CLASE 3

RESUMEN REPRESENTACION DE FUNCIONES LOGICAS

Una función puede ser representada en diferentes formas

TEOREMAS DE BOOLEP1 (Cerradura)Si x, y S, entonces x + y S ; x.y S

P2 (P. Conmutativa)x + y = y + xP2. xy = yxP2D.

P3 (P. Asociativa)x + (y + z) = (x + y) + xP3. x(yz) = (xy)zP3D.

P4 (P. Distributiva)x + (yz) = (x + y)(x + z)P4. x(y+z) = xy + xzP4D.

P5 (Identidades)x + 0 = xP5. x.1=xP5D.

P6 (Complemento)P6. P6D.x + =1 x. = 0

TEOREMAS DE BOOLET1Los elementos de identidad 0 y 1 son únicos.

T2 (Idempotencia)x + x = xT2. xx = xT2D.

T3 (Elemento nulo)x + 1 = 1T3. x.0 = 0T3D.

T4 (Absorción)x + xy = xT4. x.(x+y) = xT4D.

T6 (Involución)

T5Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento.

T7 (Absorción)

T7. T7D.𝑥+𝑥 𝑦=𝑥+ 𝑦 𝑥 (𝑥+𝑦)=𝑥 𝑦

TEOREMAS DE BOOLET8 (T. Demorgan)

T8. T8D.

T9 (T. Consenso)T4. T4D.

𝑥+ 𝑦=𝑥 𝑦 +

𝑥𝑦+𝑥 𝑧+𝑦𝑧=𝑥𝑦+𝑥 𝑧 (𝑥+𝑦 )(𝑥+ 𝑧)(𝑦+ 𝑧)=(𝑥+𝑦 )(𝑥+𝑧)T10T10. T10D.𝑥𝑦+𝑥 𝑦 𝑧=𝑥𝑦+𝑥𝑧 (𝑥+𝑦 )(𝑥+𝑦+𝑧)=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧)

T11T11. T11D.𝑥𝑦+𝑥 𝑧=(𝑥+𝑧)(𝑥+𝑦) (𝑥+𝑦 ) (𝑥+𝑧 )=𝑥𝑧+𝑥𝑦

CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES• Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra.

Ecuación Tabla de verdad

Circuito digital

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONESEn el supermercado de Apus le piden diseñar un circuito para la apertura automática del mini mercado. Para el control de la puerta se tienen 3 entradas las cuales se describen a continuación: • Persona detectada: Cuando una persona se acerca a la puerta y esta es

detectada por un sensor la puerta se abre.• Forzar apertura: Entrada que cuando esta activa fuerza a que la puerta

permanezca abierta.• Forzar cerrado: Entrada que cuando esta activa fuerza a que la puerta

permanezca cerrada.

De las dos entradas la mas prioritaria es la de cerrado de modo que cuando ambas están activas la puerta se cierra. El control funciona cuando la entrada forzar cerrado este inactiva sin importar que se si se detecta o no una persona estando la entrada forzar apertura activa o cuando se detecta una persona y ambas entradas de forzado están inactivas.

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONESAnálisis del problema

Salida:• f: abrir puerta (f=1, la puerta se abre).

Entradas:• p: Persona detectada. (p = 1, se detecto una persona).• h: Forzar puerta abierta. (h = 1, switch para forzar apertura se activo).• c: Forzar puerta cerrada. (c = 1, switch para forzar cerrado se activo).

¿Cuándo se abre la puerta?• Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y

detecto una persona (p = 1).• Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y

no se detecto una persona (p = 0).• Cuando se detecto una persona (p=1), forzar apertura esta desactivado (h = 0) y

forzar cerrado también lo esta (c = 0).

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES

f = p’hc’ + ph’c’ + phc’

¿Cuándo se abre la puerta?• Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y

detecto una persona (p = 1).• Cuando forzar abierto se active (h=1) estando forzar cerrado desactivado (c=0) y

no se detecto una persona (p = 0).• Cuando se detecto una persona (p=1), forzar apertura esta desactivado (h = 0) y

forzar cerrado también lo esta (c = 0).

p’hc’

ph’c’

phc’

Ecuación

Tabla de verdad

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONESEl principal objetivo del diseño de circuitos lógicos combinacionales es la construcción de circuitos utilizando el mínimo numero de compuertas y entradas desde la especificación del comportamiento del circuito. (Simplificar).

f = p’hc’ + ph’c’ + phc’f = phc’ + p’hc’ + ph’c’ Prop. Conmutativaf = hc’(p + p’) + ph’c’ Prop. Distributivaf = hc’(1) + ph’c’ Complementof = hc’ + ph’c’ Identidad

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES

f = p’hc’ + ph’c’ + phc’ f = hc’ + ph’c’

La misma función lógica puede ser especificada por dos o mas expresiones algebraicas diferentes.

Como comprobar equivalencia entre

dos funciones?

Comparación de las tablas de verdad de las expresiones

Manipulación algebraica (previamente visto)

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES

Comparación de las tablas de verdad de las expresiones f = p’hc’ + ph’c’ + phc’

f = hc’ + ph’c’

Iguales

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES

Comparación de las tablas de verdad de las expresiones

Considere dos expresiones algebraicas que definen la función 𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′ 𝑧+𝑥 ′ 𝑦𝑧𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONES

Comparación de las tablas de verdad de las expresiones

Considere dos expresiones algebraicas que definen la función 𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′ 𝑧+𝑥 ′ 𝑦𝑧𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧

=

EQUIVALENCIA ENTRE FUNCIONESComparación de las tablas por manipulación algebraicaDetermine la equivalencia entre las funciones anteriormente mostradas usando manipulación algebraica.𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥 𝑦 ′+𝑥 ′ 𝑦𝑧𝐹 1=𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧

xy + xy’z + x’yz = xy + xyz + xy’z + x’yz T4. Absorción = xy + xz(y + y’) + x’yz P4. P. Distributiva = xy + xz(1) + x’yz P6. Complemento = xy + xz + x’yz P5. Identidades = xy + (x + x’yz)(z+x’yz) P4. P. Distributiva = xy + (x + yz)(z+x’yz) T7. Absorcion = xy + (x + yz)(z) T4. Absorcion = xy + xz +yzz P4. P. Distributiva

xy + xy’z + x’yz = xy + xz +yz T2. Idempotencia

FORMAS CANONICAS• Una función lógica se puede definir mediante una tabla de verdad, sin

embargo existen muchas alternativas de implementación de circuitos lógicos que tienen la misma tabla de verdad.

• La forma canónica es una implementación estándar para una expresión booleana.

• Solo hay una forma canónica para representar una función logica.• La forma canónica para una función lógica puede ser representada en dos

formas:• SOP (Suma de productos).• POS (Producto de sumas).

SUMA DE PRODUCTOS

A’B’C

A’BC

A’BC’ABC’ABC

F(A,B,C) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC

Suma de productos: Suma (OR) de términos productos (AND) , formados por varias variables complementadas o no.

Mintermino: Es un termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma complementada o no.

Notación abreviada para minterminos de 3 variables

SUMA DE PRODUCTOS

F (A , B ,C ) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC

A’B’C

A’BC

A’BC’ABC’ABC

𝑭 ( 𝑨 ,𝑩 ,𝑪 )=∑ (𝟏 ,𝟑 ,𝟓 ,𝟔 ,𝟕)Cualquier función booleana puede expresarse como la suma (OR) de los minterminos correspondientes a las filas de la tabla de verdad para los cuales la función produce una salida de 1

PRODUCTO DE SUMAS

A + B + C

F(A,B,C) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C)

Producto de sumas: Producto (AND) de términos sumas (OR) formados por variables complementadas o no.

Maxtermino: Es un termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no ambas.

Notación abreviada para maxterminos de 3 variables

A + B’ + C

A’ + B + C

A’ + B + C

SUMA DE PRODUCTOS

F (A , B ,C ) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C)

𝑭 ( 𝑨 ,𝑩 ,𝑪 )=∏ (𝟎 ,𝟐 ,𝟒)Cualquier función booleana puede expresarse como el producto (AND) de los maxterminos correspondientes a la fila de la tabla para los cuales la funcion produce una salida 0.

A + B + C

A + B’ + C

• Un producto de sumas POS es igual a 0 Si uno o mas términos suma que forman la expresión es igual a 0.

FORMA ESTANDAR

• Una suma de productos SOP es igual a 1 Si uno o mas términos productos que forman la expresión es igual a 1.

F(A,B,C) = A’B’C + A’BC + A’BC’ + ABC’ ABC

Ejemplo:Evaluar la función para la secuencia ABC de 000 y 001.

Representación binaria de SOPEl termino AB’CD’ es igual a 1 cuando A=1, B = 0, C = 1 y D = 0 ABCD = 10102 = 1010

• La forma estándar de SOP o POS, es aquella en la que todas las variables aparecen en cada uno de los términos.

F(A,B,C) = (A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C)

Ejemplo:Evaluar la función para la secuencia ABC de 100 y 011.

Representación binaria de POSEl termino A+B’+C+D’ es igual a 0 cuando A=0, B = 1, C = 0 y D = 1 ABCD = 01012 = 510

MINTERMINOS .vs. MAXTERMINOSMinterminos:• Es cada uno de los términos

de una SOP estándar.• Las variables pueden ser

complementadas (A’ = 0) o no (A = 1).

• Una función SOP es una suma de minterminos (m).

Maxterminos:• Es cada uno de los términos

de una POS estándar.• Las variables pueden ser

complementadas (A’ = 1) o no (A = 0).

• Una función SOP es una productoria de maxterminos (M).

Ejemplo (minterminos)

f(a,b,c) = a’bc’ + abc’ + a’bc+ abc 010 110 011 111

Donde:

f(a,b,c)= m2+m6+m3+m7

f(a,b,c)= m (2,3,6,7)

Ejemplo (maxterminos)

f (a,b) = (a+b)(a’+b)(a’+b’) 00 10 11

Donde:

f(a,b,c)= M0.M2.M3

f(a,b,c)= M (0,2,3)

CONVERSION A FORMA ESTANDAR DE SOP• Se debe buscar la variable faltante en cada uno de los términos y agregarla,

sin afectar el resultado final de la expresión.

Ejemplo:La siguiente función no se encuentra en forma estándar, muestre paso a paso el procedimiento para llevarla a su forma estándar.

F(x,y,z) = x’y + x’z

Solución:

Falta z Falta y

F(x,y,z) = x’y(1) + x’z(1) Se multiplica cada termino incompleto por 1F(x,y,z) = x’y(z + z’) + x’z(y + y’) P6. ComplementoF(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + x’zy + x’zy’ P6. Propiedad distributivaF(x,y,z) = x’yz + x’yz’ + x’zy’ P6. Idempotencia

CONVERSION A FORMA ESTANDAR DE POS• Se procede similarmente al caso anterior con algunas pequeñas diferencias.

Ejemplo:La siguiente función no se encuentra en forma estándar, muestre paso a paso el procedimiento para llevarla a su forma estándar.

F(x,y,z,w) = (x + y’ + z)(y’ + z + w’)

Solución:

Falta w Falta x

• x + y’ + z + 0 = x + y’ + z + ww’ = (x + y’ + z + w)(x + y’ + z + w’)

F(x,y,z) = (x + y’ + z + w)(x + y’ + z + w’) (y’ + z + w’ + x)(y’ + z + w’ + x’)

1. Se suma a cada termino AA’ = 0 y se aplica la propiedad distributiva para la operación la suma (+).

• y’ + z + w’ + 0 = y’ + z + w’ + xx’ = (y’ + z + w’ + x)(y’ + z + w’ + x’)2. Se multiplican (AND) los términos suma