Hasta el momento hemos analizado únicamente el trabajo realizado por fuerzasconstantes, en donde ni la magnitud ni la dirección de estas cambian comofunción del tiempo o como función de la posición.

En esta ocasión analizaremos el caso de una fuerza unidimensional que esvariable en magnitud y dirección como función de la posición. Esta fuerza estádescrita por la ley de Hooke y está asociada a sistemas elásticos, comúnmenteun resorte.

La ley de Hooke nos permite entender que conforme incrementa el estiramiento ola compresión de un resorte mayor debe de ser la fuerza aplicada.

Trabajo de fuerza elásticas

la compresión de un resorte mayor debe de ser la fuerza aplicada.

1

Definamos el estado relajado para un resorte cuando ningunafuerza lo perturba. Este estado estará asociado con r = 0 m.

Si una fuerza ocasiona el estiramiento de un resorte,entonces experimentará una deformación positiva Dr > 0 m.

Si una fuerza ocasiona la compresión de un resorte, entoncesexperimentará una deformación negativa Dr < 0 m.

�⃗�

�⃗�

Dr

Dr

Lo que la ley de Hooke expresa, matemáticamente, es la fuerza que surge en elresorte por efecto de la perturbación externa. Si aplicamos tercera ley de Newton,la fuerza que surge en el resorte como respuesta a la fuerza externa que ocasionasu deformación tendrá la misma magnitud que la fuerza aplicada pero será designo contrario.

Para diferenciar la fuerza aplicada sobre el resorte de la que surge en el resorte,es común colocar una s minúscula como subíndice en el vector fuerza, , parahacer referencia a la fuerza del resorte.

Dado lo anterior, la fuerza de un sistema elástico siguiendo la ley de Hooke se

�⃗�𝑠

Trabajo de fuerza elásticas

Dado lo anterior, la fuerza de un sistema elástico siguiendo la ley de Hooke seexpresa como:

El signo menos que aparece en la ecuación nos refiere a que la dirección de lafuerza del resorte siempre será contraria a la dirección de la deformación.

El término k es referido como constante del resorte o constante de restitución yes una medida de la fuerza necesaria para deformar el resorte cierta longitud.Dicha constante se mide dimensionalmente en [N/m]. 2

�⃗�𝑠 = −𝑘∆𝑟

�⃗� �⃗� �⃗�𝑠

�⃗�𝑠

Una vez que hemos descrito el comportamiento dinámico de las fuerzas elástica,podemos sustituir en la definición matemática del trabajo para determinar eltrabajo que realiza un resorte.

Como fue mencionado anteriormente, la fuerza del resorte siempre será contrariaa la deformación o, en otras palabras, al desplazamiento que este experimenta,así que al resolver el producto punto mediante el producto de las magnitudes deambos vectores y el coseno del ángulo que forman, el cual vale 180.0 grados,

Trabajo de fuerza elásticas

𝑊𝑠 = �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟𝑟

𝑟0

ambos vectores y el coseno del ángulo que forman, el cual vale 180.0 grados,tenemos:

Para conocer si la fuerza del resorte es una fuerza conservativa y así generar untérmino de energía potencial, realizaremos un análisis análogo al realizado parala fuerza peso.

3

𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟𝑟

𝑟0 … 𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟

𝑟0 … 𝑊𝑠 = ∫ 𝑘|𝑟||𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟

𝑟0

𝑊𝑠 = ∫ 𝑘|𝑟||𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠180.0𝑟

𝑟0 … 𝑊𝑠 = −𝑘 ∫ |𝑟||𝑑𝑟|

𝑟

𝑟0 … 𝑊𝑠 = −𝑘

|𝑟|2

2+ 𝑘

|𝑟0|2

2

Empecemos con la consideración de que el trabajo total en una trayectoriacerrada debe ser cero joule.

Con este fin, asumiremos que deformación se realizará en la dirección del ejecartesiano x así como que, inicialmente, el resorte se encuentra en un estadorelajado, r = 0 m, y que será elongado hasta llegar a r = x. En estas condicionesel trabajo que realiza la fuerza del resorte será:

Trabajo de fuerza elásticas

𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟𝑥

0 … 𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

0 … 𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

0

𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.0𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘

𝑥 2

2

Para que la trayectoria sea cerrada, ahora el resorte regresará del punto r = xhasta el punto r = 0 m, con lo que el trabajo será:

Si sumamos los dos trabajos realizados en la trayectoria cerrada veremos que eltrabajo total es cero joule. Ahora analicemos la segunda consideración, la cualmenciona que el trabajo debe ser el mismo independientemente de la trayectoriaseguida.

4

𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.0𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘

𝑥 2

2

𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟0

𝑥 … 𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

0

𝑥 … 𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

0

𝑥

𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.00

𝑥 … 𝑊𝑠 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

0

𝑥 … 𝑊𝑠 = 𝑘

𝑥 2

2

Como el resorte es un sistema que se mueve unidimensionalmente analizaremosel trabajo realizado en el eje cartesiano x en dos situaciones:

• En la primera el resorte inicia en su estado relajado, r = 0 m, y será deformadohasta que r = x.

• En la segunda el resorte inicia en su estado relajado, r = 0 m, y será deformadohasta que r = 2x y, posteriormente, se deformará de r = 2x hasta r = x.

Observe que sin importar la situación, el resorte empieza en r = 0 m y terminarádeformado con un valor de r = x.

Trabajo de fuerza elásticas

deformado con un valor de r = x.

Situación 1.

5

𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟𝑥

0 … 𝑊𝑠 = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

0 … 𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

0

𝑊𝑠 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.0𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥

0 … 𝑊𝑠 = −𝑘

𝑥 2

2

Situación 2. Deformación de r = 0 m hasta r = 2x.

Deformación de r = 2x hasta r = x.

Trabajo de fuerza elásticas

𝑊𝑠(𝐴) = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟2𝑥

0 … 𝑊𝑠(𝐴) = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

2𝑥

0 … 𝑊𝑠(𝐴) = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

2𝑥

0

𝑊𝑠(𝐴) = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.02𝑥

0 … 𝑊𝑠(𝐴) = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

2𝑥

0 … 𝑊𝑠(𝐴) = −𝑘

(2𝑥)2

2

𝑊𝑠(𝐵) = ∫ �⃗�𝑠⦁𝑑𝑟𝑥

2𝑥 … 𝑊𝑠(𝐵) = ∫ �⃗�𝑠 |𝑑𝑟|𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

2𝑥 … 𝑊𝑠(𝐵) = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑥

2𝑥

𝑊𝑠(𝐵) = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.0𝑥

2𝑥 … 𝑊𝑠(𝐵) = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥

2𝑥 … 𝑊𝑠(𝐵) = −𝑘

𝑥 2

2+ 𝑘

(2𝑥)2

2

Si realizamos la suma de los dos trabajo tenemos:

Este resultado coincide con el trabajo encontrado en la situación 1. Por lo tanto,dado que la fuerza de un resorte satisface las condiciones de fuerza conservativapodemos establecer una energía potencial elástica, Us = k /2, tal que el trabajoserá el menos cambio en la energía potencial elástica.

6

𝑊𝑠(𝐵) = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠180.0𝑥

2𝑥𝑊𝑠(𝐵) = −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥

2𝑥𝑊𝑠(𝐵) = −𝑘

𝑥

2+ 𝑘

(2𝑥)

2

𝑊𝑠(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ) = 𝑊𝑠(𝐴) + 𝑊𝑠(𝐵) … 𝑊𝑠(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ) = −𝑘(2𝑥)2

2− 𝑘

𝑥 2

2+ 𝑘

(2𝑥)2

2 … 𝑊𝑠(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ) = −𝑘

𝑥 2

2

𝑊𝑠 = −𝑘|𝑟|2

2+ 𝑘

|𝑟0|2

2 … 𝑊𝑠 = −𝑈𝑠 + 𝑈𝑠0

… 𝑊𝑠 = −∆𝑈𝑠

|𝑟|2

Retomando el teorema trabajo-energía cinética, W = DEK, podemos sustituir eltrabajo para poner la ecuación en términos del cambio en la energía potencialelástica y el cambio en la energía cinética.

Observa la semejanza con la expresión matemática de la ley de conservación deenergía mecánica encontrada en la presentación anterior, en la que la sumaquedaba en términos de la energía potencial gravitacional y la energía cinética.

Trabajo de fuerza elásticas

𝑊 = ∆𝐸𝑘 … 𝑊 = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0

𝑊 = ∆𝐸𝑘 = −∆𝑈𝑠

𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0= −(𝑈𝑠 − 𝑈𝑠0

) … 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0= −𝑈𝑠 + 𝑈𝑠0

… 𝐸𝑘 + 𝑈𝑠 = 𝐸𝑘0+ 𝑈𝑠0

quedaba en términos de la energía potencial gravitacional y la energía cinética.

De hecho, si retomamos que el trabajo, en el teorema trabajo-energía cinética, esel trabajo total que realizan todas las fuerzas que actúan sobre un objeto,podemos hacer una extensión en la que se considerará que las fuerzasconservativas peso y fuerza de resorte modifican la energía cinética de un objeto.

La suma de las contribuciones energéticas al inicio es igual a la suma de lascontribuciones energéticas al final.

7

𝑊 = ∆𝐸𝑘 … 𝑊 𝐹𝑠+ 𝑊|𝑤| = ∆𝐸𝑘 … −∆𝑈𝑠 − ∆𝑈𝑔 = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0

−(𝑈𝑠 − 𝑈𝑠0) − (𝑈𝑔 − 𝑈𝑔0

) = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘0 … 𝐸𝑘0

+ 𝑈𝑠0+ 𝑈𝑔0

= 𝐸𝑘 + 𝑈𝑠 + 𝑈𝑔

Para resolver cualquier situación con la ecuación anterior, sólo es requeridoestablecer dos puntos de estudio, uno al “inicio” y otro al “final”, para determinaren cada uno de ellos las diferentes contribuciones energéticas.

Ejercicio 1.

Un bloque de 3.0 kg es lanzado con rapidez de 3.0 m/s en dirección a un resorte,inicialmente en estado relajado, cuya constante de restitución 5.0 N/m. Si ladistancia del punto de lanzamiento al resorte es 2.0 m, determina la máximacompresión que experimenta el resorte por efecto del bloque en el caso de que elresorte sea horizontal y en el caso de que el resorte sea vertical.

Trabajo de fuerza elásticas

resorte sea horizontal y en el caso de que el resorte sea vertical.

Para resolver el ejercicio es requerido definir que la máxima compresión queexperimenta el resorte, por efecto del bloque, sucede cuando el bloque sedetiene.

Cuando el bloque llega al resorte y comienza a comprimirlo, el resorte aplicaráuna fuerza en dirección contraria a la deformación por lo que el bloque empezaráa disminuir su velocidad. Conforme más se comprime el resorte, mayor será lafuerza que aplica el resorte así que es de esperarse que el bloque se detenga.

Una vez que el bloque se detiene, la fuerza que aplica el resorte es máxima ycomenzará el proceso inverso, es decir, ahora el resorte empujará al bloque hastallegar al estado relajado. 8

• Primer caso. (Resorte horizontal)

Considerando el balance de energía:

Como el movimiento del bloque y la compresión delresorte sucede en la horizontal, podemos asumir que lostérminos asociado a la energía potencial gravitacional, alinicio y al final, son iguales pues el valor de y y y0 sonlos mismos.

Trabajo de fuerza elásticas

𝐸𝑘0+ 𝑈𝑠0

+ 𝑈𝑔0= 𝐸𝑘 + 𝑈𝑠 + 𝑈𝑔

�⃗�0

Dr

2.0 m

En el punto inicial, punto de lanzamiento, el bloque tiene una rapidez inicial así

9

En el punto inicial, punto de lanzamiento, el bloque tiene una rapidez inicial asíque podemos decir que existe energía cinética inicial. En el punto final, máximacompresión del resorte, la velocidad del bloque es cero. En este punto ya noexiste energía cinética pero como ya está comprimido el resorte, entonces, existeenergía potencial elástica asociada al sistema resorte-bloque.

De esta forma, el balance de energía es:

Sustituyendo los términos y despejando , tendremos la máxima compresióndel resorte por efecto del bloque:

𝐸𝑘0= 𝑈𝑠

𝐸𝑘0= 𝑈𝑠 … 𝑚

|𝑣0|2

2=

𝑘|∆𝑟|2

2 … |∆𝑟| =

𝑚 |𝑣0|2

𝑘=

(3.0)(3.0)2

(5.0)= 2.32 m

|∆𝑟|

• Segundo caso. (Resorte vertical)

Considerando el balance de energía:

En esta ocasión existe un cambio de posición en lavertical, por lo que debemos de colocar un punto dereferencia. Se elegirá y = 0 m en el punto de máximacompresión, por lo tanto Ug = 0 J.

Trabajo de fuerza elásticas

𝐸𝑘0+ 𝑈𝑠0

+ 𝑈𝑔0= 𝐸𝑘 + 𝑈𝑠 + 𝑈𝑔

�⃗�0

Dr

2.0 m

En el punto inicial, punto de lanzamiento, el bloque tiene una rapidez inicial así

10

En el punto inicial, punto de lanzamiento, el bloque tiene una rapidez inicial asíque podemos decir que existe energía cinética inicial además de una energíapotencial gravitacional inicial debido a nuestro punto de referencia. El valor paray0 corresponde a 2.0 m más lo que se comprima el resorte, y0 = 2.0 + .

En el punto final, máxima compresión, ya no se puede asociar energía cinéticapues el bloque está detenido. Ya no se puede establecer la existencia de untérmino de energía potencial gravitacional porque ahí esta nuestro punto dereferencia, y = 0 m. Sólo existirá energía potencial elástica.

De esta forma, el balance de energía es: 𝐸𝑘0+ 𝑈𝑔0

= 𝑈𝑠

|∆𝑟|

Trabajo de fuerza elásticasSustituyendo los términos obtendremos una ecuación cuadrática que seráresuelta para determinar la máxima compresión del resorte por efecto del bloque.

𝐸𝑘0+ 𝑈𝑔0

= 𝑈𝑠 … 𝑚|𝑣0|2

2+ 𝑚𝑔𝑦0 =

𝑘|∆𝑟|2

2 … (3.0)(3.0)2

2+ (3.0)(9.81)(2.0 + |∆𝑟|) =

(5.0)|∆𝑟|2

2

13.5 + 58.86 + 29.43|∆𝑟| = 2.5|∆𝑟|2 … 72.36 + 29.43|∆𝑟| − 2.5|∆𝑟|2 = 0

|∆𝑟|1 = 13.86 m |∆𝑟|2 = −2.09 m

11

Tomaremos como respuesta el valor positivo debido a que el objeto recorre en lavertical una distancia mayor a dos metros, recuerda que y0 = 2.0 + . Observaque si tomamos como respuesta el valor negativo, el bloque recorrería un valorde –0.9 m, lo cual carece de todo sentido.

|∆𝑟|1 = 13.86 |∆𝑟|2 = −2.09

|∆𝑟|

Ejercicio 2.

Un bloque de 2.0 kg se libera del reposo desde lo alto de una superficie que nopresenta fricción y que está inclinada 50.0 grados sobre la horizontal. El objetorecorre una distancia de 1.5 m y llega a un resorte, que tiene la mismainclinación que la superficie, cuya constante de restitución es 120.0 N/m.Determina la máxima compresión que experimenta el resorte por efecto delbloque.

Trabajo de fuerza elásticas

En esta ocasión existe un cambio de posición en la vertical, por loque debemos de colocar un punto de referencia. Se elegirá

En el punto inicial, el bloque se libera del reposo por lo tanto su rapidez es ceroy, con ello, su energía cinética inicial será cero joule pero al tener un valor de y0

asociado, una “altura inicial” con respecto a nuestro punto de referencia, existiráenergía potencial gravitacional.

En el punto final, máxima compresión, el bloque llega al valor de y de referenciaasí que ya no existirá energía potencial gravitacional pero el resorte ya estácomprimido por lo tanto existirá energía potencial elástica.

12

q

que debemos de colocar un punto de referencia. Se elegiráy = 0 m en el punto de máxima compresión, por lo tanto Ug = 0 J.

Dado el análisis anterior, el balance de energía será:

Ahora nos hace falta determinar el valor de y0, “altura inicial”, por lo querecurriremos a un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. En este caso lahipotenusa corresponde a los 1.5 m de distancia de separación entre el punto deliberación del bloque y el resorte más lo que se comprima el resorte; es decir, lahipotenusa es 1.5 + .

Trabajo de fuerza elásticas

𝑈𝑔0= 𝑈𝑠

|∆𝑟|

𝑈𝑔0= 𝑈𝑠 … 𝑚𝑔𝑦0 = 𝑘

∆|𝑟|2

2 … 𝑚𝑔[1.5 + ∆|𝑟|] = 𝑘

∆|𝑟|2

2

(2.0)(9.81)[1.5 + ∆|𝑟|] = (120.0)∆|𝑟|2

229.43 + 19.62∆|𝑟| = 60.0∆|𝑟|2

Por lo tanto, lo máximo que se comprime el resorte en esta ocasión es 0.88 m

13

𝑈𝑔0= 𝑈𝑠 𝑚𝑔𝑦0 = 𝑘

2𝑚𝑔[1.5 + ∆|𝑟|] = 𝑘

2

(2.0)(9.81)[1.5 + ∆|𝑟|] = (120.0)∆|𝑟|2

2 … 29.43 + 19.62∆|𝑟| = 60.0∆|𝑟|2

29.43 + 19.62∆|𝑟| − 60.0∆|𝑟|2 = 0

∆|𝑟|1 = 0.88 m ∆|𝑟|2 = −0.56 m

Una de las aplicaciones más utilizadas en lo que respecta a fuerzas elásticas, esque estas sirven para analizar la dinámica asociada con el movimientodenominado oscilador armónico simple que estudiamos en la clase 2.

Con este fin, recordemos las ecuaciones cinemáticas propias de este movimiento.

Trabajo de fuerza elásticas

q

y

x

�⃗�

R

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑣𝑥

= 𝑎 = −𝑅ω 2𝑐𝑜𝑠(𝜃 + ω 𝑡)

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑣𝑦

= 𝑎 = −𝑅ω 2𝑠𝑒𝑛(𝜃 + ω 𝑡)

El comportamiento descrito en el oscilador armónico simple para cada ejecartesiano puede compararse con la fuerza de un resorte ya que ambos sistemasson periódicos.

Analicemos, por ejemplo, la fenomenología que describe la trayectoria circular sisólo se observa el eje cartesiano x.

14

x

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡= 𝑎𝑥 = −𝑅ω0

2𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= 𝑎𝑦 = −𝑅ω0

2𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡)

Trabajo de fuerza elásticasy

x�⃗� R

y

x

�⃗�

R

y

x

�⃗�

R

A B C

A) Inicialmente el resorte se coloca en un valor r = R,siendo R el radio del círculo y se libera. La componente

15

x = R

x = 0 m

x = – R

siendo R el radio del círculo y se libera. La componentede la velocidad, vx, es cero.

B) Cuando el resorte pasa por el estado relajado se estámoviendo a la izquierda, por lo tanto, su valor en x = 0 my por la dirección del movimiento la componente de lavelocidad vx es negativa (viaja a la izquierda).

C) Pasado el estado relajado el resorte viaja hacia laizquierda comprimiéndose hasta llegar a un valornegativo, de igual cantidad que la perturbación inicial, esdecir, x = –R y ahí se detiene así que la componente de lavelocidad vx vuelve a ser cero.

A

B

C

Trabajo de fuerza elásticasy

x�⃗� R

y

x

�⃗�

R

D E F

D) Una vez que el resorte se ha comprimido lo máximo,x = –R y v = 0 m/s, iniciará su viaje a la derecha

y

x

�⃗�

R

16

x = R

x = 0 m

x = – R

x = –R y vx = 0 m/s, iniciará su viaje a la derechapasando por el estado relajado.

E) Cuando el resorte pasa por el estado relajado se estámoviendo a la derecha, por lo tanto, su valor en x = 0 m ypor la dirección del movimiento la componente de lavelocidad vx es positiva (viaja a la derecha).

C) Pasado el estado relajado el resorte viaja hacia laderecha elongándose hasta llegar nuevamente a x = R yahí se detiene así que la componente de la velocidad vx

vuelve a ser cero repitiéndose nuevamente el ciclo.

D

E

F

Como pudo observarse en las diapositivas anteriores, la fenomenología quedescribe un resorte puede entenderse con un oscilador armónico simple.

De hecho, cada una de las situaciones anteriores puede analizarse con lasecuaciones cinemáticas. Por ejemplo, tomemos el caso A y B.

Caso A. Aquí inicia el movimiento con q0 = 0 grados y el tiempo es cero segundos.Si sustituimos estos valores en las ecuaciones propias de la cinemática deloscilador armónico simple, tenemos que:

Trabajo de fuerza elásticas

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 𝑅 𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m/s 𝑎𝑥 = −𝑅ω02𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = −𝑅ω0

2

Debido a las condiciones establecidas, q0 = 0 grados y t = 0s, el argumento detodas las funciones es cero y, con ello, cos0 = 1 pero sen0 = 0, por lo tanto:

• El vector posición sólo tiene componente en el eje cartesiano x.• El vector velocidad sólo tiene componente vy y es positiva.• El vector aceleración sólo tiene componente ax y es negativa (apuntando alcentro del círculo).

17

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 𝑅 𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m/s 𝑎𝑥 = −𝑅ω02𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = −𝑅ω0

2

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 𝑅ω0 𝑎𝑦 = −𝑅ω02𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m/s2

Para analizar el caso B, podemos asumir que dada la ausencia de aceleraciónangular, pues estamos en un movimiento armónico simple, la velocidad angularserá constante y tendrá valor de w0 = 2p/t. De esta forma, el caso B se consideraa un cuarto de la trayectoria, es decir, t = 2p/4w0 = p/2w0.

Debido a las condiciones establecidas, q0 = 0 grados y t = p/2w0, el argumento de

Trabajo de fuerza elásticas

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 𝑚 𝑣𝑥 = −𝑅ω0𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = −𝑅ω0 𝑎𝑥 = −𝑅ω02𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m/s2

𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = 𝑅 𝑣𝑦 = 𝑅ω0𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) = 0 m/s 𝑎𝑦 = −𝑅ω02𝑠𝑒𝑛(𝜃0 + ω0𝑡) = −𝑅ω0

2

Debido a las condiciones establecidas, q0 = 0 grados y t = p/2w0, el argumento detodas las funciones es p/2 y, con ello, cos p/2 = 0 pero sen p/2 = 1, por lo tanto:

• El vector posición sólo tiene componente en el eje cartesiano y.• El vector velocidad sólo tiene componente vx y es negativa.• El vector aceleración sólo tiene componente ay y es negativa (apuntando alcentro del círculo).

Corroborado que las ecuaciones de cinemática del movimiento armónico simplecumplen para un resorte, podemos expresar la fuerza del resorte y la energíapotencial elástica en términos de las variables cinemática del movimientoarmónico simple.

18

Recordemos que la ley de Hooke para la fuerza elástica en el caso de unadimensión, en nuestro caso el eje cartesiano x, es:

Pero el cambio en el eje cartesiano x puede expresarse en término de lasvariables cinemática del movimiento armónico simple como:

Sustituyendo esta expresión en la ley de Hooke tenemos que:

Trabajo de fuerza elásticas

𝐹𝑥 = −𝑘∆𝑥

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

Si ahora asumimos que la fuerza elástica sigue la segunda ley de Newton endonde la aceleración del movimiento armónico simple es ax = –Rw0

2cos(q0 + w0t),llegamos a:

La constante de restitución del resorte ahora queda en términos de la velocidadangular y la masa asociada con el objeto.

19

𝐹𝑥 = −𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝐹𝑥 = −𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) … 𝑚𝑎𝑥 = −𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)

𝑚[−𝑅ω02𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡)] = −𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃0 + ω0𝑡) … 𝑚ω0

2 = 𝑘

Retomemos el término de energía potencial elástica considerando que nuestromovimiento únicamente está en el eje cartesiano x:

Para poder evaluar en esta expresión es necesario tomar un punto, por ejemploel del caso A, en donde el vector posición sólo tiene componente en el ejecartesiano x, x = R, que al sustituir será:

Es de esperarse que sin importar el punto de análisis la energía se conserve así

Trabajo de fuerza elásticas

𝑈 = 𝑘𝑥2

2

𝑈 = 𝑘𝑅2

2

Es de esperarse que sin importar el punto de análisis la energía se conserve asíque estudiemos ahora el caso B (estado relajado). En este punto el valor de lacoordenada cartesiana x es cero pero el sistema adquiere su mayor rapidez enesta dirección, vx = –Rw0, así que ahora tenemos energía cinética:

Pero en el análisis de la fuerza elástica, encontramos que la constante derestitución puede escribirse como k = mw0

2, así que:

La energía se mantiene constante para cualquier punto del movimiento delresorte.

20

𝐸𝑘 = 𝑚𝑣𝑥

2

2= 𝑚

(−𝑅𝜔0)2

2= 𝑚

𝑅2𝜔02

2

𝐸𝑘 = 𝑚𝑅2𝜔0

2

2 … 𝐸𝑘 = 𝑚𝜔0

2 𝑅2

2 … 𝐸𝑘 = 𝑘

𝑅2

2

Ejercicios para resolver.

1) Un bloque de 500.0 gramos se lanza verticalmente hacia abajo con rapidez de10.0 m/s. Si a un metro por debajo del punto de lanzamiento existe un resortevertical (k = 100.0 N/m), determinar el valor máximo de compresión queexperimenta el resorte por efecto del bloque.

2) Un objeto de 2.0 kg se lanza horizontalmente con rapidez de 1.5 m/s, endirección a un resorte horizontal de constante k = 30.0 N/m. Determina laenergía cinética de objeto cuando ha comprimido 1.0 cm al resorte.

3) Un bloque de 3.0 kg comprime 0.22 m a un resorte horizontal, k = 400.0 N/m.Al soltar el sistema, el bloque se desplaza por una superficie sin fricción queprimero es horizontal y después se vuelve inclinada sobre la horizontal.Determina la altura máxima que alcanza el bloque sobre la superficie inclinada.

4) Un resorte horizontal cuya constante de restitución es k, sufre una compresiónde longitud R y se libera del reposo. Determina el valor de la energía cinética yla energía potencial elástica cuando al resorte le hace falta desplazarse 0.2Rpara alcanzar el estado relajado. Expresa tu resultado en términos de R y laconstante k.

21