Clase 5 Prob

PROBABILIDADES

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

abril del 2014

J.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades abril del 2014 1 / 27

Introduccin

IntroduccinMuchas veces escuchamos expresiones como ha estudiado mucho esprobable que ingrese a la universidad ,el cielo est despejado espoco probable que llueva, etc. Frecuentemente el trminoProbabilidad se usa para indicar duda o incertidumbre sobre lo queocurrir. La prctica demuestra que existen acontecimientos que nose pueden predecir, sin embargo si es posible estimar el probableresultado.


Probabilidades

Fenmeno DeterminsticoEs aquel que tiene una sola manera de ocurrir. Es aquel fenmenocuya ocurrencia o no ocurrencia es una certeza.

Fenmeno IndeterminsticoEs aquel fenmeno que tiene ms de una forma de ocurrir y no setiene la certeza de cual manera es la que ocurrir en un momentodeterminado.

ExperimentoEs cualquier fenmeno indeterminstico.


Probabilidades

Espacio MuestralEs el conjunto de todos los resultados (maneras de ocurrir) posiblesde un experimento. Se denota con la letra .

Cardinalidad de un Espacio MuestralEs el nmero de resultados posibles de un experimento.

EventoEs cualquier subconjunto obtenido del Espacio Muestral.

Evento simpleEs cada uno de los posibles resultados de un experimento.


Probabilidades

Complemento de un EventoEs la negacin de un evento.Es el conjunto de resultados posibles que no estn considerados en unevento determinado.

Interseccin de Dos EventosSean A y B dos eventos del espacio muestra . Se define A Bcomo el conjunto de elementos que estn en A y estn en B.Es decir A B = {x/x A y x B}

Unin de Dos EventosSean A y B dos eventos del espacio muestra . Se define A Bcomo el conjunto de elementos que estn en A o estn en B.Es decir A B = {x/x A x B}


Probabilidades

Eventos ExcluyenteSon eventos que no tienen elementos en comn. Es decir,A y B sonexcluyentes si y slo si A B = .

Eventos Excluyentes y ExhaustivosSe dice que dos eventos son excluyentes y exhaustivos si al agruparlos dos eventos se tiene la totalidad del espacio muestra. Es decir,A yB son dos eventos excluyentes y exhaustivos si y slo si A B = yA B =


Probabilidades

Principio MultiplicativoSi una operacin se puede ejecutar en n1 formas, y si para cada unade estas se puede llevar a cabo una segunda operacin en n2 formas,y si para cada una de las primeras dos formas se puede realizar unatercera operacin en n3 formas y as sucesivamente, entonces la seriede k operaciones se puede realizar en n1, n2, . . . , nk formas.


Probabilidades

DefinicinLa probabilidad de un evento es la razn entre el nmero decasos(sucesos) favorables y el nmero total de casos(sucesos)posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estossucesos debe tener preferencia a los dems, lo que hace que todossean igualmente posibles.

En la definicin anterior si, N() = n es el nmero de elementos delespacio Muestral(nmero total de sucesos) y N(A) = nA, es elnmero de elementos del evento A(o nmero de sucesos favorables);la probabilidad del evento A, denotado por P[A] es la razn de N(A)a N(), o sea:P[A] = N(A)N() =

nAn =

] de casos favorables al evento A] de casos posibles


Observaciones

Observaciones1. La probabilidad de un evento cualquiera A est comprendido

entre 0 y 1.2. P[A] = 0, si A es un evento imposible.3. P[A] = 1, si A es el evento seguro.4. Puesto que todos los elementos de = {w1,w2, . . .wn} son

igualmente probables, se tiene P[{wi}] = 1n , i = 1, 2, 3, . . . , ny

P[] =ni=1

P[{wi}] = 1

Si A es un evento en , entonces:

P[A] =wiA

P[(wi)]


EjemploSi se lanza una moneda tres veces. calcular la probabilidad queocurran:

a) Dos caras.b) Al menos dos caras.c) A lo ms dos caras.

SolucinEl experimento aleatorio es, Lanzar una moneda tres veces. Elespacio muestral asociado a este experimento es: = {CCC ,CCS,CSC , SCC ,CSS, SCS, SSC , SSS}; luego N() = 8a) Sea el evento A: Ocurre dos Caras.

los sucesos favorables a A son {CCS,CSC , SCC}, o sea N(A) = 3por lo tanto, P[A] = 38

b) Sea el evento B:Ocurre al menos dos caras.Los sucesos favorables al evento B son {CCS,CSC , SCC ,CCC},o sea N(B) = 4. Por tanto, P[B] = 48 =

12 .


EjemploSi se lanza una moneda tres veces. calcular la probabilidad queocurran:a) Dos caras.

b) Al menos dos caras.c) A lo ms dos caras.




12 .


EjemploSi se lanza una moneda tres veces. calcular la probabilidad queocurran:a) Dos caras.b) Al menos dos caras.

c) A lo ms dos caras.




12 .


EjemploSi se lanza una moneda tres veces. calcular la probabilidad queocurran:a) Dos caras.b) Al menos dos caras.c) A lo ms dos caras.




12 .



SolucinEl experimento aleatorio es, Lanzar una moneda tres veces. Elespacio muestral asociado a este experimento es: = {CCC ,CCS,CSC , SCC ,CSS, SCS, SSC , SSS}; luego N() = 8

a) Sea el evento A: Ocurre dos Caras.los sucesos favorables a A son {CCS,CSC , SCC}, o sea N(A) = 3por lo tanto, P[A] = 38


12 .






12 .


Solucinc) Sea el evento C :Ocurre a lo ms dos caras.

Entonces, C = {SSS, SSC , SCS,CSS,CCS,CSC , SCC} yN(C) = 7. Por lo tanto, P[C ] = 78 .

EjemploConsideremos el lanzamientos de dos dados. Calcular la probabilidadde:a) Obtener suma 7.b) Obtener suma 6.c) Obtener suma mayor que 5.d) Qu el resultado del primer dado sea mayor que el resultado del

segundo.


Solucin

SolucinEl experimento aleatorio es, lanzar dos Dados.El espacio muestral asociado a este experimento, es el conjunto depares ordenados, en las que la primera componente es el resultado delprimer dado y las segunda componentes el resultado del segundo.

Sean los eventos siguientes:A = {(w1,w2) /w1 + w2 = 7} =Otener suma 7.B = {(w1,w2) /w1 + w2 = 6} =Otener suma 6.C = {(w1,w2) /w1 + w2 > 5} =Otener suma mayor que 5.D = {(w1,w2) /w1 > w2} =el resultado del primer dado esmayor que del segundo.


Solucin

Solucin = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6);

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6);

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6);

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}


Solucin

Solucinun simple conteo nos permite determinar: N() = 36, N(A) = 6,N(B) = 5, N(C) = 26, N(D) = 15.Entonces:a) P[A] = 636 =

16

b) P[B] = 536c) P[C ] = 2636 =

1318

d) P[D] = 1536 =512


Ejemplos

EjemploUna caja contiene 4 esferas azules y 5 esferas rojas:a) Cul es la probabilidad de que al extraer una esfera, esta sea

azul?

.b) Cul es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean

rojas?.c) Cul es la probabilidad de que al extraer cinco esferas, dos sean

azules y tres rojas sean rojas?.

Solucina) La probabilidad de que al extraer una esfera sea azul:

nmero de esferas azules es 4 y el nmero de esferas rojas es 5,entonces el total de esferas es 9.nmero de casos favorables :4 y el nmero de casos totales es 9,entonces la probabilidad es: p = 49


Ejemplos


azul? .b) Cul es la probabilidad de que al extraer dos esferas, ambas sean

rojas?.

c) Cul es la probabilidad de que al extraer cinco esferas, dos seanazules y tres rojas sean rojas?.




Ejemplos








Ejemplos






nmero de esferas azules es 4 y el nmero de esferas rojas es 5,entonces el total de esferas es 9.nmero de casos favorables :4 y el nmero de casos totales es 9,entonces la probabilidad es: p = 49J.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades abril del 2014 15 / 27

Solucin

Solucinb) Si denotamos a las esferas como: R1,R2,R3,R4,R5,A1,A2,A3,A4

Casos a favor: A = {(R1R2), (R1R3), (R1R4), (R2R3)(R2R3), . . .}Se observa que cualquier grupo de 2 esferas rojas que podemosformar con las 5 esferas rojas que tenemos representa un caso afavor, luego:nmero de casos a favor = C 52 = 10Al extraer dos esferas podra salir cualquiera de los grupos de 2que podemos formar con las 9 esferas:Casos totales: = {(R1A1), (R1A2), (R1A3), (A1A2), . . .}nmero de casos totales = C 92 = 36por lo tanto P = 1036 =

518


Solucin

Solucinc) Anlogamente se deduce:

nmero de casos totales = C 95 = 126nmero de casos a favor = C 42 xC 53 = (6)(10) = 60por lo tanto P = 60126 =

1021


Axiomas y Propiedades de Probabilidades

Axiomas y Propiedades de ProbabilidadesIndependientemente de la forma como definimos probabilidad, estacumple los axiomas siguientes, que son consecuencias inmediatas dela definicin:1. 0 P[A] 1, para cada evento A en ()2. P[] = 13. Para cualquier nmero finito k de eventos mutuamente

excluyentes en es

P[ki=1

Ai ] =ki=1

P[Ai ]

Una consecuencia inmediata del axioma 3 es, si A y B son doseventos mutuamente excluyentes en entonces:P[A B] = P[A] + P[B]


DefinicinSea un espacio muestral asociado a un experimento .Laprobabilidad P, es una funcin que asigna a cada eventoA(A ()), un nmero de P[A], llamado la probabilidad delevento A, tal que cumple los axiomas 1,2 y 3.

NotaEn teora mas avanzada de probabilidad, se considera una clase desubconjuntos de , (no necesariamente todo ()), que cumpleciertos axiomas, se llama algebra

Los teoremas siguientes son consecuencias inmediatas de los axiomas.


Teoremas

TeoremaSi es el evento imposible, entonces P[] = 0

TeoremaPara cada evento A se cumple que:P[A] = 1 P[A] P[A] = 1 P[A]

TeoremaSi dos eventos A y B tales que A B, entonces P[A] P[B]

TeoremaSi A y B son dos eventos cualesquiera en entonces:

P[A B] = P[A] + P[B] P[A B]J.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades abril del 2014 20 / 27

Ejemplos

EjemploCalcular la probabilidad de obtener al menos una cara en ellanzamiento de 3 monedas.

.Solucina) Al lanzar tres monedas los resolver posibles son:

= {CCC ,CCS,CSC , SCC ,CSS, SCS, SSC , SSS}; luegoN() = 8Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos unacara es no obtener ninguna cara(puros sellos). Hallemos laprobabilidad de obtener puros sellos.A = {(sss)}; n(A) = 1; luego P(A) = 18Entonces:P(A) = 1 18 = 78Por lo tanto la probabilidad de obtener al menos una cara es 78


Ejemplos

EjemploCalcular la probabilidad de obtener al menos una cara en ellanzamiento de 3 monedas. .Solucin

a) Al lanzar tres monedas los resolver posibles son: = {CCC ,CCS,CSC , SCC ,CSS, SCS, SSC , SSS}; luegoN() = 8Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos unacara es no obtener ninguna cara(puros sellos). Hallemos laprobabilidad de obtener puros sellos.A = {(sss)}; n(A) = 1; luego P(A) = 18Entonces:P(A) = 1 18 = 78Por lo tanto la probabilidad de obtener al menos una cara es 78


Ejemplos

EjemploCalcular la probabilidad de obtener al menos una cara en ellanzamiento de 3 monedas. .Solucina) Al lanzar tres monedas los resolver posibles son:

= {CCC ,CCS,CSC , SCC ,CSS, SCS, SSC , SSS}; luegoN() = 8Como el complemento (lo contrario) de obtener al menos unacara es no obtener ninguna cara(puros sellos). Hallemos laprobabilidad de obtener puros sellos.A = {(sss)}; n(A) = 1; luego P(A) = 18Entonces:P(A) = 1 18 = 78Por lo tanto la probabilidad de obtener al menos una cara es 78J.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades abril del 2014 21 / 27

Teoremas

TeoremaSi A, B y C son tres eventos cualesquiera en , entonces:P[A B C ] =P[A] +P[B] +P[C ]P[AB]P[AC ]P[B C ] +P[AB C ]

EjemploLa probabilidad que llueva en Huancayo el 25 de Abril es 0 10 de quetruene es 0 05 y que llueve y truene es 0 03. Cul es la probabilidadque llueva o truene ese da?

SolucinDefinidos los siguientes eventos:A: Llueva en Huancayo el 25 de Abril.B: Truene el 25 de Abril.


Solucin

SolucinEntonces P[A] = 0 10, P[B] = 0 05 y P[A B] = 0 03.El evento C se escribe C = A B yP[C ] = P[A B] = P[A] + P[B] P[A B]= 0 10 + 0 05 0 03 = 0 12


Probabilidad Condicional

Probabilidad CondicionalSea un evento B con P[B] > 0, la probabilidad condicional de queocurra el evento A, dado que ha ocurrido B, denotado por P[A|B] esdefinido como se sigue:

P[A|B] = P[A B]P[B]

Observaciones1. P[A B] = P[B]P[A|B]2. P[A B] = P[A]P[B|A]

NotaP[A|B] no esta definida, si P[B] = 0


EVENTOS INDEPENDIENTES

Eventos IndependientesSe dice que dos eventos son independientes si y slo si , cualquierade las proposiciones es verdadera.1. P[A|B] = P[A]2. P[B|A] = P[B]3. P[A B] = P[A]P[B]

Observacinla proposicin 3 se llama regla multiplicativa.


TEOREMA DE BAYES

Formula de la Probabilidad TotalSean A1,A2,A3, . . . ,An sucesos imcompatibles dos a dos, los nicosposibles, y con probabilidades positivas. Sea B un suceso arbitrario.Entonces:

P[B] =ni=1

P[Ai ]P[B|Ai ]

Teorema de BayesSean A1,A2,A3, . . . ,An sucesos imcompatibles dos a dos, los nicosposibles, y con probabilidades positivas. Sea B un suceso conprobabilidad positiva.Entonces.

p[Ak |B] = p[Ak ]P[B|Ak ]ni=1 P[Ai ]P[B|Ai ]

, k = 1, 2, 3, . . . , nJ.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades abril del 2014 26 / 27

Bibliografa"LAZARO CARRION, MOISES; Lgica y teora de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009"FIGUEROA ROBERTO, Matemtica Bsica. Editorial San Marcos.Lima 2004.ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemtica Bsica. Editorial ServiciosGrficos JJ. Per."VERA G. CARLOS, Matemtica Bsica. Editorial Moshera Lima2009.RUFINO MOYA C. Probabilidad e Inferencia Estadstica. Edit. SanMarcos. Lima


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