Clase 6 - Micro I - Sem I 2015

Microeconoma I - 2015

Clase 6: Demanda Hicksiana y Dualidad (Nicholson, Cap. 4)

Microeconoma I Escuela de Ingeniera Comercial FEN - UTALCA

El efecto-renta y el efecto-sustitucin

Al cambiar el precio de un bien (pX) se generan dos efectos: Cambian los precios relativos: pX/pY

Cambia el Ingreso Real: M/pX

Estos cambios generan dos efectos sobre el consumo: Efecto Sustitucin: El bien se hace ms caro en comparacin con

otros bienes, por lo que se sustituye por aquellos ahora relativamente ms baratos".

Efecto Ingreso: El ingreso monetario M disminuye su poder de compra. Esto genera un efecto similar a una reduccin en el ingreso. El efecto sobre el consumo del bien depende del tipo de bien con respecto a cambios en M

El efecto-renta y el efecto-sustitucin: bien normal

Alimentos (unidades mensuales)

O

Vestidos (unidades mensuales) R

S

V1 A

U1

El efecto-renta EA2 (de D a B) mantiene constantes los precios relativos, pero aumenta el poder adquisitivo.

Efecto- renta

V2

T

U2

C

Cuando baja el precio de los alimentos, aumenta el consumo en A1A2 al desplazarse el consumidor de C a B.

EEfecto total

Efecto- sustitucin

B

El efecto-sustitucin, A1E (del punto C a D), altera los precios relativos de los alimentos y del vestido, pero mantiene constante la utilidad.

A1 A2

Alimentos (unidades mensuales)

O

R

Vestido (unidades mensuales)

A1 S T

A

U1

E

Efecto- sustitucin

B

Efecto total

Puesto que los alimentos son un bien inferior, el efecto-renta

es negativo. Sin embargo, el efecto-sustitucin es superior al efecto-renta.

C

Efecto-renta

U2

El efecto-renta y el efecto-sustitucin: Bien inferior

A2

Ejemplo 1 Efectos Ingreso y Sustitucin

Suponiendo U(x,y) = xy MUx = y, MUy = x Py = $1/unidad, e I = $72

!Suponiendo que Px1 = $9/unidad. Cul es la canasta ptima inicial, A? Condicin de Tangencia: UMx/UMy = Px/Py y = 9x Restriccin: Pxx + Pyy = I 9x + y = 72 Solucin: x = 4 ; y = 36 !Si el precio de x cae y Px2 = $4/unidad. Cul es la canasta ptima final, C? Condicin de Tangencia : UMx/UMy = Px/Py y = 4x Restriccin : Pxx + Pyy = I 4x + y = 72 Solucin: x = 9; y = 36

Ejemplo 1 Efectos Ingreso y Sustitucin

Encontremos la canasta B que permite descomponer ambos efectos.

1. Debe estar en la curva de indiferencia original U1 igual que la canasta A U1 = XY = 4(36) = 144.

2. Debe estar en el punto de tangencia donde la nueva restriccin, trasladada paralelamente, es tangente a la curva de indiferencia inicial.

3. El precio de X (PX) en esta nueva canasta que permite la descomposicin de los efectos es el precio final de $4.

!Condicin de Tangencia: UMx/UMy = Px/Py y = 4x Combinado con que XY = 144 x = 6, y = 24 !Efecto Sustitucin: 6 4 = 2 unidades de X Efecto Ingreso: 9 6 = 3 unidades de X

Microeconoma I Escuela de Ingeniera Comercial

La demanda compensada mide slo el efecto sustitucin ante cambios en el precio.

Para encontrar la demanda Hicksiana modificamos el precio y mantenemos el nivel de utilidad inicial. Para esto compensamos al consumidor con mayor o menor ingreso.

As, trasladamos la nueva restriccin presupuestaria hasta ser tangente con la curva de indiferencia inicial, con los nuevos precios.

Al graficar las cantidades y precios resultantes en el plano (X,Px) encontramos la curva de demanda Hicksiana.

La Demanda Compensada o Hicksiana


La diferencia entre las demandas Hicksiana y Marshalliana es el Efecto Ingreso. Demanda Marshalliana: ET=ES+EI

Demanda Hicksiana: ES

Luego, la Marshalliana tendr menor o mayor pendiente que la Hicksiana dependiendo de si el EI refuerza o contrarresta al ES. Esto depende del tipo de bien con respecto al ingreso.

Por cada punto de la demanda Marshalliana pasa una curva de demanda Hicksiana (el nivel de utilidad cambia, en cada nivel de utilidad hay una demanda Hicksiana distinta).

Demanda Hicksiana vs. Marshalliana


Demanda Hicksiana vs. Marshalliana

Recordemos: Marshalliana: ET Hicksiana: ES ET=ES+EI

!Luego: Normal: Marshalliana es ms elstica que Hicksiana. ! Neutro: Marshalliana es Igual a la Hicksiana. ! Inferior: Hicksiana es ms Elstica que Marshalliana.


Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Normal


Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Neutro


Hicksiana vs. Marshalliana: Bien Inferior


Cmo calculamos las demandas Hicksianas? Las demandas Hicksianas mantienen el nivel de utilidad

constante. Necesitamos encontrar el nivel de X e Y que, dados los precios, permiten minimizar el gasto de alcanzar un nivel de utilidad dado.

Para esto resolvemos el siguiente problema de optimizacin:

!

! Este problema puede resolverse usando el mtodo de Lagrange.


Encontrando Demanda Hicksiana:

0),(

0

0

==

=

=

=

=

YXUULYUP

YL

XUP

XL

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Y

X

X

PP

UMUM

PUM

PUM

===

Las Condiciones de Primer Orden (CPO) son:

Las dos primeras indican que (i) RMS=Px/Py y la tercera (ii) U=U(X,Y) es el nivel de utilidad constante. Resolviendo estas dos ecuaciones para X e Y obtenemos las demandas Hicksianas.

)],([__

YXUUYPXPJ YX ++=

),( YXUU =


Ejemplo 2: U=XY


Ejemplo Separacin de ES y EI


Ecuacin de Slutzky

La Ecuacin de Slutzky nos permite separar entre ES y EI usando las demandas Marshallianas y Hicksianas:

M

Esto tambin puede expresarse como elasticidades:

Elasticidad-Precio Marshalliana

Elasticidad-Precio Hicksiana

Elasticidad-Ingreso Marshalliana


Ejemplo de Ecuacin de Slutzky


Funcin Indirecta de Utilidad

La funcin indirecta de utilidad nos muestra el valor optimizado del bienestar, dados los precios y el ingreso.

Para encontrarla, slo debemos reemplazar las Demandas Marshallianas en la funcin de utilidad inicial. !!!!!

Es posible recuperar las funciones de demanda a partir de la F.I.U usando la Identidad de Roy.

[ ] ),,(),,(*),,,(**)*,( MPPVMPPYMPPXVYXUV YXYXYX ===

* ( , , ) XX Y

VPX X P P M VM

= =


Funcin Indirecta de Gasto La funcin indirecta de utilidad nos muestra el valor optimizado del gasto,

dados los precios y la utilidad que se desea alcanzar e=e(pX,pY,U0). Para encontrarla, slo debemos reemplazar las Demandas Hicksianas en la

funcin de gasto inicial (X*Px + Y*Py). !!!!

Es posible recuperar las funciones de demanda hicksiana a partir de la F.I.G usando el Lema de Sheppard.

( , , ) ( , , ) ( , , )C CX X Y Y X Y X YM P X P P U P Y P P U E P P U= + =

( , , )C X X YX

EX h P P UP

= =

Problema Primal Maximiza U(X, Y)

Sujeto a M = PXX + PYY

Funcin de utilidad indirecta U* = V(PX, PY, M)

Problema Dual Minimiza PXX + PYY

Sujeto a

Funcin de Gasto E* = E(PX, PY, U0)

Demandas Marshallianas !

Identidad de Roy

Demandas Hicksianas !!

Lema de Shepard

( , )U U X Y=

Relaciones Duales

Reemplazando V por U y E por M

Ejemplo

Problema Primal Maximiza U=X0.5Y0.5 Sujeto a I = PXX + PYY

Funcin de utilidad indirecta

Problema Dual Minimiza PXX + PYY

Sujeto a

Funcin de Gasto

Demandas Marshallianas !

Identidad de Roy

Demandas Compensadas !!

Lema de Shepard

0.5 0.5U X Y=

0.5 0.52 X Y

MVP P

= 0.5 0.52 X YE UP P=

1.5 0.5

0.5 0.5

4* 1 22

X X Y

X

X Y

V MP P P MX V PM P P

= = =

0.5

0.5C Y

X X

UPEXP P

= =

0.5

0.5C X

Y Y

UPEYP P

= =

0.5 1.5

0.5 0.5

4* 1 22

Y X Y

Y

X Y

V MP P P MY V PM P P

= = =

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