Clase 1 - Optimizacion

Microeconomía

Elementos Básicos de Optimización

1


• Teoría Económica y el comportamiento optimizador:– Estudiantes quieren aprender al máximo (y también maximizar

la nota)

– Un conductor quiere minimizar el tiempo de manejo desde la casa al trabajo

– Gerente Comercial que busca maximizar ventas

– Gerente de Personal quiere minimizar la rotación de personal

– SII quiere minimizar la evasión tributaria

• En este capitulo revisaremos los conceptos matemáticos básicos necesarios para analizar estos problemas– Pendiente y derivada

– Maximización (y minimización)

2


• En economía las relaciones entre variables se pueden expresar a través de funciones– Relación entre precio de un producto y la cantidad que los

consumidores quieren comprar

– Relación entre tasa de interés y actividad económica (PIB) e inflación (IPC)

– Relación entre tipo de cambio y exportaciones e importaciones

– Relación entre costos de emplear mujeres, tasa de desempleo y protección a la maternidad

• Supondremos que conocemos las representaciones de dichas relaciones (funciones)

• ¿Cómo podemos determinar el punto óptimo (máximo o mínimo) que permite alcanzar nuestro objetivo?

3

Pendiente y derivadas

4

• Pendiente: muestra el cambio

de la función

• Para cambios infinitesimales

usamos el concepto de

derivada:

)(xfy

x

f(x)

x

y

131 x

301 y

30 x

50 y

dx

dy

5,210

25

313

530

01

01

xx

yy

x

y

x

y

dx

xdf )( )(xf xf

y = f(x)


5

• La función de costos de la empresa es:

1. Si la producción (q) inicial es 100. ¿Cuál es el costo total de

producción?

2. ¿En cuanto se incrementa el costo si se duplica la producción?

3. Cual es la pendiente de la función de costos?

4. ¿ Que significa?

qc 5200


6

• ¿Qué pasa si la función no tiene una pendiente constante?:

• Entre los puntos A y B:

• Entre los puntos A y B:

• Hay múltiples pendientes dependiendo del punto de comparación

• Aproximación usando el concepto de derivada

• Pendiente en el punto A es la pendiente de tangente en ese punto

x

f(x)

6

18

2

10

10

20

x

y

x

yA

BC

25,18

10

210

1020

24

8

26

1018

Reglas de la Diferenciación

7

axf )( :Constante

naxxf )( :Polinomio

)()(

xfdx

xdf

xexf )( :lExponenciaFuncion

)()(

xfdx

xdf

)()(

xfdx

xdf

xxf ln )( :Natural Logaritmo

)()(

xfdx

xdf

0

1nanx

x

1

xe

Reglas de la Diferenciación

8

)()()( :Suma xhxgxf

24xxy

)()()( :Producto xhxgxf

)2)(1( xxy

)()()( xhxgxf

)()()()()( xgxhxhxgxf

)1( x

xy

)(

)()( :Cuociente

xh

xgxf

2)(

)()()()()(

xh

xgxhxhxgxf

x

f(x)

Maximización de

Funciones de 1 Variable

• Para encontrar el máximo de la

función:

• Condición de Primer Orden

(CPO)max

globa

l0 )( xf

dx

dy

9

)(maxarg* xfx

*x

• Ejemplo:

• Condición de Primer Orden

(CPO)

Maximización de


2442)(y xxxf

0)( xf

084 x

1/2* x

10

x

f(x)

x*= 0,5

?* y

22/142/142

3* y

y*= 3

max

globa

l

Maximización de


• CPO es una condición necesaria

pero no suficiente

x

f(x)

max

local

min

local

punto

inflec.

11

Maximización de


12

• Segunda Derivada:

– Concepto: mide la curvatura

de la función (cuan rápido

cambia la pendiente)

• El cambio del cambio

– Con: y = f(x), la segunda

derivada se denota:

dx

dx

dyd

x

f(x)

max

local

min

local

punto

inflec.

max

globa

l

2

2

dx

yd xxfxf )(

2

2 )(

dx

xfd

Casos:

• Cóncava:

• Convexa:

• Punto de inflexión y Recta:

• Condición de Segundo Orden

(suficiente):

Maximización de


13

0 )( xf

0 )( xf

0 )( xf

x

f(x)

max

local

min

local

punto

inflec.

max

globa

l

Máximo0 )( xf

Mínimo0 )( xf

Maximización de


2442)(y :Ejemplo xxxf

xxf 84)(

8)( xf

max es *x

1/2* x

?)( xf

14

x

f(x)

3* y

x*= 0,5

y*= 3

concava )(xf

0

• Ejemplo:

– y = nota en Micro del estudiante

– x1 = esfuerzo estudiante (horas promedio de estudio)

– x2 = esfuerzo profesor (horas promedio de preparación)

Funciones de 2 Variables

2/1

2

2/1

1 xxy

Horas Esfuerzo Profesor (x2)

1 2 3 4 5 6 7

Horas

Esfuerz

o

Alumno

(x1)

1 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 2.6

2 1.4 2.0 2.4 2.8 3.2 3.5 3.7

3 1.7 2.4 3.0 3.5 3.9 4.2 4.6

4 2.0 2.8 3.5 4.0 4.5 4.9 5.3

5 2.2 3.2 3.9 4.5 5.0 5.5 5.9

6 2.4 3.5 4.2 4.9 5.5 6.0 6.5

7 2.6 3.7 4.6 5.3 5.9 6.5 7.0

• ¿Qué sucede con la nota si el esfuerzo del profesor aumenta en 4 horas?

• Respuesta: depende


2/1

2

2/1

1 xxy

Horas Esfuerzo Profesor (x2)

1 2 3 4 5 6 7

Horas

Esfuerz

o

Alumno

(x1)

1 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 2.6

2 1.4 2.0 2.4 2.8 3.2 3.5 3.7

3 1.7 2.4 3.0 3.5 3.9 4.2 4.6

4 2.0 2.8 3.5 4.0 4.5 4.9 5.3

5 2.2 3.2 3.9 4.5 5.0 5.5 5.9

6 2.4 3.5 4.2 4.9 5.5 6.0 6.5

7 2.6 3.7 4.6 5.3 5.9 6.5 7.0

375,04

5,15,1

2

x

yy

625,04

5,25,2

2

x

yy

• Derivada Parcial: cambio en la función (y) cuando una de las variables cambia y todas las demás permanecen constantes

– En el ejemplo: cambio en la nota cuando el estudiante incrementa su esfuerzo, manteniendo el esfuerzo del profesor constante

• Notación:

• Para tomar la derivada parcial con respecto a una variables, por ejemplo x1, debemos tomar a todas las otras variables como constantes (ya sabemos derivar cuando hay una constante), es decir, aplicamos las reglas de la derivación en funciones de una variable.

Funciones de 2 Variables:

Derivadas Parciales

),( 21 xxfy

1x

y

17

1xf 1f1

21 ),(

x

xxf

Funciones de 2 Variables:

Derivadas Parciales

2

2

12121 32),( xxxxxxf

1

1

fx

y

2

2

fx

y

2

121

10),(

x

xxxf

1

1

fx

y

2

2

fx

y

18

x1

x2

y

• Función:

• ¿Cómo encontramos su

máximo?

• Condiciones de Primer Orden

(CPO):

• Resolver un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas

para encontrar:

),( 21 xxfy

0),( 211 xxf

*

2

*

121 ,, argmax xxxxf

Maximización de


19

0),( 212 xxf

Maximización de


• Ejemplo:

• Condiciones de Primer Orden son:

• Obtener óptimos:

xzzxxy 148 22

0

x

y0

Z

y

20

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