Ondas ElectromagnéticasClase 7

Ondas Electromagnéticas

Se estableció que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético que varía con el tiempo y, a la inversa, un campo magnético que varía con el tiempo produce un campo eléctrico. Este patrón cíclico genera ondas electromagnéticas (EM) capaces de propagarse a través del espacio libre y en medios materiales. Cuando su propagación sigue el curso de una estructura material, como una línea de transmisión, se dice que la onda EM viaja en un medio guiado.

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La superficie terrestre y la ionosfera constituyen límites paralelos de una estructura natural de guía para la propagación de transmisiones de radio de onda corta en la banda ; la ionosfera es un buen reflector a estas frecuencias, lo que permite que las ondas vayan en zigzag entre los dos límites.

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Las ondas EM también pueden viajar en medios sin fronteras; las ondas luminosas que emite el sol y las transmisiones de radio emitidas por antenas son ejemplos típicos

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La atención se enfocará en la propagación de ondas en un medio sin fronteras. Se considerarán tanto medios con pérdidas como sin ellas. La propagación de ondas en un medio sin pérdidas (dieléctrico perfecto, como el aire) es similar a aquella a través de una línea de transmisión sin pérdidas. En un medio con pérdidas caracterizado por una conductividad diferente de cero, como el agua, una parte de la potencia transportada por la onda electromagnética se convierte en calor, exactamente como lo que le sucede a una onda que se propaga a través de una línea de transmisión con pérdidas.

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Cuando una fuente (como una antena) emite energía, ésta se expande hacia fuera de la fuente en la forma de ondas esféricas, como se ilustra en la figura.

Aun cuando la antena puede irradiar más energía a lo largo de algunas direcciones que a lo largo de otras, las ondas esféricas viajan con la misma rapidez en todas las direcciones y, por lo tanto, se expanden a la misma tasa

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Ondas irradiadas por una fuente EM, como una bombilla de luz o una antena, tienen frentes de onda esféricos

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Para un observador alejado de la fuente, el frente de las ondas esféricas aparece aproximadamente plano, como si fuera una parte de una onda plana uniforme con propiedades uniformes en todos los puntos del plano tangente al frente de ondas. La propagación de ondas planas puede describirse mediante coordenadas cartesianas con las que es más fácil trabajar matemáticamente que con las coordenadas esféricas requeridas para describir la propagación de una onda esférica

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Sin embargo, para un observador distante, el frente de onda que atraviesa la abertura del observador parece aproximadamente plano

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Campos armónicos

En el caso de variación con el tiempo, los campos eléctricos y magnéticos E, D, B y H, y sus fuentes, la densidad de carga y la densidad de corriente , son (cada uno y en general) una función de las coordenadas espaciales y la variable de tiempo .

Si su variación con el tiempo es una función sinusoidal con frecuencia angular , cada una de estas cantidades se representa por un fasor independiente del tiempo que depende sólo de .

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Por lo tanto, el fasor vectorial correspondiente al campo instantáneo se define de acuerdo con

Y definiciones similares son aplicables a los demás campos y a y . Para un medio lineal, isotrópico y homogéneo caracterizado por la permitividad eléctrica, permeabilidad magnética y conductividad , se recuerda que la diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar por en el dominio fasorial.

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Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone que Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de tal manera que .

Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no importa para que lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física siempre va a medir lo mismo.

Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un metro hacia arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un ejemplo en donde no se cumple la isotropía, si tu tienes un material, y es mas difícil estirarlo de izquierda a derecha que de arriba abajo, pues se dice que dicha propiedad de estirarlo (rigidez) es anisotropía.

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En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son: conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica, resistividad, etc. Si esas propiedades no dependen de la dirección (u orientación de los ejes) se dice que el cuerpo es isotrópico.

Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la corriente lo atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en general de todas las posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo isotrópico con respecto a la conductividad.

Ecuaciones de Onda

Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto son dependientes del tiempo , las ecuaciones de Maxwell se transforman en:

Ahora aplicamos la identidad vectorial

𝛻× (𝛻×𝐴 )≡𝛻 (𝛻 ∙ 𝐴)−𝛻2 𝐴

Ecuaciones de Onda

Donde, tan solo en coordenadas cartesianas

Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)

Ahora sustituyendo de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones vectoriales

+

𝛻2𝐻=𝛾 2𝐻 𝛻2𝐸=𝛾2𝐸

Ecuaciones de Onda

Donde . La constante de propagación, , es la raíz cuadrada de cuyas partes real e imaginaria son positivas:

con

γ=𝛼+ 𝑗𝐵

𝛼=𝜔√𝜇𝜖2 (√1+( 𝜎𝜔𝜖 )

2

−1)𝛽=𝜔√ 𝜇𝜖2 (√1+( 𝜎

𝜔𝜖 )2

+1)

Ecuaciones de Onda

La constante se llama factor de atenuación y se llama constante de crecimiento de fase. (Gamma) tiene unidades , sin embargo, es costumbre dar , respectivamente, donde el neper (Np) es una unidad adimensional como el radián.

Soluciones en Coordenadas Cartesianas La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión

Tiene soluciones de la forma , donde son funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad en las direcciones , respectivamente, de acuerdo a la siguiente figura.

𝜕2𝐹𝜕 𝑧 2

=1𝑈 2

𝜕2𝐹𝜕𝑡2

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

𝑓 (𝑧𝑜 )

𝑈 𝑡1

𝑓 (𝑧1−𝑈 1𝑡 1 )

𝑡=𝑡1𝑡=0

Soluciones en Coordenadas Cartesianas En particular, si se supone una variación armónica de tiempo , la

ecuación de onda se convierte en

Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma

O en las partes real o imaginaria de estas.

𝜕2𝐹𝜕 𝑧 2

=− 𝛽2𝐹 (𝛽=𝜔𝑈 )

𝐹=𝐶𝑒 𝑗 (𝜔𝑡 −𝛽𝑧 ) 𝐹=𝐷𝑒 𝑗 (𝜔𝑡+𝛽𝑧 )

Soluciones en Coordenadas Cartesianas

𝐶𝑡=0 𝑡= 𝜋

2𝜔

𝑑

𝐹

𝑧

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎2

Soluciones en Coordenadas Cartesianas La figura 2 muestra una de estas soluciones, ; durante este intervalo de

tiempo la onda se ha movido una distancia a la derecha. Para cualquier fijo, la forma de onda se repite cuando cambia a . La distancia

Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado un cuarto de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la frecuencia , guardan entre si la relación conocida

También, donde es el periodo

𝜆=2𝜋𝛽

𝜆 𝑓 =𝑈

Soluciones en Coordenadas Cartesianas Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya

discutidas anteriormente. Como los vectores unidad en coordenadas cartesianas tienen direcciones fijas, la ecuación de onda para puede reescribirse bajo la forma

De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo de una coordenada espacial, digamos .

𝜕2𝐻𝜕𝑥2

+𝜕2𝐻𝜕 𝑦2

+𝜕2𝐻𝜕𝑧 2

=𝛾2𝐻

Soluciones en Coordenadas Cartesianas La ecuación se convierte entonces en

Dando

Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son

𝑑2𝐻𝑑𝑧 2

=𝛾2𝐻

𝐻=𝐻𝑜𝑒± 𝑦𝑧𝑎𝐻 ó𝐻 (𝑧 ,𝑡 )=𝐻𝑜𝑒± 𝑦𝑧𝑒 𝑗 𝜔𝑡𝑎𝐻

𝐸=𝐸𝑜𝑒± 𝑦𝑧𝑎𝐸ó𝐸 (𝑧 ,𝑡 )=𝐸𝑜𝑒± 𝑦𝑧𝑒 𝑗 𝜔𝑡𝑎𝐸

Soluciones en Coordenadas Cartesianas Aquí son vectores unitarios. La cantidad compleja se definió anteriormente Se demuestra que

Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección de propagación.

Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los campos, digamos a lo largo del eje . Entonces se demuestra que yace a lo largo del eje .

La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía , de las propiedades del medio

𝑎𝐻 ∙𝑎𝑧=𝑎𝐸 ∙𝑎𝑧=0

Soluciones para medios parcialmente conductores Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de

mar), la solución de la ecuación de onda E es

La razón es característica del medio (también dependen de la frecuencia). Mas específicamente, para ondas que se propaga en la dirección , la impedancia intrínseca, , del medio se define por:

De esta manera

𝐸=𝐸𝑜𝑒−𝛾 𝑧 𝑎𝑥

𝜂=𝐸𝑥

𝐻 𝑦

𝜂=√ 𝑗𝜔𝜇𝜎+ 𝑗 𝜔𝜖

Soluciones para medios parcialmente conductores Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar con

(Si la onda se propaga en la dirección . En efecto, se reemplaza por y se usa la otra raíz cuadrada).

|𝜂|= √𝜇/𝜖4√1+( 𝜎

𝜔𝜖 )2𝑡𝑎𝑛2 𝜃= 𝜎

𝜔𝜖 𝑦 0𝑜<𝜃<45𝑜

Soluciones para medios parcialmente conductores Al introducer el factor tiempo y al escribir se obtiene las siguientes

ecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:

El factor atenúa las magnitudes de cuando se propagan en dirección . La expresión para ,esto demuestra que existe atenuación a menos que la conductividad sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricos perfectos o de espacio vacío.

o

o

Soluciones para medios parcialmente conductores De la misma manera, la diferencia de fase temporal desaparece solo

cuando es cero. La velocidad de propagación y la longitud de onda están dadas por:

Si se conoce la velocidad de propagación puede usarse para determinar la longitud de onda .

𝑈=𝜔𝛽 =

1

√𝜇𝜖2 (√1+( 𝜎𝜔𝜖 )

2

+1)𝜆=

2𝜋𝛽 =

2𝜋

√𝜔 (√1+( 𝜎𝜔𝜖 )

2

+1)

Soluciones para medios parcialmente conductores El termino reduce tanto el valor de la velocidad como el de la longitud

de onda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos perfectos, donde . Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir, ondas con

frecuencias diferentes tienen diferentes velocidades .

Problemas

Problema 1 Una onda viajera está descrita por . Dibuje en cuando ha avanzado y la

frecuencia angular es y el mismo

Problemas

Solución Inciso a La onda avanza en un periodo, . Por tanto tenemos que

𝑡=0

𝑡=𝑡110𝜔=106

𝑧

𝑦

𝜆 /2 𝜆236𝑚

Problemas

Solución inciso b La onda avanza en un periodo, . Por tanto tenemos que

𝑡=0

𝑡=𝑡110𝜔=2×106

𝑧

𝑦

𝜆 /2 𝜆118𝑚

Soluciones para dieléctricos perfectos

Para un dieléctrico perfecto, y así

Como no hay atenuación de las ondas . El angula cero sobre produce un que esta en fase temporal con en cada localización fija. Suponiendo en y la propagación en , las ecuaciones de campo pueden obtenerse como limites, como se denota a continuación:

𝛼=0 𝛽=𝜔 √𝜇𝜖𝜂=√ 𝜇𝜖 ∠ 00

𝐸 (𝑧 , 𝑡 )=𝐸𝑜𝑒 𝑗 (𝜔𝑡 −𝛽𝑧 )𝑎𝑥

𝐻 (𝑧 , 𝑡 )=𝐸𝑜

𝜂 𝑒 𝑗 (𝜔𝑡− 𝛽𝑧)𝑎𝑦

Soluciones para dieléctricos perfectos

La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:

Para espacio vacío

𝑈=𝜔𝛽 =4𝜋×10−7 𝐻𝑚 𝜖=𝜖𝑜=8.854×

10−12𝐹𝑚 ≈ 10

− 9

36𝜋 𝐹 /𝑚

𝜂=𝜂𝑜≈120 𝜋 Ω𝑦𝑈=𝑐≈3×108𝑚/𝑠

Problemas

Problema 2 En el espacio vacío, . Obtenga

Problemas

Solución Un examen de la fase, , revela que la dirección de la propagación es ,

debe tener dirección . Por tanto

𝐸𝑦

−𝐻 𝑧=𝜂𝑜=120𝜋 Ωó𝐻 𝑥=−

103

120𝜋 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡−𝛽 𝑧 )𝑎𝑥 ( 𝐴 /𝑚 )

𝑦 𝐻 𝑧 (𝑧 , 𝑡 )=− 103

120𝜋 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡− 𝛽 𝑧 )𝑎𝑥 ( 𝐴 /𝑚 )

Problemas

Problema 3 Sea la onda, en el espacio vacío, . Determine la constante de

propagación sabiendo que la frecuencia es que la frecuencia es

Problemas

Solucion En general, En el espacio vacío, , así que:

2 Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es

y la constante de defasaje es

Problemas

Problema 4 El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección

en aire apunta en la dirección . Si el valor pico de es de 1.2 y es máximo cuando , obtenga expresiones para y luego trace una grafica de estas variaciones en función de

Problemas

Solución Con , la longitud de onda en el aire es:

Y el numero de onda correspondiente es . La expresión general para un campo eléctrico dirigido hacia que viaja en la dirección de aparece en la ecuación como

El campo es máximo cuando el argumento de la función coseno es igual a cero o a múltiplos de . Con , esta condición es

Problemas

Solución

Y de acuerdo con

Donde se utilizo la aproximación tenemos que

Problemas

Solución

Variaciones espaciales de para la onda Plana del ejemplo