CLASE 2: Técnicas de Conteo y Probabilidades

Sector: MatemáticasCurso: 1° Medio BSubsector: MatemáticasProfesora: Daniela Gaete

DIAGRAMA DE ÁRBOLPERMUTACIONES

Son estrategias utilizadas en situaciones en las que es difícil llevar a cabo una cuantificación por observación directa

Técnicas de conteo

Es una técnica de conteo que permite representar gráficamente un experimento que consta de n pasos, donde cada uno tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Diagrama de árbol

Camila no sabe que usar hoy.

Diagrama de árbol:

Jeans

Blusazapatos

sandalias

Polerazapatos

sandalias

Shorts

Blusazapatos

sandalias

Polerazapatos

sandalias

¿Cuál es la probabilidad de que Camila use la polera, short y sandalias?

Aníbal juega un videojuego y debe escoger las siguientes características para su auto:

Auto deportivo

Llantas N°1

Rojo

Amarillo

Negro

Verde

Llantas N°2

Rojo

Amarillo

Negro

Verde

¿Cuál es la probabilidad de que elija el auto deportivo las llantas N°2 y el color sea negro?

Hammer

Llantas N°1

Rojo

Amarillo

Negro

Verde

Llantas N°2

Rojo

Amarillo

Negro

Verde

Indica que si un proceso se realiza de n maneras distintas y otro de m maneras distintas, existen nm maneras distintas de realizar ambos procesos.

Principio Multiplicativo

PERMUTACIONES

Son cada una de las ordenaciones posibles elementos de un conjunto finito

Una permutación de n elementos diferentes se calcula mediante

Es decir

Permutaciones sin Repetición

Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.

Un juego consiste en adivinar el orden de extracción de tres pelotas (Amarilla, Celeste y Fuccia). Ana apostó que el orden de las pelotas será Fucsia, Amarilla, Celeste ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta?

Resultados posibles al sacar la primera bolita

Resultados posibles al sacar la segunda bolita

Resultados posibles al sacar la tercera bolita

Análogamente, utilizando el principio multiplicativo se obtiene el total de casos posibles, esta situación corresponde a una permutación.

Posibilidades para la primera extracción

Posibilidades para la segunda extracción

Posibilidades para la tercera extracción

Total de casos

Permutaciones con elementos repetidos

Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.Sí se repiten los elementos.

Una permutación de n elementos, en los cuales existen r elementos iguales entre si, k elementos iguales entre sí, y m elementos iguales entre sí, se calcula dividiendo la cantidad de permutaciones de n elementos en el producto de permutaciones de r, k y m elementos repetidos .

Esto se generaliza mediante la expresión:

En una caja hay 3 bolitas, dos de ellas verdes y una roja ¿ cual es la probabilidad que de el orden de extracción sea verde-verde-rojo?

Permutaciones con elementos repetidos

Otra forma de cuantificar la situación, sin utilizar el diagrama de árbol, es considerar los elementos repetidos para calcular la extracción.

Hay 3! Casos posibles y 2 elementos repetidos

Permutaciones con elementos Repetidos

En una caja tenemos 10 pelotas, las cuales son 5 azules, 3 rojas y 2 verdes

¿ cuantas extracciones diferentes existen?

Ejemplo

10 !5 ! ∙3 ! ∙2 !

=10 ∙9 ∙8 ∙7 ∙6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2∙1

(5 ∙4 ∙3 ∙2∙1)∙(3∙2 ∙1) ∙(2 ∙1)=¿