Clase 16 Onda Cinemática Dif Num

Universidad Nacional Agraria La Molina

Departamento de Recursos Hdricos

Curso: Hidrulica Computacional

Dr. Eduardo A. Chvarri Velarde

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1

Clase 16

Diferenciacin numrica. Caso: Flujo transitorio en canales y ros mediante onda

cinemtica.

1. Introduccin

Las principales ecuaciones hidrodinmicas utilizadas para modelar el flujo superficial son

atribuidas a Barre de Saint-Venant que en el ao 1871 publica el articulo 'Theorie du

Mouvement Non-permanent des Eaux avec Application aux Crues des Rivieres et l'

Introduction des Vares dans leur Lit'. Dichas ecuaciones son conocidas como las

ecuaciones de continuidad y la ecuacin de cantidad de movimiento.

a. La ecuacin de continuidad, se obtiene aplicando el principio de conservacin de

la masa, sobre un volumen de control. El principio indica que la entrada neta de masa por

unidad de tiempo debe ser igual al cambio de almacenamiento dentro de dicho volumen de

control.

Segn Ven Te Chow (1994), la ecuacin de continuidad para flujo no permanente puede

establecerse considerando la conservacin de masa en un espacio infinitesimal entre dos

secciones de canal (Figura 1).

Figura 1 Continuidad del flujo no permanente





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2

En flujo no permanente el caudal cambia con la distancia a una tasa x

Q

y la profundidad

de agua cambia con el tiempo a una tasa de t

y

. El cambio del caudal a travs del espacio

en el tiempo dt es x

Q

dx dt y el cambio en el almacenamiento dentro del canal en el

espacio es w dx (t

y

)dt = dx(

t

A

)dt.

Debido a que el agua es incompresible, el cambio neto en el caudal ms el cambio en el

almacenamiento debera ser cero, es decir:

0)()()(

dt

t

Adxdxdt

x

Qdt

t

ywdxdxdt

x

Q

Al simplificar:

0)(

t

yw

x

Q

01

x

Q

wt

y

(Ecuacin 1)

Considerando un gasto lateral de aportacin o extraccin q, la forma de la ecuacin de

continuidad unidimensional y conservativa es:

xw

q

x

Q

wt

y

1

(Ecuacin 2)

Donde y es la profundidad de agua [L], Q es la cantidad de flujo [L3T

-1], q es el flujo lateral

[L3T

-1], w es el ancho del espejo de agua del cauce [L], x es longitud [L], y t es el tiempo

[T].

b. La Ecuacin de Momento, Se obtiene aplicando la Segunda Ley del Movimiento

de Newton y expresa el principio de conservacin de la cantidad de movimiento a un

volumen de control, el cual establece que la entrada neta de cantidad de movimiento al

volumen por unidad de tiempo, ms la suma de fuerzas externas actuando sobre l, debe ser

igual a la acumulacin de cantidad de movimiento dentro de dicho volumen.





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3

Forma conservativa:

A

QqSSAg

x

yAg

A

Q

xt

Qfo

2

(Ecuacin 3)

aceleracin aceleracin fuerza de diferencia entre aceleracin

local convectiva presin fuerza gravitac. del flujo

y de friccin lateral

donde:

g : Aceleracin gravitacional [ L T-2

]

So : Pendiente de fondo [adimensional]

Y : Tirante del flujo [L]

Sf : Pendiente de friccin o gradiente hidrulico

Las ecuaciones de Saint-Venant, constituyen el enfoque ms completo para representar el

flujo superficial, sin embargo por su naturaleza matemtica, resulta frecuentemente no

manejable, excepto para condiciones particulares. Asimismo la resolucin simultnea de las

ecuaciones hidrodinmicas de continuidad (Ecuacin 1) y cantidad de movimiento

(Ecuacin 2), considerando todos los trminos de aceleracin y de presin, se realiza

mediante la aplicacin de un modelo de onda dinmica. Segn Weinmann (1979), su

resolucin no garantiza exactitud en la modelacin debido a que las ecuaciones de Saint-

Venant estn sujetas a los siguientes supuestos.

El flujo es unidimensional, la profundidad y la velocidad varan solamente en la

direccin longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad del agua es constante

y que la superficie del agua es horizontal en cualquier seccin transversal

perpendicular al eje longitudinal del canal.

Se supone que el flujo vara gradualmente a lo largo del canal, de tal manera que la

presin hidrosttica prevalece y las aceleraciones verticales pueden despreciarse.

El eje longitudinal del canal es aproximadamente una lnea recta.

La pendiente del fondo del canal es pequea y el lecho es fijo, es decir, los efectos

de socavacin y deposicin son despreciables.

MIRHNota adhesivaWeinmann: Plantea el modelo cero inercia (modelo efusivo), entre onda cinematica y el modelo dinamico.





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4

Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento son

aplicables de tal forma que relaciones tales como la ecuacin de Manning pueden

utilizarse para describir los efectos de resistencia.

El fluido es incompresible y de densidad constante a lo largo del flujo.

Como fue expuesto anteriormente, debido a las dificultades que se presenta en la resolucin

simultnea de las ecuaciones hidrodinmicas completas, surgen modelos alternativos que

utilizan las ecuaciones hidrodinmicas de manera simplificadas y consisten en resolver la

ecuacin de continuidad y una forma simple o abreviada de la ecuacin dinmica de

cantidad de movimiento, la cual se simplifica considerando algunas hiptesis justificadas

por ciertas condiciones de flujo. Las ecuaciones hidrodinmicas simplificadas son la

ecuacin de la onda difusiva y la ecuacin de la onda cinemtica.

2. Ecuaciones hidrodinmicas simplificadas

La resolucin simultnea de las ecuaciones hidrodinmicas de continuidad y momento,

considerando todos los trminos de aceleracin y de presin, se realiza mediante la

aplicacin de un modelo de onda dinmica. Segn Weinmann (1979), su resolucin no

garantiza exactitud en la modelacin debido a que las ecuaciones de DeSaint-Venant estn

sujetas a supuestos. (Ven Te Chow, Hidrologa Aplicada, pg.282).

Por tanto surgen ecuaciones hidrodinmicas simplificadas que consisten en resolver la

ecuacin de continuidad y una forma simple o abreviada de la ecuacin dinmica de

momento, la cual se simplifica considerando algunas hiptesis justificadas por ciertas

condiciones de flujo.

a. Ecuacin de la Onda Cinemtica

Es el tipo de modelo ms simple y fue introducido por Lighthill y Whitham (1955), en el

articulo 'On kinematic waves. I: Flood movement in long rivers', Proc.Royal Society,

Londres, Inglaterra.

Se aplica en aquellos flujos en los cuales la componente de peso debido a la fuerza de

gravedad y la fuerza de friccin se encuentran balanceadas de manera que el flujo no se





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5

acelera apreciablemente. Estas fuerzas son mucho mayores que las fuerzas inerciales y de

presin, por lo tanto:

fssx

y

0

(Ecuacin 4)

Esta ecuacin establece la igualdad entre el componente de peso y la resistencia hidrulica.

Si adems se considera la ecuacin de Manning para obtener una relacin simple entre el

caudal y la profundidad:

5/3 y

;;1

0

2/1

0

2/13/53/2

2/1

2/13/2

ssi

syyy

sq

anchodeunidadporyRAsRQ

3/5

0 yq (Ecuacin 5)

A partir de la ecuacin de continuidad qx

Q

t

A

y adems considerando la Ley de Seddon (Chow, 1994), se tiene:

cdQ

dA

Q

A 1

,t

Q

Q

A

t

A

Se obtiene la ecuacin de onda cinemtica: 0

cq

x

Qc

t

Q

(Ecuacin 6)

Donde la velocidad de la onda cinemtica o celeridad 'c' se puede calcular como: c = k' v

Segn Ponce V.M. et al. (1997), se puede demostrar que k' toma el valor de 5/3 si se utiliza

la ecuacin de Manning y 3/2 si se utiliza la ecuacin de Chezy.

Los modelos de onda cinemtica se propagan solamente en la direccin aguas abajo. Son

apropiados para ser usados como componente de modelos hidrolgicos de cuencas,

MIRHNota adhesivaceleridad: velcidad en el pelo de agua.velocidad: velocidad media del fluj





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6

especialmente para transitar el escurrimiento superficial en planos (overland flow). No se

recomienda para realizar el trnsito del flujo en canales o ros a menos que el hidrograma

tenga una muy suave rama ascendente, la pendiente del canal sea de moderada a fuerte y la

atenuacin del hidrograma sea muy pequea.

Programacin del modelo de Onda Cinemtica

Utilizando el mtodo de Preissmann para ambos miembros de la ecuacin de continuidad.

t

QQ

t

QQ

t

Qj

ij

ij

ij

i

1

11

1

)1(

x

QQ

x

QQ

x

Qj

ij

ij

ij

i

111

1 )1(

Reordenado la ecuacin e igualando a cero:

0)()()1

()1(1

11

1

x

c

x

c

tQ

x

c

tQc

x

c

ttQ

x

c

tQ

ji

ji

ji

ji

a b c d

El residuo ser:

)()()()( 111

1 dQcQbQaQrj

ij

ij

ij

i

Procedimiento Newton Raphson

11

1,11

,11

ji

kji

kji QQQ

Donde k: Iteracin

y

11

11

ji

ji

Q

r

rQ

Donde:

aQ

rj

i

11

MIRHNota adhesivacondicion incial: caudales en todo el perifl.cond. de frontera: hidrograma de entrada.incognitas: caudales en cada punto y caudal de salida.





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7

Programa en Matlab: Onda_cinematica_newton_raphson.m

clear;close all;clc % Curso Hidrulica Computacional % Trnsito hidrulico mediante onda cinemtica % Eduardo Chvarri V. % Feb-2013 % Datos: n_nodos=50; teta=0.5; % Factor ponderacin temporal fi=0.7; % Factor ponderacin espacial % vel=1.19 Descenso de caudales en el tiempo y espacio % vel=1.21 Ascenso de caudales en el tiempo y espacio vel=1.19; % Velocidad m/s cel=5*vel/3; % Celeridad m/s Courant=1; % Nmero Courant delta_t=30; % Segundos delta_x=cel*delta_t/Courant; % Metros load onda_cinematica.txt [m,n]=size(onda_cinematica); q=zeros; h=zeros; deltax=zeros; deltat=zeros; q1=reshape(onda_cinematica,60,m/60);

for j=1:m for i=1:n_nodos deltax(i,j)=delta_x*i/1000; % km end end

for j=1:m for i=1:n_nodos deltat(i,j)=delta_t*j/60; % minutos end end

for j=1:m % Condicin de Frontera. Caudal del Nodo 1 conocido para todo

los tiempos q(1,j)=q1(j); % Hidrograma de ingreso end for i=1:n_nodos % Condicin Inicial. Caudal conocido para t=1 q(i,1)=15.0; % Hidrograma inicial en todos los nodos end

% Solucin numrica Newton Raphson a=1-fi/delta_t+cel*teta/delta_x; b=-1/delta_t+fi/delta_t+cel/delta_x-cel*teta; c=-cel*teta/delta_x+fi/delta_t; d=-fi/delta_t-cel/delta_x+cel*teta/delta_x; for j = 1:m-1 % Bucle tiempo

MIRHNota adhesivarelaciona la celeridad (c) con dx/dt





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8

for i = 1:n_nodos-1 % Bucle espacio k = 1; % Iteracin 1 delta_q=10; while (abs(delta_q) >= 0.0001) % || (k < 100)) if k == 1 % q(i+1,j+1)=q(i+1,j); q(i+1,j+1)=q(i,j+1); else q(i+1,j+1)=qk; end k = k + 1; t1 = a * q(i+1, j+1); t2 = b * q(i+1, j); t3 = c * q(i, j+1); t4 = d * q(i, j); r = t1 + t2 + t3 + t4; dr_dq = a; delta_q = -r / dr_dq; qk = q(i+1, j+1) + delta_q; end end end p=q'; % Hidrogramas en cada punto

% Clculo de profundidades de agua (Mediante Manning)

s=0.001; % Pendiente n=0.035; % Coeficiente de Rugosidad de Manning alfa=sqrt(s)/n; beta=5/3;

for j=1:m for i=1:n_nodos h(i,j)=(q(i,j)/alfa).^(1/beta); % Hidrograma profundidades de agua por

nodo end end

ht=h';

% [num, txt] = xlsread('graf_jerarquizacion.xlsx'); % [m,n]=size(num); % rep=num(:,4); % A=reshape(rep,10,m/10); % A_M=mean(A');

% plot(p,ht,'*-');hold on;

figure (1) for j=1:m for i=1:n_nodos





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9

plot(p(j,i),ht(j,i),'*-');hold on; % Hidrograma profundidades de agua

por nodo ylabel('Caudal (m3/s)'),... xlabel('Profundidad Agua (m)'),... title('Curva Altura - Gasto') end end figure (2) for j=1:m for i=1:n_nodos plot(deltax(i,j),h(i,j),'*-');hold on; % metros ylabel('Profundidad Agua (m)'),... xlabel('Longitud(m)'),... title('Perfil hidrulico') end end

figure (3) for j=1:m for i=1:n_nodos plot(deltat(i,j),h(i,j),'*-');hold on; % minutos ylabel('Profundidad Agua (m)'),... xlabel('Tiempo(s)'),... title('Hidrograma') end end





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10

8 10 12 14 16 18 20 22 24 264

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Caudal (m

3/s

)

Profundidad Agua (m)

Curva Altura - Gasto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 34

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Pro

fundid

ad A

gua (

m)

Longitud(m)

Perfil hidrulico





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11

b. Ecuacin de la onda difusiva

Se justifica la simplificacin considerando la existencia de equilibrio entre las fuerzas que

actan sobre un volumen de control o celda de la corriente.

Se asume en equilibrio debido a que las velocidades del agua son bajas, por tanto se

desprecian los trminos de aceleracin local y aceleracin convectiva inerciales de la

ecuacin de momento.

fo

fo

SSx

y

A

QqSSAg

x

yAg

A

Q

xt

Q

2

0 5 10 15 20 25 304

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Pro

fundid

ad A

gua (

m)

Tiempo(s)

Hidrograma





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12

La ecuacin resultante determina que la pendiente de la superficie de agua es igual a la

pendiente de friccin.

Para la solucin numrica simultnea de la anterior ecuacin y de la ecuacin de

continuidad han sido ampliamente utilizadas tcnicas de diferencias finitas.

Segn Ponce (1986), la ecuacin resultante de combinar la ecuacin de continuidad y de

momentos es:

2

2

x

QD

x

Qc

t

Q

Donde: c = celeridad de la onda (m/s)

D = Coeficiente para la atenuacin de la onda (m2/s)

dx

dQ

Tc

1

oTS

QD

2

Los coeficientes c y D pueden ser estimados mediante observacin de los hidrogramas y

pueden ser calculados para un canal de dimensiones regulares considerando:

Donde T es el ancho superior del canal.

Este tipo de modelo considera muy importante las fuerzas inerciales y de presin como en

el movimiento de una gran onda de creciente (p.e. cuando la pendiente es relativamente

alta), en un ro ancho (p.e. profundidad de flujo pequea).

Sin embargo su exactitud es deficiente para hidrogramas que crecen de manera muy rpida,

tales como es el caso del producido por la rotura de una presa.





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13

Segn Ponce (2002), este tipo de modelo de onda difusiva, se propaga solamente hacia

aguas abajo y tiene la capacidad de atenuar la onda de flujo aguas abajo hasta en un 30%.

Un modelo representante de la ecuacin de la onda difusiva es el denominado modelo

Muskingum Cunge.

b.1 Modelo Muskingum Cunge

Aunque el mtodo de Muskingum es popular y fcil de usar, incluye parmetros que no

poseen base fsica y son dificultosos de estimar.

El mtodo de Muskingum - Cunge es una variacin del mtodo de Muskingum hecha por

Cunge et al, la cual consiste en cambiar la base cinemtica del mtodo de Muskingum a un

mtodo anlogo del tipo difusivo para tener la capacidad de predecir la atenuacin de la

onda del hidrograma.

El modelo se basa en la solucin de la ecuacin de continuidad (Incluyendo flujo lateral).

qx

Q

t

A

Adems de la forma de difusin de la ecuacin de momento

x

ySS f

0

Combinando las dos ecuaciones anteriores, se produce la denominada ecuacin de difusin

convectiva (Miller y Cunge, 1975).

cqx

Q

x

Qc

t

Q

2

2

Donde 'c' es la celeridad de la onda y '' la difusividad hidrulica.

dA

dQc y

02BS

Q

Donde 'B' es el ancho superior de la superficie de agua.

El mtodo Muskingum-Cunge es ms efectivo al ser utilizado con tcnicas distribuidas de

trnsito de flujo. La ecuacin recursiva aplicable a cada x para cada t es:





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14

)(41

321

1 xqCOCICICOjjjj [L3/T]

Los coeficientes sern:

)1(2

2

1

XK

t

XK

t

C

[Adimensional]

)1(2

2

2

XK

t

XK

t

C

[Adimensional]

)1(2

)1(2

3

XK

tK

tX

C

[Adimensional]

)1(2

)(2

4

XK

tK

t

C

[Adimensional]

En el mtodo Muskingum-Cunge, K y X son calculados mediante (Cunge 1969, Ponce

1978).

c

xK

[T]

)1(2

1

xcBS

QX

o

[Adimensional]

Pero c, Q y B cambian con el tiempo, as que los coeficientes C1, C2, C3 y C4 deben tambin

cambiar.





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15

Para el mtodo Muskingum - Cunge, la eleccin de los pasos de tiempo (t) y distancia

(x) son bastante crticos.

Con respecto al paso de tiempo (t), se ha encontrado que:

M

Tt r

Donde M >= 5 y Tr es el tiempo de ascenso del hidrograma.

El manual del HEC-HMS, seala que el t debe ser el valor mnimo de lo siguiente:

- El paso de tiempo especificado en el 'control de especificaciones'.

- El tiempo de viaje a lo largo del tramo de cauce.

- M = 20

Una vez definido t se calcula x como: x = c t

Sin embargo x tiene una restriccin: )(

2

1

o

o

cBS

Qtcx

Donde )(2

10 BpicoB QQQQ

QB : Caudal base

Qpico : Caudal pico





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16

Programacin de modelo Muskingum Cunge

clear;close all;clc % Trnsito de onda de flujo mediante el mtodo de Muskingum Cunge % E. Chvarri V. (Junio 2014) [num, txt] = xlsread('Inf_Transito_MC.xlsx'); q=num(:,1); % Caudal aguas arriba - m3/s b=num(1,2); ta=num(1,3); % Tiempo ascenso hidrograma - das m=num(1,4); % m=5 so=num(1,5); % Pendiente de fondo n=num(1,6); % Coef. Rugosidad Manning qb=num(1,7); % Caudal base (m3/s) qmax=max(q); % Caudal pico (m3/s) qlat=0; qo=qb+0.5*(qmax-qb); delta_t=ta/m; [m1,n1]=size(q); j=0; tacum=0.0; t_acum=zeros; y=zeros; c=zeros; delta_x=zeros; delta_xc=zeros; k=zeros; x=zeros; c1=zeros; c2=zeros; c3=zeros; c4=zeros; qs=zeros; qs(1)=q(1); while j delta_xc(j) break; end; k(j)=delta_x(j)/c(j); x(j)=0.5*(1-q(j)/(c(j)*b*so*delta_x(j))); c1(j)=((delta_t/k(j))+2*x(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); c2(j)=((delta_t/k(j))-2*x(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); c3(j)=(2*(1-x(j))-delta_t/k(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); c4(j)=(2*delta_t/k(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); if j > 1 qs(j)=c1(j)*q(j-1)+c2(j)*q(j)+c3(j)*qs(j-1)+c4(j)*qlat*delta_x(j); end end





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area(q, 'FaceColor',[1 0 0],'EdgeColor',[1 0 0]); figure(gcf) title('Trnsito Muskingum - Cunge') xlabel('Tiempo (das)'); ylabel('Caudal(m3/s)'); grid on; hold on; area(qs, 'FaceColor',[0 0 1],'EdgeColor',[0 0 1]); figure(gcf)

Base de Datos

118.0 100.0 8 6 0.025 0.025 50

186.0 258.0 430.5 441.0 491.4 682.5 1274.2 1442.1 1209.8 993.6 655.2 527.8 410.8 338.0 273.0 126.0 112.0 95.2 82.6 82.6





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18

Resultados

Hidrograma de salida:

118 145.24 199.01 308.12 380.97 436.68 554.73

912.38 1176.91 1196.88 1099.12 885.93 701.86

552.86 440.56 353.74 247.68 166.55 125.93

101.77 89.55

Grfico:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

500

1000

1500Trnsito Muskingum - Cunge

Tiempo (das)

Caudal(m

3/s

)

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