2

1

9

r2

Coordenadas del centro

Del circulo de Mohr

xy

x

C

2

yx

2

yx

),( xyxD x

y

A

F

,D x

y y1 x1

(+)

1x11yx

x

y

xy

yx

11yx

yyx

x

xy

1x


21 2

O

2. Tensiones principales en estado plano de tensin

xy

x

C

2

yx

),( xyxD x

y

A

F x

y

y1

x1

1(+)

11 x

x

y

xy

yx

1

yyx

x

xy21

22

O

1

2

2

900

x1

+x1

x

y

y1 y

yx

x

21 x

F

F

y1

x

xy

3 2yx

P

2

yx

2. Tensiones principales en estado plano de tensin

xy

yx

xyyx

xyyxyx

xyyxyx

tg

2

1

2

4

1

4

1

2

1

4

1

2

1

2

22

3

22

2

22

1

Del circulo de Mohr podemos concluir que:

10

Ejemplo

x1

y1

x

y

4000y

8000yx

10000x

Calcular las tensiones para =300 (+) Determinar las tensiones de traccin (compresin) principales

Determinar los valores del ngulo para el cual las tensiones son principales

dy1

x

y

y1

x1

(+)

134301 x

206011 yxx

y

xy

yx

=30

Ejemplo

Usando 4 y 5:

Circulo de Mohr 3D

Lectura sugerida Mase, secciones 3.7 y 3.8

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