Clase 14

CLASE 14: ORTOGONALIDAD DE LOS AUTOVECTORES, MASA Y RIGIDEZ GENERALIZADA ASOCIADA A CADA

MODO DE VIBRAR, FORMA COMPACTA DEL PROBLEMA DE AUTOVECTOR Y AUTOVALOR

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medellín: Octubre – 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medellín Departamento de Ingeniería CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

ORTOGONALIDAD DE LOS AUTOVECTORES

PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS AUTOVECTORES

Anteriormente se vio la importancia delcálculo de los modos y de lasfrecuencias naturales de la estructura.

A partir de ellos es posible calcular larespuesta dinámica de un sistemaestructural sometido a la acción deuna carga externa mediante el métodode la superposición modal.

Para ejecutar esta tarea, una importante propiedad de losAutovectores estará presente:PROPIEDAD DEORTOGONALIDAD

Ya se hablo que cuando las masas de un sistema estructural oscilan de tal manera quealcanzan sus desplazamientos máximos simultáneamente y pasan por sus posiciones deequilibrio simultáneamente, o cuando todas las partes del sistema oscilan en fase con unamisma frecuencia, se llega a un estado de movimiento llamado deModo Normal deVibración o Modo Principal de Vibración , representados por los respectivosAutovectores.


Los modos principales de vibración de sistemas con dos o más grados de libertad sonortogonales. Este hecho se fundamenta en la propiedad de ortogonalidad que se pasará aformular.

Para introducir y tener una visión física mas apurada de esta propiedad, se utilizará elsiguiente ejemplo :

La Figura 1 representa un vector definido en el espacio tridimensional. Este puede serexpresado desde el punto de vista matemático a partir de los vectores unitarios de base quecaracterizan ese espacio, así:

Vr

Figura 1. Base constituida por tres vectores ortogonales

*Modificado de Alves Filho, 2005


Para este caso particular (1)10 5 4i j k= + += + += + += + +Vrr r r

En esa suma de vectores, participancomo parcelas los vectores unitarios dela base triortogonali, j y k.

Cada uno de ellos tiene unaparticipación diferente en la suma de losvectores (cada uno tiene unaimportancia diferente en la suma).

Los coeficientes de importancia representan los factores de participación de cada vector dela base en el calculo del vector .V

r

En el caso general del vector representar una función del tiempo, los vectores basecontinuaran siendo los mismos, pero los factores de participación serán variables, demanera que a cada instante podrá definirse el valor instantáneo del vector .

Vr

Vr


Importante: Los vectores de base delejemplo son ortogonales entre si.

Es imposible expresar cualquiera deellos en función de los otros dos.

De esta manera, por ejemplo, el vectori de la base no puede ser expresado por cualquiercombinación lineal dej y k.

Desde el punto de vista matemático, la condición de ortogonalidad entre vectores puede serexpresada mediante el producto punto de vectores.

Considérese dos vectoresu y v no nulos. Elproducto punto de esos dos vectores estarádado por:

(2) cosu v u v θr r r r⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅

Se tendrá que: 0u vr r⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = u y v son ortogonales (cosθ = 0)


Esto es lo que ocurre con los vectores de la base, así:

0

0

0

i j

i k

j k

r r

rr

rr

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

La hipótesis de lasuperposiciónmodal muestra

Configuración deformadade la estructura bajo laacción de cargas externas

Se obtiene, para cualquierinstante de tiempo, sumandolas configuraciones de cadamodo de vibrar

Esta suma de configuraciones es, en resumen, una combinación lineal de los modosnaturales de vibración del sistema estructural que se pretende analizar.Recordando que cadamodo es afectado por un factor de participación de aquel modo en la respuesta, loqueindica su grado de importancia.

Se puede considerar así, que los autovectores que representan cada modo de vibrar sonlosvectores de una base, a semejanza de los vectoresi, j y k.


En conclusión:El vector que define, en un dado instante, la respuesta dinámica, esta dadopor la suma de los autovectores de la base. En el caso de las vibraciones, el espacio no estridimensional, sinon-dimensional, donden es el número de modos de vibrar y,consecuentemente, de autovectores.

De la misma forma en que los vectoresi, j y k son ortogonales entre si, losmodos naturales de vibración tambiénlo son.

Es imposible expresar uno de losmodos de vibrar como unacombinación lineal de los otros.

Por ejemplo, el 5° modo de vibrar de la estructura no puede ser expresado por la suma delos otros modos de vibrar. No obstante, la configuración deformada de la estructura encualquier instante puede ser representada por la suma de los modos naturales.

La cuestión ahora es como descubrir cual es el factor de participación de cada modoen la respuesta???


Cuando son necesariasn coordenadasindependientes para definir lasposiciones de las masas de un sistemaden grados de libertad

Vale la propiedad de ortogonalidad delos autovectores en relación a lasmatrices de masa y rigidez

Así, para dos modos de vibrar diferentesi y j, se obtiene:

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

0

0

1 1

T

j i

T

j i

K Escalar

M Escalar

xn nxn nx

φ φ

φ φ

⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←

⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←⋅ ⋅ = ←

↑ ↑ ↑↑ ↑ ↑↑ ↑ ↑↑ ↑ ↑

Se verá, entonces, el siguiente ejemplo que permite observar mejor la propiedad deortogonalidad de los autovectores.


Ejemplo

Supóngase un pórtico de 3 grados de libertad idealizado de acuerdo al esquema mostrado enla Figura 2. Determínense las frecuencias, los modos de vibración de la estructura yverifíquese la propiedad de ortogonalidad en relación a las matrices de masa y rigidez.

Figura 2. Estructura idealizada

m 2m m

K K

Solución

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] a bk k k k

k kk k k k

− −− −− −− − = == == == = − −− −− −− −

BA

A

B

CB

B

C

[[[[ ]]]]0

2

0

k k

K k k k

k k

−−−− = − −= − −= − −= − − −−−−

BA CA

B

C

[[[[ ]]]]1 1 0

1 2 1

0 1 1

K k

−−−− = − −= − −= − −= − − −−−−


[[[[ ]]]]0 0

0 2 0

0 0

m

M m

m

====

BA CA

B

C

[[[[ ]]]]1 0 0

0 2 0

0 0 1

M m

====

La ecuación de frecuencia del sistema permite determinar los autovalores. Se sabe que acada autovalorλi corresponde un modo de vibrar de la estructura, que está asociado a unperfil correspondiente a ese modo. Así, escribiendo la ecuación de frecuencia seobtiene:

(((( )))) 0iDet λ− =− =− =− =K M (((( ))))iλ− =− =− =− =K M1 1 0

1 2 1

0 1 1

k

−−−− − −− −− −− − −−−−

1 0 0

0 2 0

0 0 1imλ −−−−

Igualando la ultima ecuación matricial a cero, y además suponiendo que , setendrá:

*i i

m

kλ λ====


1 1 0

1 2 1

0 1 1

−−−− − −− −− −− − −−−−

*

1 0 0

0 2 0 0

0 0 1iλ − =− =− =− =

(((( ))))iλ− =− =− =− =K M

*

*

*

1 1 0

1 2 2 1 0

0 1 1

i

i

i

λλ

λ

− −− −− −− − − − − =− − − =− − − =− − − = − −− −− −− −

(((( ))))iλ− =− =− =− =K M

(((( )))) (((( )))) (((( ))))3* *2 1 2 1 0i i iDET λ λ λ− = − − − =− = − − − =− = − − − =− = − − − =K M (((( )))) (((( ))))(((( ))))2* *2 1 1 1 0i iλ λ− − − =− − − =− − − =− − − =

(((( ))))*2 1 0iλ− =− =− =− =

(((( ))))2*1 1 0iλ− − =− − =− − =− − =

* 1iλ ====

* *0, 2i iλ λ= == == == =


De esta forma: 1 2 30, , 2k k

m mλ λ λ= = == = == = == = =

1 2 30, , 2k k

m mω ω ω= = == = == = == = =

Ahora se pueden determinar los modos de vibrar del sistema estructural, procediendo conesto se obtiene:

(((( )))) 0iλ φ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =iK M

*1

*2

*3

1 1 0

1 2 2 1 0

0 1 1

i i

i i

i i

λ φλ φ

λ φ

− −− −− −− − − − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ = − −− −− −− −

No hay movimiento relativo entre losnodos. Todos los nodos sufren el mismodesplazamiento.


Realizando el anterior producto matricial se llega al siguiente sistema de tres ecuaciones ytres incógnitas:

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

*1 2

*1 2 3

*2 3

1 0

2 2 0

1 0

i i i

i i i i

i i i

λ φ φ

φ λ φ φ

φ λ φ

− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =

− + − ⋅ − =− + − ⋅ − =− + − ⋅ − =− + − ⋅ − =

− + − ⋅ =− + − ⋅ =− + − ⋅ =− + − ⋅ =

Escogiendo arbitrariamente algúnфij, por ejemplo,ф1i =1, entonces se encontrará que:

11

21

31

1

1

1

φφφ

====

12

22

32

1

0

1

φφφ

==== −−−−

13

23

33

1

1

1

φφφ

= −= −= −= −


Es común presentar todos los autovectores de forma compacta en una sola matriz,representando así todos los modos de vibrar de la estructura de una sola vez. Tal matriz esuna macro matriz que contiene todos los autovectores y se le denomina deMatriz deAutovectores.

[[[[ ]]]] {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}1 2 3 φ φ φΦ ==== [[[[ ]]]]1 1 1

1 0 1

1 1 1

Φ = −= −= −= − −−−−

1°modo 3°modo2°modo

Ahora se comprobará la propiedad de ortogonalidad en relación a las matrices demasa yrigidez, recordando que:

Para i j≠≠≠≠ {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} 0T

i jKφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} 0T

i jMφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =


Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}1 2 0T

Kφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 1 0 1

1 1 1 1 2 1 0

0 1 1 1

k

−−−− ⋅ − − ⋅⋅ − − ⋅⋅ − − ⋅⋅ − − ⋅ − −− −− −− −

[[[[ ]]]]1

1 1 1 0 0

1

k

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = −−−−

Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}1 3 0T

Kφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 1 0 1

1 1 1 1 2 1 1

0 1 1 1

k

−−−− ⋅ − − ⋅ −⋅ − − ⋅ −⋅ − − ⋅ −⋅ − − ⋅ − −−−−

[[[[ ]]]]2

1 1 1 4 0

2

k

⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − =


Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 3 0T

Kφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 1 0 1

1 0 1 1 2 1 1

0 1 1 1

k

−−−− − ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − − ⋅ − −−−−

[[[[ ]]]]2

1 0 1 4 0

2

k

− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =

Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}1 2 0T

Mφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 0 0 1

1 1 1 0 2 0 0

0 0 1 1

m

⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ −−−−

[[[[ ]]]]1

1 1 1 0 0

1

m

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = −−−−


Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}1 3 0T

Mφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 0 0 1

1 1 1 0 2 0 1

0 0 1 1

k

⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −

[[[[ ]]]]1

1 1 1 2 0

1

m

⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − =

Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 3 0T

Mφ φ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

[[[[ ]]]]1 0 0 1

1 0 1 0 2 0 1

0 0 1 1

m

− ⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅ −

[[[[ ]]]]1

1 0 1 2 0

1

m

− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =

MASA Y RIGIDEZ GENERALIZADA ASOCIADA A CADA MODO DE VIBRAR

Por tanto está verificada la propiedad de ortogonalidad. A manera de ejercicio, sesugiere

verificar los casos faltantes{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}(((( {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} ))))2 1 3 10, 0, etc.TT

K Kφ φ φ φ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =


Se hizo una importante analogía entre los autovectores de un sistema estructural y losvectores unitariosi, j y k del espacio tridimensional, que son ortogonales entre si yconstituyen una base.

Como ya se comprobó, efectuandoel producto escalar uno a uno deesos vectores de base el resultado escero.

No obstante, si se efectúa elproducto escalar de uno de esosvectores por si mismo, el productono será nulo.

cos0 1 1 1 1ixi i i x x= ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅ = =r r r r


Surge una pregunta:Cual es el significado físico de ?{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}(((( {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}))))

T T

i i i iK y Mφ φ φ φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Se calculará del ejemplo anterior , de esta manera se obtiene:{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}(((( {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}))))2 2 2 2 T T

K y Mφ φ φ φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 2

TKφ φ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

[[[[ ]]]]1 1 0 1

1 0 1 1 2 1 0

0 1 1 1

k

−−−− − ⋅ − − ⋅− ⋅ − − ⋅− ⋅ − − ⋅− ⋅ − − ⋅ − −− −− −− −

[[[[ ]]]]1

1 0 1 0 2

1

k k

− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ = −−−−


Verificando {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 2

TMφ φ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

[[[[ ]]]]1 0 0 1

1 0 1 0 2 0 0

0 0 1 1

m

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ −−−−

[[[[ ]]]]1

1 0 1 0 2

1

m m

− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ = −−−−

Resultados obtenidos:

* El producto da como resultado un termino de rigidez 2k{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 2

TKφ φ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

* El producto da como resultado un termino de inercia 2m{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}2 2

TMφ φ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

Vale la pena recordar que: Rigidez

Masaω ====


Si se imaginara un sistema estructuralcompuesto por un resorte y una masa deun grado de libertad que tuviesenprecisamente esa masa y esa rigidez.

Es posible observar que alsegundo modo de vibrar se le estaasociando una rigidez 2k y unamasa 2m.

2

2

k k

m mω = →= →= →= →

Este valor es la misma frecuencia delsegundo modo de vibrar del ejemploanteriormente desarrollado !!!!

Esto permite concluir que, aunque el sistema posea VGL, los productos efectuadospermiten calcular una masa y una rigidez que representan aquel modo de vibrar porintermedio de un SDUGL.

Por intermedio de ese sistema es posible calcular la frecuencia natural del modocorrespondiente.


La masa calculada de esa forma para el modo de vibrar objeto de estudio es denominadadeMasa Generalizadaasociada al modo de vibrar particular. Ya la rigidez es llamada deRigidez Generalizada.

Resumiendo:

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

2 2 2

2 2 2

T

T

K k

M m

φ φ

φ φ

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

22

2

k

mω ====

Ejercicio propuesto

Calcular la frecuencia natural del tercer modo de vibración del ejemplo trabajado en clase,utilizando la masa y rigidez generalizada del modo correspondiente.

FORMA COMPACTA DEL PROBLEMA DE AUTOVECTOR Y AUTOVAL OR

La representación de un sistema masa-resorte asociado a cada modo de vibrar de laestructura, mediante los conceptos de masa y rigidez generalizada, desempeñara un papelfundamental en el calculo de la respuesta dinámica.

Es por medio de ese sistema auxiliar que sedefinirá el factor de participación de cadamodo de vibrar en la respuesta dinámica.

La solución de SDUGL ya es conocida

Cuando se construye para cada modo de vibrar de un SVGL un sistema auxiliar de ungrado de libertad que lo representa por medio de la masa y rigidez generalizada,lascoordenadas del sistema auxiliar no tienen identificación con las coordenadas físicasasociadas a los diversos grados de libertad.


Coordenadas generalizadas o normalesCoordenadas de la masa (yi) (VerFigura 1).


A partir de las discusiones anteriores, se puede observar que un sistema conn grados delibertad, todos ellos dotados de masa, presentarán masas generalizadas yn rigidecesgeneralizadas para todo el sistema.

Así:{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}

T

i i i

T

i i i

k K

m M

φ φ

φ φ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

Rigidez generalizada para modoi

Masa generalizada para modoi

(3)

(4)

Figura 1. Estructura real y un modo genérico cualquiera de vibración de ella

*Modificado de Alves Filho, 2005


La mejor forma de almacenar esasinformaciones (especialmente parapropósitos computacionales).

Así:

Contienen términos apenas en lasdiagonales principales (Son conocidascomo matrices diagonales)

Matrices

[[[[ ]]]]

1

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

nxn

n

m

m

m

m

====

O

O

[[[[ ]]]]

1

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

nxn

n

k

k

k

k

====

O

O

Matriz diagonal de masas generalizadas Matriz diagonal de rigideces generalizadas


Los Autovalores también pueden ser representados por una matriz diagonal, además se tienela representación de la matriz de Autovectores:

[[[[ ]]]]

1

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

nxn

n

λλ

λ

Λ

====

O

O

[[[[ ]]]] 1 2 3 nnxnφ φ φ φΦ ==== L L L

Las ecuaciones (3) y (4) son aplicadas para losn modos de vibrar de la estructura. En vez depresentar esas ecuaciones de forma separada, es posible escribirlas simultáneamente deforma compacta, esto es:

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}Tk KΦ Φ= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ (5)

(6){{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}Tm MΦ Φ= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅


Por ejemplo, del ejercicio desarrollado en la clase anterior:

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}Tm MΦ Φ= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

1 1 0

* 1 2 1

0 1 1

k

−−−− − −− −− −− −

−−−−

1 1 1

1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

4 0 0

0 2 0

0 0 4

m m

====

1 1 1

* 1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

1 1 1

1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

1 1 1

* 2 0 2

1 1 1

m

−−−−

−−−−

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}Tk KΦ Φ= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

1 0 0

* 0 2 0

0 0 1

m

1 1 1

1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

0 0 0

0 2 0

0 0 8

k k

====

1 1 1

* 1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

1 1 1

1 0 1

1 1 1

−−−−

−−−−

0 1 2

* 0 0 4

0 1 2

k

−−−−

−−−−


Las ecuaciones (5) y (6) pueden ser entendidas de la siguiente manera:

Como se sabe, todos los términos delas matrices de masa y rigidezgeneralizada fuera de la diagonalprincipal son nulos.

Los términos resultantes de (5) y (6), conexcepción de los términos de lasdiagonales principales, serán nulos(Propiedad de Ortogonalidad).

De esta forma, las ecuaciones (5) y (6) generarán, simultáneamente, todas las masas yrigideces generalizadas expresadas en las ecuaciones (3) y (4).

Forma compacta del problema de Autovalor

Como ya había sido discutido anteriormente, cada autovalor y autovectori de un sistemadebe satisfacer la ecuación (7):

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( )))) {{{{ }}}} {{{{ }}}}0iλ φ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =iK M (7)


Lo que se pretende es expresar todos los problemas de autovalores y autovectores de unsistema en una sola ecuación, esto es, en la forma compacta. Para lograr esto, se manipularámatemáticamente la ecuación (7) para obtener:

[[[[ ]]]] {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} iφ φ λ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅i iK M (8)

De esta manera, es posible montar la ecuación que define los problemas de autovalores yautovectores para todo el sistema, englobando de esta forma todos los modos de vibrar y loscorrespondientes autovalores. Así, en la forma compacta se puede escribir:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]Φ Φ Λ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅K M (9)

Si se multiplican los miembros de la ecuación (9) por , se tendrá:[[[[ ]]]]TΦ


[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]T TΦ Φ Φ Φ Λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅K M (10)

Utilizando las ecuaciones (5) y (6) en (10) es posible obtener la expresión (11):

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]k m Λ= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ (11)

La ecuación matricial (11) representa la relación entre tres matrices diagonales, las cualescontienen los términoski, mi, λi. De esta ecuación es posible extraer las relaciones entreki,mi, λi para cada modo de vibrar. Así, para un modoi de vibrar, se puede escribir:

i i ik m λ= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ (12)

A partir de la expresión (12) se puedeobtener el respectivo autovalor.

2 ii i

i

k

mλ ω= == == == = (13)

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