ECUACIONES DIFERENCIALES EN MATLAB Y EJEMPLOS DE MODELADO

ECUACIONES DIFERENCIALES EN MATLABSISTEMA DE CONTROL 1CAT. ING. JOS LUIS OLA GARCIA M.A.Ing. Jos Luis Ola12ANALISIS DE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis OlaECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLAB3Objetivos Conocer Matlab como herramienta para la solucin matemtica de ecuaciones diferenciales.Graficar el comportamiento de una ecuacin diferencial y su concepto en circuitos elctricos.Interpretar la finalidad de modelar una ecuacin diferencial para un sistema fsico.Ing. Jos Luis OlaECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLAB4Para resolver de forma exacta una o varias ecuaciones diferenciales, Matlab dispone de la orden dsolve. Por defecto, la variable independiente es t, pero se puede usar cualquier otra variable si se incluye como ltimo argumento:

Ing. Jos Luis OlaLa letra D se utiliza para representar la derivacin con respecto a la variable independiente, es decir, f se escribe Df; las derivadas orden superior f ,f , .se escriben D2u, D3u, . . etc. cuando se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales, Matlab proporciona las funciones solucin enorden lxico-grco.

Matlab proporciona la solucin para dos tipos distintos de ecuaciones diferenciales: - Con valor inicial. - Con valor limiteECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis Ola5ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABEJEMPLO 1Para resolver: y+6y+12y=0Se escribe el comando:S=dsolve('D2y+6*Dy+12*y=0') La solcion sera:S = (C2*cos(3^(1/2)*t))/exp(3*t) + (C3*sin(3^(1/2)*t))/exp(3*t)Luego podemos colocar>> pretty(S)Y obtener: C2 cos (3t/2) C3 sin(3 t/2) -------------- + -------------- exp(3t) exp(3t)aqu el exponencial exp(3t) puede pasarlo al numerador como e-3tIng. Jos Luis Ola6EJEMPLO 2Resolver y + ky=0 Sujeta a al condicion inicial y(0) = 100S=dsolve('Dy=-0.5*y','y(0)=100') S = 100/et/2Podemos crear un script como se ve abajoECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLAB

Escribir como sigue:sol=dsolve('Dy=-0.5*y','y(0)= y0')for y0=1:20 ezplot(subs(sol,'y0',y0),[0 10]) hold onendy(0) = y0 indica que se hara una grafica para cada valor del rango indicado por el for, obteniendoIng. Jos Luis Ola7

Donde observamos el decaimiento de la seal conforme varia el parmetro tECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis Ola8EJEMPLO 3 Cuando se tienen condiciones inicialesResolver y + 3y = 0 y(0) = 2 y y(0) =10>> S=dsolve('D2y + 3*y=0','y(0)=2','Dy(0)=10') S = 2*cos(3^(1/2)*t) + (10*3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t))/3ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis Ola9EJEMPLO 4 Cuando se modela un sistema fsico, por ejemplo un sistema masa resorte amortiguador, la ecuacin diferencial del comportamiento puede ser:My+ mg + ky=0 >>syms t y k m g A B>>y = A + B*exp(k*t/m) + m*g/k*t;>>a=m*diff(y,t,2)-k*diff(y,t)+m*ga=1/m*B*k^2*exp(k*t/m)-k*(B*k/m*exp(k*t/m)+m*g/k)+m>>simplify(a)ans =0Tambin es posible resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, utilizando siempre dsolve con la sintaxis que ya hemos estudiado.ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis Ola10EJEMPLO 5 Un sistema de ecuaciones diferencialesX=-5X+3YY=-2X-10Y>> [x,y]=dsolve('Dx=-5*x+3*y,Dy=-2*x-10*y')La solucion esS =

x = -(2*C1 + 3*C2*exp(t))/(2*exp(8*t)) => x= -2C1-e-8t + 1.5C2e-7t y = C1 + C2*exp(t))/exp(8*t) => y= C1e-8t + C2e-7tECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABIng. Jos Luis Ola11ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABEJEMPLO 7 Ahora si tiene condiciones inicialesx- y =ety + 5x +2y = sen(3+t) condiciones iniciales x(0) = 1 y y(0) = -1 >>[x,y]=dsolve(Dx-y=exp(t),Dy+5*x+2*y=sin(3+t),x(0)=1,y(0)=-1)x = sin(t + 3)/5 - cos(t + 3)/10 + (3*exp(t))/8 - cos(2*t - 3)/(40*exp(t)) + cos(2*t + 3)/(8*exp(t)) + (3*sin(2*t - 3))/(40*exp(t)) - sin(2*t + 3)/(8*exp(t)) + (5*cos(2*t))/(8*exp(t)) + sin(2*t)/(8*exp(t)) y = cos(t + 3)/5 + sin(t + 3)/10 - (5*exp(t))/8 + (7*cos(2*t - 3))/(40*exp(t)) - (3*cos(2*t + 3))/(8*exp(t)) - sin(2*t - 3)/(40*exp(t)) - sin(2*t + 3)/(8*exp(t)) - (3*cos(2*t))/(8*exp(t)) - (11*sin(2*t))/(8*exp(t))Ing. Jos Luis Ola12ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO MATLABEJERCICIOS A RESOLVER (entrega prximo lunes, link curso)Resolver la ED Y = 1 + y2 y(0) = 0 y luego para y(0) = 1Resolver la ED y = -y -2t y(-2)= 1Resolver la ED y = -2t y + cos(y)Resolver la ED y = y + cos(2x) y(0)= 1 y y(0)=0Resolver la ED y= ycosx/1+y2Resolver la ED y-3y + 2y = e-4t y(0) = 1 y y(0)= 5Resolver la ED f+ 5f+ 4f=e-2tResolver la ED x- y= et y+ 5x + 2y = sen(3+t)Resolver la ED x+ x + 2y = cos(t) + sent(t) + e-t y 2x + y = sen(t) cos(t) x(0) = 1 y y(0) = 1 Ing. Jos Luis Ola13APLICACINES Y MODELADO DE SISTEMAS FISICOS14Ing. Jos Luis OlaIng. Jos Luis Ola15

SISTEMAS FISICOS

ElctricosMecnicos de traslacinMecnico de rotacinHidrulicoNeumticoTrmico

MODELADOIng. Jos Luis Ola16

Determinar la funcin de transferencia V2(s)/I1(s)

MODELADOIng. Jos Luis Ola17

Determinar la funcin de transferencia Xa(s)/F(s)

MODELADO

MODELADOIng. Jos Luis Ola18

Movimiento de traslacinIng. Jos Luis Ola19Es el movimiento que toma lugar en lnea recta, las variables usadas son, aceleracin, velocidad y desplazamiento.

Resorte linealPuede ser considerado como un modelo de resorte real, este almacena energa.

Friccin en la traslacinIng. Jos Luis Ola20El movimiento entre dos sistemas fsicos, presenta friccin. De naturalezano lineal, y depende de lo conocido para la friccin.

3 tipos de friccin:

Friccin viscosa:

Friccin esttica:

Friccin de Coulomb:

Movimiento de rotacinIng. Jos Luis Ola21Sobre un eje fijo,

Inercia:

(t) es el desplazamiento angular

(t) es la aceleracion angular

W(t) es la velocidad angularIng. Jos Luis Ola22Resorte torsionalLa constante K es por unidad de desplazamiento angular,

Friccin en rotacin

EngranajesIng. Jos Luis Ola23

Sensor, y codificadorIng. Jos Luis Ola24PotencimetroEnerga mecnica a energa elctrica. Puede ser lineal o de rotacin, el voltajede al terminal variable y la referencia es proporcional al desplazamiento, puede utilizarse para indicar posicin absoluta de dos salidas mecnicas.

El voltaje de salida e(t) es proporcional a la posicin del eje c(t). Ks es de proporcionalidad.

Sensor, y codificadorIng. Jos Luis Ola25

Ing. Jos Luis Ola26Bibliografa

Kuo, B. Sistemas de control AutomticaOgata, K, Ingeniera de control ModernaMatlab, comando help para el estudio de ecuaciones diferenciales.Zill, D. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones.Universidad de Jaen, Departamento de Automtica