Clase 2 Herramientas Cuantitativas

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Ejercicio de Programación Lineal  Instituto Profesional Esucomex Módulo Herramientas Cuantitativas para la Administración Profesor : Carlos Pérez Urrea Mail: [email protected]

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Ejercicio de Programación Lineal 

 

Instituto Profesional Esucomex

Módulo Herramientas Cuantitativas para la

Administración

Profesor : Carlos Pérez Urrea

Mail: [email protected]

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Cada muñeco:•  Produce un beneficio neto de 3 U$.•  Requiere 2 horas de trabajo de acabado.•  Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.

 Cada tren:•  Produce un beneficio neto de 2 U$.•  Requiere 1 hora de trabajo de acabado.

•  Requiere 1 hora trabajo de carpinteria. 

Ejemplo

epetto !.".# manufactura muñecos trenes de madera.

Cada semana epetto puede disponer de:•  %odo e& materia& que necesite.•  !o&amente 1'' horas de acabado.•  !o&amente (' horas de carpinteria.

%ambi)n:•  "a demanda de trenes puede ser cua&quiera *sin &+mite,.•  "a demanda de muñecos es como mucho -'.

epetto quiere maimi/ar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

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  0a / 31 22 *funcin objeti4o,

!ujeto a *s.a:,2 1 2 5 1'' *restriccin de acabado,

  1  2 5 (' *restriccin de carpinteria,

  1  5 -' *restriccin de demanda de muñecos,

  1# 2  6 ' *restriccin de no ne7ati4idad,

Para e& prob&ema de epetto# combinando &as restricciones desi7no 1 6 ' e 2 6 ' con &a funcin objeti4o &as restricciones#tenemos e& si7uiente mode&o de optimi/acin:

Formulación del problema

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Región factible

1 -' e 2 2' est8 en &a

re7in factib&e porque satisfacentodas &as restricciones deepetto.

!in embar7o# 1 19# 2 ' noest8 en &a re7in factib&e porqueeste punto no satisface &arestriccin de carpinteria

  ;19 ' < ('=.

Restricciones de Gepetto

2x1 + x2 ≤ 100 (restricción finalizado

  x1 + x2 ≤ !0 (restricción carpinter"a

  x1 ≤ #0 (restricción demanda

  x1$ x2 % 0 (no ne&ati'idad

"a re&ión factile de un PP" es e& conjunto de todos &os puntosque satisfacen todas &as restricciones. >s &a re7in de& p&anode&imitada por e& sistema de desi7ua&dades que forman &asrestricciones.

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Solución óptima

"a maor+a de PP" tienen so&amente una so&ucinptima. !in embar7o# a&7unos PP" no tienenso&ucin ptima# otros PP" tienen un n?meroinfinito de so&uciones.

08s ade&ante 4eremos que &a so&ucin de& PP" de

epetto es 1 2' @2 A'. >sta so&ucin da un4a&or de &a funcin objeti4o de:

/ 31 22 3B2' 2BA' 1(' U$

Cuando decimos que 1 2' 2 A' es &a so&ucin ptima#estamos diciendo que# en nin7?n punto en &a re7in factib&e# &a

funcin objeti4o tiene un 4a&or *beneficio, superior a 1('.

Para un prob&ema de maimi/acin# una solución

óptima es un punto en &a re7in factib&e en e& cua&&a funcin objeti4o tiene un 4a&or m8imo. Para unprob&ema de minimi/acin# una so&ucin ptima esun punto en &a re7in factib&e en e& cua& &a funcinobjeti4o tiene un 4a&or m+nimo.

!e puede demostrarque &a solución

óptima de un PP"est8 siempre en &afrontera de &a re7infactib&e# en un4)rtice *si &a

so&ucin es ?nica, oen un se7mentoentre dos 4)rticesconti7uos *si hainfinitas so&uciones,

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Representación Gráfica de las restricciones

21 2 1''

Cua&quier PP" con s&o dos

4ariab&es puede reso&4erse7r8ficamente.

Por ejemp&o# para representar7r8ficamente &a primera

restriccin# 2x1 + x2 ≤ 100 :ibujamos recta 21 2 1''

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

2

1

>&e7imos e& semip&ano quecump&e &a desi7ua&dad: e&punto *'# ', &a cump&e

  *2B' ' 5 1'',#as+ que tomamos e&semip&ano que &o contiene.

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ibu!ar la región factible

Puesto que e& PP" de epetto tiene dos 4ariab&es# se puede reso&4er7r8ficamente. "a re7in factib&e es e& conjunto de todos &os puntosque satisfacen &as restricciones:

 2 x1 + x2 ≤ 100 *restriccin de acabado,

  x1 + x2 ≤ !0 *restriccin de carpinter+a,

  x1 ≤ #0 *restriccin de demanda,

  x1$ x2 % 0 *no ne7ati4idad,

Damos a dibujar &a re7in factib&e que satisface estas restricciones.

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''21 2 1''

Restricciones

2 x1 + x2 ≤ 100

  x1 + x2 ≤ !0

  x1 ≤ #0  x1$ x2 % 0

ibu!ar la región factible

%eniendo en

cuenta &asrestricciones desi7no *x1 % 0$ x2 %

0# nos queda:

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

1 2 ('

ibu!ar la región factible

Restricciones

2 x1 + x2 ≤ 100

  x1 + x2 ≤ !0

  x1 ≤ #0

  x1$ x2 % 0

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

1 -'

ibu!ar la región factible

Restricciones

2 x1 + x2 ≤ 100

  x1 + x2 ≤ !0

  x1 ≤ #0

  x1$ x2 % 0

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''21 2 1''

1 2 ('

1 -'

"a interseccin

de todos estossemip&anos*restricciones,nos da &a re7infactib&e

ibu!ar la región factible

Re7inEactib&e

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''21 2 1''

1 2 ('

1 -'

Re7in

Eactib&e

"a re7in factib&e *a&estar &imitada porrectas, es un po&+7ono.>n esta caso# e&po&+7ono FGC>.

 F

G

C

>Como &a so&ucin

ptima est8 en a&7unode &os 4)rtices *F# G#C# o >, de &a re7infactib&e# ca&cu&amosesos 4)rtices.

Restricciones

2 x1 + x2 ≤ 100

  x1 + x2 ≤ !0

  x1 ≤ #0

  x1$ x2 % 0

"ntersecciones de la región factible

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Re7in

Eactib&e

>*'# (',

*2'# A',

C*-'# 2',

G*-'# ',

 F*'# ',

"ntersecciones de la región factible

"os 4)rtices de &a re7infactib&e son intersecciones dedos rectas. >& punto es &ainterseccin de &as rectas

21 2 1''  1 2 ('

"a so&ucin de& sistema 2'#

A' nos da e& punto .

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

2

1

G es so&ucin de1 -'2 '

21 2 1''

1 -'

1 2 ('C es so&ucin de

1 -'21 2 1''

> es so&ucin de1 2 ('

1 '

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2

1

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

Re7inEactib&e

*'# (',

*2'# A',

*-'# 2',

*-'# ',

*'# ',

0a / 31 22

/ ' / 1''

/ 1('

Para ha&&ar &aso&ucin ptima#dibujamos &asrectas en &as

cua&es &os puntostienen e& mismo4a&or de /.

"a fi7ura muestraestas &ineas para

/ '# / 1''# / 1('

Resolución gráfica

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Re7in

Eactib&e

*'# (',

*2'# A',

*-'# 2',

*-'# ',

*'# ',

0a / 31 22

/ ' / 1''/ 1('

"a ?&tima recta de/ que intersecta*toca, &a re7in

factib&e indica &aso&ucin ptimapara e& PP". Parae& prob&ema deepetto# estoocurre en e&punto *1 2'#2 A'# / 1(',.

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

2

1

Resolución gráfica

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Re7in

Eactib&e

*'# (',

*2'# A',

*-'# 2',

*-'# ',

*'# ',

%ambi)n podemos encontrar &aso&ucin ptima ca&cu&ando e&4a&or de / en &as interseccionesde &a re7in factib&e.

Hnters. / 31 22*'# ', / 3B'2B' '*-'# ', / 3B-'2B' 12'*-'# 2', / 3B-'2B2' 1A'*2'# A', / 3B2'2BA' 1('*'# (', / 3B'2B(' 1A'

2'

2' -' A' ('

-'

A'

('

1''

2

1

"a so&ucin ptima es:1 2' muñecos2 A' trenes/ 1(' U$ de beneficio

Resolución anal#tica

0a / 31 22

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Iemos identificado &a re7in factib&e parae& prob&ema de epetto buscado &a

so&ucin ptima# &a cua& era e& punto en &are7in factib&e con e& maor 4a&or posib&ede /.

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Recordar )ue*

• a re&ión factile en cual)uier PP

est, limitada por l"neas$ - la solución

dee uscarse .acia el ori&en de las

rectas/

• a re&ión factile de cual)uier PP

tiene solamente un nmero finito deintersecciones/ na de ellas es el

óptimo$ en el caso de la maximización

el 'alor de m,s alto/