Clase 4 - Distribucion Probabilistica Normal (1).ppt

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1-1 Ing. Wilbert Zevallos Gonzales DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS CONTINUAS UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CONTROL DE PROCESOS

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  • 1-1Ing. Wilbert Zevallos GonzalesDISTRIBUCIONES PROBABILISTICASCONTINUAS

    UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIAPROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERA INDUSTRIALCONTROL DE PROCESOS

  • Introduccin Una variable aleatoria continua es la que puede tomar un numero infinito de valores posibles dentro de una gama o variedad especifica.Ejemplos de las distribuciones probabilsticas son: las expectativas de vida de algunos productos tienden a seguir un patrn normal.

  • Caractersticas de la distribucin probabilstica normal La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribucin.La media, mediana y moda de la distribucin aritmtica son iguales y se localizan en el pico.La mitad del rea bajo la curva est a la derecha del pico, y la otra mitad est a la izquierda.

  • Caractersticas de la distribucin probabilstica normalLa distribucin normal es simtrica respecto a su media.La distribucin normal es asinttica - la curva se acerca cada vez ms al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

  • Caractersticas de una distribucin normalLa media, mediana ymoda son igualesLa curva normal essimtricaEn teora,la curva seextiende hastainfinitoa

  • No existe slo una distribucin probabilstica normal, sino que hay una familia de ellas.Existe una distribucin probabilstica normal para los tiempos de servicio de los empleados de la planta Camden, para la que la media es 20 aos y la desviacin estndar vale 3.1. Existe otra distribucin probabilstica normal para los citados tiempos en la planta, para la cual =20 y = 3.9 y as sucesivamente. Se tiene varias distribuciones normales con medias iguales y desviaciones diferentes.

    Caractersticas de la distribucin probabilstica normal

  • Tambin se puede observar distribuciones probabilsticas normales con medias diferentes , pero desviaciones estndares iguales.Adems, existen distribuciones probabilsticas normales con diferentes medias y desviaciones estndares.Caractersticas de la distribucin probabilstica normal

  • Distribucin normal estndarDado que existe una familia de distribuciones normales con valores diferentes de media y desviacin estndar, resultara fsicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinacin de y .Por fortuna, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde tal distribucin resulte aplicable.

  • Distribucin normal estndarUna distribucin normal que tiene media igual a 0 y desviacin estndar igual a 1 se denomina distribucin normal estndar.Cualquier distribucin normal puede convertirse en una distribucin normal estndar restando la media a cada observacin, y dividiendo luego entre la desviacin estndar.Primero se convierte, o se estandariza, la distribucin a una distribucin normal estndar utilizando el valor z.

  • Distribucin normal estndarValor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la poblacin media , dividida entre la desviacin estndar de la poblacin ,X = es el valor de cualquier medida u observacin especifica = es la media de la distribucin = es la desviacin estndar de la distribucin.

  • EJEMPLO 1El ingreso mensual que una corporacin grande ofrece a los graduados en MBA tiene una distribucin normal con media de $2000 y desviacin estndar de $200. Cul es el valor z para un ingreso de $2200? y cul para uno de $1700?Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1.

  • EJEMPLO 1 continuacinPara X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviacin estndar de la media de $2000, as como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviacin estndar de la media de $2000.

  • reas bajo la curva normalCerca de 68% del rea bajo la curva normal est a menos de una desviacin estndar respecto a la media.Alrededor de 95% est a menos de dos desviaciones estndar de la media.99.74% est a menos de tres desviaciones estndar de la media.

  • reas bajo la curva normalEntre:1.68.26%2.95.44%3.99.74%

    2001 Alfaomega Grupo Editor

  • EJEMPLO 2El consumo de agua diario por persona en New Providence, Nueva Jersey tiene una distribucin normal con media de 20 galones y desviacin estndar de 5 galones.Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence est entre cules dos valores. Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua est entre 15 y 25 galones.

  • EJEMPLO 3Cul es la probabilidad de que una persona de New Providence seleccionada al azar use menos de 20 galones por da?El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. As, P(X
  • -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4P(0 < z < .8)= .2881EJEMPLO 30 < X < .8 2001 Alfaomega Grupo Editor

  • EJEMPLO 3 continuacinQu porcentaje de la poblacin utiliza entre 18 y 26 galones?El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. As, P(18
  • EJEMPLO 4El profesor Mann determin que el promedio final en su curso de estadstica tiene una distribucin normal con media de 72 y desviacin estndar de 5. Decidi asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificacin de A. Cul es el promedio ms bajo que un alumno puede tener para obtener una A?Sea X el promedio ms bajo. Encuentre X de manera que P(X > X) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. As se tiene (X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2

  • EJEMPLO 4 0 1 2 3 4Z=1.04

    15%

  • EJEMPLO 5La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribucin normal con media de $80 y desviacin estndar de $10. Shelli siente que ha dado un mal srvicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. Cul es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio?Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. As P(X
  • Aproximacin normal a la binomialLa tabla de probabilidades binomiales van en forma sucesiva desde una n de 1 hasta una n de 20, y despus a una n=25.Supngase que un problema se relaciona con obtener una muestra de tamao 60.El generar una distribucin para un numero de esa dimensin tomara mucho tiempo, aun utilizando una computadora.Un enfoque ms eficiente consiste en aplicar la aproximacin normal a la binomial.

  • Aproximacin normal a la binomialUtilizar la distribucin normal (una distribucin continua) como sustituto de una distribucin binomial (una distribucin discreta) para valores grandes de n, parece razonable porque conforme n aumenta, una distribucin binomial se acerca ms a una distribucin normal.La distribucin de probabilidad normal, en general, se considera una buena aproximacin a la binomial cuando n y n(1 - ) son ambos mayores que 5.

  • Aproximacin normal continuacinRecuerde el experimento binomial :existen slo dos resultados mutualmente excluyentes (xito o fracaso) en cada ensayo.una distribucin binomial es el resultado de contar el nmero de xitos en una cantidad fija de ensayos.cada ensayo es independiente. la probabilidad es fija de un ensayo a otro, y el nmero de ensayos n tambin es fijo.

  • Distribucin binomial para n igual a 3 y 20, donde =.50

  • Factor de correccin por continuidadPara mostrar la aplicacin de la aproximacin normal a la binomial, y la necesidad de un factor de correccin, supngase que la gerencia de un restaurante encontr que 70% de sus nuevos clientes vuelve en otra ocasin. En una semana en la que 80 consumidores recientes (de primera vez) cenaron en el establecimiento, cual es la probabilidad de que 60 o mas regresen en otra ocasin?

  • Factor de correccin por continuidadLa frmula para la distribucin de probabilidad binomial es:

  • Factor de correccin por continuidadLas probabilidades binomiales para la distribucin entre 43 y 68 clientes que regresan se muestran en le tabla que sigue:

  • Factor de correccin por continuidad

  • Factor de correccin por continuidadSe puede determinar la probabilidad de 60 o ms sumando 0.063 + 0.048 +.+ 0.001, lo que da 0.197.Sin embargo, al observar la representacin siguiente podemos ver la similitud de esta distribucin con una del tipo normal.Todo lo que se tiene que hacer es convertir las probabilidades discretas en una distribucin continua.

  • Factor de correccin por continuidadEl objetivo es dejar que la probabilidad discreta para 56 clientes sea representada por un rea bajo la curva entre 55.5 y 56.5. Despus, considerar que la probabilidad para 57 clientes corresponda a un rea entre 56.5 y 57.5 y as sucesivamente.Debido a que se utiliza la grafica normal para determinar el probabilidad binomial de 60 o mas xitos, se resta, 0.5 de 60. El valor 0.5 se denomina factor de correccin por continuidad. Este pequeo ajuste debe hacerse porque una distribucin continua (la del tipo normal) sirve para aproximar una distribucin discreta (la binomial). Restando, 60 - 0.5 = 59.5

  • Factor de correccin por continuidadEl valor .5 se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribucin de probabilidad binomial (una distribucin discreta) se aproxima por una distribucin de probabilidad continua (la distribucin normal).

  • Como aplicar el factor de correccinLos pasos para utilizar la distribucin normal a fin de aproximar la probabilidad de que 60 o mas clientes nuevos, de 80, regresen al restaurante son:Paso 1: Hallar el valor de z que corresponde a una X de 59.5

  • Como aplicar el factor de correccinPaso 2: En tablas el rea correspondiente a z=0.85 es 0.3023Paso 3: Calcular el rea mas all de 59,5 a; restar 0.3023 de 0.5000 = 0.1977

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