clase 2 diseño de tajo 2011

7/31/2019 clase 2 diseo de tajo 2011

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DISEO DE MINAS ATAJO ABIERTO

HUANCAYO 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS


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EVALUACION DE

RESERVAS

METODOS GEOESTADISTICOS


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IDEA BASICA DE LA APLICACIN DE LAS TECNICASGEOESTADISTICAS

Leyes de lostestigos de los

sondajes

YACIMIENTODISTRIBUCIONESTADISTICA

DE LAS LEYES

CORRELACIONESPACIAL

VARIOGARMAS

KRIGING DEBLOQUES

VALOR MEDIOESTIMADO Z

KRIGING

Z= ESTIMADORLINEAL OPTIMO DE

UN BLOQUE O UNPUNTO, BASADOEN LOS VALORESCIRCUNDANTES Y

EN ELVARIOGRAMA


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Ejemplo, Se ha tomado en un yacimiento, dos conjuntos de muestras

en los que cada muestra est separada de la siguiente una distanciadeterminada y que los resultados obtenidos en el anlisis de leyes sonlos siguientes:

Conjunto 1: 3%, 5%, 7%, 9%, 8%, 6%, 4%, 2%

Conjunto 2: 9%, 3%, 8%, 2%, 6%, 5%, 7%, 4%

En la estadstica clsica ambos conjuntos tienen la misma media y lamisma varianza (en si son los mismos datos), pero se puede observasque tiene una diferencia espacial, que se manifiesta por las diferenciassucesivas entre la muestras contiguas:

Conjunto 1: 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2

Conjunto 2: 6, 5, 6, 4, 1, 2, 3

De acuerdo a este concepto surge la idea de variable regionalizada


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APLICACIONES A LA GEOSESTADISTICA

El examen de semivariogramas pueden ser tiles para determinar:

1. El tamao ptimo de la muestra

2. Es esquema de muestreo ptimo

3. La densidad ptima de muestreo

4. El rea de influencia de cada muestra, que puede ser circular,elptica, esferoidal o elipsoidal.

5. La naturaleza de la mineralizacin


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CALCULO DEL SEMIOVARIOGRAMA EXPERIMENTAL

La funcin variograma o semivariograma, define la correlacinespacial entre los valores muestreados.El variograma o semivariograma se obtiene calculando, para cadadistancia de separacin entre las muestras.Lag en una determinada direccin, la diferencia al cuadrado de los

valores de dichas muestras.Es decir para cada separacin h se calcula el valor de y(h)mediante la frmula:

y(h) = (1/2N) . [ f(x1) (fx1+h)]2

Donde:N : Nmero de pares de datosf(x1) : El valor de la variable regionalizada en el punto i(fx1+h) : El valor de la variable regionalizada tomada a una distancia h


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Y(h) = (1/2N) . [ f(x1) (fx1+h)]2 LAG: Espaciado con que secalculan las diferencias alcuadrado entre muestras

Ejemplo: LAG1 incluye lasmuestras adyacentes A y B. B yC. C y D. etc.

La distancia que representa elLAG,1 es el intervalo mnimo del

muestreo.


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Y(h) = (1/2N) . [ f(x1) (fx1+h)]2

El nmero mximo de LAGs .,es decir, de distancias n para

calcular el Y(h) sueleestablecerse en la mitad de ladistancia muestreada.

Longitudes mayores generanpocos pares de muestras por loque estadsticamente no es

representativo.



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Ejemplo: 1 Se tienen 4 taladros demuestreo en una direccin determinada,calcular: a) el variograma, b) var. relativoy c) el var. logartmico

(10-50)2 + (50-20)2 + (20-60)2

Y(1)= ------------------------------------------ = 683.32 x 3

y(h) = (1/2N) . [ f(x1) (fx1+h)]2

(10-20)2 + (50-60)2Y(2)= ---------------------------- = 502 x 2

(10-60)2

Y(3)= ---------------= 1250

1 x 2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3

h

y(h)

a) VARIOGRAMA


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b) VARIOGRAMA RELATIVO

X1 = (10 + 50 +20 +60)/4 = 35X2 = (10 + 50 + 20 + 60))4 = 35

X3 = (10+60)/2 = 35

h Y(h) X X2

Y(h)/x2

1 683.3 35 1225 0.56

2 50 35 1225 0.041

3 1250 35 1225 1.020

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3

h

y(h)/x2


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c) VARIOGRAMA LOGARITMICO

Z(X) = 10 50 20 60Ln(z(x)) = 2.30 3.91 2.96 4.09

(2.30-3.91)2 + (3.91-2.96)2 + (2.96-4.09)2

Y(1)= ----------------------------------------------------- = 0,81

2 x 3

(2.30-2.96)2 + (3.91-4.09)2

Y(2)= ------------------------------------ = 0,112 x 2

(2.30-4.09)2

Y(3)= ---------------= 0.311 x 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 2 3

h

y(h)


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(10-20)2 + (20-50)2 + (50-60)2

Y(1)= ------------------------------------------ = 183.32 x 3

y(h) = (1/2N) . [ f(x1) (fx1+h)]2

(10-50)2 + (20-60)2Y(2)= ---------------------------- = 8002 x 2

(10-60)2

Y(3)= ---------------= 1260

1 x 2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1 2 3

h

y(h)

Ejemplo: 2 Se tienen 4 taladros demuestreo en una direccin determinada,calcula: a) el variograma, b) var. relativo yc) el var. logartmico


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EJEMPLO DE SEMIVARIOGRAMA

Lag (h)

(h)

Los valores obtenidos deY(h) se representan en undiagrama frente a suscorrespondientes valores de

h, definindose elcorrespondiente variograma.

La velocidad delincremento de Y(h) con el

Lag es un reflejo de lavelocidad a la cual lainfluencia de una muestradisminuye con al distancia



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EJEMPLO DE SEMIVARIOGRAMA

Lag (h)

(h)

Nos da una definicinadecuada de la denominadazona de influencia.

La distancia en la que Y(h)se hace constantecorresponde al punto en elque la covarianzacov(h)entre muestrasadyascentes disminuye

hasta cero.

Esta distancia define ellmite de la zona deinfluencia de una muestra.



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El semivariograma experimental, posee numerosas zonas donde noexisten valores concretos.

nicamente existen valores definidos en aquellos lugares donde se ha

realizado el muestreo.

Por lo tanto es necesario definir el valor de la variable en puntosdonde el semivariograma experimental no ofrece informacinsuficiente.

Para ello es necesario construir un modelo que nos permita obtenerdicha informacin.



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MODELO DE FUNCIONES ALEATORIAS

Ahora la pregunta es:

Qu modelos pueden utilizarse?

Para estimar las variables debemos describir como se ha producido enfenmeno.

En los procesos fsicos qumicos los datos pueden ser conocidos condetalle, en dichas situaiones los modelos determinsticos son los msapropiados.

Para Los Procesos Fsicos o Qumicos


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Por otro lado los procesos naturales cuyas pautas de comportamientono son bien conocidas, no se pueden aplicar modelos determinsticos.

Entonces hay que admitir la existencia de incertidumbre delcomportamiento de los fenmenos entre los puntos muestreados.

La mayor parte de estos fenmenos, son en realidad, el resultado finalde una combinacin de variables cuyas complejas interaccionesimpiden describir el fenmeno cuantitativamente.

Para Procesos Naturales

Entonces es imprescindible a modelos de funciones aleatorias

Por estas razones, los estudios de estimacin geoestadstica sebasan en modelos probabilsticos.



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Una variable aleatoria esaquella cuyos valores se

generan aleatoriamente deacuerdo con un mecanismo

probabilstico.

Variable Aleatoria

Ejemplo

El resultado de tirar un dado ,cuyas realizaciones se

reparten aleatoriamente entre 6posibilidades.

De igual forma , se define una funcin aleatoria como un conjunto devariables aleatorias que tienen alguna localizacin espacial y cuyadependencia una de otra, viene determinada por algn mecanismoprobabilstico. Este tipo de funciones aleatorias son las que utiliza laGeoestadstica.



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Y

X

h

h

h

BBC)

BBC)

BBC)

(a)

(b)

(c)

Funcin aleatoria muy errtica en distanciascortas y correspondiente realizacin

Funcin aleatoria menos errtica

Funcin aleatoria extremadamente continua


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MODELO DE FUNCIONESALEATORIAS

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Si se restringe los datos a los siete valores mostrados,cualquiera de las opciones es posible, pues todaspasan por los valores. Se debe estudiar el procesoinvolucrado para optar la opcin que sea la msadecuada.

(a)

(b)

(c)


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MODELOS DE SEMIVARIOGRAMAS

1. MODELO EXPONENCIAL

Este modelo va ascendiendo lentamente hasta alcanzar la meseta a un valorconstante. Existen dos posibles esquemas:

FORMERY

Y(h) = C[1 exp(-[h/a])] + C0

GAUSSIANO

Y(h) = C[1 exp(-[h2/a2])] + C0

Donde:C : Valor comprendido entre el efecto pepita C0 y la meseta.h : Distanciaa : Representa el alcance o rango

0 1.0 2.0 3.0

BBC)

1.0

0.25h/a

0.96

3

GAUSSIANO

FORMERY


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2. MODELO ESFERICO O MATHERNON

Es el que mejor se ajusta cuando se trata de variables mineras (p.e. ley o espesor)

Presenta una curva de del semivariograma que aumenta rpidamente del LAGpara posteriormente, ascender ms lentamente hasta alcanzar una zona plana avalores de LAG altos

MESETA

SEMIVARIOGRAMA

COVARIOGRAMA

COVARIANZA

C

C0

BBC)

Lag (h)a2a/3


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ZONA DEINFLUENCIA

GRAN SOLAPAMIENTOALTA COVARIANZA

SOLAPAMIENTO REDCUCIDOMENOR COVARIANZA

SIN SOLAPAMIENTOCOVARIANZA CERO


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Y(h) = C0 + C[1.5(h/a) 0.5(h/a)3 para h < a

Y(h) = C0 + C para h < a

Lag (h)

(h)

C = 0C0

Si el sevariograma muestrafluctuaciones aleatorias

alrededor de una lnea horizontal

Se tiene un efecto pepita puro

En este caso la evaluacin delyacimiento se debe realizar por

cualquier mtodo clsico


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3. MODELO LINEAL

Este modelo se presenta cuando, al representar Y(h) frente a los LAgs, seobtiene una lnea recta:

Y(h) = p.h + k

h=L/3

(h)

B2

Donde :p : Pendiente de la rectah : El LAGk : La interseccin en el eje X Y(h)

Este modelo suele estar presente en algunosyacimientos de hierro

CASOS PARTICULARES RESPECTO A LOS MODELOS


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CASOS PARTICULARES RESPECTO A LOS MODELOSDE SEMIVARIOGRAMAS

A. SEMIVARIOGRAMAS CON TENDENCIAS

Cuando existe ruptura de estacionariedad (cambio en la tendencia de la meseta)Se produce un una distancia superior al alcance ,

No tiene incidencia en la estimacin local de los bloques definidos para elyacimiento.

Cuando este tipo de semivariograma domina, es necesario utilizar la tcnicade Krigeage universal, en lugar de krigeage ordinario que se aplica en lassituaciones de estacionariedad.

DIEMNSIONES MAXIMASDE LOS BLOQUES A EVALUAR

COMPORTAMIENTOPARABOLICO

BBC)

(RANGO)a h



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CASOS PARTICULARES RESPECTO A LOS MODELOSSE SEMIVARIOGRAMAS

B. SEMIVARIOGRAMAS CON EFECTO AGUJERO

Este efecto ocurre cuando se alternan reas con lata ley y reas con baja ley.

El resultado es una pseudoperiocidad, reflejada en una oscilacin desemivariograma alrededor de una aparente meseta

BBC)

h

0 10 20

160



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C. SEMIVARIOGRAMA COMPUESTO

Esta situacin aparece cuando se obtienen diferentes semivariogramas a lo largo dediversas direcciones del yacimiento.

Esto significa que en vez de tener un rea de bsqueda istropa (crculo oesfera) se posee un zona elptica o elipsoidal

BBC)

h

0 10 20

Esto es evidente en yacimientos aluviales, donde se tiene alcance endireccin perpendicular al yacimiento.

A travs del yacimiento

A lo largo del yacimiento

Igual C0 y C

A2 >> a1



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D. ANISOTROPISMO DIRECCIONAL

Cuando la prolongacin de la lnea que une los dos o tres puntos delsemivariograma corta la meseta a una distancia mucho menor que lacorrespondiente.

Primer semivariograma: C0 = 0.40 (%ln)2, a1= 14m (ya que 2a/3 = 9) yC1= 1.95 0.4 = 1.55 (%ln)2

Segundo semivariograma: C0 = 0.40 (%ln)2, a2= 50m y C2= 1.95 0.6 (%ln)2

EL MODO COMPUESTO

Y(h) = C0 + C1[3h/2a1 (h/a1)3/2] + C2 [3h/2a2 (h/a2)3/2]

Para h < 14m : Y(h) = 0.4 + 1.55[3h/28 (h/14)3/2] + 0.60[3h/100 (h/50)3/2]

Para h entre 14 y 50 m : Y(h) = 0.4 + 1.55 + 0.60[3h/100 (h/50)3/2]

Para h > 50 m : Y(h) = 0.4 + 1.55 + 0.60 = 2.55



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D. ANISOTROPISMO DIRECCIONAL

BBC)

h0

1

2

3

9 13 20 40 60 80

2.55

Se produce en zonas mineralizadas ms ricas de una matriz demineralizacin dispersa.

Tambin son comunes en yacimientos aluviales de oro.

Refleja alcance corto los canales individuales y el ms largo la anchura

total de la zona de inters econmico

1.96

C0=0,4



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E. SEMIVARIOGRAMA EN DOS ESTADIOS

BBC)

ha1 a2 a3

Ocurre cuando se combinan conjuntos de datos no relacionados (p.e. dosfases de mineralizacin con diferentes caractersticas.

C0

C1

C2


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EL KRIGEAJE

Es una tcnica utilizada en la evaluacin de yacimientos para estimar elvalor de una variable regionalizada en un punto o en un bloque a partir de deunos factores de ponderacin que trabajan semejante como lo hacen en leinverso de la distancia.

Ese valor se caracteriza por ser el mejor estimador lineal insesgado de lavariable.

Mejor: variancia de estimacin mnima

Lineal: Combinacin lineal de la informacin

Insesgado: No hay sesgo en los errores


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KRIGEAJE PUNTUAL

Para obtener el valor de la variable, se calcula a travs de un sistema deecuaciones, denominadas ecuaciones de krigeaje, en las que lasincgnitas para resolver el sistema se obtiene a partir del semivariogramamodelizado.

Ejemplo de sistema de ecuaciones para una estimacin de 4 puntos:

K1Y1,1 + K2Y1,2 + K3Y1,3 + K4Y1,4 + u=Y0,1

K1Y2,1 + K2Y2,2 + K3Y2,3 + K4Y2,4 + u=Y0,2

K1Y3,1 + K2Y3,2 + K3Y3,3 + K4Y3,4 + u=Y0,3

K1Y4,1 + K2Y4,2 + K3Y4,3 + K4Y4,4 + u=Y0,3

K1 + K2 + K3 + K4 = 1


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K1Y1,1 + K2Y1,2 + K3Y1,3 + K4Y1,4 + u=Y0,1K1Y2,1 + K2Y2,2 + K3Y2,3 + K4Y2,4 + u=Y0,2

K1Y3,1 + K2Y3,2 + K3Y3,3 + K4Y3,4 + u=Y0,3

K1Y4,1 + K2Y4,2 + K3Y4,3 + K4Y4,4 + u=Y0,3

K1 + K2 + K3 + K4 = 1

DONDE:

Ki= factores de ponderacin (Z* KiZi, siendo Z* el valor estimado Zi los valoresconocidos para llevar a cabo la estimacin)

Yi,j = valores del semivariograma, obtenidos a partir dela ecuacin del modelocorrespondiente para una distancia i a j.

u = valor denominado parmetro de Lagrange

Y0,,j = valor de semivariograma en el punto a estimar.

Ejemplo de sistema de ecuaciones para una estimacin de 4 puntos:


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Ejemplo: Se tiene un conjunto de 4 muestras de un yacimiento dezinc cuyas leyes son: X

1

= 8,2%, X2

=9,6%, X3

=13,1% y X4

=6,4%. Elsemivariograma a considerar se ajusta un modelo tipo esfrico conalcance = 250 m, C0 =17 y C=66. Calcular, utilizando el krigeaje, elvalor de la ley en el punto X0.


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K1Y1,1 + K2Y1,2 + K3Y1,3 + K4Y1,4 + u=Y0,1

K1Y2,1 + K2Y2,2 + K3Y2,3 + K4Y2,4 + u=Y0,2

K1Y3,1 + K2Y3,2 + K3Y3,3 + K4Y3,4 + u=Y0,3

K1Y4,1 + K2Y4,2 + K3Y4,3 + K4Y4,4 + u=Y0,3K1 + K2 + K3 + K4 = 1

Solucin: tenemos que resolver el sistema de ecuacionesde krigeaje para cuatro puntos:

Conociendo, para calcular los Yi,,j, que las ecuaciones del modelo esfricoson:

Y*(h) = C0 + C[1.5(h/a) 0.5(h/a)3 para h < a

Y*(h) = C0 + C para h < a


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En principio habra que obtener 16 valores de Y(h) en las ecuaciones delmodelo esfrico. Sin embargo esta cantidad disminuye notablemente pordos razones:

a) La matriz es simtrica, por tanto y2,1,Y1,3= Y3,1, etc.

b) Las distancias entre algunos Y(h) son similares (Y1,2 =Y2,4)

Para calcular los Y(h) necesarios se tendr.


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Sustituidos estos valores de Y(h) en las ecuaciones de krigeaje, obtiene unsistema de 5 ecuaciones con 5 incgnitas, cuya resolucin ofrece lossiguientes resultados:

K1 = 0.393; K2 = 0,022; K3= 0,329 y K3 = 0,256

Por lo tanto, el valor de la variable ley para en Zinc en el punto X0 ser:

G(X0) = (0,393*8,2) + (0,022*9,6) + (0,329*13.1) + (0,256*6,4)

G(X0) = 9,38 %


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ANALISIS GEOESTADISTICO CON SOFTWARE DEAPLICACIN GEOSTAT

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