Clase 19 Geometría Analitica
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7/24/2019 Clase 19 Geometra Analitica
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1
Geometra
2010
Propiedad Intelectual Cpech
Clase N 19
Geometra analtica
PPTCANMTGEA04019V1
APRENDIZAJES ESPERADOS
Calcular distancia y el punto medio entre dospuntos del plano.
Identificar la pendiente y coeficiente de posicinen una ecuacin de recta dada.
Representar grficamente ecuaciones de recta.
Determinar la ecuacin principal de la recta, dadosdos puntos o dado un punto y la pendiente.
Determinar si dos rectas son paralelas.
Determinar si dos rectas son coincidentes.
Determinar si dos rectas son perpendiculares.
Ubicar puntos en un sistema tridimensional.
Determinar la pendiente entre dos puntos.
Propiedad Intelectual Cpech
5. Ecuacin de la recta
Contenidos
5.1 Ecuacin General de la recta
5.2 Ecuacin Principal de la recta
4. La recta
5.4 Ecuacin de la recta dado un punto y la pendiente
5.5 Ecuacin de la recta dados dos puntos de ella
1. Distancia entre dos puntos
3. Pendiente entre dos puntos
2. Coordenadas del punto medio
5.3 Grfica de la recta
Propiedad Intelectual Cpech
7. Geometra en el espacio
7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio,
Sistema tridimensional.
6. Rectas paralelas, rectas coincidentes yrectas perpendiculares
Propiedad Intelectual Cpech
1. Distancia entre dos puntosLa distanciaentre dos puntos del plano
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a travs de la siguiente frmula:
d2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)
2
Si dos puntos difieren slo en una de suscoordenadas, la distancia entre ellos es elvalor absoluto de su diferencia.
La distancia entre (4,6) y (-5,6) es:
|-5 4| = |-9| = 9
Ejemplo:
Propiedad Intelectual Cpech
El punto medioM entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a travs de la siguiente frmula:
x1 + x2 y1 + y2
2 2
M = ,
2. Coordenadas del punto medio
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Ejemplos:
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 (-3))2 + (-1 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13
x1 y1 x2 y2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
-3 + 9 , 4 + -1
2 2M =
M = (3, 1,5)
d2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)
2
x1 y1 x2 y2
x1 + x2 y1 + y22 2
M = ,
Propiedad Intelectual Cpech
La pendiente entre los puntos:
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se obtiene a travs de la siguiente frmula:
Ejemplo:
1. La pendiente entre los puntosx1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
3. Pendiente entre dos puntos
y2 y1
x2 x1m =
7 (-2)
1 (-4)m =
9
5m =
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Ejemplo:
2. La pendiente entre los puntos
(8, 5) y (8, 10) es:x1 y1 x2 y2
Como el denominador es cero,la pendiente NO existe.
Adems, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), esparalela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es funcin.
10 5
8 8m =
5
0m =
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Tipos de pendiente
x
y
m = 0
x
y
NO existe m
(Indefinida)
x
y
x
y
m > 0 m < 0
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4. La recta
DefinicinGeomtricamente podemos decir que una lnea recta es unasucesin continua e infinita de puntos alineados en unamisma direccin; analticamente, una recta en el plano estrepresentada por una ecuacin de primer grado con dosvariables, x e y.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. y = 4x + 7
3. 6x + 4y = 7
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5. Ecuacin de la recta
5.1 Ecuacin General de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.
Ejemplos:
1. 5x + 6y + 8 = 0
2. 2x - 4y + 7 = 0
3. -x + 12y - 9 = 0
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5.2 Ecuacin Principal de la recta
Es de la forma:
El coeficiente de posicin (n), es la ordenada del puntodonde la recta intersecta al eje Y.Corresponde al punto de coordenadas (0,n).
y = mx + n
m : pendiente
n : coeficiente de posicin
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Ejemplo:Representacin grfica de:
y = 2x + 3
1-2Si un punto (x,y) pertenece a
esta recta, entonces se debe
cumplir la igualdad al reemplazarlo
en la ecuacin.
Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3
5.3 Grfica de la recta
Para graficar una recta dada su ecuacin, basta encontrardos puntos de ella.
x y
0 3
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Ejemplos:1. Dada la grfica de la recta, encontrar su ecuacin principal.
n = 3.
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente deposicin (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta aleje Y), de modo que su ecuacin principal es y = 2x + 3.
Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
5 3
1 0m =
2
1m = = 2
-1-2
-2
-1
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2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n:
b) y = 4x
c) 6x y+ 13 = 8
y = 8 13 - 6x
y = 5 - 6x
y = 6x + 5
Luego, m = 6 y n = 5.
3. Cul ser la pendiente y coeficiente de posicin en
ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?
a) y = x 8
Para determinar m y n, primero despejaremos y :
m = 4 y n = 0
m = 1 y n = -8
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y y1 = m (x x1)
5.4 Ecuacin de la recta,dado un punto de ella y la pendiente
La Ecuacin de la recta que pasa por el punto
P1 (x1, y1) y tiene pendiente m,
se puede obtener a travs de la siguiente frmula:
Ejemplo:
La ecuacin de la recta de pendiente m = -6,que pasa por el punto (3,-2) es:
y (-2) = -6 (x 3)
y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
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5.5 Ecuacin de la recta, dados dos puntos
La Ecuacin de la recta que pasa por los puntos:
P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
se puede obtener a travs de la siguiente frmula:
y y1 = (x x1)y2 y1
x2 x1
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Ejemplo:
La ecuacin de la recta que pasa por los puntos
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y (-3) = (x 2)6 (-3)
5 2
y + 3 = (x 2)9
3
y + 3 = 3 (x 2)
y + 3 = 3x 6
y = 3x 6 - 3
y = 3x 9
x1 y1 x2 y2
y y1 = (x x1)y2 y1
x2 x1
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6. Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienenigual pendiente y distinto coeficiente de posicin.
Ejemplo: L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x -10
(m = 5) (m = 5)
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Rectas coincidentes:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienenla misma pendiente y el mismo coeficiente de posicin.
Ejemplo: L1: y = 5x + 4 y L2: y = 5x + 43 3
Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.
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Rectas perpendiculares:Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si elproducto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x -102 5
(m = -5 )2
(m = 2 )5
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7. Geometra en el espacio
7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio
Sistema Tridimensional
P (a, b, c)
a: abscisa
b: ordenada
c: cota
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Ejemplo:
Q (2, 7, 6)
a: abscisa
b: ordenada
c: cota
Siempre los planos son perpendiculares entre s,formando planos cartesianos.
Plano XY (x,y,0)
Plano YZ (0,y,z)
Plano XZ (x,0,z)
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Equipo Editorial: Patricia Valds
Olga Orchard
Pablo Espinosa