Clase 8 - Introducción al Programa de Matemáticas

3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: LaTeoría de Probabilidades (Clase 8 )

Juan D. Vélez

Universidad Nacional

Abril 13, 2013

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Limitaciones para comprender el azar

Los humanos poseemos una concepción intuitiva del azar, de loprobabilístico, y lo manejamos por sentido común en forma de frecuenciaso porcentajes. Para muchos efectos, esta concepción intuitiva del azarfunciona relativamente bien. Pero, en general, el manejo del azar ensituaciones medianamente complejas es difícil y con frecuencia vieneacompañado de falsas intuiciones que dan origen a todo tipo desupersticiones. Se ha encontrado que la intuición desnuda es malaconsejera en los asuntos aleatorios.Por ejempo, a pesar de que la razón nos indica que dos boletas de la loteríatienen exactamente las mismas probabilidades de ganar, cedemos a lospálpitos y nos ponemos en la tarea de escoger números acordes con ellos.Las pérdidas y ganancias se atribuyen a acuerdos y desacuerdos secretoscon fuerzas sobrenaturales que están más allá de nuestra comprensión, oinventamos el milagro para explicar coincidencias improbables.



creemos que en una serie de siete lanzamientos de una moneda, las caras ylos sellos se deben alternar con frecuencia, de lo cual deducimos que lasecuencia CSCSCS es más probable que la SSSSCCC . En este casoparticular, la persona considera que la primera secuencia se acerca más aese ideal. Sin embargo, las probabilidades de ocurrencia son iguales, eiguales también a la de la secuencia CCCCCCC . De aquí que muchaspersonas crean que el billete de la lotería que lleve el número 0000 tienemenos probabilidades de ganar que, digamos, el 2375. Una falsa ilusión.


Limitaciones para comprender el azar (problema de las trespuertas)

A cada concursante se le presentan tres puertas cerradas, detrás de una delas cuales se esconde un premio. La persona debe elegir una de laspuertas. Después, el animador del programa, conocedor de la puerta"premiada", abre una de las dos no elegidas (para burla, ponen allí unchivo). En ese momento se le ofrece al concursante la posibilidad de, obien permanecer �el a su elección original, o elegir la otra puerta. ¿Cuál delas dos alternativas es mejor para el concursante?

¿Cambia ?(Institute) 3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría de Probabilidades (Clase 8 )Abril 13, 2013 4 / 40


El problema dio lugar a una historia larga de chismes. Todo comenzó en1990, en Estados Unidos, y la autora fue Marilyn von Savant, encargadade una columna periodística denominada Ask Marilyn, en la revistaParade. Según los records Guinness, dicha señora posee el más alto IQregistrado, 228. No es muy querida por los matemáticos, en especial porsu libro The world�s most famous math problems, en el cual cuestionaatrevidamente la prueba de Wiles sobre el último teorema de Fermat y,además, le pone peros a la teoría de la relatividad (prueba de que el IQ noes una buena medida de la inteligencia).

Von Savant(Institute) 3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría de Probabilidades (Clase 8 )Abril 13, 2013 5 / 40


En su columna, Von Savant recomendó (correctamente) a suscorresponsales que cambiaran de puerta pues ello les daría unaprobabilidad de acertar igual a dos tercios. Ahí se armó Troya. Le cayeronnumerosos lectores que estaban en desacuerdo, incluyendo algunosprofesores de matemáticas, señalando que al cambiar de puertas laprobabilidad de éxito era igual a un medio. Después de regañarla, undoctor de la Universidad de Florida agregó que con cambio o sin él lasprobabilidades seguían siendo cincuenta-cincuenta.



Paul Erdos

Con posterioridad, un matemático amigo le mostró el problema al notablematemático Paul Erdös, quien también lo evaluó incorrectamente. Suamigo trató de convencerlo con una solución, pero en vano (este puede serun chisme, pues el problema es demasiado elemental para una mente comola de Erdös).



Para facilitar la comprensión de la solución del problema, resultaconveniente cambiarlo por uno equivalente, descrito de la manerasiguiente: imaginemos ahora que en lugar de un concursante hay dos, unoque siempre se mantiene �el a su elección, y otro que siempre cambia depuerta En estas condiciones es lógico que el primer concursante ganarásiempre que el premio esté en la puerta escogida, y solo en este caso. Estoes, ganará un tercio de los juegos y perderá dos tercios de ellos.El segundo ganará todas las veces en que el premio no esté detrás de lapuerta escogida. Por tanto, el segundo concursante gana dos tercios de losjuegos. En suma, el segundo gana cada vez que el primero pierde, esto es,dos tercios de las veces.Luego, la mejor estrategia es la del segundo jugador: cambiar siempre laelección.


Análisis del Baloto

¿Cuán probable es ganarse el premio mayor del baloto?

Cada billete consiste de seis números, del 01 al 45. Quien acierte los seisnúmeros, en cualquier orden, es el ganador.


Limitaciones para comprender el azar (Baloto)

La probabilidad de acertar el número ganador es P = 1/N, donde N = alnúmero total de billetes. Recordemos que el número binomial

(mn ) =m!

n!(m� n)!

proporciona el número de conjuntos de n elementos (sin repeticiones) quese pueden formar con m elementos.Por ejemplo, ¿en un conjunto de 4 personas, cuántas parejas se puedenformar?Si S = f1, 2, 3, 4g, (conjunto de personas), el número total desubconjuntos de dos elementos está dado por(52) = 4!/2!2! = 24/(2� 2) = 6.

Subconjuntos de S dos elementos

= f1, 2g, f1, 3g, f1, 4g, f2, 3g, f2, 4g, f3, 4g



En el caso del baloto, hay tantos billetes como subconjuntos de seiselementos hay de S = f01, 02, . . . , 40g. Es decir, hay un número debilletes igual a

(456 ) = 45!/(39!� 6!) = 8145060.

(456 ) =11962222086548019456196316149565771506438373376000000000020397882081197443358640281739902897356800000000� 720

La probabilidad de ganarse el baloto es P = 1/8145060.



Si se elaboran 8, 145, 065 cajitas angostas, de un centímetro de espesor, yse paran en �la india como se hace a veces con las �chas del dominó, y sien una de ellas hay un cheque por el valor del premio mayor del baloto. Laprobabilidad de ganarlo es la de escoger la cajita afortunada en una �la de8, 145, 065 centímetros, esto es, de 81.45 km.


Juegos de dados

Al lanzar dos dados, ¿cuál es la suma más probable?El espacio muestral, o conjunto de todos los posibles resultados delexperimiento, consiste de todas las parejas

T = f(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), . . . , (6, 6)g.

El número de elementos de T , que denotaremos por jT j es igual a6� 6 = 36 (pricipio de conteo del "árbol")


Juegos de dados

Calculemos la probabilidad de obtener, por ejemplo, suma 4. El conjuntode casos favorables sería

F = f(1, 3), (2, 2), (3, 1)g.Luego la probabilidad de obtener suma 4 al lanzar un par de dados es

P =jF jjT j = 3/36.

De igual manera, aquellos lanzamientos que nos dan una suma total iguala 7 serían

F = f(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)g,

de donde se sigue que la probabilidad de obtener suma 6 esP = 6/36 = 1/6. No es difícil ver que cualquier otra posible suma esmenos probable. De aquí que muchos juegos de tablero (parqués, porejemplo) marquen cada siete casillas de manera destacada.


Historia de la Teoría de Probabilidades

El juego de azar (del árabe al-zahr, que signi�ca jugar a los dados) es casitan antiguo como el hombre. Existen pruebas de que en el siglo XVI antesde nuestra era, los egipcios jugaban con regularidad a los dados. Pareceque el juego de dados se convirtió en una actividad febril entre losromanos, pero desacreditada públicamente, hasta el punto que el términoaleator (jugador) se utilizaba con desprecio. No obstante la malareputación de los juegos de azar, cuenta Plutarco que Julio César yAntonio jugaban al dado con gran pasión, y que Augusto, Nerón, Claudioy Calígula también lo hacían con frecuencia


Pascal Fermat y el Caballero de Meré

En su larga carrera de jugador, Antoine Gombaund, Caballero De Meré,había tratado de conciliar los resultados experimentales del juego de dadoscon el análisis matemático y descubrió que resultaba ventajoso apostar asacar al menos un seis en cuatro tiradas de un dado a sacar al menos undoble seis en veinticuatro lanzamientos de dos dados. Esto no debería serasí �pensaba-, pues la relación entre el número de lanzamientos y el totalde posibilidades era la misma en ambos casos: 4/6 y 24/36,respectivamente.


Problema del Caballero de Meré

De Meré, desconcertado, acudió a Blas Pascal. Pascal calculócorrectamente la probabilidad de obtener al menos un seis en cuatrolanzamientos de un dado y obtuvo como resultado 1� (5/6)4 = 0, 5177.Para el doble seis la solución, correcta, fue 1� (35/36)24 = 0, 4114.Ambos resultados teóricos concordaron exactamente con los que De Meréhabía observado.

Figure: Pascal


Solución al problema del Caballero de Meré

Espacio muestral (todos los posibles resultados) en el primer experimento:(cuatro tiradas de un dado)

T = f(1, 4, 6, 5), (6, 3, 2, 1), . . . , (4, 5, 2, 1), . . .g

Casos favorables

F = f(6, 1, 5, 6), (3, 6, 2, 1), . . . , (6, 6, 6, 5), . . .g

Probabilidad P de sacar al menos un seis en cuatro tiradas (jC j denota elnúmero de elementos del conjunto C ).

P =jF jjT j

Si NF es el conjunto de casos no favorables, es más fácil calcular jNF j quejF j. El conjunto NF consiste de todas las 4-tuplas que no contienenningún seis: NF = f(2, 3, 1, 4), . . . , (5, 5, 3, 1), . . .g.



Un principio elemental de conteo nos dice que el número de 4�tuplastotales es 6� 6� 6� 6 = 64. Y el número de 4-tuplas no favorables,jNF j, es igual a 54.

Principio de conteo(Institute) 3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría de Probabilidades (Clase 8 )Abril 13, 2013 19 / 40


Luego, jF j = jT j � jNF j, y la probabilidad buscada es

P =jT j � jNF j

jT j = 1� jNF jjT j

= 1� 54

64= 1� (5

6)4 = 0, 5177

(La probabilidad de un evento es igual a uno menos la probabilidad delevento contrario)



Calculemos la probabilidad de sacar un doble seis en cuatro lanzamientos.

T = f[(2, 1), (4, 6), (5, 5), (4, 3)], . . . , [(6, 6), (3, 3), (4, 2), (4, 5)]g

El número de casos totales es jT j = 364, pues en cada lanzamiento hay 36resultados posibles. Por el principo de conteo "del árbol", los 4lanzamentos del par de dados pueden ocurrir de 364 maneras posibles.Como en el caso anterior, computemos el número de casos no favorables(es más fácil). En cada lanzamiento hay 36 posibles resultados. Sólo unode ellos es no favorable. Luego en cada lanzamiento hay 35 casos nofavorables. De nuevo, por el principio del árbol, del número total deresultados de 4 lanzamientos consecutivos, hay 35� 35� 35� 35 casos enlos que nunca se obtiene un doble seis jNF j = 354. La probabilidadbuscada es

P = 1� (35/36)4 = 0, 4114.


El problema de los cumpleaños

En una reunión se encuentran 23 personas elegidas al azar y a alguien se lepregunta por la probabilidad de que dos de ellas, al menos, celebren suscumpleaños en la misma fecha (mes y día). Es casi seguro que elinterrogado asignará una probabilidad bajísima a tal suceso. No es raroque dicha persona esté dispuesta a apostar, dándole una buena gabela alcontrincante, a favor de la no coincidencia de cumpleaños entre ningunode los presentes. Y no parece que las cosas cambien sustancialmente si enlugar de 23 personas fuesen 30 o 40.Problema: en un grupo de n personas, ¿cuál es la probabilididad de quehaya al menos dos personas que cumplan años el mismo día?


El problema de los cumpleaños (Solución)

La tabla muestra el valor de la probabilidad de encontrar dos o máspersonas con la misma fecha de cumpleaños, como función del número deindividuos presentes. Cuando en el grupo hay 23 personas, la probabilidades de 0.51, ligeramente superior a 1/2. Esto signi�ca que en esa situaciónes más probable la coincidencia de al menos dos cumpleaños que locontrario. Con 30 personas la probabilidad es de 0.71. Con 40 laprobabilidad de coincidencias se eleva a 0.89, valor que nos autoriza a daruna ventaja en la apuesta de 1 a 8. Y cuando haya 70 personas, laprobabilidad es prácticamente igual a la unidad.



Resolvamos el problema contrario, es decir calculemos la probabilidad deque no haya dos personas que cumplan años el mismo día. Si en el salónhay sólo una persona no puede haber coincidencias de cumpleaños, por loque la probabilidad de que todos ellos sean distintos es 1. Si en estemomento llega otra persona, para que no haya coincidencias se requiereque la recién incorporada al grupo cumpla años en cualquiera de los 364días disponibles, habida cuenta de que el cumpleaños de la primerapersona ya ocupó un día de los 365. La probabilidad, entonces, de que nohaya coincidencias es 364/365. Al llegar la tercera persona, para que nohaya coincidencias se requiere que cumpla años en cualquiera de los 363días que han quedado libres, así que la probabilidad de no coincidenciasentre las tres presentes será (364/365)� (363/365).



Al llegar una nueva persona, por las razones ya anotadas, la probabilidadde que las cuatro presentes tengan cumpleaños distintos es el producto(364/365)� (363/365)� (362/365). Al continuar de este modo,llegaremos al �n a que la probabilidad Pn de que con n personas en elsalón, todos sus cumpleaños sean distintos, esta dada por la fórmula:

Pn = (365/365)� (364/365)� (363/365)� ...� [(365� n+ 1)/365]

Simpli�cando, la probabilidad entonces de que haya al menos dos que sícumplan años el mismo día es:

Pn = 1�365!

365n � (365� n)!


¿Milagros o coincidencias?

Supongamos que la parte más importante de la vida de una personatranscurre entre los 15 y los 65 años, esto es, un total de365� 50 = 18250 días, y que durante ese lapso sufre un promedio de 2insomnios notables por año, para un total de 100. ¿Cuál será laprobabilidad de que le ocurra al menos una desgracia el mismo día dehaber padecido el insomnio? Por el término desgracia entenderemos lamuerte de un familiar, un secuestro, un accidente, el comienzo de unaenfermedad grave...Contrario a los dictados de nuestra intuición, ¿cuán fácil es la ocurrenciade tales hechos?



Aceptemos que ocurren k hechos desgraciados en la vida de una persona.Denotemos por P(k) la probabilidad que deseamos estimar. Imaginemosque sobre una recta señalamos 18, 250 puntos equidistantes, uno por cadadía de vida, y de esos puntos escogemos los 100 correspondientes a losinsomnios, al tiempo que los marcamos con color azul.Ahora imaginemos al Diablo escogiendo uno por uno los k días de lasdesgracias. Podemos suponer que cada vez hace girar una rueda de loteríacon 18, 250 números y que cada número que resulte ganador lo vaseñalando con un lápiz rojo sobre la recta anterior.



La probabilidad de que al sujeto no le ocurra ninguna desgracia en un díade insomnio es la misma de que ningún punto de la recta quede marcadocon azul y rojo. Esta probabilidad se calcula así: la primera marca roja lapodemos hacer en cualquiera de los (18250� 100) lugares no marcadoscon azul, es decir, con una probabilidad de (18, 250� 100)/18, 250 =18, 150/18, 250. Para la segunda marca roja la situación es idéntica, yaque no se descarta la posibilidad de que la segunda desgracia ocurra elmismo día de la primera. Y lo mismo podemos decir de las restantes,luego la probabilidad de que las k desgracias no ocurran en ninguno de los100 días de insomnio es el producto de la fracción anterior multiplicadapor sí misma, k veces: (18150/18250)k . La probabilidad del sucesocontrario, esto es, de que ocurra al menos una coincidencia, será entonces1 menos la probabilidad de que no ocurra, lo que nos dará

P(k) = 1� (18150/18250)k



Para que se vea lo probable que resulta tener coincidencias como ladescrita atrás, la siguiente tabla nos muestra los valores de la funciónP(k) para varios valores de k (número de desgracias).

Por ejemplo, si una desgracia se de�ne como la muerte de un familiarcercano o un accidente, de tal manera que sea razonable esperar que a unapersona le ocurran en promedio 10 desgracias en su vida (k = 10),entonces podemos esperar, de acuerdo con la tabla anterior, que de cada100 personas, a 5 les sucede una coincidencia de este tipo. Y de ocurrir 20desgracias, la probabilidad de coincidir con algún insomnio es de 0.1; esdecir, que de cada 10 personas, a una se le presentaría la coincidencia.



La gente acostumbra llamar milagro a todo suceso que, según susconocimientos, viole las leyes naturales y, por tanto, que se trate de unhecho imposible o muy improbable. Pero es bien sabido lo limitados quesomos los humanos para comprender los fenómenos que implicanprobabilidades, y más si no se tiene formación matemática. Lascoincidencias, en particular, han llevado a muchos a pensar que han sidobene�ciarios de un suceso milagroso.



La remisión espontánea de enfermedades con apariencia de incurablesconstituye uno de los fenómenos más interesantes y asombrosos de toda lamedicina, y un motivo adicional para creer en prodigios. Pero lo mássorprendente de todo es que ocurre con una frecuencia nada despreciable.El Institute of Noetic Sciences, organización norteamericana sin ánimo delucro, ha presentado para la investigación médica una colección de 1, 385remisiones espontáneas, entre las cuales son muy comunes los casos detumores cancerosos en estado avanzado que, de manera espontánea, handesaparecido por completo.



El médico y ensayista norteamericano Lewis Thomas fue en una épocapresidente del Memorial Sloan-Kettering Cancer Center de Nueva York,prestigioso instituto dedicado exclusivamente al estudio e investigación delcáncer. Así comenta las experiencias más espectaculares que le tocó vivir:"De vez en cuando los pacientes se presentan con un cáncer en estadoavanzado, casi irreversible. Se los examina por medio de una operaciónquirúrgica y el cirujano observa metástasis en el hígado y en la cavidadperitoneal. El enfermo regresa a su casa para morir, pero vuelve apresentarse pasados diez años, sin rastros de su antigua enfermedad.Existen varios cientos de casos de ese tipo y nadie pone en tela de juicio laautenticidad de las observaciones". Ante una situación de estas, y si elenfermo o sus parientes más cercanos han elevado oraciones al cielo, comoes la costumbre ante los casos perdidos, es lógico que se le atribuya aDios, no al propio organismo. Y que la coincidencia se convierta en hechomilagroso.



Veamos los milagros con la lupa matemática. Se trata de calcular qué tanprobable resulta ser que a una persona le sean escuchadas sus oraciones.Para comenzar, partamos la vida en semanas, de tal modo que a unapersona que viva 50 años de vida adulta le corresponden 52� 50 = 2600semanas. Supongamos que de las semanas en que ora, en exactamente rde ellas pide a Dios que le conceda determinado hecho improbable. Podríaser, demos por caso, que rezara todas las semanas de su vida y sólo enpromedio una vez por año pidiera a Dios que le concediera algo pocousual, como ganarse la lotería, aliviarse de una enfermedad penosa o salirde algún embrollo serio.



Denotemos por q la probabilidad de que cualquiera de esos fenómenosraros ocurra por puro azar durante una semana. Ahora bien, si después depedir con devoción algo muy especial, en el intervalo de una semana nosocurre un suceso que parece corresponder a lo pedido, interpretémoslocomo un milagro propiciado por la oración; es decir, démosle una semanade plazo para que la oración sea correspondida. De acuerdo con esto, enun eje en el que representaremos las 2600 semanas de vida adultaresaltamos en azul las r semanas en las que se hizo el pedido milagroso.Ahora bien, la probabilidad de que en una semana particular no ocurra elmilagro esperado es (1� q), y de que en las r semanas resaltadas noocurra es (1� q)r . Luego la probabilidad, P(r), de que ocurra es elcomplemento a uno, es decir,

P(r) = 1� (1� q)r



Podemos ahora ensayar algunos valores de q y de r en la fórmula anterior.Si, demos por caso, q es una millonésima (ganar la lotería, por ejemplo) ypedimos unas dos veces por año al cielo tan extraordinario milagro(r = 100), entonces

P(100) = (100) = 1� (1� 1/106)100 ' 0.00001,

lo que signi�ca que, de cada 100, 000 personas, en promedio a una se leconcede el �milagro�. En una ciudad medianamente grande �un millón dehabitantes, por ejemplo�, hechos de este orden de improbabilidad tienenque ocurrir con gran frecuencia. Y aunque se puede explicar por simpleazar, todos estamos inclinados a interpretarlo como hechos sobrenaturales,como una merecida concesión divina.


Supersíquicos en la ruleta

Preguntémonos: ¿cuál sería la ganancia esperada de una persona quedebido a supuestos poderes de adivinación fuese capaz de predecir (ademásde lo que obtenga por puro azar) el 5% de las veces que jugase a la ruleta?Si, por ejemplo, la persona apostase a la ruleta 5 rondas seguidas de 38juegos cada una, ¿cuál sería su ganancia esperada? Pues bien, en caso deque las ganancias fuesen muy altas y dado que todos los casinos gozan demuy buena salud económica, se concluye que no hay sujetos de esa clase.



Es bien sabido que las ruletas empleadas en América tienen 38 números,que van del 1 al 36, más el cero y el doble cero (las de Europa no tienendoble cero), y que cada vez que un jugador acierta recibe 36 veces loapostado. Suponga, además que el jugador participa en 5 rondas de 38juegos cada una.



Para simpli�car el análisis, supóngase que se apuesta cada vez una �cha yque se juegan rondas completas de 38 juegos, uno por cada número de laruleta; es decir, se invierten 38 �chas por ronda. En cada una de estasrondas se acierta, en promedio, 1.9 veces (5% de 38), más un aciertoadicional por simple adivinación aleatoria (se juega 38 veces, y laprobabilidad de acertar por azar es 1/38), da un total de 2.9 aciertos porronda. En consecuencia, las �chas recibidas por los aciertos sumarán2.9� 36 = 104.4, que al restarle las 38 invertidas proporciona unaganancia neta de 66.4 �chas por ronda.



Supóngase ahora que se alcanzan a jugar cinco rondas completas cada vezque se visita el casino, lo que nos proporcionará un bene�cio neto de 332�chas (66, 4� 5 = 332). Y si cada vez se apuestan �chas de 100 dólares,se obtendrá una ganancia de 33200 dólares por noche, suma nadadespreciable.


**El juego del "Agalludo" (complemento)

Dos personas se turnan en el lanzamiento de un dado. En su turno, cadajugador hace una serie de lanzamientos, y va sumando los puntajesobtenidos en cada lanzamiento. En cualquier momento puede decidir queno lanza más, y el puntaje obtenido se adiciona al total acumulado, el cualse contabiliza en una tabla. En cualquier momento del juego, y si duranteel turno de un determinado jugador, este llegase a lanzar el dado, y cae en1, entonces el total acumulado en dicho turno (y solo en este turno) seanula, y el jugador deberá ceder el dado a su contrincante. Quien primeroacumule 100 puntos se convierte en el ganador de la partida.¿Cómo jugar este juego de manera óptima?


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