MI68A Clase 4 Modelamiento de variogramaEl variograma experimental requiere ser modelado: es imperfecto (los puntos obtenidos estn sujetos a imprecisin) es incompleto (se calcul de manera discreta a lo largo de algunas direcciones del espacio) Se ajusta un modelo de variograma, definido en todas las direcciones del espacio y para todas las distancias, en torno al variograma experimental obtenido. Se usar este modelo como si fuera el verdadero variograma de la funcin aleatoria que representa la variable en estudio.

Propiedades de un variograma terico funcin positiva: g(h) 0 funcin par: g(h) = g(-h) nulidad en el origen: g(0) = 0 funcin de tipo negativo condicional para distancias muy grandes, crece menos rpidamente que una parbolaUn variograma debe satisfacer varias restricciones matemticas:

Caractersticas esenciales de un variograma (1)1) Comportamiento en el origenMientras ms regular el variograma en el origen (distancias cercanas a 0), ms regular la variable regionalizada en el espacio. Se distingue tres tipos de comportamiento para el variograma: derivable: variable regionalizada muy suave

lineal: variable regionalizada continua

discontinuo (efecto pepita): variable regionalizada errtica

Caractersticas esenciales de un variograma (2)

Caractersticas esenciales de un variograma (3)2) Comportamiento para distancias muy grandesFrecuentemente, el variograma se estabiliza en torno a una meseta cuando la distancia crece infinitamente.meseta= varianzaalcance

Caractersticas esenciales de un variograma (4)A veces, el variograma sigue creciendo infinitamente.

Caractersticas esenciales de un variograma (5)3) Comportamiento direccionalEl estudio de los variogramas direccionales o del mapa variogrfico permite identificar las anisotropas de la variable regionalizada.

Caractersticas esenciales de un variograma (6)4) Otras caractersticasPeriodicidades: frecuente con fenmenos temporales, menos con fenmenos espacialesEfecto de hoyo: el variograma no es montono

Caractersticas no descritas por el variogramaEl variograma slo proporciona una caracterizacin parcial de la funcin aleatoria; varias caractersticas de la distribucin espacial no estn descritas por esta herramienta, como la conectividad espacial de las leyes.

Modelos elementales (1)Efecto pepita:Este modelo se traduce en una ausencia total de correlacin en el espacio: dos datos distintos tienen valores independientes.

Modelos elementales (2)Modelo esfrico:alcance = a, meseta = C

Modelos elementales (3)Modelo exponencial:El parmetro a es el alcance prctico: corresponde a la distancia para la cual el variograma llega al 95% de su meseta C.

Modelos elementales (4)Modelo gaussiano:alcance prctico = a, meseta = C

Modelos elementales (5)Modelo potencia:El exponente q puede variar entre 0 (variograma peptico) y 2 (variograma parablico). Este variograma no posee alcance ni meseta

Modelos elementales (6)Modelo seno cardinal:alcance prctico = 20.4 a, semi-perodo = 4.5 a, meseta = C

Modelos anidados (1) Para obtener modelos ms complejos, se puede sumar varios variogramas elementales. En este caso, se habla de variogramas anidados.El uso de variogramas anidados permite modelar cambios de pendientes en los variogramas direccionales.

Modelos anidados (2) El concepto de variogramas anidados permite explicar una de las causas del efecto pepita: se trata de un modelo anidado de alcance muy corto con respecto a la escala de observacin (micro-estructura).

Modelos anidados (3) Otras causas que generan un efecto pepita en el variograma experimental: errores de medicin errores en la ubicacin de los datos muestreo preferencial en zonas de mayor variabilidad soporte de la medicin demasiado pequeo: la amplitud del efecto pepita es inversamente proporcional al volumen de la muestra

Anisotropa (1) DefinicinUn variograma es istropo si es idntico en todas las direcciones del espacio. En caso contrario, existe anisotropa, la cual indica que la variable regionalizada posee direcciones preferenciales en cuanto a su continuidad espacial.IdentificacinUna herramienta para detectar las anisotropas es el mapa variogrfico, o sea el mapa de isovalores del variograma experimental en funcin de la separacin (distancia y orientacin).

Anisotropa (2) Modelamiento: anisotropa geomtricaEl mapa variogrfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). El modelamiento slo requiere especificar las direcciones principales (ortogonales entre s) y los alcances correspondientes.

Anisotropa (3) Modelamiento: anisotropa zonalEl mapa variogrfico dibuja bandas; se trata de un caso lmite de anisotropa geomtrica, donde el alcance en una direccin se vuelve muy grande. A la escala de trabajo, la meseta cambia segn la direccin.

Anisotropa (4) Modelamiento: anisotropas complejasSe obtiene formas ms complejas de anisotropa al superponer anisotropas geomtricas y/o zonales de orientacin y razn diferentes.

Reglas de ajuste (1) EjercicioProponer un modelo para el siguiente variograma, suponiendo que las direcciones principales corresponden a los ejes de coordenada

Reglas de ajuste (2) Regla: 1) Determinar el efecto pepita2) Determinar los alcances y mesetas en cada direccin3) Determinar la cantidad y los tipos de modelos que se anidarn para el ajuste

Reglas de ajuste (3) Empezamos con un efecto pepita de amplitud (meseta) 0.1Luego se agrega una estructura (exponencial) que llega a la primera meseta, con alcances propios a cada direccinLuego se agrega una segunda estructura para llegar a la segunda meseta, dejando infinito el alcance en la direccin 1Finalmente se agrega una tercera estructura para llegar a la meseta total, dejando infinitos los alcances en las direcciones 1 y 2g(h) = 0.1 pepa + 0.9 exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m) + 0.2 exp(,,50m)

Reglas de ajuste (4) Verificacing(h) = 0.1 pepa + 0.9 exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m) + 0.2 exp(,,50m)La suma de las mesetas de los modelos anidados vale:

0.1 + 0.9 + 0.3 + 0.2 = 1.5 = meseta total

Consideraciones prcticas (1) Generalmente, se busca modelar anisotropas sencillas, con 2 3 direcciones principales ortogonales entre s buscar la elipse o el elipsoide que mejor se acerca al mapa variogrfico El variograma experimental es poco confiable para las distancias grandes (superiores a la mitad del dimetro del campo). La meseta del variograma (varianza terica) puede diferir de la varianza del histograma (varianza emprica).

Consideraciones prcticas (2) Se debe prestar atencin a la representatividad de los puntos experimentales, a la informacin disponible sobre la variable regionalizada y a la escala de trabajo. Desconfiar de los procedimientos de ajuste automticos el anlisis variogrfico debe ser un trabajo interactivo, donde el usuario tiene la palabra final. No existe un modelo nico.

Aplicacin a los datos de Andina (1)Estudio de anisotropa (mapa variogrfico)Se destaca la direccin vertical, en oposicin con las direcciones horizontales.

Aplicacin a los datos de Andina (2)Variograma experimentalCalculado cada 20m en el plano horizontal y 12m en la vertical (con tolerancia angular de 15 )

Aplicacin a los datos de Andina (3)Variograma modeladoAdicin de tres modelos (pepita y dos esfricos):g(h) = 0.05 pep + 0.13 esf (15m,180m) + 0.28 esf(100m,180m)

Validacin cruzada (1) validar el modelo terico de variograma comparar la calidad de varios modelos posibles validar los parmetros del kriging (vecindad...) ObjetivosEl kriging es un mtodo que permite estimar el valor de una variable con un promedio ponderado de los valores de los datos vecinos. La ponderacin ptima depende del modelo de variograma. Como resultado, el kriging tambin entrega la desviacin estndar del error, que mide la amplitud potencial de ste.

Validacin cruzada (2) estimar sucesivamente por kriging cada dato, considerando solamente los datos restantes calcular el error de estimacin (valor estimado menos valor real) cometido en cada sitio con dato estudiar la calidad de los errores de estimacin por medio de herramientas estadsticas y grficas. Se puede complementar con el estudio de errores estandarizados (es decir, los errores divididos por su desviacin estndar calculada por el kriging).Principio

Validacin cruzada (3)Ilustracin con los datos de Andina

Validacin cruzada (4)Ilustracin con los datos de Andina

Validacin cruzada (5) medias de los errores y de los errores estandarizados varianza de los errores varianza de los errores estandarizados nube de dispersin entre valores reales y estimadosdeben ser cercanas a cero estimador insesgadodebe ser la ms pequea posible estimador preciso debe ser cercana a 1 el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre la regresin debe acercarse a la diagonal insesgo condicional Factores que considerar para la validacin del modelo

Validacin cruzada (6)Qu implica tener sesgo condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de cortebotaderoCentro de gravedad sobre la diagonal: la ley media estimada es menor que la ley verdadera.Centro de gravedad de la nube en la diagonal: la ley media estimada es igual a la ley media verdadera.

Validacin cruzada (7)Qu implica tener sesgo condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de corteplantaCentro de gravedad bajo la diagonal: la ley media estimada es mayor que la ley verdadera.

Validacin cruzada (8)Estudio del insesgo condicional Ley de corte [%Cu] Media efectiva Media estimada 0.00 1.054 1.056 0.20 1.054 1.056 0.40 1.092 1.094 0.60 1.182 1.186 0.80 1.299 1.301 1.00 1.446 1.451 1.20 1.628 1.629 1.40 1.849 1.846 1.60 2.043 2.046 1.80 2.325 2.295 2.00 2.608 2.563 2.20 2.996 2.922 2.40 3.301 3.123 2.60 3.746 3.490 2.80 3.970 3.657Comparar las leyes promedio reales y estimadas al seleccionar los datos cuyos valores estimados superan una ley de corte

Validacin cruzada (9)Estudio del insesgo condicionalEn este caso, el sesgo condicional es despreciable.