Clase 4 inducción electromagnética
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Inducción electromagnética Clase 04
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Inducción electromagnéticaClase 04
Inducción electromagnética
En los temas anteriores se plantearon problemas relacionados con camposmagnéticos sin considerar el tiempo, o sea estáticos. Ahora iniciaremos la soluciónde problemas relacionados con campos magnéticos variables.
Flujo magnético
El flujo magnético ∅ (también se representa por ∅𝐵 𝑜 ∅𝑚 ) a través de unasuperficie se define matemáticamente por:
La unidad de flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb)
∅ =
𝑠𝑢𝑝
𝐵 ∙ 𝑑𝐴
Inducción electromagnética
El flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada es cero.
En forma equivalente, el número de líneas de campo magnético que entran a unasuperficie cerrada es la misma que el numero de líneas que salen de ella. Las líneasde campo magnético son siempre cerradas, pues no existen polos magnéticosaislados.
∅ = 𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0
Inducción electromagnética
Los experimentos realizados por Michel Faraday en Inglaterra en 1851, y losconducidos por Joseph Henry en Estados Unidos en el mismo año, mostraron queuna corriente eléctrica podría inducirse en un circuito mediante un campomagnético variable. Este fenómeno se conoce con le nombre de inducciónelectromagnética.
Ley de inducción de Faraday
Esta ley establece que la fem inducida en un circuito es directamente proporcionala la variación con respecto del tiempo del flujo magnético a través del circuitomatemáticamente se expresa por:
𝜀 = −𝑑∅𝑚𝑑𝑡
Inducción electromagnética
El signo negativo indica que la fem inducida tiene tal dirección que se opone alcambio que la produce. De la definición del flujo magnético se sabe que suvariación se puede producir variando el campo magnético o la superficie, o elángulo que forman el campo magnético y la superficie (área). La corriente inducidasólo dura mientras esta variando el flujo magnético.
Ley de Lenz
La fem y la corriente inducidas se oponen a la causa que las produce, es decir, lascorrientes inducidas producen campos magnéticos que tienden a anular loscambios de flujo que las inducen.
Inducción electromagnética
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento
Cuando un conductor de longitud ℓ se mueve en el interior de un campomagnético 𝐵 sea perpendicular al conductor, la fem inducida se expresa por laecuación:
𝜀 = −𝐵ℓ𝑣
Inducción electromagnética
Generación de corrientes alternas
Un generador de corriente alterna es un dispositivo que transforma la energíamecánica en energía eléctrica. Se basa en la ley de inducción de Faraday. En su
forma más sencilla, es un conjunto de 𝑁 espiras de alambre de área 𝐴 cada una,que giran en el interior de un campo magnético 𝐵 mediante algún medio externocon velocidad angular constante 𝜔.
La fem inducida al variar el flujo magnético es:
𝜀 = −𝑁𝑑∅𝑚𝑑𝑡
= −𝑁𝑑 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝜀 = −𝑁𝐴𝐵𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝜀𝑜𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
Inducción electromagnética
Donde la fem máxima es
𝜀𝑜 = 𝜀𝑚 = 𝑁𝐴𝐵𝜔
Problemas
Problema 1
Se coloca una espira plana en un campo magnético uniforme cuya dirección esperpendicular al plano de la espira. Si el área del espira aumenta a razón de
0.04 𝑚2/𝑠 se induce una fem de 0.16V, ¿Cuál es la magnitud del campomagnético?
Problemas
Solución
Datos
𝑁 = 1,𝑑𝐴
𝑑𝑡= 0.04
𝑚2
𝑠, 𝜀 = 0.16
La fem inducida está dada por
𝜀 = −𝑁𝑑∅𝑚
𝑑𝑡
Como el campo magnético es perpendicular a la espira, el flujo magnéticoesta dado por
∅𝑚 = 𝐵𝐴
Problemas
Solución
Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida, setiene
𝜀 = −𝑁𝑑𝐴𝐵
𝑑𝑡= −𝑁𝐵
𝑑𝐴
𝑑𝑡
Despejando el campo magnético y sustituyendo valores, se tiene
𝐵 = −𝜀
𝑁𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −0.16
1(0.04)
𝐵 = 4𝑇
Problemas
Problema 2
Una bobina circular tiene un diámetro de 16.7 cm y 24 vueltas. El campo magnético
es perpendicular al plano de las espiras. Si el campo aumenta linealmente de 2𝜇𝑇 a8𝜇𝑇 en un tiempo de 0.6s, ¿Cuál es la fem inducida?
𝐷
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝐵 = 2𝜇𝑇 ⟶ 8𝜇𝑇
Problemas
Solución
Como el campo magnético es perpendicular a las espiras, el flujomagnético esta dado por
∅𝑚 = 𝐵𝐴
Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la fem inducida, setiene
𝜀 = −𝑁𝑑∅𝑚
𝑑𝑡= −𝑁
𝑑𝐴𝐵
𝑑𝑡= −𝑁𝐴
𝑑𝐵
𝑑𝑡
Por otro lado, como el campo magnético aumenta linealmente, la rapidezde cambio del campo magnético esta dado por
𝑑𝐵
𝑑𝑡=𝐵1−𝐵0
∆𝑡
Problemas
Solución
Sustituyendo la rapidez de cambio magnético en la expresión de la fem, se
tiene y considerando que el área es 𝜋𝑟2 = 𝜋𝐷
2
2
𝜀 = −𝑁𝐴𝐵1−𝐵0
∆𝑡= −𝑁𝜋
𝐷
2
2 𝐵1−𝐵0
∆𝑡= −
𝑁𝜋𝐷2
4
𝐵1−𝐵0
∆𝑡
Sustituyendo los valores, se tiene
𝜀 = −24 𝜋 16.7×10−2
2
4
8×10−6−2×10−6
0.6= −5.26𝜇𝑉
Problemas
Problema 3
Un campo magnético uniforme y constante 𝐵 = 0.5𝑇 pasa a través de una bobinaplana circular de alambre de 16 vueltas, cada espira con un área de 4.8 𝑐𝑚2. Si labobina gira sobre un eje que pasa por su diámetro con una velocidad angular 𝜔 =60𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, calcule la fem inducida como función del tiempo, si inicialmente en 𝑡 =0 el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina.
Problemas
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝜔
𝑩
Problemas
Solución
Datos 𝐵 = 0.5𝑇,𝑁 = 16, 𝐴 = 4.8 × 10−4 𝑚2, 𝜔 = 60𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
La fem inducida está dada por
𝜀 = −𝑁𝑑∅𝑚
𝑑𝑡
El flujo magnético esta dado por
∅𝑚 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
Problemas
Sustituyendo el flujo magnético en la expresión de la feminducida, se tiene
𝜀 = −𝑁𝑑 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝑡= −𝑁𝐴𝐵
𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑑𝑡
El ángulo en función del tiempo es
𝜃 = 𝜔𝑡
Sustituyendo el ángulo en la fem inducida y derivando, setiene:
𝜀 = −𝑁𝐴𝐵𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑑𝑡= 𝑁𝐴𝐵𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
Problemas
Sustituyendo valores
𝜀 = 16 4.8 × 10−4 0.5 60𝜋 𝑠𝑒𝑛 60𝜋𝑡
𝜀 = 0.72𝑠𝑒𝑛 188.5𝑡 𝑉
Problemas
Problema 4
Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobinarectangular de 50 cm por 20 cm, situada dentro de un campo magnético uniformede magnitud 3.5 mT. Calcule el valor máximo de la fem inducida cuando gira labobina a razón de 1200 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicularal campo.
20 𝑐𝑚
𝜔𝑟𝑝𝑚
𝑁 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
Problemas
Solución
Datos
𝑁 = 97, 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 50 × 10−2 𝑚 𝑝𝑜𝑟 20 × 10−2𝑚, 𝐵 = 3.5 × 10−3𝑇,
𝜔𝑟𝑝𝑚 = 1200 𝑟𝑝𝑚
La fem inducida máxima esta dada por
𝜀𝑚á𝑥 = 𝑁𝐴𝐵𝜔
La velocidad angular está dada por
𝜔 =2𝜋𝜔𝑟𝑝𝑚
60
Problemas
Solución
Sustituyendo la velocidad angular en la expresión de la fem máxima, setiene:
𝜀𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝐴𝐵2𝜋𝜔𝑟𝑝𝑚
60
Sustituyendo valores
𝜀𝑚𝑎𝑥 = 97 50 × 10−2 × 20 × 10−2 3.5 × 10−32𝜋 1200
60
𝜀𝑚𝑎𝑥 = 4.27𝑉
Problemas
Problema 5
Una barra metálica gira en relación constante en el campo magnético de la Tierra,como se muestra en la figura. La rotación ocurre en una región donde lacomponente del campo magnético terrestre perpendicular al plano de rotación es
3.30 × 10−5𝑇. Si la barra mide 1m de largo y su rapidez angular es 5 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠, ¿Quédiferencia de potencial se desarrolla entre sus extremos?
𝑃
𝜔
𝑂
Problemas
Solución
Datos: 𝐵 = 3.30 × 10−5𝑇, 𝜔 = 5𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠, ∆𝑉(𝑐𝑝) =?
𝑑𝑟
𝑣𝑟
𝑂
Problemas
Solución
Datos: 𝐵 = 3.30 × 10−5𝑇, 𝜔 = 5𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠, ∆𝑉(𝑐𝑝) =?
Sabemos que por la ley de Faraday:
𝜀 = 𝐵 ∙ ℓ ∙ v = B ∙ 𝑟 ∙ 𝑣
⟹ 𝑑𝜀 = 𝐵 ∙ 𝑣 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐵 ∙ 𝜔 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟
⟹ 𝜀 = ∆𝑉 = 0𝜌𝑑𝜀 = 𝐵 ∙ 𝜔 0
𝐿𝑟𝑑𝑟 = 𝐵 ∙ 𝜔 ∙
𝐿2
2
∆𝑉 𝑂𝑃 =3.30×10−5 5𝜋 1
2= 259 × 10−6𝑉 = 259𝜇𝑉
