Clase 4. 2.1.1 Ec. Dif Variables Separables 16-04-2015
description
Transcript of Clase 4. 2.1.1 Ec. Dif Variables Separables 16-04-2015
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 2:
El alumno resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden por diversos métodos.
2.1.- Variables separables y reducibles a éstas.2.2 .- Variables homogéneas y reducibles a éstas.
2.3.- Exactas. Factores integrantes.2.4.- Lineales.2.5.- No lineales a lineales.2.5.1.- Bernoulli.2.5.2.- Ricatti.2.5.3 .- Clairaut..
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.1.- Variables separables y reducibles a éstas.
2.1.1.- Variables separables Es una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:
)()( yhxgdx
dy 1
La ecuación se resuelve separando las variables, colocando la variable dependiente a la izquierda del signo igual y la variable independiente a la derecha, de la siguiente forma
dxxgdyyh
)()(
1 2
La ecuación 2, se puede integrar; el lado izquierdo se integra con respecto
a y , y el lado derecho con respecto a x .
Cdxxgdyyh
)()(
1 3
La variable y es una función de x ; Solamente se considera una una
constante de integración.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación separable
xdx
dy8
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación separable
xdx
dy8
)()( ygxgdx
dy
xxg 8)( y 1)( yg
xdxdy 8
Cxdxdy 8 cxy 2
2
18
Cxy 24 Solución explícita
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación separable
y
x
dx
dy
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación separable
y
x
dx
dy
1.- xdxydy
2.- xdxydy +C
3.- Cxy 22
2
1
2
1
4.- Cxy 22 Solución implícita
5.- 21
2 cxy Solución implícita
6.- 21
21 Cxy Solución explícita
21
22 Cxy Solución explícita
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación separable
04 xydx
dy
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuación separable
04 xydx
dy
1.- xdxy
dy4
2.- xdxy
dy4
3.- cxy 2
2
4ln
4.- cxy ee
22ln
5.-
cx eey22 cec
6.-
22xcey
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 4: Resolver la siguiente ecuación separable
xedx
dy 21
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 4: Resolver la siguiente ecuación separable
xedx
dy 21
Se escribe la ecuación de la forma de variables separables:
)()( yhxgdx
dy )1)(1( 2xe
dx
dy
Se identifican g(x) = (1+e2x) y h(y)=(1), se despejando dy y la
función h(y)=(1), se tiene:
dxedy x )1( 2
Se integra ambos miembros, para obtener el valor de y
Cdxedy x )1( 2 Cdxedxy x
2
Ce
xyx
2
2
Ce
xyx
2
2
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 5.- Resolver la siguiente ecuación separable
0)1( ydxdyx
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 5.- Resolver la siguiente ecuación separable
0)1( ydxdyx
Se escribe la ecuación de la forma de variables separables,
yx
yhxgdx
dy
1
1)()( y
xdx
dy
1
1
Se identifica x
xg
1
1)( y yyh )( y se despeja
dx
dy:
0)1(
x
dx
y
dy
)1( x
dx
y
dy
Se integra la ecuación, el mimbro izquierdo con respecto a y y el lado
derecho con respecto a x , usando una sola constante C
Cx
dxdy
)1(y
1 Cxy 1lnln
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Utilizando las leyes de los exponentes, la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera:
cxcxyeeee .
1ln1lnln ;
cexy 1
La ecuación anterior se puede escribir como:
)1( xey c
Haciendo eC=C, se tiene que:
)1( xCy
Esta solución implícita está definida por las dos soluciones explicitas siguientes:
)1(1 xCy xx 11 1x
)1(2 xCy )1(1 xx 1x
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 6.- Resolver la siguiente ecuación separable, de valor inicial
y
x
dx
dy
para 3)4( y
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 6.- Resolver la siguiente ecuación separable, de valor inicial
y
x
dx
dy para 3)4( y
La ecuación se puede escribir de la siguiente forma, separando las variables:
xdxydx
Integrando se obtiene
cxdxydy cxy
22
22
Esta solución se puede escribir en la forma:
cyx 222
Si sustituimos 2C por C2 se puede observar que la solución representa una serie de circunferencias con centro en el origen.
222 cyx
Esta ecuación es una solución implícita Cuando x=4 y y=-3, se tiene: 42 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25 = C2, con radio 5. La solución explicita que cumpla la condición inicial en el intervalo -5<x<5, es:
2/12 )25( xy
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Ecuaciones diferenciales
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales
Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 7.- Resolver la siguiente ecuación separable, de valor inicial
xydx
dy2 para 1)0( y
Se separan las variables:
xdxy
dx2
Integrando se obtiene
cxdxy
dy 2 cxy 2ln
Esta solución se puede escribir en la forma:
Cxey 2
cx eey
2
Si sustituimos Cec se puede observar que la solución representa una cuerva en forma de campana.
2xcey
Esta ecuación es una solución explicita, que cumple con lo siguiente:
CeC , cuando 0y ; y CeC , cuando 0y